Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

To småfugler er ute og flyr. Posisjonen til de to fuglene er gitt ved

\vec{r}_1(t) = [-10 + 6t,\ 35 - 3t] \quad \text{og} \quad \vec{r}_2(t) = [2 + 5t,\ 4t]

Tiden $t$ er målt i sekunder, og enhetene langs aksene er målt i meter.

Hvor fort flyr hver av de to småfuglene?

Hvor stor er avstanden mellom småfuglene når $t = 0$ ?

På hvilket tidspunkt er småfuglene nærmest hverandre, og hvor langt unna hverandre er de da?

En rovfugl er også ute og flyr og oppdager småfuglene ved tidspunktet $t = 0$ . Posisjonen til rovfuglen de første 6 sekundene er gitt ved

\vec{r}_R(t) = [7t - 10,\ 2t^2 - 6t + 5]

Gjør nødvendige beregninger og beskriv jakten rovfuglen har på småfuglene.

Fasit

Fugl 1: $3\sqrt{5} \approx 6{,}71 \, \mathrm{m/s}$ , fugl 2: $\sqrt{41} \approx 6{,}40 \, \mathrm{m/s}$

$37 \, \mathrm{m}$

$t = \frac{257}{50} = 5{,}14 \, \mathrm{s}$ , avstand $\frac{49\sqrt{2}}{10} \approx 6{,}93 \, \mathrm{m}$

Rovfuglen er nærmest fugl 2 ved $t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}$ (avstand $\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}$ ) og nærmest fugl 1 ved $t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}$ (avstand $\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}$ ). Rovfuglen fanger ingen av fuglene i løpet av de 6 sekundene.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til alle beregningene (se linje-referanser til skjermbildet).

GeoGebra CAS – posisjonsvektorer

Fartsvektor er den deriverte av posisjonsvektoren med hensyn på tid. Siden komponentene er lineære i $t$ , er fartsvektoren konstant:

\vec{v}_1 = \vec{r}_1'(t) = [6,\ {-3}] \qquad \vec{v}_2 = \vec{r}_2'(t) = [5,\ 4]

Farten er lengden av fartsvektoren (se linje 5–6 i CAS):

|\vec{v}_1| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx \mathbf{6{,}71 \, \mathrm{m/s}}

|\vec{v}_2| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \approx \mathbf{6{,}40 \, \mathrm{m/s}}

Fugl 1 flyr $3\sqrt{5} \approx 6{,}71 \, \mathrm{m/s}$ og fugl 2 flyr $\sqrt{41} \approx 6{,}40 \, \mathrm{m/s}$ .

Ved $t = 0$ er posisjonene:

\vec{r}_1(0) = [-10,\ 35] \qquad \vec{r}_2(0) = [2,\ 0]

Avstanden er (se linje 7 i CAS):

d(0) = \sqrt{(2-(-10))^2 + (0-35)^2} = \sqrt{12^2 + 35^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = \mathbf{37 \, \mathrm{m}}

Avstandskvadrat mellom fuglene er (se linje 8 i CAS):

d^2(t) = \bigl(x_2(t) - x_1(t)\bigr)^2 + \bigl(y_2(t) - y_1(t)\bigr)^2

= \bigl((2+5t) - (-10+6t)\bigr)^2 + \bigl(4t - (35-3t)\bigr)^2

= (12-t)^2 + (7t-35)^2 = 50t^2 - 514t + 1369

Vi finner minimum ved å derivere og sette lik null (se linje 9 i CAS):

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(d^2(t)\bigr) = 100t - 514 = 0 \implies t = \frac{514}{100} = \frac{257}{50} = 5{,}14 \, \mathrm{s}

Minste avstand (se linje 10 i CAS):

d\!\left(\tfrac{257}{50}\right) = \sqrt{50 \cdot \left(\tfrac{257}{50}\right)^2 - 514 \cdot \tfrac{257}{50} + 1369} = \frac{49\sqrt{2}}{10} \approx \mathbf{6{,}93 \, \mathrm{m}}

Småfuglene er nærmest hverandre ved $t = 5{,}14 \, \mathrm{s}$ , med en avstand på $\dfrac{49\sqrt{2}}{10} \approx 6{,}93 \, \mathrm{m}$ .

Avstand mellom rovfuglen og hver av småfuglene beregnes ved å trekke fra posisjonskomponentene. Differansevektoren $\vec{r}_R(t) - \vec{r}_1(t)$ :

x_R - x_1 = (7t-10) - (-10+6t) = t

y_R - y_1 = (2t^2-6t+5) - (35-3t) = 2t^2 - 3t - 30

Dermed (se linje 11 i CAS):

d_{R1}(t) = \sqrt{t^2 + (2t^2 - 3t - 30)^2}

Differansevektoren $\vec{r}_R(t) - \vec{r}_2(t)$ :

x_R - x_2 = (7t-10) - (2+5t) = 2t-12

y_R - y_2 = (2t^2-6t+5) - 4t = 2t^2 - 10t + 5

Dermed (se linje 12 i CAS):

d_{R2}(t) = \sqrt{(2t-12)^2 + (2t^2 - 10t + 5)^2}

Minimering over intervallet $[0, 6]$ (se linje 13–14 i CAS):

$d_{R1}$ har minimum ved $t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}$ med avstand $\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}$
$d_{R2}$ har minimum ved $t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}$ med avstand $\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}$

Beskrivelse av jakten: Rovfuglen starter ved $(-10, 5)$ ved $t = 0$ , omtrent 30 m fra fugl 1 og 13 m fra fugl 2. De første 4 sekundene nærmer rovfuglen seg begge fuglene. Rundt $t \approx 4{,}53 \, \mathrm{s}$ er rovfuglen nærmest fugl 2, med bare $\approx 3{,}03 \, \mathrm{m}$ avstand. Kort etter, ved $t \approx 4{,}68 \, \mathrm{s}$ , er rovfuglen nærmest fugl 1 med $\approx 4{,}69 \, \mathrm{m}$ avstand. Deretter øker avstandene raskt. Rovfuglen fanger ingen av fuglene i løpet av de 6 sekundene (avstanden når aldri 0).

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å finne fartsvektorene og 1 poeng for finne verdiene.

Kandidater som finner farten til én av småfuglene kan få 1 poeng.

Svar uten benevning kan gi full uttelling, men er en del av helhetsvurderingen.

2 poeng

Kandidater som kun finner riktig vektor, kan få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne tidspunktet og 1 poeng for å finne avstanden.

2 poeng

For å få full uttelling må kandidaten kommentere krysningspunktene mellom rovfuglen sin bane og småfuglene sin bane. De må også knytte dette til parameteren t.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2024, del 2, oppgave 6
Poeng: 8
Temaer: vektorer, derivasjon
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet