Vannreservoar med eksponentiell funksjon

Et gammelt vannreservoar lekker vann. Mengden vann i reservoaret $V$ er gitt ved

V(t) = 10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500

Her er $t$ antall timer etter lekkasjen startet, og mengden vann er målt i antall liter.

Hvor lang tid vil det gå før vannmengden er halvert?

Bestem $V'(12)$ og $V''(12)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Undersøk om $V$ har asymptoter, og gi en praktisk tolkning av verdien til eventuelle asymptoter.

Fasit

$\underline{\underline{t \approx 10{,}63 \mathrm{~timer} \approx 10 \text{~timer og } 38 \mathrm{~min}}}$

$\underline{\underline{V'(12) \approx -302{,}2 \, \mathrm{L/time}}}$ , $\underline{\underline{V''(12) \approx 21{,}15 \, \mathrm{L/time^2}}}$

Lekkasjehastigheten er ca. 302 liter per time ved $t = 12$ , og denne avtar over tid.

Horisontal asymptote $y = 500$ .

Reservoaret vil i det lange løp ha 500 liter vann (aldri tømmes helt).

LøsningsforslagKI-generert

Grafen under viser $V(t)$ med halveringspunktet og asymptoten:

Vannreservoar – graf

CAS-beregninger (se alle steg i bildet under):

Vannreservoar – CAS

Startmengden er $V(0) = 10000 \cdot e^{0} + 500 = \mathbf{10\,500} \, \mathrm{L}$ (se linje 2 i CAS).

Halvparten av startmengden er $\dfrac{10\,500}{2} = 5\,250 \, \mathrm{L}$ .

Vi løser likningen $V(t) = 5250$ (se linje 3 i CAS):

10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500 = 5250

10000 \cdot e^{-0{,}07t} = 4750

e^{-0{,}07t} = 0{,}475

t = -\frac{\ln(0{,}475)}{0{,}07} \approx \mathbf{\underline{\underline{10{,}63 \mathrm{~timer} \approx 10 \text{~timer og } 38 \mathrm{~min}}}}

Se HalveringPkt = (10{,}63,\ 5250) i grafen.

Vi deriverer $V(t) = 10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500$ (se linjene 4–7 i CAS):

V'(t) = -700 \cdot e^{-0{,}07t}

V''(t) = 49 \cdot e^{-0{,}07t}

Verdiene ved $t = 12$ :

V'(12) = -700 \cdot e^{-0{,}07 \cdot 12} \approx \underline{\underline{-302{,}2 \, \mathrm{L/time}}}

V''(12) = 49 \cdot e^{-0{,}07 \cdot 12} \approx \underline{\underline{21{,}15 \, \mathrm{L/time^2}}}

Praktisk tolkning:

$V'(12) \approx -302{,}2 \, \mathrm{L/time}$ : Etter 12 timer lekker reservoaret ut ca. 302 liter per time. Fortegnet er negativt fordi vannmengden avtar.
$V''(12) \approx 21{,}15 \, \mathrm{L/time^2} > 0$ : Den andrederiverte er positiv, noe som betyr at lekkasjehastigheten avtar (funksjonen er konveks). Vannet lekker stadig saktere etter hvert som tiden går.

Se T12pkt = (12,\ 4817{,}11) i grafen.

Vi undersøker grenseverdiene til $V(t)$ :

\lim_{t \to \infty} V(t) = \lim_{t \to \infty} \left(10000 \cdot e^{-0{,}07t} + 500\right) = 0 + 500 = \underline{\underline{500}}

Siden $e^{-0{,}07t} \to 0$ når $t \to \infty$ , har $V$ en horisontal asymptote $y = 500$ .

For $t \to -\infty$ gjelder $e^{-0{,}07t} \to \infty$ , så $V(t) \to \infty$ — ingen asymptote der.

Se den grønne linjen Asymptote: y = 500 i grafen.

Praktisk tolkning: I det lange løp vil vannmengden i reservoaret nærme seg 500 liter, men aldri komme under det. Dette betyr sannsynligvis at lekkasjen stopper når vannstanden synker til et bestemt nivå (f.eks. fordi hullet befinner seg 500 liter over bunnen av reservoaret).

Sensorveiledning

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne $V'(12)$ og $V''(12)$ . 1 poeng for praktisk tolkning.

Kandidater som finner $V'(12)$ eller $V''(12)$ , og gir en praktisk tolkning av denne verdien, kan også få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne asymptoten og 1 poeng for praktisk tolkning.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2024, del 2, oppgave 1
Poeng: 6
Temaer: eksponentialfunksjoner, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer