R1 Høst 2024

R1 Høst 2024 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler
1-1	Derivasjon av eksponentialfunksjon	✔︎
1-2	Finne verdi programmet skriver ut	✔︎
1-3	Eksponentiallikning med substitusjon	✔︎
1-4	Grenseverdi for rasjonalt uttrykk	✔︎
1-5	Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet	KI
1-6	Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	✔︎
Del 2 4 timer med hjelpemidler
2-1	Vannreservoar med eksponentiell funksjon	KI
2-2	Påstander om grenseverdi og deriverbarhet	KI
2-3	Fiskepopulasjon og logistisk modell	KI
2-4	Bestem grunntall i logaritmefunksjon	KI
2-5	Omvendt funksjon fra graf	KI
2-6	Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av eksponentialfunksjon

Deriver funksjonen

f(x) = \frac{e^{2x}}{x}

Fasit

f'(x)=e^{2x} \cdot \frac{2x+1}{x^{2}}

Løsningsforslag

Funksjonen består av en brøk med funksjoner i både teller og nevner, så vi må bruke kvotientregelen når vi deriverer.

f(x)=\frac{u}{v}\implies f'(x)=\frac{u'v+uv'}{v^{2}}

f'(x)=\frac{2e^{2x} \cdot x + e^{2x}\cdot 1}{x^{2}}=\underline{\underline{e^{2x} \frac{2x+1}{x^{2}}}}

Sensorveiledning

1 poeng for riktig bruk av brøk- eller produktregel, og 1 poeng for riktig bruk av kjerneregel.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: derivasjon, eksponentialfunksjoner
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Oppgave 1-2 : Finne verdi programmet skriver ut

Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.

def O(x):
    return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000

x = 0

while O(x + 1) > O(x):
    x = x + 1

print(x)

Fasit

Programmet skriver ut $10\,000$ .

Løsningsforslag

Jeg ser at programmet består av en funksjon $O(x)$ som muligens er en overskuddsfunksjon. while-løkka i programmet kjører så lenge $O(x+1)>O(x)$ , altså kjører løkka så lenge $O(x)$ stiger. Inni løkka økes $x$ -verdien med 1, altså vil programmet skrive ut $x$ -koordinaten til toppunktet til $O(x)$ .

Den enkleste måten å bestemme toppunktet på er å derivere $O$ og sette lik null.

\begin{aligned} O'(x)&=-0{,}2x+2000 \\ -0{,}2x+2000 &= 0\\ 0{,}2x&=2000\\ x&=10\,000 \end{aligned}

Programmet skriver ut 10 000.

Sensorveiledning

1 poeng for riktig strategi og 1 poeng for riktig utregning.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: programmering, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 1-3 : Eksponentiallikning med substitusjon

Løs likningen

100^x - 3 \cdot 10^x = 4

Fasit

$x=\log 4$

Løsningsforslag

Jeg ser at likningen består av tierpotenser.

\begin{aligned} 100^{x}-3 \cdot 10^{x}&=4\\ \left( 10^{x} \right)^{2} -3 \cdot 10^{x} - 4&=0 \end{aligned}

Dette ser jeg at kan skrives som en andregradslikning hvor $u=10^{x}$ .

u^{2}-3u-4=0 \implies \underbrace{ (u-4)(u+1)=0 }_{ \text{Heltallsmetode} } \implies \underline{ u= 4 \vee u=-1}

Vi bytter substituerer tilbake.

\begin{aligned} 10^{x}&=4 \vee \underbrace{ \cancel{ 10^{x}=-1 } }_{ 10^{x} \text{ er positivt} } \\ \log 10^{x} &= \log 4\\ x&= \log 4 \end{aligned}

Løsningen er $\underline{\underline{x=\log 4}}$ .

Sensorveiledning

1 poeng for å skrive om uttrykket og løse 2.gradslikningen. 1 poeng for riktig løsning.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: eksponentialfunksjoner, logaritmer, likninger
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger

Oppgave 1-4 : Grenseverdi for rasjonalt uttrykk

Finn grenseverdien hvis den eksisterer.

\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 12}{2x^2 - 18}

Fasit

Grenseverdien er $\frac{1}{2}$ .

Løsningsforslag

Vi ser at både teller og nevner går mot uendelig når $x \to \infty$ . Vi kan altså bruke L’Hopitals regel.

\lim_{ x \to \infty } \frac{x^{2}+x-12}{2x^{2}-18}=\lim_{ x \to \infty } \frac{2x+1}{4x}=\lim_{ x \to \infty } \frac{2+\frac{1}{x}}{4}=\frac{2+0}{4}=\frac{1}{2}

Grenseverdien er $\underline{\underline{\frac{1}{2}}}$ .

Sensorveiledning

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng. For å få full uttelling ved bruk av L’Hôpitals regel må kandidaten begrunne bruk av denne regelen.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: grenseverdi, rasjonale funksjoner
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Oppgave 1-5 : Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Fire vektorer er gitt ved $\vec{u} = [3, -2]$ , $\vec{v} = [4, -6]$ , $\vec{w} = [2, -3]$ og $\vec{p} = [8, 12]$

Avgjør om noen av vektorene er

like lange
ortogonale

En vektor er gitt ved $\vec{q} = [2a - 3,\ 1 + 3b]$

Bestem $a$ og $b$ slik at $\vec{u} + 2\vec{q} = [7, 5]$

Fasit

$\vec{u}$ og $\vec{w}$ er like lange. $\vec{u}$ og $\vec{p}$ er ortogonale.

$a = \dfrac{5}{2}$ , $\quad b = \dfrac{5}{6}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner lengden av hver vektor:

|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

|\vec{p}| = \sqrt{8^2 + 12^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}

$|\vec{u}| = |\vec{w}| = \sqrt{13}$ , så $\underline{\underline{\vec{u} \text{ og } \vec{w} \text{ er like lange}}}$ .

For å avgjøre ortogonalitet beregner vi skalarproduktet for alle par. To vektorer er ortogonale hvis og bare hvis skalarproduktet er null.

\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 + (-2) \cdot (-6) = 12 + 12 = 24 \neq 0

\vec{u} \cdot \vec{w} = 3 \cdot 2 + (-2) \cdot (-3) = 6 + 6 = 12 \neq 0

\vec{u} \cdot \vec{p} = 3 \cdot 8 + (-2) \cdot 12 = 24 - 24 = 0

\vec{v} \cdot \vec{w} = 4 \cdot 2 + (-6) \cdot (-3) = 8 + 18 = 26 \neq 0

\vec{v} \cdot \vec{p} = 4 \cdot 8 + (-6) \cdot 12 = 32 - 72 = -40 \neq 0

\vec{w} \cdot \vec{p} = 2 \cdot 8 + (-3) \cdot 12 = 16 - 36 = -20 \neq 0

$\vec{u} \cdot \vec{p} = 0$ , så $\underline{\underline{\vec{u} \text{ og } \vec{p} \text{ er ortogonale}}}$ . Ingen andre par er ortogonale.

Vi setter inn $\vec{u} = [3, -2]$ og $\vec{q} = [2a - 3,\ 1 + 3b]$ :

\vec{u} + 2\vec{q} = [7, 5]

[3, -2] + 2[2a - 3,\ 1 + 3b] = [7, 5]

[3 + 4a - 6,\ -2 + 2 + 6b] = [7, 5]

[4a - 3,\ 6b] = [7, 5]

Dette gir likningssystemet:

\begin{aligned} 4a - 3 &= 7 \\ 6b &= 5 \end{aligned}

Fra første likning: $4a = 10$ , altså $\underline{\underline{a = \dfrac{5}{2}}}$ .

Fra andre likning: $\underline{\underline{b = \dfrac{5}{6}}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å finne vektorene som er like lange, og 1 poeng for å finne de som er ortogonale. Kandidaten må begrunne enten ved regning eller ved argumentasjon for å få full uttelling.

2 poeng

1 poeng for å sette opp vektorlikningen og 1 poeng for riktig utregning.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: vektorer
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 1-6 : Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner, $f$ , $g$ og $h$ . En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik $\frac{1}{2}$ i intervallet $\left[0, 4\right]$ , og derivert lik 1 når $x = 1$ .

Koordinatsystem med tre funksjoner f, g og h

Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Funksjonen $f$ passer til beskrivelsen.

Løsningsforslag

At den deriverte er lik 1 når $x=1$ vil si at stigningstallet til tangenten til grafen når $x=1$ skal være 1. Det utelukker funksjon $g$ som har stigningstall $\frac{1}{2}$ .

Funksjonen $h$ har gjennomsnittlig har null i gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[0,4]$ , og dermed er også denne funksjonen utelukket.

Det er litt vanskelig å lese av stigningstallet til tangenten til $f$ i $x=1$ , men det kan godt stemme at stigningstallet er 1. Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0,4]$ er $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ .

Funksjon $\underline{\underline{f}}$ passer til beskrivelsen.

Sensorveiledning

1 poeng for riktig argumentasjon for gjennomsnittlig vekstfart eller momentan vekstfart.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: gjennomsnittlig vekstfart, derivasjon, tolke grafer
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Oppgave 2-1 : Vannreservoar med eksponentiell funksjon

Et gammelt vannreservoar lekker vann. Mengden vann i reservoaret $V$ er gitt ved

V(t) = 10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500

Her er $t$ antall timer etter lekkasjen startet, og mengden vann er målt i antall liter.

Hvor lang tid vil det gå før vannmengden er halvert?

Bestem $V'(12)$ og $V''(12)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Undersøk om $V$ har asymptoter, og gi en praktisk tolkning av verdien til eventuelle asymptoter.

Fasit

$\underline{\underline{t \approx 10{,}63 \mathrm{~timer} \approx 10 \text{~timer og } 38 \mathrm{~min}}}$

$\underline{\underline{V'(12) \approx -302{,}2 \, \mathrm{L/time}}}$ , $\underline{\underline{V''(12) \approx 21{,}15 \, \mathrm{L/time^2}}}$

Lekkasjehastigheten er ca. 302 liter per time ved $t = 12$ , og denne avtar over tid.

Horisontal asymptote $y = 500$ .

Reservoaret vil i det lange løp ha 500 liter vann (aldri tømmes helt).

LøsningsforslagKI-generert

Grafen under viser $V(t)$ med halveringspunktet og asymptoten:

Vannreservoar – graf

CAS-beregninger (se alle steg i bildet under):

Vannreservoar – CAS

Startmengden er $V(0) = 10000 \cdot e^{0} + 500 = \mathbf{10\,500} \, \mathrm{L}$ (se linje 2 i CAS).

Halvparten av startmengden er $\dfrac{10\,500}{2} = 5\,250 \, \mathrm{L}$ .

Vi løser likningen $V(t) = 5250$ (se linje 3 i CAS):

10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500 = 5250

10000 \cdot e^{-0{,}07t} = 4750

e^{-0{,}07t} = 0{,}475

t = -\frac{\ln(0{,}475)}{0{,}07} \approx \mathbf{\underline{\underline{10{,}63 \mathrm{~timer} \approx 10 \text{~timer og } 38 \mathrm{~min}}}}

Se HalveringPkt = (10{,}63,\ 5250) i grafen.

Vi deriverer $V(t) = 10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500$ (se linjene 4–7 i CAS):

V'(t) = -700 \cdot e^{-0{,}07t}

V''(t) = 49 \cdot e^{-0{,}07t}

Verdiene ved $t = 12$ :

V'(12) = -700 \cdot e^{-0{,}07 \cdot 12} \approx \underline{\underline{-302{,}2 \, \mathrm{L/time}}}

V''(12) = 49 \cdot e^{-0{,}07 \cdot 12} \approx \underline{\underline{21{,}15 \, \mathrm{L/time^2}}}

Praktisk tolkning:

$V'(12) \approx -302{,}2 \, \mathrm{L/time}$ : Etter 12 timer lekker reservoaret ut ca. 302 liter per time. Fortegnet er negativt fordi vannmengden avtar.
$V''(12) \approx 21{,}15 \, \mathrm{L/time^2} > 0$ : Den andrederiverte er positiv, noe som betyr at lekkasjehastigheten avtar (funksjonen er konveks). Vannet lekker stadig saktere etter hvert som tiden går.

Se T12pkt = (12,\ 4817{,}11) i grafen.

Vi undersøker grenseverdiene til $V(t)$ :

\lim_{t \to \infty} V(t) = \lim_{t \to \infty} \left(10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500\right) = 0 + 500 = \underline{\underline{500}}

Siden $e^{-0{,}07t} \to 0$ når $t \to \infty$ , har $V$ en horisontal asymptote $y = 500$ .

For $t \to -\infty$ gjelder $e^{-0{,}07t} \to \infty$ , så $V(t) \to \infty$ — ingen asymptote der.

Se den grønne linjen Asymptote: y = 500 i grafen.

Praktisk tolkning: I det lange løp vil vannmengden i reservoaret nærme seg 500 liter, men aldri komme under det. Dette betyr sannsynligvis at lekkasjen stopper når vannstanden synker til et bestemt nivå (f.eks. fordi hullet befinner seg 500 liter over bunnen av reservoaret).

Sensorveiledning

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne $V'(12)$ og $V''(12)$ . 1 poeng for praktisk tolkning.

Kandidater som finner $V'(12)$ eller $V''(12)$ , og gir en praktisk tolkning av denne verdien, kan også få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne asymptoten og 1 poeng for praktisk tolkning.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: eksponentialfunksjoner, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Oppgave 2-2 : Påstander om grenseverdi og deriverbarhet

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Påstand: Hvis $\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty} g(x)$ og $\lim_{x\to-\infty} f(x) = \lim_{x\to-\infty} g(x)$ , så er $f(x) = g(x)$ .

Påstand: Funksjonen $f(x) = |x|$ er deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$ , bortsett fra i $x = 0$ .

Påstand: For likningen $a^x = a^y$ , der $a \in \mathbb{R}$ , er løsningen alltid $x = y$ .

Fasit

Usann

Sann

Usann

LøsningsforslagKI-generert

Påstanden er usann.

Vi trenger bare ett moteksempel. La

f(x) = \frac{1}{x^2}, \quad g(x) = 0

Da er

\lim_{x \to \infty} f(x) = 0 = \lim_{x \to \infty} g(x)

og

\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0 = \lim_{x \to -\infty} g(x)

Begge grenseverdiene er like, men $f(x) \neq g(x)$ siden $f(x) = \dfrac{1}{x^2} > 0$ for alle $x \neq 0$ , mens $g(x) = 0$ overalt.

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Usann}}}$ — like grenseverdier ved $\pm\infty$ garanterer ikke at funksjonene er identiske.

Påstanden er sann.

Vi undersøker om $f(x) = |x|$ er deriverbar for alle $x \neq 0$ .

For $x > 0$ : Her er $|x| = x$ , så $f'(x) = 1$ .

For $x < 0$ : Her er $|x| = -x$ , så $f'(x) = -1$ .

På begge grenene er $f$ deriverbar (konstant derivert). Påstanden sier ingenting om $x = 0$ , bare at $f$ er deriverbar for alle andre $x$ — det er korrekt.

(For fullstendighetens skyld: i $x = 0$ er venstresidig derivert $-1$ og høyresidig derivert $1$ , og siden disse ikke er like, er $f$ ikke deriverbar i $x = 0$ .)

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Sann}}}$ — $|x|$ er deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$ bortsett fra i $x = 0$ .

Påstanden er usann.

Påstanden sier at $a^x = a^y$ alltid medfører $x = y$ . Dette er bare sant når $a > 0$ og $a \neq 1$ .

Moteksempel: La $a = 1$ , $x = 2$ , $y = 3$ .

Da er

1^2 = 1 = 1^3

så $a^x = a^y$ , men $x = 2 \neq 3 = y$ .

Likningen $1^x = 1^y$ er sann for alle $x$ og $y$ , og gir ingen informasjon om forholdet mellom $x$ og $y$ .

Konklusjon: $\underline{\underline{\text{Usann}}}$ — for $a = 1$ (og $a = 0$ , $a = -1$ med passende $x, y$ ) holder ikke implikasjonen $a^x = a^y \Rightarrow x = y$ .

Sensorveiledning

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: grenseverdi, derivasjon, eksponentialfunksjoner
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier
Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner

Oppgave 2-3 : Fiskepopulasjon og logistisk modell

Forskere har registrert en ny fiskeart i en innsjø. I tabellen nedenfor ser du hvor mange fisk av arten det var i innsjøen noen måneder etter at arten først ble registrert.

Måneder etter første registrering	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Antall tusen fisk	1	2,5	5,5	9	14	22	32	45	60

Fiskepopulasjonen kan beskrives med en modell på formen

A(t) = A_0 \cdot k^t

der $A(t)$ er antall tusen fisk $t$ måneder etter første registrering.

Bestem $A_0$ og $k$ , og gi en praktisk tolkning av disse verdiene.

Fiskepopulasjonen kan også beskrives med en logistisk modell på formen

N(t) = \frac{B}{1 + \dfrac{B - N_0}{N_0} e^{-r \cdot t}}

$B$ er bæreevnen, $N_0$ er antall tusen fisk ved $t = 0$ og $r$ er vekstparameteren.

Bestem $N_0$ , $B$ og $r$ .

Bestem den deriverte til funksjonene du fant i oppgavene a) og b). Forklar hvordan vekstfarten endrer seg ifølge hver av de to modellene.

Hvilken modell mener du beskriver den praktiske situasjonen best? Hvor mange fisk vil det være 12 måneder etter første registrering, ifølge denne modellen?

Fasit

$A_0 \approx 1{,}60$ , $k \approx 1{,}63$ . Populasjonen starter på ca. 1 600 fisk og vokser med ca. 63 % per måned.

$N_0 \approx 1{,}92$ , $B \approx 111{,}37$ , $r \approx 0{,}52$ .

$A'(t) = A_0 \cdot \ln(k) \cdot k^t \approx 0{,}782 \cdot 1{,}63^t$ — alltid voksende. $N'(t) = r \cdot N(t)\!\left(1 - \tfrac{N(t)}{B}\right)$ — øker til vendepunktet ved $t \approx 7{,}7$ ( $N \approx 55{,}7$ ), deretter avtar den.

Den logistiske modellen passer best. $N(12) \approx 100{,}8$ tusen fisk.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS-sesjon (alle deloppgaver):

GeoGebra CAS – eksponential og logistisk modell, deriverte og vendepunkt

Graf med begge modeller og datapunkter:

Graf – eksponentialmodell (rød) og logistisk modell (blå) med datapunkter (grønn)

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og utfører eksponentiell regresjonsanalyse. GeoGebra gir (linje 3 i CAS):

A(t) = 1{,}60 \cdot 1{,}63^t

$A_0 \approx 1{,}60$ og $k \approx 1{,}63$ .

Praktisk tolkning:

$A_0 = 1{,}60$ betyr at det var ca. 1 600 fisk i innsjøen da arten ble første gang registrert ( $t = 0$ ).
$k = 1{,}63 = 1 + 0{,}63$ betyr at populasjonen vokser med ca. 63 % per måned ifølge denne modellen.

Vi utfører logistisk regresjonsanalyse i GeoGebra og får (linje 4 i CAS):

N(t) = \frac{111{,}37}{1 + 56{,}88 \cdot e^{-0{,}5244\,t}}

Sammenlikner vi med oppgavens form $N(t) = \dfrac{B}{1 + \dfrac{B - N_0}{N_0} e^{-r\,t}}$ , leser vi av:

B = 111{,}37, \qquad \frac{B - N_0}{N_0} = 56{,}88 \;\Rightarrow\; N_0 = \frac{B}{1 + 56{,}88} \approx 1{,}92, \qquad r = 0{,}5244

$N_0 \approx 1{,}92$ , $B \approx 111{,}37$ , $r \approx 0{,}52$ .

Eksponentialmodellen $A(t) = A_0 \cdot k^t$ deriveres med kjerneregelen ( $k^t = e^{t \ln k}$ ):

A'(t) = A_0 \cdot \ln(k) \cdot k^t

Fra linje 5 i CAS:

A'(t) \approx 0{,}782 \cdot 1{,}63^t

Siden $A'(t) > 0$ for alle $t$ og faktoren $1{,}63^t$ vokser uten begrensning, øker vekstfarten hele tiden — eksponentialmodellen gir alltid raskere og raskere vekst.

Den logistiske modellen $N(t) = \dfrac{B}{1 + \frac{B-N_0}{N_0}e^{-rt}}$ har derivert (linje 4 viser formen, beregnet analytisk):

N'(t) = r \cdot N(t) \cdot \left(1 - \frac{N(t)}{B}\right)

Vekstfarten avhenger både av nåværende populasjonsstørrelse $N(t)$ og av hvor nær bæreevnen $B$ populasjonen er. Vekstfarten er størst i vendepunktet, som finnes der $N(t) = B/2$ . Vi beregner (linje 6 og 7 i CAS):

t_{\text{vend}} = \frac{\ln(56{,}88)}{0{,}5244} \approx 7{,}7 \mathrm{~måneder}, \qquad N(t_{\text{vend}}) = \frac{B}{2} \approx 55{,}7 \text{~(tusen fisk)}

Maksimal vekstfart (linje 8 i CAS):

N'(t_{\text{vend}}) = \frac{r \cdot B}{4} \approx \frac{0{,}5244 \cdot 111{,}37}{4} \approx 14{,}6 \text{~(tusen fisk per måned)}

Oppsummering: Den logistiske modellen gir vekstfart som øker frem til $t \approx 7{,}7$ måneder, deretter avtar vekstfarten mot null når populasjonen nærmer seg bæreevnen $B \approx 111{,}4$ tusen fisk.

Den logistiske modellen passer best for denne praktiske situasjonen. Begrunnelse:

En fiskepopulasjon i en avgrenset innsjø har ikke ubegrenset tilgang på mat og plass. Bæreevnen $B$ representerer den maksimale populasjonen som innsjøen kan bære — en biologisk realistisk øvre grense.
Eksponentialmodellen forutsetter evig ubegrenset vekst, noe som er urealistisk i et lukket økosystem. Ved $t = 12$ gir den $A(12) \approx 266$ tusen fisk — mer enn dobbelt så mye som bæreevnen til den logistiske modellen.
Datapunktene viser tydelig at vekstfarten bremser opp mot slutten av observasjonsperioden (jf. grafen), noe som stemmer med logistisk atferd.

Ifølge den logistiske modellen vil det være

N(12) = \frac{111{,}37}{1 + 56{,}88 \cdot e^{-0{,}5244 \cdot 12}} \approx \mathbf{\underline{\underline{100{,}8 \text{~(tusen fisk)}}}}

12 måneder etter første registrering — det vil si omtrent 100 800 fisk.

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å bestemme verdiene $A_0$ og $k$ , og 1 poeng for å gi en praktisk tolkning.

2 poeng

1 poeng for å finne to av de tre verdiene.

2 poeng

1 poeng for å finne den deriverte til $A(t)$ og $N(t)$ , og 1 poeng for å forklare endringen av vekstfarten til begge funksjonene.

Kandidater som finner den deriverte til en av funksjonene og forklarer endringen av vekstfarten til denne, kan også få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å begrunne valg av modell. 1 poeng for å finne antall fisk etter 12 måneder.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: eksponentialfunksjoner, logistisk funksjon, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 2-4 : Bestem grunntall i logaritmefunksjon

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ gitt ved

f(x) = \log_a(x)

Graf av logaritmefunksjon med ukjent grunntall

Bestem $a$ . Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

$a = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Fra grafen avleser vi at $f(5) = 1$ .

Det betyr at

\log_a(5) = 1

Definisjonen av logaritme sier at $\log_a(5) = 1$ er det samme som $a^1 = 5$ , altså

a = 5

Verifisering: Vi sjekker mot et annet avlest punkt, $f(25) \approx 2$ :

\log_5(25) = \log_5(5^2) = 2 \checkmark

Dette stemmer med grafen, så $\underline{\underline{a = 5}}$ .

Sensorveiledning

1 poeng for å bestemme a og 1 poeng for å begrunne svaret.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Poeng: 2
Temaer: logaritmer, tolke grafer
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene

Oppgave 2-5 : Omvendt funksjon fra graf

Nedenfor ser du grafene til funksjonene $f$ , $g$ og $h$ .

Grafene til f, g og h

Avgjør og begrunn for hver av funksjonene om de har en omvendt funksjon.

Bestem funksjonsuttrykket og definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene den eksisterer.

Fasit

$f$ har omvendt funksjon. $g$ har ikke omvendt funksjon. $h$ har ikke omvendt funksjon.

$f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3}$ , $\quad D_{f^{-1}} = \langle 3, 7 \rangle$

LøsningsforslagKI-generert

En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er injektiv (én-til-én), det vil si at ingen horisontal linje skjærer grafen i mer enn ett punkt.

Funksjonen $f$ :

Fra grafen ser vi at $f$ er definert på $[0, 2]$ og er strengt voksende – grafen går fra $f(0) = 3$ opp til $f(2) = 7$ uten å snu. En strengt voksende funksjon er alltid injektiv, siden ulike $x$ -verdier gir ulike $y$ -verdier. Enhver horisontal linje skjærer grafen i høyst ett punkt.

$\Rightarrow$ $f$ har omvendt funksjon.

Funksjonen $g$ :

Fra grafen ser vi at $g$ er stykkevis lineær:

På $[-3, 1]$ : stigende linje fra $(-3, -3)$ til $(1, 1)$ , altså $g(x) = x$ .
På $(1, 2]$ : synkende linje fra $(1, 2)$ til $(2, 1)$ , altså $g(x) = -x + 3$ .

$y$ -verdien $1$ oppnås av to ulike $x$ -verdier: $g(1) = 1$ (første gren) og $g(2) = -2 + 3 = 1$ (andre gren). Den horisontale linjen $y = 1$ skjærer grafen i to punkter.

$\Rightarrow$ $g$ har ikke omvendt funksjon.

Funksjonen $h$ :

Fra grafen ser vi at $h$ har et lokalt maksimum ved $x \approx -1$ (med $h(-1) \approx 6$ ) og et lokalt minimum ved $x \approx 1$ (med $h(1) \approx 4$ ). Funksjonen er ikke monoton: den stiger, så synker den, og stiger igjen. En horisontal linje som skjæres ved for eksempel $y = 5$ vil treffe grafen i tre punkter.

$\Rightarrow$ $h$ har ikke omvendt funksjon.

Siden bare $f$ har omvendt funksjon, bestemmer vi kun $f^{-1}$ .

Fra grafen kan vi kjenne igjen formen på $f$ : den starter i $(0, 3)$ og går gjennom $(1, 4)$ og $(2, 7)$ . Vi prøver $f(x) = x^2 + 3$ :

f(0) = 0 + 3 = 3 \checkmark, \qquad f(1) = 1 + 3 = 4 \checkmark, \qquad f(2) = 4 + 3 = 7 \checkmark

Formen (oppovervending parabel, kun stigende del) stemmer med grafen.

Vi finner den omvendte funksjonen algebraisk. Setter $y = x^2 + 3$ og løser for $x$ (med $x \geq 0$ siden $f$ er definert på $[0, 2]$ ):

\begin{aligned} y &= x^2 + 3 \\ x^2 &= y - 3 \\ x &= \sqrt{y - 3} \end{aligned}

Bytter om på $x$ og $y$ for å skrive funksjonsuttrykket:

\boxed{f^{-1}(x) = \sqrt{x - 3}}

Definisjonsmengden til $f^{-1}$ er verdimengden til $f$ . Siden $f$ tar verdier fra $f(0) = 3$ til $f(2) = 7$ , er

D_{f^{-1}} = \langle 3, 7 \rangle

$f^{-1}(x) = \sqrt{x-3}$ med $D_{f^{-1}} = \langle 3, 7 \rangle$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som begrunner riktig for to funksjoner kan få 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som finner funksjonsuttrykk og definisjonsmengde for en av funksjonene kan få 1 poeng. Hvis kandidaten finner funksjonsuttrykkene for begge funksjonene, men ingen definisjonsmengde kan det gis 1 poeng. To definisjonsmengder, men ingen riktige funksjonsuttrykk gir ingen poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: funksjoner, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Oppgave 2-6 : Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

To småfugler er ute og flyr. Posisjonen til de to fuglene er gitt ved

\vec{r}_1(t) = [-10 + 6t,\ 35 - 3t] \quad \text{og} \quad \vec{r}_2(t) = [2 + 5t,\ 4t]

Tiden $t$ er målt i sekunder, og enhetene langs aksene er målt i meter.

Hvor fort flyr hver av de to småfuglene?

Hvor stor er avstanden mellom småfuglene når $t = 0$ ?

På hvilket tidspunkt er småfuglene nærmest hverandre, og hvor langt unna hverandre er de da?

En rovfugl er også ute og flyr og oppdager småfuglene ved tidspunktet $t = 0$ . Posisjonen til rovfuglen de første 6 sekundene er gitt ved

\vec{r}_R(t) = [7t - 10,\ 2t^2 - 6t + 5]

Gjør nødvendige beregninger og beskriv jakten rovfuglen har på småfuglene.

Fasit

Fugl 1: $3\sqrt{5} \approx 6{,}71 \, \mathrm{m/s}$ , fugl 2: $\sqrt{41} \approx 6{,}40 \, \mathrm{m/s}$

$37 \, \mathrm{m}$

$t = \frac{257}{50} = 5{,}14 \, \mathrm{s}$ , avstand $\frac{49\sqrt{2}}{10} \approx 6{,}93 \, \mathrm{m}$

Rovfuglen er nærmest fugl 2 ved $t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}$ (avstand $\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}$ ) og nærmest fugl 1 ved $t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}$ (avstand $\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}$ ). Rovfuglen fanger ingen av fuglene i løpet av de 6 sekundene.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til alle beregningene (se linje-referanser til skjermbildet).

GeoGebra CAS – posisjonsvektorer

Fartsvektor er den deriverte av posisjonsvektoren med hensyn på tid. Siden komponentene er lineære i $t$ , er fartsvektoren konstant:

\vec{v}_1 = \vec{r}_1'(t) = [6,\ {-3}] \qquad \vec{v}_2 = \vec{r}_2'(t) = [5,\ 4]

Farten er lengden av fartsvektoren (se linje 5–6 i CAS):

|\vec{v}_1| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx \mathbf{6{,}71 \, \mathrm{m/s}}

|\vec{v}_2| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx \mathbf{6{,}40 \, \mathrm{m/s}}

Fugl 1 flyr $3\sqrt{5} \approx 6{,}71 \, \mathrm{m/s}$ og fugl 2 flyr $\sqrt{41} \approx 6{,}40 \, \mathrm{m/s}$ .

Ved $t = 0$ er posisjonene:

\vec{r}_1(0) = [-10,\ 35] \qquad \vec{r}_2(0) = [2,\ 0]

Avstanden er (se linje 7 i CAS):

d(0) = \sqrt{(2-(-10))^2 + (0-35)^2} = \sqrt{12^2 + 35^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = \mathbf{37 \, \mathrm{m}}

Avstandskvadrat mellom fuglene er (se linje 8 i CAS):

d^2(t) = \bigl(x_2(t) - x_1(t)\bigr)^2 + \bigl(y_2(t) - y_1(t)\bigr)^2

= \bigl((2+5t) - (-10+6t)\bigr)^2 + \bigl(4t - (35-3t)\bigr)^2

= (12-t)^2 + (7t-35)^2 = 50t^2 - 514t + 1369

Vi finner minimum ved å derivere og sette lik null (se linje 9 i CAS):

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(d^2(t)\bigr) = 100t - 514 = 0 \implies t = \frac{514}{100} = \frac{257}{50} = 5{,}14 \, \mathrm{s}

Minste avstand (se linje 10 i CAS):

d\!\left(\tfrac{257}{50}\right) = \sqrt{50 \cdot \left(\tfrac{257}{50}\right)^2 - 514 \cdot \tfrac{257}{50} + 1369} = \frac{49\sqrt{2}}{10} \approx \mathbf{6{,}93 \, \mathrm{m}}

Småfuglene er nærmest hverandre ved $t = 5{,}14 \, \mathrm{s}$ , med en avstand på $\dfrac{49\sqrt{2}}{10} \approx 6{,}93 \, \mathrm{m}$ .

Avstand mellom rovfuglen og hver av småfuglene beregnes ved å trekke fra posisjonskomponentene. Differansevektoren $\vec{r}_R(t) - \vec{r}_1(t)$ :

x_R - x_1 = (7t-10) - (-10+6t) = t

y_R - y_1 = (2t^2-6t+5) - (35-3t) = 2t^2 - 3t - 30

Dermed (se linje 11 i CAS):

d_{R1}(t) = \sqrt{t^2 + (2t^2 - 3t - 30)^2}

Differansevektoren $\vec{r}_R(t) - \vec{r}_2(t)$ :

x_R - x_2 = (7t-10) - (2+5t) = 2t-12

y_R - y_2 = (2t^2-6t+5) - 4t = 2t^2 - 10t + 5

Dermed (se linje 12 i CAS):

d_{R2}(t) = \sqrt{(2t-12)^2 + (2t^2 - 10t + 5)^2}

Minimering over intervallet $[0, 6]$ (se linje 13–14 i CAS):

$d_{R1}$ har minimum ved $t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}$ med avstand $\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}$
$d_{R2}$ har minimum ved $t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}$ med avstand $\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}$

Beskrivelse av jakten: Rovfuglen starter ved $(-10, 5)$ ved $t = 0$ , omtrent 30 m fra fugl 1 og 13 m fra fugl 2. De første 4 sekundene nærmer rovfuglen seg begge fuglene. Rundt $t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}$ er rovfuglen nærmest fugl 2, med bare $\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}$ avstand. Kort etter, ved $t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}$ , er rovfuglen nærmest fugl 1 med $\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}$ avstand. Deretter øker avstandene raskt. Rovfuglen fanger ingen av fuglene i løpet av de 6 sekundene (avstanden når aldri 0).

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å finne fartsvektorene og 1 poeng for finne verdiene.

Kandidater som finner farten til én av småfuglene kan få 1 poeng.

Svar uten benevning kan gi full uttelling, men er en del av helhetsvurderingen.

2 poeng

Kandidater som kun finner riktig vektor, kan få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å finne avstanden.

2 poeng

For å få full uttelling må kandidaten kommentere krysningspunktene mellom rovfuglen sin bane og småfuglene sin bane. De må også knytte dette til parameteren t.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: vektorer, derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time

Oppgave 1-1 : Derivasjon av eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2 : Finne verdi programmet skriver ut

Oppgave 1-3 : Eksponentiallikning med substitusjon

Oppgave 1-4 : Grenseverdi for rasjonalt uttrykk

Oppgave 1-5 : Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Oppgave 1-6 : Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer

Oppgave 2-1 : Vannreservoar med eksponentiell funksjon

Oppgave 2-2 : Påstander om grenseverdi og deriverbarhet

Oppgave 2-3 : Fiskepopulasjon og logistisk modell

Oppgave 2-4 : Bestem grunntall i logaritmefunksjon

Oppgave 2-5 : Omvendt funksjon fra graf

Oppgave 2-6 : Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl