2P Vår 2026 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Brune egg fra bonden 2P-Y V26

En bonde leverer $5200$ egg til et pakkeri. $20 %$ av eggene er brune.

Hvor mange egg er brune?

Fasit

$1040 brune egg$

Løsningsforslag

Vi skal finne $20 %$ av $5200$ .

$20 %$ betyr $\frac{20}{100} = 0,20$ .

0,20 \cdot 5200 = 1040

Det er $1040$ brune egg.

Det vil si at omtrent hvert femte egg bonden leverer, er brunt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26

En dag registrerer Anita hvor mange vogner det er på togene som passerer der hun bor. Resultatene ser du nedenfor.

3 1 5 30 5 6 1 6 20 6

Bestem medianen, gjennomsnittet, variasjonsbredden og typetallet for antall vogner.

Bestem den relative frekvensen for $6$ vogner. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Median $= 5,5$ vogner, gjennomsnitt $= 8,3$ vogner, variasjonsbredde $= 29$ vogner, typetall $= 6$ vogner

Relativ frekvens $= 0,30 = 30 %$

Løsningsforslag

Vi sorterer datamaterialet:

1 1 3 5 5 6 6 6 20 30

Det er $n = 10$ observasjoner (partall). Medianen er gjennomsnittet av de to midterste verdiene, det vil si den 5. og den 6. verdien.

Median = \frac{5 + 6}{2} = 𝟓,𝟓 v o g n e r

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle verdiene og dele på antallet:

\overline{x} = \frac{3 + 1 + 5 + 30 + 5 + 6 + 1 + 6 + 20 + 6}{10} = \frac{83}{10} = 𝟖,𝟑 v o g n e r

Variasjonsbredden er differansen mellom den største og minste verdien:

Variasjonsbredde = 30 - 1 = 𝟐𝟗 vogner

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Verdien $6$ forekommer $3$ ganger, og er den hyppigste.

Typetall = 𝟔 vogner

Verdien $6$ forekommer $3$ ganger av totalt $10$ observasjoner. Den relative frekvensen er:

\frac{3}{10} = 0,30 = 𝟑𝟎 %

Praktisk tolkning: $30 %$ av togene Anita registrerte hadde $6$ vogner.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for to riktige svar og 2 poeng for fire riktige svar.

For å få uttelling, må kandidaten vise eller forklare hvordan svarene framkommer.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig relativ frekvens og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sentralmål, Spredningsmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26

Skriv av tabellen nedenfor og fyll inn verdiene som mangler.

Tabell 1:

Vekstfaktor	Prosentvis endring
$1,05$	$+ 5 %$
$1,4$
	$+ 17,5 %$
	$- 28 %$
$0,67$
$2$

Fasit

Tabell 2:

Vekstfaktor	Prosentvis endring
$1,05$	$+ 5 %$
$1,4$	$+ 40 %$
$1,175$	$+ 17,5 %$
$0,72$	$- 28 %$
$0,67$	$- 33 %$
$2$	$+ 100 %$

Løsningsforslag

Sammenhengen mellom vekstfaktor og prosentvis endring er:

Prosentvis endring = (vekstfaktor - 1) \cdot 100 %

Vekstfaktor = 1 + \frac{prosentvis endring}{100}

Tabell 3:

Vekstfaktor	Prosentvis endring	Utregning
$1,05$	$+ 5 %$
$1,4$	$+ 40 %$	$(1,4 - 1) \cdot 100 = 40$
$1,175$	$+ 17,5 %$	$1 + \frac{17,5}{100} = 1,175$
$0,72$	$- 28 %$	$1 + \frac{- 28}{100} = 0,72$
$0,67$	$- 33 %$	$(0,67 - 1) \cdot 100 = - 33$
$2$	$+ 100 %$	$(2 - 1) \cdot 100 = 100$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Tre riktige svar gir 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Vekstfaktor, Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26

Prisen for en vare settes ned med $20 %$ . Litt senere settes prisen opp igjen med $20 %$ .

Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Varen koster mindre enn før — $4 %$ mindre.

Løsningsforslag

Vi tester med et eksempel: la oss si at en vare koster 100 kr og blir først satt ned 20 % og deretter opp 20 %.

Etter den første prisreduksjonen koster varen 80 kr.
Når vi skal legge på 20 % så må vi finne 20 % av 80 kr.
- $0,20 \cdot 80 k r = 16 k r$
Prisen etter 20 % økning blir $80 k r + 16 k r = 96 k r$
96 kr er 4 % mindre enn 100 kr.

Varen koster 4 % mindre enn før prisendringene, siden vi regner 20 % ut fra to ulike priser (100 kr og 80 kr).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning, Argumentasjon
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26

Prisen for en vare har endret seg tre ganger i løpet av det siste året. Uttrykket nedenfor viser prisen for varen før prisendringene.

\frac{40 000}{1,05 \cdot {0,85}^{2}}

Hva forteller uttrykket om prisendringene?

Fasit

$40 000$ kr er prisen etter alle tre endringene. Varen ble først økt med $5 %$ (vekstfaktor $1,05$ ), deretter satt ned med $15 %$ to ganger (vekstfaktor $0,85$ to ganger). Prisen før endringene var omtrent $𝟓𝟐 𝟕𝟐𝟕 kr$ .

Løsningsforslag

Vi leser uttrykket del for del:

\frac{40 000}{1,05 \cdot {0,85}^{2}}

Telleren $40 000$ er prisen på varen etter at alle tre prisendringene har skjedd, altså den nye prisen på $40 000 kr$ .

Vekstfaktoren $1,05$ tilsvarer en økning på $5 %$ . Varen ble altså økt med $5 %$ én gang.

Vekstfaktoren $0,85$ tilsvarer en nedgang på $15 %$ , siden $1 - 0,15 = 0,85$ . Eksponenten $2$ betyr at denne nedgangen skjedde to ganger.

Til sammen har varen altså gjennomgått tre prisendringer: én økning på $5 %$ og to nedganger på $15 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten tolke begge vekstfaktorene riktig og kommentere at prisen er satt ned med 15 % to ganger.

En kandidat som tolker én vekstfaktor riktig, får 1 poeng.

En kandidat som svarer at 40 000 kroner er prisen før endringene, får høyst 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Vekstfaktor, Prosentregning
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Vare med indeks 125 2P V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En vare kostet $160$ kroner i basisåret. I dag er indeksen for varen $125$ .

Hvor mye koster varen i dag dersom vi antar at prisutviklingen har fulgt utviklingen i indeksen?

Fasit

$𝟐𝟎𝟎 k r$

LøsningsforslagKI-generert

En indeks på $125$ betyr at prisen har steget til $125 %$ av prisen i basisåret.

Pris i dag = 160 \cdot \frac{125}{100} = 160 \cdot 1,25 = 𝟐𝟎𝟎 k r

Varen koster $200$ kroner i dag.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prisindeks, Prosentregning
Kompetansemål: Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Konsumprisindeks og kjøpekraft 2010-2025 2P V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I tabellen nedenfor ser du konsumprisindeksen (KPI) for $2010$ , $2015$ , $2020$ og $2025$ .

År	2010	2015	2020	2025
KPI	92,1	100	112,2	137,7

Hvorfor er konsumprisindeksen $100$ i $2015$ ?

I $2020$ hadde Niklas en reallønn på $500 000$ kroner.

Hva skulle reallønnen hans vært i $2025$ for at han skulle hatt like stor kjøpekraft i $2025$ som i $2020$ ?

I $2015$ hadde Benjamin en nominell lønn på $1 000 000$ kroner.

Hva skulle den nominelle lønnen hans vært i $2025$ dersom han skulle hatt samme kjøpekraft som i $2015$ ?

Fasit

$2015$ er basisåret for KPI

Reallønnen i $2025$ er $𝟓𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎$ kr (kjøpekraften er uendret); nominell lønn må være $𝟔𝟖𝟖 𝟓𝟎𝟎$ kr

$𝟏 𝟑𝟕𝟕 𝟎𝟎𝟎$ kr

LøsningsforslagKI-generert

Konsumprisindeksen bruker et bestemt år som basisår. I basisåret settes indeksen til $100$ per definisjon. Alle andre år sammenlignes med dette basisåret.

$2015$ er valgt som basisår for denne konsumprisindeksen, og da er KPI per definisjon $100$ .

Reallønn måler kjøpekraft — det vil si hva lønnen faktisk kan kjøpe. Reallønnen er allerede justert for prisstigning.

Siden Niklas hadde en reallønn på $500 000$ kr i $2020$ , og vi ønsker at han skal ha like stor kjøpekraft i $2025$ , betyr det at reallønnen i $2025$ også må være $500 000$ kr.

Reallønnen i $2025$ må være $500 000 kr$ for at kjøpekraften skal være den samme.

For å se hva dette betyr i nominell lønn: vi bruker forholdet mellom KPI-verdiene.

{Nominell lønn}_{2025} = 500 000 \cdot \frac{137,7}{100} = 688 500 kr

Det vil si at Niklas ville trenge en nominell lønn på $688 500$ kr i $2025$ for å ha samme kjøpekraft som i $2020$ .

I $2015$ hadde Benjamin en nominell lønn på $1 000 000$ kr. Siden $2015$ er basisåret (KPI $= 100$ ), er nominell lønn og reallønn like i $2015$ .

For å finne hvilken nominell lønn han trenger i $2025$ for å ha samme kjøpekraft, justerer vi med KPI-forholdet:

{Nominell lønn}_{2025} = 1 000 000 \cdot \frac{137,7}{100} = 1 377 000 kr

Den nominelle lønnen i $2025$ måtte vært $1 377 000 kr$ for at Benjamin skulle hatt samme kjøpekraft som i $2015$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prisindeks, Prosentregning, Økonomi
Kompetansemål: Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Målestokk for skrue 2P V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en tegning er en skrue $5,0 c m$ lang. I virkeligheten er denne skruen $2,0 m m$ lang.

Bestem målestokken til tegningen.

Fasit

$25 : 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi gjør om begge lengdene til samme enhet. Tegningen er $5,0 c m = 50 m m$ lang, og skruen er $2,0 m m$ lang i virkeligheten.

Målestokken er forholdet mellom lengden på tegningen og den virkelige lengden:

Målestokk = \frac{tegning}{virkelighet} = \frac{50 m m}{2,0 m m} = 25

Målestokken skrives $𝟐𝟓 : 𝟏$ .

Det betyr at tegningen er 25 ganger større enn den virkelige skruen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Målestokk, Måleenheter
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Areal av fire figurer i koordinatsystem 2P V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fire figurer i koordinatsystem

Bestem arealet av hver av de fire figurene som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor.

Fasit

Figur 1 (trekant): $A = 8$

Figur 2 (trekant): $A = 4$

Figur 3 (parallellogram): $A = 36$

Figur 4 (sirkelutsnitt): $A = 3 π \approx 9,42$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av koordinatene til hjørnene i koordinatsystemet og bruker arealformlene for de ulike figurene.

Figur 1 – trekant

Trekanten har hjørner i $(0, 0)$ , $(2, 4)$ og $(4, 0)$ .

Grunnlinja ligger langs $x$ -aksen fra $x = 0$ til $x = 4$ , så $g = 4$ .

Høyden er $y$ -koordinaten til toppunktet: $h = 4$ .

A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 𝟖

Figur 2 – trekant

Trekanten har hjørner i $(4, 4)$ , $(6, 0)$ og $(8, 0)$ .

Grunnlinja ligger langs $x$ -aksen fra $x = 6$ til $x = 8$ , så $g = 2$ .

Høyden er $y$ -koordinaten til toppunktet: $h = 4$ .

A = \frac{g \cdot h}{2} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 𝟒

Figur 3 – parallellogram

Parallellogrammet har hjørner i $(10, 4)$ , $(19, 4)$ , $(23, 0)$ og $(14, 0)$ .

De to sidene $(10, 4) \to (14, 0)$ og $(19, 4) \to (23, 0)$ er parallelle og like lange. Figuren har derfor lik lengde øverst og nederst: $g = 9$ .

Den loddrette høyden er $h = 4$ .

A = g \cdot h = 9 \cdot 4 = 𝟑𝟔

Figur 4 – sirkelutsnitt ( $\frac{3}{4}$ -sirkel)

Fra koordinatsystemet ser vi at sirkelen er sentrert i $(24, 2)$ med radius $r = 2$ . Det mangler ett kvart-sirkelstykke (øvre høyre hjørne), så figuren er $\frac{3}{4}$ av en fullsirkel.

A = \frac{3}{4} \cdot π r^{2} = \frac{3}{4} \cdot π \cdot 2^{2} = 3 π \approx 𝟗,𝟒𝟐

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Ett riktig areal gir 1 poeng. Tre riktige arealet gir 2 poeng.

For å få uttelling, må kandidaten vise hvordan svarene framkommer.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Areal og omkrets, Geometri, Formler
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Faktorisert andregradslikning 2P V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

(x - 2) (x + 3) = 0

Fasit

$x = 2$ eller $x = - 3$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker nullpunktsregelen: når et produkt er lik null, må minst én av faktorene være lik null.

(x - 2) \cdot (x + 3) = 0

Enten er den første faktoren lik null:

x - 2 = 0 ⟹ x = 2

Eller den andre faktoren er lik null:

x + 3 = 0 ⟹ x = - 3

Løsningene er $x = 2$ eller $x = - 3$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Andregradslikninger, Likninger
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Lineært likningssystem regning og grafisk 2P V26

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt likningssystemet

{\begin{matrix} 4 x + y = 8 \\ 3 x - y = 6 \end{matrix}

Løs likningssystemet ved regning.

Løs likningssystemet grafisk.

Fasit

$x = 2$ , $y = 0$

Skjæringspunkt $S = (2, 0)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker addisjonsmetoden. Likning 1 pluss likning 2:

\begin{matrix} 4 x + y & = 8 \\ 3 x - y & = 6 \end{matrix}

Legger vi de to likningene sammen, forsvinner $y$ :

\begin{matrix} (4 x + y) + (3 x - y) & = 8 + 6 \\ 7 x & = 14 \\ x & = 2 \end{matrix}

Setter $x = 2$ inn i likning 1:

4 \cdot 2 + y = 8 ⟹ 8 + y = 8 ⟹ y = 0

Løsningen er $x = 2$ og $y = 0$ .

Vi skriver om begge likningene til formen $y = a x + b$ :

Likning 1: $4 x + y = 8 ⟹ y = - 4 x + 8$
Likning 2: $3 x - y = 6 ⟹ y = 3 x - 6$

Vi tegner begge linjene i et koordinatsystem og leser av skjæringspunktet.

Grafisk løsning av likningssystemet

Fra grafen ser vi at linjene skjærer hverandre i punktet $S = (2, 0)$ .

Løsningen er $x = 2$ og $y = 0$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En mindre nøyaktig grafisk framstilling kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Likninger, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26

Kari har laget programmet nedenfor.

L = [2, 4, 8, 16, 20]    # L er en liste med tall

a = len(L)               # Antall tall i listen L
s = sum(L)               # Summen av tallene i listen L

g = s/a

print("Resultat:")
print(g)

Resultat:
10.0

Hva forteller verdien som skrives ut når programmet kjøres?

Fasit

Programmet regner ut gjennomsnittet av tallene i listen $L$ , og svaret er $10,0$ .

Løsningsforslag

Programmet utfører følgende steg:

L = [2, 4, 8, 16, 20] lager en liste med fem tall.
a = len(L) finner antall tall i listen: $a = 5$ .
s = sum(L) regner ut summen av tallene:

s = 2 + 4 + 8 + 16 + 20 = 50

g = s/a deler summen på antallet:

g = \frac{50}{5} = 10,0

print(g) skriver ut resultatet: 10.0.

Verdien $10,0$ er gjennomsnittet av tallene i listen $L$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 1 poeng

For å få uttelling, må kandidaten svare at det er gjennomsnittet som regnes ut.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Programmering, Sentralmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26

Tabellen til høyre viser aldersfordelingen for de $200$ personene som bor i blokk Z på Tirilltoppen.

Alder (år)	Frekvens
$[0, 10 ⟩$	$40$
$[10, 20 ⟩$	$20$
$[20, 30 ⟩$	$60$
$[30, 50 ⟩$	$20$
$[50, 60 ⟩$	$20$
$[60, 80 ⟩$	$40$
Sum	$200$

Aurora har laget diagrammet nedenfor.

Kumulativ frekvenskurve som viser prosent under hver alder. Punktet A(50, 70) er markert

Hva forteller koordinatene til punkt $A$ om aldersfordelingen i blokk Z?

Aurora kan bruke diagrammet til å finne en verdi hun kan anta er medianalderen.

Hvilken verdi er dette, og hvilken antakelse må hun gjøre? Husk å begrunne svaret.

Fasit

$70 %$ av beboerne er yngre enn $50$ år.

Medianalderen er omtrent $27 år$ .

Løsningsforslag

Punkt $A$ har koordinatene $(50, 70)$ .

Førstekordinaten $50$ viser til alder $50$ år på den vannrette aksen.
Andrekordinaten $70$ viser til $70 %$ på den loddrette aksen (kumulativ frekvens).

Koordinatene forteller oss at $70 %$ av beboerne i blokk Z er yngre enn $50$ år.

Medianen er den alderen som deler beboerne i to like store grupper – altså den alderen der $50 %$ av beboerne er yngre.

Vi leser av den kumulative frekvenskurven ved $50 %$ på den loddrette aksen og finner hvilken alder kurven krysser denne linjen.

Median fra kumulativ frekvens

Fra figuren ser det ut til at medianalderen er omtrent 26,5 år.

For at denne antakelsen om medianen skal være riktig så må de 60 personene som er mellom 20 og 30 år være jevnt fordelt i alder.

Medianalderen er omtrent 26,5 år når vi antar at aldrene er jevnt fordelt i klassene.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for riktig verdi og 1 poeng for riktig antakelse.

Antakelsen må være at dataverdiene i intervallene er jevnt fordelt.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kumulativ frekvens, Sentralmål, Graftolkning
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 2-1Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26

En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.

I dag er utslippet $16 000$ tonn per år.
Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være $8000$ tonn per år om $6$ år, $4000$ tonn per år om $12$ år, og så videre.

Ledelsen mener funksjonen $U$ gitt ved

U (x) = 16 000 \cdot {0,89}^{x}

vil være en god modell for utslippet $U (x)$ tonn per år om $x$ år dersom bedriften klarer å innfri kravet.

Kalkulator

Vis hvordan ledelsen kan ha kommet fram til modellen.

Kalkulator

Hvor mange prosent vil utslippet reduseres med per år, ifølge modellen?

Kalkulator

Hvor mange tonn vil utslippet i gjennomsnitt reduseres med per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen?

Fasit

Kravet om halvering hvert sjette år gir $k = \sqrt[6]{0,5} \approx 0,89$ , og startverdi $16 000$ tonn.

Utslippet reduseres med $𝟏𝟏 %$ per år.

Gjennomsnittlig reduksjon er ca. $𝟏𝟒𝟏𝟑$ tonn per år.

Løsningsforslag

Vi kan løse denne med regresjon i GeoGebra hvis vi setter opp i at vi i dag er i år 0 med 16 000 tonn og at utslippene i år 6 og 12 skal være henholdsvis 8000 tonn og 4000 tonn.

Regresjonsanalyse

En modell som passer godt er $U (x) = 16 000 \cdot {0,89}^{x}$ .

Vekstfaktoren i modellen er $0,89$ .

Det betyr at utslippet hvert år er $0,89$ ganger utslippet året før.

Prosentvis endring per år:

1 - 0,89 = 0,11 = 11 %

Utslippet reduseres med $11 %$ per år, ifølge modellen.

Utslippene er 16 000 tonn i dag. Om 5 år er utslippene:

Utslipp om 5 år

Gjennomsnittlig reduksjon per år over de 5 årene:

\frac{U (0) - U (5)}{5} = \frac{16 000 - 8934,5}{5} \approx 1413 tonn per år

I gjennomsnitt reduseres utslippet med ca. $1413$ tonn per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som bare viser at modellen stemmer med beskrivelsen, får ingen uttelling.

En kandidat som velger en riktig strategi, eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En systematisk «prøve-og-feile»-metode, kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26

Nedenfor ser du hvor mange fraværsdager hver av de $15$ ansatte i bedrift A hadde i $2025$ .

2 0 0 5 4 1 1 12 15 0 0 1 1 2 1

Kalkulator

Bestem gjennomsnittet, medianen og standardavviket for antall fraværsdager.

Kalkulator

Bestem den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bedrift B har også $15$ ansatte.

Gjennomsnittet for antall fraværsdager i $2025$ er det samme for bedrift B som for bedrift A.
Medianen er høyere for bedrift B.
Standardavviket er lavere for bedrift B.

Kalkulator

Hva forteller disse opplysningene om fraværet i bedrift B sammenlignet med fraværet i bedrift A?

Kari påstår at den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A.

Kalkulator

Er denne påstanden riktig? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Gjennomsnitt: $3 fraværsdager$ , median: $1 fraværsdag$ , standardavvik: $\approx 4,5 fraværsdager$

Kumulativ frekvens: $\approx 86,7 %$

Fraværet i bedrift B er jevnere fordelt – færre ansatte med svært høyt eller svært lavt fravær.

Påstanden er ikke nødvendigvis riktig.

Løsningsforslag

Statistikk av en variabel i GeoGebra

Vi kan lese verdiene fra statistikkvinduet i GeoGebra.

Gjennomsnitt: 3
Median: 1
Standardavvik ( $σ$ ): 4,38

Gjennomsnittet er 3, medianen er 1 og standardavviket er 4,38.

Vi teller opp hvor mange ansatte som hadde $5$ eller færre fraværsdager.

Fra den sorterte lista er alle verdier unntatt $12$ og $15$ mindre enn eller lik $5$ :

0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 12, 15

Den kumulative frekvensen til $5$ eller færre fraværsdager er 13 siden det er 13 observasjoner som er mindre eller lik 5.

Den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager er 13. Det betyr at 13 ansatte har vært hatt 5 eller færre fraværsdager i 2025.

Vi sammenligner de tre statistiske målene for bedrift B med bedrift A:

Samme gjennomsnitt ( $3$ dager): Det totale fraværet er likt fordelt på antall ansatte.
Høyere median: Mer enn halvparten av de ansatte i bedrift B hadde flere fraværsdager enn medianen i bedrift A (som var $1$ dag). Det betyr at færre ansatte i B hadde $0$ eller $1$ fraværsdag.
Lavere standardavvik: Fraværsdagene i bedrift B ligger tettere rundt gjennomsnittet enn i bedrift A. Det er færre ansatte med svært høyt fravær (som de med $12$ og $15$ dager i A).

$Fraværet i bedrift B er jevnere fordelt.$ Færre ansatte har nesten ingen fraværsdager, og færre har svært mange. Fraværet er mer samlet rundt gjennomsnittet på $3$ dager.

Kari påstår at den kumulative frekvensen for 5 fraværsdager i bedrift B må være høyere enn for bedrift A, altså at den må være høyere enn 13.

Denne påstanden er vanskelig å bevise eller motbevise, men dersom vi klarer å finne et moteksempel så kan vi si at påstanden til Kari ikke stemmer.

Når vi lager moteksempelet så bør vi tenke på at

det totale antallet fraværsdager er 45 slik at gjennomsnittet blir 3
medianen må bli større enn 1
standardavviket må bli mindre enn 4,38
vi har maksimalt 2 observasjoner som er større enn 5 slik at kumulativ frekvens for 5 blir 13

Moteksempel: La oss si at de $15$ ansatte i bedrift B hadde følgende fraværsdager:

0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 7

Vi kontrollerer at alle opplysningene stemmer:

Gjennomsnitt: $\frac{45}{15} = 3$ ✓
Median: Den $8.$ verdien i den sorterte lista er $3$ , som er høyere enn $1$ i bedrift A ✓
Standardavvik (beregnet i GeoGebra): $\approx 2,2$ dager, som er lavere enn $4,5$ i bedrift A ✓
Kumulativ frekvens for $5$ dager: $13$ ✓

Dette viser at det er mulig å ha en fordeling i bedrift B som oppfyller alle de tre opplysningene, men der den kumulative frekvensen for $5$ fraværsdager ikke er høyere enn i bedrift A.

Påstanden til Kari er feil.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

For å få 1 poeng, må kandidaten bestemme minst to av verdiene.

En oversiktlig besvarelse i et regneark gir full uttelling selv om kandidaten ikke viser formlene som er brukt.

En kandidat som bestemmer empirisk standardavvik, kan også få full uttelling.

Her gis i utgangspunktet 1 poeng for riktig kumulativ frekvens, og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning.

For å få full uttelling må kandidaten argumentere riktig ut fra alle tre målene. For å 1 poeng, må kandidaten argumentere riktig ut fra to av målene.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Sentralmål, Spredningsmål, Kumulativ frekvens
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26

Krever PC

Hvert år undersøker Reuters Institute, Universitetet i Bergen og Stiftelsen Fritt Ord hvordan vi får med oss nyheter, og i hvilken grad vi unngår nyheter. Dersom vi unngår nyheter over tid, kan vi gå glipp av viktig informasjon og få en svakere tilknytning til samfunnet. Forskerne er derfor spesielt opptatt av dette.

Nedenfor ser du noen resultater fra undersøkelsene.

Hvordan nordmenn får med seg dagens første nyheter i 2019 og 2025
Prosentandel som oppgir hver kilde

Kilde	$2019$	$2025$
Smarttelefon	$32 %$	$50 %$
Radio	$19 %$	$14 %$
PC	$15 %$	$12 %$
TV	$13 %$	$11 %$
Nettbrett	$6 %$	$5 %$
Papiravis	$7 %$	$2 %$
Ingen av disse	$4 %$	$4 %$
Vet ikke	$4 %$	$2 %$

Nyhetsunngåelse i Norge 2025
Hvor ofte nordmenn aktivt unngår nyheter

Svar	$2025$
Aldri	$37 %$
En gang iblant	$29 %$
Noen ganger	$23 %$
Ofte	$7 %$
Vet ikke	$4 %$

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike diagrammer som du kan bruke i en presentasjon.

Fasit

Mange gyldige svar. Eksempelpresentasjon viser at smarttelefon er den dominerende nyhetskilden i 2025 ( $50 %$ ), opp fra $32 %$ i 2019 – en relativ økning på $+ 56 %$ . Papiravis har størst relativ nedgang ( $- 71 %$ ). $59 %$ av nordmenn unngår nyheter av og til.

LøsningsforslagKI-generert

Nøkkelfunn og beregninger

Funn 1 – Smarttelefon dominerer i 2025

Smarttelefon er den klart største nyhetskilden i 2025. Vi beregner endringen fra 2019 til 2025:

Prosentpoeng-endring = 50 - 32 = + 18 prosentpoeng

Den relative økningen er:

\frac{50 - 32}{32} \cdot 100 = \frac{18}{32} \cdot 100 \approx + 56 %

Smarttelefon har altså økt med 18 prosentpoeng (relativt sett $+ 56 %$ ) fra 2019 til 2025.

Funn 2 – Papiravis har størst relativ nedgang

Papiravisens andel falt fra $7 %$ til $2 %$ . Den relative endringen er:

\frac{2 - 7}{7} \cdot 100 = \frac{- 5}{7} \cdot 100 \approx - 71 %

Papiravis har falt med 5 prosentpoeng, noe som tilsvarer en relativ nedgang på $- 71 %$ .

Selv om nedgangen i absolutte tall er liten ( $5$ prosentpoeng), viser den relative beregningen at papiravis har mistet nesten tre fjerdedeler av sin andel.

Funn 3 – Majoriteten unngår nyheter av og til

Fra tabellen om nyhetsunngåelse legger vi sammen andelene som unngår nyheter «en gang iblant», «noen ganger» eller «ofte»:

29 + 23 + 7 = 59 %

59 % av nordmenn unngår nyheter i hvert fall av og til i 2025. Bare 37 % sier at de aldri unngår nyheter.

Diagram 1: Gruppert søylediagram til tabell 1

Søylediagram som viser utviklingen i hvordan nordmenn får dagens første nyheter mellom 2019 og 2025

Dette diagrammet passer best til Tabell 1 fordi det gjør det enkelt å sammenligne hvert medium mellom de to årstallene.

Diagramtype: gruppert stolpediagram (to stolper per kategori – én for 2019, én for 2025)
X-akse: kildenavn (Smarttelefon, Radio, PC, TV, Nettbrett, Papiravis, Ingen, Vet ikke)
Y-akse: andel i prosent ( $0$ – $55 %$ )
Farge: én farge for 2019 (f.eks. blå), én farge for 2025 (f.eks. oransje)
Legg til dataetiketter på toppen av hver stolpe
Nøkkelfunn å trekke frem muntlig: smarttelefonstolpen i 2025 er klart høyest; alle tradisjonelle medier har kortere stolper i 2025 enn i 2019

Diagram 2 – Sektordiagram: fordeling av nyhetskilder i 2025

Sektordiagram som viser fordeling av nyhetskilder

Sektordiagrammet viser tydelig at smarttelefon utgjør halvparten av alle svar alene.

Diagramtype: sektordiagram (ett for 2025)
Én sektor per kilde; sektorenes størrelse svarer til prosentandelene
Legg til prosentlabeler på sektorene
Merk gjerne at smarttelefon-sektoren ( $50 %$ ) er like stor som alle de andre kildene til sammen
Tips: «Ingen av disse» og «Vet ikke» kan slås sammen til én sektor («Annet») for å forenkle bildet

Diagram 3 – Stolpediagram: nyhetsunngåelse i 2025

Sektordiagram som viser nyhetsunngåelse

Dette diagrammet hører til Tabell 2 og illustrerer at de fleste nordmenn unngår nyheter til en viss grad.

Diagramtype: enkelt stolpediagram (én stolpe per svaralternativ)
X-akse: Aldri / En gang iblant / Noen ganger / Ofte / Vet ikke
Y-akse: andel i prosent ( $0$ – $40 %$ )
Legg til en tydelig markering (f.eks. en pil eller farge) på de tre stolpene som til sammen utgjør $59 %$ («unngår av og til»)
Alternativ: sektordiagram der «Aldri» og «Unngår av og til» (de tre kategoriene slått sammen) kontrasteres mot hverandre

Kort konklusjon til presentasjonen

Undersøkelsen viser en klar forskyvning i hvordan nordmenn skaffer seg nyheter: smarttelefonen har tatt over og utgjør nå halvparten av alle svar, mens papiravis nesten er forsvunnet. Samtidig er det overraskende mange – hele 59 % – som av og til aktivt unngår nyheter. Disse funnene reiser et viktig spørsmål: hva skjer med samfunnsdebatten når folk velger bort nyhetene?

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte.

Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter.

Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.)

Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2 - 3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Lav måloppnåelse kan for eksempel være å lage ett riktig diagram til hver tabell.

Middels måloppnåelse kan for eksempel være å lage ett riktig diagram til hver tabell og i tillegg gjøre noen relevante beregninger og sammenlikninger. Om kandidaten får 2 eller 3 poeng, vil være avhengig av den digitale kompetansen som er vist, kommunikasjon og helheten i besvarelsen.

Høy måloppnåelse kan for eksempel være å lage flere riktige diagrammer til den første tabellen, ett riktig diagram til den andre og i tillegg gjøre flere relevante beregninger og sammenlikninger. Her krevers også god digital kompetanse og god kommunikasjon.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Presentasjon av data, Diagram, Prosentregning
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Lese, hente ut og vurdere matematikk i tekstar om samfunnsfaglege tema og tema frå lokalmiljøet, gjere berekningar knytte til dette og presentere og argumentere for resultata
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Nedbetalingsplan forbrukslån 2P V26

Krever PC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jens tar opp et forbrukslån på $75 000$ kroner.

Han skal betale tilbake lånet med månedlige terminer.

Rentesats: $0,975 %$ per måned
Terminbeløp: $3520$ kroner per måned

Lag en nedbetalingsplan som viser hvor mye Jens skal betale i avdrag og renter hver måned.

Fasit

Nedbetalingsplanen er vist i regnearket 2p-v26-2-4-nedbetalingsplan.xlsx. Lånet er nedbetalt etter 24 måneder. Siste terminbeløp blir $3520,33 kr$ .

LøsningsforslagKI-generert

Oppsett av regneark:

Regnearket har kolonnene:

Kolonne	Innhold	Formel (rad 2)
A	Måned	`1` (deretter `=A2+1`)
B	Saldo (IB)	`75000` (deretter `=F2`)
C	Renter	`=B2*0,00975`
D	Avdrag	`=E2-C2`
E	Terminbeløp	`3520`
F	Saldo (UB)	`=B2-D2`

Fremgangsmåte:

Måned 1:

Renter = 75 000 \cdot 0,00975 = 731,25 kr

Avdrag = 3520 - 731,25 = 2788,75 kr

Saldo (UB) = 75 000 - 2788,75 = 72 211,25 kr

Saldo (UB) for måned 1 blir Saldo (IB) for måned 2. Vi kopierer formlene nedover til saldoen er $0$ .

Nedbetalingsplan:

Måned	Saldo (IB)	Renter	Avdrag	Terminbeløp	Saldo (UB)
1	75 000,00	731,25	2 788,75	3 520,00	72 211,25
2	72 211,25	704,06	2 815,94	3 520,00	69 395,31
3	69 395,31	676,60	2 843,40	3 520,00	66 551,91
4	66 551,91	648,88	2 871,12	3 520,00	63 680,80
5	63 680,80	620,89	2 899,11	3 520,00	60 781,68
6	60 781,68	592,62	2 927,38	3 520,00	57 854,30
7	57 854,30	564,08	2 955,92	3 520,00	54 898,38
8	54 898,38	535,26	2 984,74	3 520,00	51 913,64
9	51 913,64	506,16	3 013,84	3 520,00	48 899,80
10	48 899,80	476,77	3 043,23	3 520,00	45 856,57
11	45 856,57	447,10	3 072,90	3 520,00	42 783,68
12	42 783,68	417,14	3 102,86	3 520,00	39 680,82
13	39 680,82	386,89	3 133,11	3 520,00	36 547,70
14	36 547,70	356,34	3 163,66	3 520,00	33 384,04
15	33 384,04	325,49	3 194,51	3 520,00	30 189,54
16	30 189,54	294,35	3 225,65	3 520,00	26 963,89
17	26 963,89	262,90	3 257,10	3 520,00	23 706,78
18	23 706,78	231,14	3 288,86	3 520,00	20 417,93
19	20 417,93	199,07	3 320,93	3 520,00	17 097,00
20	17 097,00	166,70	3 353,30	3 520,00	13 743,70
21	13 743,70	134,00	3 386,00	3 520,00	10 357,70
22	10 357,70	100,99	3 419,01	3 520,00	6 938,69
23	6 938,69	67,65	3 452,35	3 520,00	3 486,34
24	3 486,34	33,99	3 486,34	3 520,33	0,00

Siste termin (måned 24) er noe mindre enn $3520 kr$ : Jens betaler $3486,34 kr$ i avdrag og $33,99 kr$ i renter, totalt $𝟑𝟓𝟐𝟎,𝟑𝟑 kr$ .

Lånet er nedbetalt etter $24 måneder$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En nedbetalingsplan med mindre feil og mangler, kan gi 1 poeng. En kandidat som har laget en riktig nedbetalingsplan, men ikke viser formlene som er brukt, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må hele nedbetalingsplanen vises.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Lån, Økonomi, Regneark
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 13 oppgaver · 27 poeng

Oppgave 1-1·Brune egg fra bonden 2P-Y V26

Oppgave 1-2·Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26

Oppgave 1-3·Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26

Oppgave 1-4·Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26

Oppgave 1-5·Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26

Oppgave 1-6·Vare med indeks 125 2P V26

Oppgave 1-7·Konsumprisindeks og kjøpekraft 2010-2025 2P V26

Oppgave 1-8·Målestokk for skrue 2P V26

Oppgave 1-9·Areal av fire figurer i koordinatsystem 2P V26

Figur 1 – trekant

Figur 2 – trekant

Figur 3 – parallellogram

Figur 4 – sirkelutsnitt (34-sirkel)

Oppgave 1-10·Faktorisert andregradslikning 2P V26

Oppgave 1-11·Lineært likningssystem regning og grafisk 2P V26

Oppgave 1-12·Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26

Oppgave 1-13·Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 17 poeng

Oppgave 2-1·Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26

Oppgave 2-2·Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26

Oppgave 2-3·Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26

Nøkkelfunn og beregninger

Kort konklusjon til presentasjonen

Oppgave 2-4·Nedbetalingsplan forbrukslån 2P V26

Temaer

Oppgave 1-1Brune egg fra bonden 2P-Y V26

Oppgave 1-2Sentralmål og relativ frekvens for togvogner 2P-Y V26

Oppgave 1-3Vekstfaktor og prosentvis endring i tabell 2P-Y V26

Oppgave 1-4Pris ned og opp med 20 prosent 2P-Y V26

Oppgave 1-5Tolke uttrykk for tre prisendringer 2P-Y V26

Oppgave 1-6Vare med indeks 125 2P V26

Oppgave 1-7Konsumprisindeks og kjøpekraft 2010-2025 2P V26

Oppgave 1-8Målestokk for skrue 2P V26

Oppgave 1-9Areal av fire figurer i koordinatsystem 2P V26

Figur 4 – sirkelutsnitt ( $\frac{3}{4}$ -sirkel)

Oppgave 1-10Faktorisert andregradslikning 2P V26

Oppgave 1-11Lineært likningssystem regning og grafisk 2P V26

Oppgave 1-12Python-program for gjennomsnitt 2P-Y V26

Oppgave 1-13Kumulativ frekvenskurve for aldersfordeling 2P-Y V26

Oppgave 2-1Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26

Oppgave 2-2Sammenligning av sykefravær mellom to bedrifter 2P-Y V26

Oppgave 2-3Presentasjon av nyhetsundersøkelser 2P-Y V26

Oppgave 2-4Nedbetalingsplan forbrukslån 2P V26