R1 Vår 2023

R1 Vår 2023 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 4 oppgaver · 12 poeng
1	Derivasjon av eksponential og logaritme	✔︎
2	Grenseverdi når x går mot 2	—
3	Vinkler og vinkelrette vektorer	KI
4	Optimering av rektangelareal og program	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 9 oppgaver · 40 poeng
1	Timelønn og lønnsvekst	—
2	Parallellogram og vektorer	KI
3	Logaritmepåstand	—
3	Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt	—
3	Avgjør påstander om funksjoner	—
4	Omvendt funksjon fra grafer	KI
5	Lydstyrke fra fly	—
6	Avstand fra punkt til linje og graf	KI
7	Gjennomsnitt med algoritme og program	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av eksponential og logaritme

Deriver funksjonen

f(x) = e^x + \ln x

Løsningsforslag

Vi deriverer ledd for ledd.

f'(x)=e^{x}+\frac{1}{x}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidaten får 1 poeng for å derivere $e^x$ riktig, og 1 poeng for å derivere $\ln x$ riktig.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Oppgave 1-2 : Grenseverdi når x går mot 2

Bestem grenseverdien

\lim_{ x \to 2 } \frac{x^3-8}{x^2-4}

Fasit

3

Løsningsforslag

Ser at både teller og nevner går mot null når $x\to 2$ . Vi kan derfor bruke L’Hopitals regel.

\lim_{ x \to 2 } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{ x \to 2 } \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{ x \to 2 } \frac{3x^2}{2x}=\lim_{ x \to 2 } \frac{3x}{2}=\frac{3\cdot2}{2}=\underline{\underline{3}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Det gis 1 poeng dersom kandidaten velger en god strategi og i tillegg 1 poeng for å bruke strategien til å få rett svar. Kandidater som bruker L’Hôpitals regel må kommunisere at premissene for å bruke denne er oppfylt («0/0»).

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Grenseverdi, Derivasjon, Funksjoner, Asymptoter
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Oppgave 1-3 : Vinkler og vinkelrette vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt tre punkt $A(1, 3)$ , $B(4, 0)$ og $C(9, 4)$ .

Bruk vektorregning til å avgjøre om $\angle CBA$ er mindre enn, lik eller større enn $90°$ .

Et punkt $P$ ligger på linjen som går gjennom $B$ og $C$ .

Bruk vektorregning til å bestemme koordinatene til punktet $P$ slik at $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}$ .

Fasit

$\angle CBA > 90°$

$P(-26, -24)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene fra $B$ til henholdsvis $A$ og $C$ :

\overrightarrow{BA} = A - B = (1-4,\ 3-0) = (-3, 3)

\overrightarrow{BC} = C - B = (9-4,\ 4-0) = (5, 4)

Vi beregner skalarproduktet:

\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 = -15 + 12 = -3

Siden $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} < 0$ , er vinkelen mellom vektorene større enn $90°$ .

$\angle CBA > 90°$

Vi parametriserer linjen gjennom $B$ og $C$ :

P = B + s \cdot \overrightarrow{BC} = (4 + 5s,\ 4s), \quad s \in \mathbb{R}

Vektoren fra $A$ til $P$ blir:

\overrightarrow{AP} = P - A = (4 + 5s - 1,\ 4s - 3) = (3 + 5s,\ 4s - 3)

Vektoren $\overrightarrow{AB}$ :

\overrightarrow{AB} = B - A = (4-1,\ 0-3) = (3, -3)

Kravet $\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AP}$ betyr at skalarproduktet er null:

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP} = 0

3(3 + 5s) + (-3)(4s - 3) = 0

9 + 15s - 12s + 9 = 0

3s + 18 = 0

s = -6

Vi setter $s = -6$ inn i parametriseringen:

P = (4 + 5 \cdot (-6),\ 4 \cdot (-6)) = (4 - 30,\ -24) = (-26, -24)

$P = \mathbf{(-26, -24)}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som bruker skalarprodukt og konkluderer med at vinkelen ikke er 90 grader kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten ha et argument for at vinkelen er større enn 90 grader.

Kandidater som bruker riktig strategi, men som gjør en liten regnefeil, kan få 2 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 1-4 : Optimering av rektangelareal og program

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En elev har fått følgende oppgave:

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x^2 - 9)^4, \quad x \in \langle 0, 3 \rangle

Et rektangel $R$ har hjørner i $(0, 0)$ , $(t, 0)$ , $(t, f(t))$ og $(0, f(t))$ .

Bestem den verdien av $t$ som gjør at $R$ har størst areal.

Figur

For å løse oppgaven har eleven laget følgende program:

def A(x):
    return x*(x**2-9)**4

t = 0
d = 0.01

while A(t) < A(t+d):
    t = t + d

print(t)

Forklar strategien eleven har brukt for å løse oppgaven.

Løs oppgaven eleven har fått.

Fasit

Algoritmen starter ved $t = 0$ og klatrer oppover ved å øke $t$ med $d = 0{,}01$ så lenge arealet vokser. Når arealet begynner å avta, stoppes løkken — og $t$ er (omtrentlig) ved maksimumspunktet.

$t = 1$ , største areal $= \mathbf{4096}$

LøsningsforslagKI-generert

Programmet bruker en numerisk søkealgoritme som leter etter maksimum ved å «klatre oppover bakken»:

Eleven starter ved $t = 0$ og øker $t$ med $d = 0{,}01$ i hvert steg.
Betingelsen A(t) < A(t+d) sjekker om arealet fortsatt vokser. Så lenge neste skritt gir større areal, fortsetter løkken.
Når A(t) >= A(t+d) er det neste skrittet enten like stort eller mindre — arealet har nådd toppen og begynner å avta. Løkken stopper.
Den siste $t$ -verdien er da en tilnærming til det $t$ som gir størst areal.

Strategien forutsetter at arealet har akkurat ett maksimum på intervallet $(0, 3)$ , og at startpunktet $t = 0$ er til venstre for maksimumspunktet.

Arealet til rektangelet er

A(t) = t \cdot f(t) = t(t^2 - 9)^4, \quad t \in \langle 0, 3 \rangle

Vi deriverer $A(t)$ med produktregelen og kjerneregelen:

\begin{aligned} A'(t) &= (t^2-9)^4 + t \cdot 4(t^2-9)^3 \cdot 2t \\ &= (t^2-9)^4 + 8t^2(t^2-9)^3 \\ &= (t^2-9)^3\left[(t^2-9) + 8t^2\right] \\ &= (t^2-9)^3(9t^2 - 9) \\ &= 9(t^2-9)^3(t^2-1) \end{aligned}

Vi setter $A'(t) = 0$ :

9(t^2-9)^3(t^2-1) = 0

t^2 - 9 = 0 \implies t = \pm 3 \quad \text{(ikke i det åpne intervallet } \langle 0,3\rangle \text{)}

t^2 - 1 = 0 \implies t = \pm 1 \implies \textcolor{seagreen}{t = 1} \quad \text{(i intervallet)}

Fortegnsanalyse av $A'(t)$ på $\langle 0, 3 \rangle$ :

For $t \in \langle 0, 1 \rangle$ : $\quad t^2 - 9 < 0$ , så $(t^2-9)^3 < 0$ . Og $t^2-1 < 0$ .

A'(t) = 9 \cdot \underbrace{(t^2-9)^3}_{<\,0} \cdot \underbrace{(t^2-1)}_{<\,0} > 0 \quad \Rightarrow \quad A \text{ er voksende.}

For $t \in \langle 1, 3 \rangle$ : $\quad t^2 - 9 < 0$ , så $(t^2-9)^3 < 0$ . Og $t^2-1 > 0$ .

A'(t) = 9 \cdot \underbrace{(t^2-9)^3}_{<\,0} \cdot \underbrace{(t^2-1)}_{>\,0} < 0 \quad \Rightarrow \quad A \text{ er avtagende.}

Siden $A'$ skifter fra positiv til negativ i $t = 1$ , er dette et maksimumspunkt.

Største areal:

A(1) = 1 \cdot (1^2 - 9)^4 = (-8)^4 = \mathbf{\underline{\underline{4096}}}

Den verdien av $t$ som gir størst areal er $\textcolor{seagreen}{t = 1}$ , og det største arealet er $\textcolor{seagreen}{4096}$ arealenheter.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som forklarer hva som skjer i koden linje for linje uten å kommunisere hva som er strategien kan få 1 poeng. Kandidaten behøver ikke å forklare hver linje i programmet for å få full uttelling.

Kandidater som gjør en feil i derivasjonen av uttrykket, men som har riktig strategi, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Programmering, Derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Oppgave 2-1 : Timelønn og lønnsvekst

Tabellen nedenfor viser timelønnen til en yrkesgruppe for noen år i perioden 2008-2022.

Årstall	2008	2010	2013	2015	2019	2022
Timelønn	272,55	285,50	307,30	314,00	327,60	340,10

Hva har den gjennomsnittlige årlige prosentvise veksten i lønn vært i årene 2008-2022?

Bruk tallene i tabellen til å lage en eksponentiell funksjon $g$ som er en modell for timelønnen til denne yrkesgruppen $x$ år etter 2008.

Per og Amalie hadde begge en timelønn på 272,55 kroner i 2008. Per har hatt en lønnsutvikling tilsvarende tabellen i starten av oppgaven, mens Amalies lønn har steget med 2,3 prosent per år. De har begge jobbet 1700 timer per år.

Bestem den samlede lønnen til Amalie i årene 2008 til 2022. Bestem også den samlede lønnen til Per i disse årene.

Fagforeningen til Per krever at han i 2025 skal ha samme timelønn som Amalie. Vi går ut fra at Amalie fortsatt vil ha en lønnsvekst på 2,3 prosent per år.

Hvor mange prosent må lønnen til Per gå opp hvert år dersom dette kravet skal innfris?

Fasit

1,59 %

$g(x)=277{,}8\cdot 1{,}0155^x$

Her kan ulike svar godtas. Amalies samlede lønn er omtrent 8 188 600 kr i perioden. Pers samlede lønn er omtrent 7 906 600 kr

Omtrent 5,67 %

Løsningsforslag

Timelønna har vokst med $340{,}10-272{,}55=67{,}55$ kr i løpet av disse 14 årene. Vi kan sette opp dette uttrykket for å bestemme vekstfaktoren $x$

\begin{aligned} 272{,}55\cdot x^{14} &= 340{,}10\\ x &= \sqrt[14]{ \frac{340{,}10}{272{,}55} }\\ x &=1{,}01594 \end{aligned}

Den gjennomsnittlige årlige prosentvise økninga har vært 1,59 %.

Jeg brukte regresjon i GeoGebra og fant at en god eksponentialmodell for lønnsveksten er

g(x)=277{,}8\cdot 1{,}0155^x

Regneark og grafikkfelt i GeoGebra: tabellverdiene for timelønn er lagt inn som punkter, og eksponentiell regresjon gir kurven g(x) = 277,83 · 1,0155^x som følger punktene.

Hvis man skal regne Per sin lønn riktig så må man egentlig vite lønna hvert år og summere opp årslønnene som ei rekke. Jeg bruker heller modell $g$ som en tilnærming til Pers lønn.

For min del er det raskest å legge inn formelen =272,55*1,023^(2008-A2)*1700 i cellene til Amalie for å regne ut hennes lønn, og tilsvarende for Per.

År	Per	Amalie
2008	kr 472 260,00	kr 463 335,00
2009	kr 479 580,03	kr 473 991,71
2010	kr 487 013,52	kr 484 893,51
2011	kr 494 562,23	kr 496 046,07
2012	kr 502 227,94	kr 507 455,12
2013	kr 510 012,48	kr 519 126,59
2014	kr 517 917,67	kr 531 066,50
2015	kr 525 945,40	kr 543 281,03
2016	kr 534 097,55	kr 555 776,50
2017	kr 542 376,06	kr 568 559,36
2018	kr 550 782,89	kr 581 636,22
2019	kr 559 320,02	kr 595 013,86
2020	kr 567 989,48	kr 608 699,17
2021	kr 576 793,32	kr 622 699,25
2022	kr 585 733,62	kr 637 021,34
Sum	kr 7 906 612,22	kr 8 188 601,24

Amalies samlede lønn er omtrent 8 188 600 kr i perioden. Pers samlede lønn er omtrent 7 906 600 kr.

Vi skal finne ut hvor mye Pers lønn må stige hvert år fra 2022 til 2025 for å bli lik Amalies lønn i 2025.

1. Finn Amalies timelønn i 2025: Amalie starter på 272,55 kr i 2008 og har en fast årlig vekst på 2,3 %. I 2025 ( $x=17$ år etter 2008) er hennes lønn:

272{,}55 \cdot 1{,}023^{17} \approx 401{,}27 \text{ kr}

2. Finn nødvendig vekstfaktor for Per: Pers lønn i 2022 er 340,10 kr (fra tabellen). La $k$ være den årlige vekstfaktoren fra 2022 til 2025 (3 år):

\begin{aligned} 340{,}10 \cdot k^3 &= 401{,}27 \\ k^3 &= \frac{401{,}27}{340{,}10} \approx 1{,}17986 \\ k &= \sqrt[3]{1{,}17986} \approx 1{,}0567 \end{aligned}

Dette tilsvarer en årlig vekst på omtrent 5,67 %.

Lønnen til Per må stige med omtrent 5,67 % hvert år fra 2022 for at de skal ha lik lønn i 2025.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Kandidater som velger en strategi som kan føre fram til en prosentvis årlig endring, gis 1 poeng. Kandidaten gis 1 poeng for å bruke strategien korrekt fram til et riktig utregnet svar.

For å få full uttelling, må kandidaten kommunisere løsningen på en tilfredsstillende måte (med for eksempel skjermbilder eller forklaring av framgangsmåte). Rett svar med mangelfull kommunikasjon av framgangsmåte kan gi 1 poeng. Kandidater som lager en eksponentiell funksjon der $x=2008$ det første året (i stedet for $x=0$ ), kan få 1 poeng.

Det gis 1 poeng dersom kandidaten viser forståelse for hva som skal regnes ut og full uttelling dersom kandidaten i tillegg klarer å gjøre utregningene.

Det gis 1 poeng for å vise forståelse for situasjonen (for eksempel ved å sette opp en korrekt likning) og 1 poeng for å løse og tolke svaret.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Prosentregning, Eksponentialfunksjon, Regresjon, Økonomi, Vekstfaktor
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

Oppgave 2-2 : Parallellogram og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktet $A(3, 2)$ . Vektorene $\vec{u}$ og $\vec{v}$ er gitt ved

\vec{u} = [4, 3] \quad \text{og} \quad \vec{v} = [2t, 5t]

Et parallellogram $ABCD$ er bestemt ved at $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ og $\overrightarrow{AD} = \vec{v}$ .

Bestem koordinatene til $B$ og koordinatene til $C$ og $D$ uttrykt ved $t$ .

Bestem $t$ slik at skjæringspunktet mellom diagonalene i parallellogrammet blir $P(8, 11)$ .

Fasit

$B = (7, 5)$ , $D = (3+2t,\; 2+5t)$ , $C = (7+2t,\; 5+5t)$

$t = 3$ , $D = (9, 17)$ , $C = (13, 20)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\overrightarrow{AB} = \vec{u} = [4, 3]$ og $\overrightarrow{AD} = \vec{v} = [2t, 5t]$ .

B = A + \vec{u} = (3 + 4,\; 2 + 3) = \mathbf{(7, 5)}

D = A + \vec{v} = (3 + 2t,\; 2 + 5t)

Siden $ABCD$ er et parallellogram, gjelder $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{v}$ , altså

C = B + \vec{v} = (7 + 2t,\; 5 + 5t)

$B = (7, 5)$ , $D = (3+2t,\; 2+5t)$ , $C = (7+2t,\; 5+5t)$

Diagonalene i et parallellogram halverer hverandre, så skjæringspunktet mellom diagonalene er midtpunktet av $AC$ (og av $BD$ ).

Midtpunktet av $AC$ :

M = \left(\frac{3 + 7 + 2t}{2},\; \frac{2 + 5 + 5t}{2}\right) = \left(\frac{10 + 2t}{2},\; \frac{7 + 5t}{2}\right) = (5 + t,\; \tfrac{7+5t}{2})

Vi setter $M = P(8, 11)$ og løser:

\begin{aligned} x\text{-koordinat:} \quad & 5 + t = 8 \quad \Rightarrow \quad t = 3 \\[4pt] y\text{-koordinat:} \quad & \frac{7 + 5t}{2} = 11 \quad \Rightarrow \quad 7 + 5t = 22 \quad \Rightarrow \quad t = 3 \end{aligned}

Begge ligningene gir $t = 3$ . Med $t = 3$ :

D = (3 + 6,\; 2 + 15) = (9, 17), \qquad C = (7 + 6,\; 5 + 15) = (13, 20)

Kontroll – midtpunkt av $AC$ : $\left(\dfrac{3+13}{2},\; \dfrac{2+20}{2}\right) = (8, 11)$ ✓

$t = \underline{\underline{3}}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det kan gis 1 poeng for å bestemme $B$ og 1 poeng for å finne $C$ og $D$ .

Det gis 1 poeng for en fornuftig strategi og i tillegg 1 poeng for riktig svar.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 2-3 : Logaritmepåstand

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Hvis $x>0$ , så er $(\ln x)^4=4 \ln x$ .

Neste påstand finner du her: Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt Påstand c finner du i Sannsynligheter ved lottospill

Fasit

Påstanden er feil

Løsningsforslag

$(\ln x)^4$ er det samme som $\ln x \cdot \ln x \cdot \ln x \cdot \ln x$ , og dette er ikke nødvendigvis det samme som $4 \ln x$ . Som et konkret moteksempel lar vi $x=e$ .

(\ln x)^4 =(\ln e)^4=1^4=1

Hvis vi sjekker $4 \ln x$ får vi

4 \ln x = 4 \ln e=4\cdot1=4

$(\ln x)^4 \neq 4 \ln x$ . Påstanden er ikke riktig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk

Oppgave 2-3 : Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Oppgave a finner du her: Logaritmepåstand

Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.

Oppgave c finner du her: Sannsynligheter ved lottospill

Fasit

Påstanden stemmer

Løsningsforslag

En fjerdegradsfunksjon $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ har minst ett stasjonært dersom $f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$ har minst ett nullpunkt.

Tredjegradsfunksjonen $f'$ vil alltid ha minst ett nullpunkt. $f'$ vil oppføre seg på en av to måter

$\lim_{ x \to \infty } f'(x) = \infty \wedge \lim_{ x \to -\infty } f'(x)=-\infty$ . $f'$ vil altså gå fra $-\infty$ mot $+\infty$ når $x$ vokser.
$\lim_{ x \to \infty } f'(x) = -\infty \wedge \lim_{ x \to -\infty } f'(x)=\infty$ . $f'$ vil altså bevege seg fra $+\infty$ mot $-\infty$ når $x$ vokser.

Siden $f'$ må krysse $x$ -aksen så må det stasjonære punktet være enten et toppunkt eller et bunnpunkt.

En fjerdegradsfunksjon har alltid minst ett toppunkt eller bunnpunkt.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling. Dersom en kandidat argumenterer med utgangspunkt i funksjoner med åpne intervaller, kan det også gis full uttelling.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Funksjoner, Funksjonsdrøfting, Argumentasjon, Bevis
Kompetansemål: Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 2-3 : Avgjør påstander om funksjoner

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Hvis $x > 0$ , så er $(\ln x)^4 = 4 \ln x$ .

Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, må funksjonen være enten strengt voksende eller strengt avtakende.

Fasit

Stemmer ikke

Stemmer

Stemmer ikke

Løsningsforslag

\begin{aligned} \left( \ln x \right)^{4}&=\ln x\cdot \ln x \cdot \ln x \cdot \ln x \\ 4 \ln x &= \ln x + \ln x + \ln x + \ln x \end{aligned}

Det ser ikke ut til at disse er like. La oss finne et eksempel for å motbevise påstanden.

\begin{aligned} (\ln e)^{4}&=1^{4}=1 \\ 4 \ln e &= 4 \cdot 1 =4 \end{aligned}

Påstanden stemmer ikke. Vi har funnet et moteksempel.

En fjerdegradsfunksjon har en tredjegradsfunksjon som sin deriverte. En tredjegradsfunksjon vil alltid krysse $x$ -aksen i minst ett punkt siden $x^3$ gjør negative $x$ -verdier til veldig negative $y$ -verdier, og den gjør positive $x$ -verdier til veldig positive $y$ -verdier.

Siden tredjegradsfunksjonen krysser $x$ -aksen så må den deriverte bytte fortegn minst en gang. Det betyr at en fjerdegradsfunksjon må ha minst ett ekstremalpunkt.

Påstanden stemmer.

For at en funksjon skal ha en omvendt funksjon, er det eneste kravet at funksjonen er injektiv (én-til-én), det vil si at to ulike $x$ -verdier aldri gir samme funksjonsverdi $y$ .

Selv om de fleste kontinuerlige funksjoner på et intervall må være monotone for å ha en invers, gjelder ikke dette generelt. Vi kan ha en funksjon som er voksende i én del og avtakende i en annen, så lenge de to delene aldri «treffer» samme $y$ -verdier.

Moteksempel: La $f$ være definert ved:

f(x) = \begin{cases} x, & x \in [0, 1] \\ 5-x, & x \in [2, 3] \end{cases}

På $[0, 1]$ er funksjonen voksende og har verdimengde $[0, 1]$ .
På $[2, 3]$ er funksjonen avtakende og har verdimengde $[2, 3]$ .

Siden de to verdimengdene er helt adskilte, vil ingen horisontal linje treffe grafen to ganger. Funksjonen er injektiv og har derfor en omvendt funksjon, til tross for at den ikke er monoton over hele definisjonsmengden.

Påstanden stemmer ikke.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling. Dersom en kandidat argumenterer med utgangspunkt i funksjoner med åpne intervaller, kan det gis full uttelling.

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling. Dersom en kandidat argumenterer med utgangspunkt i kontinuerlige funksjoner, kan det gis full uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Logaritmer, Derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Oppgave 2-4 : Omvendt funksjon fra grafer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner $f$ , $g$ , $h$ og $k$ .

Grafer

Avgjør og begrunn i hvert tilfelle om funksjonen har en omvendt funksjon.

Bestem definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene der den finnes.

Fasit

$f$ : ingen omvendt funksjon. $g$ : har omvendt funksjon. $h$ : ingen omvendt funksjon. $k$ : har omvendt funksjon.

$D(g^{-1}) = [1, 6]$ , $\quad D(k^{-1}) = [-1, 3]$

LøsningsforslagKI-generert

En funksjon har en omvendt funksjon hvis og bare hvis den er injektiv (én-til-én), det vil si at ulike $x$ -verdier alltid gir ulike funksjonsverdier. Grafisk testes dette med den vannrette linjetesten: en funksjon er injektiv hvis og bare hvis ingen vannrett linje skjærer grafen i mer enn ett punkt.

Funksjonen $f$ :

Grafen til $f$ er symmetrisk om $y$ -aksen. En vannrett linje $y = c$ (for eksempel $y = 1$ ) skjærer grafen i to punkter, ett på hver side av $y$ -aksen. Dermed er $f$ ikke injektiv, og $f$ har ingen omvendt funksjon.

Funksjonen $g$ :

Grafen til $g$ er strengt voksende over hele definisjonsmengden $[-4, 4]$ . Enhver vannrett linje kan derfor skjære grafen i høyst ett punkt. Dermed er $g$ injektiv, og $g$ har en omvendt funksjon.

Funksjonen $h$ :

Grafen til $h$ består av to greiner. Verdien $y = 2$ oppnås både på den første grenen (ved $x \approx -2$ ) og på den andre grenen (ved $x = 4$ ). En vannrett linje $y = 2$ skjærer altså grafen i to punkter. Dermed er $h$ ikke injektiv, og $h$ har ingen omvendt funksjon.

Funksjonen $k$ :

Grafen til $k$ er strengt avtagende over hele definisjonsmengden $[-4, 4]$ . Enhver vannrett linje kan derfor skjære grafen i høyst ett punkt. Dermed er $k$ injektiv, og $k$ har en omvendt funksjon.

Definisjonsmengden til den omvendte funksjonen er lik verdimengden til den opprinnelige funksjonen.

Definisjonsmengden til $g^{-1}$ :

Fra grafen leser vi av at $g(-4) \approx 1$ og $g(4) \approx 6$ . Siden $g$ er kontinuerlig og strengt voksende, er verdimengden til $g$ intervallet $[1, 6]$ .

\mathbf{D(g^{-1}) = [1, 6]}

Definisjonsmengden til $k^{-1}$ :

Fra grafen leser vi av at $k(-4) \approx 3$ og $k(4) \approx -1$ . Siden $k$ er kontinuerlig og strengt avtagende, er verdimengden til $k$ intervallet $[-1, 3]$ .

\mathbf{D(k^{-1}) = [-1, 3]}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få 1 poeng må kandidaten begrunne og ha riktig svar på minst to av tilfellene. For å få 2 poeng må kandidaten begrunne og ha riktig svar i alle tilfellene.

For å få 1 poeng må kandidaten ha riktig svar på minst én av definisjonsmengdene. For å få 2 poeng må kandidaten ha riktig svar på alle tre definisjonsmengdene.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, Graftolkning, Omvendt funksjon
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Oppgave 2-5 : Lydstyrke fra fly

Sammenhengen mellom lydstyrken $L$ (målt i dB) og lydintensiteten $I$ (målt i $\mathrm{W} / \mathrm{m}^2$ ) er gitt ved

L=120+10 \cdot \lg I

Menneskets øre har en smertegrense for lydstyrke som ligger omkring $130 \mathrm{~dB}$ .

Bestem lydintensiteten når lydstyrken er $130 \mathrm{~dB}$ .

Hvor mange prosent øker lydintensiteten dersom lydstyrken øker med $2 \mathrm{~dB}$ ?

Dersom effekten til lyden som sendes ut fra en lydkilde er $E$ , vil lydintensiteten $I$ på en avstand $r$ (målt i m) fra denne lydkilden være

I=\frac{E}{4 \pi \cdot r^2}

Lydstyrken fra et fly er $140 \mathrm{~dB}$ dersom du er $50 \mathrm{~m}$ fra flyet.

Bestem den minste avstanden til dette flyet der lydstyrken er lavere enn $130 \mathrm{~dB}$ .

Fasit

10 W/m²

58,5 %

158,12 m

Løsningsforslag

\begin{aligned} 130 &= 120 + 10 \log I\\ 10\log I&=130-120\\ \log I&=\cancelto{ 1 }{ \frac{10}{10} }\\ { 10^{\log I} }&=10^1\\ I&=10 \end{aligned}

Lydintensiteten er 10 W/m² når lydstyrken er 130 dB.

Når $L=132$ blir

I=10^{\frac{132-120}{10}}=10^{1{,}2}=15{,}85

Økningen i prosent er

\frac{15{,}85-10}{10}=0{,}585=58{,}5 \,\%

Når lydstyrken øker fra 130 dB til 132 dB øker lydintensiteten med 58,5 %.

Vi vet at $L=140$ når $r=50$ . Jeg løser for $E$ og finner (dette gjøres enklest i CAS)

\begin{aligned} L&=120+10 \log I\\ L&=120+10 \log \frac{E}{4\pi r^2}\\ 140&=120+10 \log \frac{E}{4\pi 50^2}\\ E&=1 000 000\pi \end{aligned}

Jeg tolker formlene slik at et fly lager lyd med effekten $E=1\,000\,000\pi \,\text{W}$ , mens lydintensiteten og lydstyrken avtar med avstanden. Vi setter opp en likning med lydstyrke lik 130 dB og finner avstanden som kreves (dette gjøres også enklest i CAS).

\begin{aligned} 130&=120+10 \log \frac{1000000\pi}{4\pi r^2}\\ 10&=10 \log \frac{1000000}{4r^2}\\ 1&=\log \frac{250000}{r^2}\\ 10&=\frac{250000}{r^2}\\ r^2&=\frac{250000}{10}\\ r^2&=25000\\ r&=\vert 158{,}113\vert \end{aligned}

Ved 158,113 m så er altså lydstyrken 130 dB. Siden vi skulle finne den minste avstanden hvor lydstyrken var lavere enn 130 dB så runder jeg opp i svaret mitt.

158,12 m fra flyet er den minste avstanden hvor lydstyrken er lavere enn 130 dB.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Korrekt likning kan gi 1 poeng. Dersom kandidaten i tillegg kommer fram til rett svar, kan det gis 2 poeng.

Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser en fornuftig strategi. Dersom kandidaten i tillegg kommer fram til rett svar, kan det gis 2 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Formler, Cas, Logaritmer, Prosentvis endring
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger

Oppgave 2-6 : Avstand fra punkt til linje og graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En linje $\ell$ går gjennom punktene $A(4, -2)$ og $B(6, 6)$ .

Bestem den eksakte avstanden fra punktet $P(2, 8)$ til linjen $\ell$ .

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^2 + 2x

Bestem den eksakte verdien for den minste avstanden mellom grafen til $f$ og linjen $\ell$ .

Fasit

$\underline{\underline{d = \dfrac{18\sqrt{17}}{17}}}$

$\underline{\underline{d_{\min} = \sqrt{17}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først likningen for linjen $\ell$ gjennom $A(4, -2)$ og $B(6, 6)$ .

Retningsvektor: $\overrightarrow{AB} = (6-4,\, 6-(-2)) = (2, 8)$

Normalvektor: $\vec{n} = (8, -2)$ , forenklet $(4, -1)$

Linjelikning: $4(x - 4) - 1(y - (-2)) = 0$ , som gir

4x - y - 18 = 0

Avstandsformelen fra et punkt $(x_0, y_0)$ til linjen $ax + by + c = 0$ :

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

For $P(2, 8)$ og linjen $4x - y - 18 = 0$ :

d = \frac{|4 \cdot 2 - 8 - 18|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{|-18|}{\sqrt{17}} = \frac{18}{\sqrt{17}} = \frac{18\sqrt{17}}{17}

Se linjene 3–5 i GeoGebra CAS-utklippet.

Avstanden fra $P(2, 8)$ til $\ell$ er $\underline{\underline{\dfrac{18\sqrt{17}}{17} \approx 4{,}37}}$ .

Et punkt på grafen til $f$ har koordinatene $(x,\, x^2 + 2x)$ . Avstanden fra dette punktet til linjen $4x - y - 18 = 0$ er

d(x) = \frac{|4x - (x^2 + 2x) - 18|}{\sqrt{17}} = \frac{|{-x^2 + 2x - 18}|}{\sqrt{17}} = \frac{x^2 - 2x + 18}{\sqrt{17}}

(Telleren $x^2 - 2x + 18 = (x-1)^2 + 17 > 0$ alltid, så absoluttverditegnet fjernes.)

Vi minimerer $d(x)$ ved å derivere telleren og sette den lik null:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^2 - 2x + 18) = 2x - 2 = 0 \implies x = 1

Se linjene 7–8 i CAS-utklippet (se Derivert og Løs).

Minimumsavstanden:

d_{\min} = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 + 18}{\sqrt{17}} = \frac{17}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}

GeoGebra CAS

Den minste avstanden mellom grafen til $f$ og linjen $\ell$ er $\underline{\underline{\sqrt{17} \approx 4{,}12}}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som prøver og feiler og finner tilnærmet avstand, får ingen uttelling. Kandidater som bruker en fornuftig strategi, inkludert grafisk verktøy, uten å finne eksakt svar, kan få 1 poeng.

Det gis 1 poeng for å skissere en fornuftig strategi. Kandidater som bruker at avstanden mellom linjen og grafen er minst der tangenten til grafen er parallell med linjen, trenger ikke å argumentere for dette for å få full uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri, Optimering, Derivasjon
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 2-7 : Gjennomsnitt med algoritme og program

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du bruke algoritmen nedenfor til å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet til en funksjon $f$ i et intervall $[a, b]$ .

Velg $N + 1$ tall jevnt fordelt i intervallet $[a, b]$ .

La $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b$ være disse tallene.

Avstanden mellom et av tallene og det neste er da $\dfrac{b - a}{N}$ .

Regn ut gjennomsnittet $g$ av tallene $f(x_0), f(x_1), \cdots, f(x_N)$ .

Da er $g$ en god tilnærmet verdi for gjennomsnittet til $f$ i $[a, b]$ .

Denne tilnærmingen blir bedre dess større $N$ er.

Lag et program som du kan bruke til å bestemme gjennomsnittet til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \sqrt{x}

i intervallet $[0, 1]$ . Hva blir dette gjennomsnittet?

Fasit

Gjennomsnittet til $f(x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ er $\mathbf{\dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Algoritmen beregner gjennomsnittet av $N+1$ funksjonsverdier jevnt fordelt i intervallet. Vi velger punktene

x_i = a + i \cdot \frac{b - a}{N}, \quad i = 0, 1, \ldots, N

og regner ut gjennomsnittet

g = \frac{f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_N)}{N + 1}

Her er et program som implementerer algoritmen for $f(x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ :

from math import sqrt

def f(x):
    return sqrt(x)

a = 0
b = 1
N = 1000

sum_verdier = 0
for i in range(N + 1):
    x_i = a + i * (b - a) / N
    sum_verdier += f(x_i)

g = sum_verdier / (N + 1)
print(g)

Med $N = 1000$ gir programmet en verdi svært nær $0{,}6667$ .

Kontroll med integral:

Det eksakte gjennomsnittet til $f$ på $[a, b]$ er gitt ved

g = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x

For $f(x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ :

g = \frac{1}{1 - 0} \int_0^1 \sqrt{x} \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}

Programmet gir altså en god tilnærming til det eksakte svaret $\mathbf{\underline{\underline{g = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}6667}}}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng dersom kandidaten viser forståelse for algoritmen. Det gis 2 poeng dersom kandidaten lager et program med små feil eller mangler. Det gis 3 poeng for et oversiktlig program som kan brukes til å bestemme gjennomsnittet. Kandidaten får i tillegg 1 poeng for å finne en god tilnærmingsverdi for gjennomsnittet.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Gjennomsnitt, Integrasjon
Kompetansemål: Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 4 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av eksponential og logaritme

Oppgave 1-2 : Grenseverdi når x går mot 2

Oppgave 1-3 : Vinkler og vinkelrette vektorer

Oppgave 1-4 : Optimering av rektangelareal og program

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 9 oppgaver · 40 poeng

Oppgave 2-1 : Timelønn og lønnsvekst

Oppgave 2-2 : Parallellogram og vektorer

Oppgave 2-3 : Logaritmepåstand

Oppgave 2-3 : Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt

Oppgave 2-3 : Avgjør påstander om funksjoner

Oppgave 2-4 : Omvendt funksjon fra grafer

Oppgave 2-5 : Lydstyrke fra fly

Oppgave 2-6 : Avstand fra punkt til linje og graf

Oppgave 2-7 : Gjennomsnitt med algoritme og program

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave