Eksponentiell modell for utslippsreduksjon 2P-Y V26

En bedrift har fått krav om å redusere utslippet av et miljøskadelig stoff.

I dag er utslippet $16\,000$ tonn per år.
Kravet er at utslippet skal halveres for hvert sjette år. Det betyr at utslippet skal være $8000$ tonn per år om $6$ år, $4000$ tonn per år om $12$ år, og så videre.

Ledelsen mener funksjonen $U$ gitt ved

U(x) = 16\,000 \cdot 0{,}89^x

vil være en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år om $x$ år dersom bedriften klarer å innfri kravet.

Vis hvordan ledelsen kan ha kommet fram til modellen.

Hvor mange prosent vil utslippet reduseres med per år, ifølge modellen?

Hvor mange tonn vil utslippet i gjennomsnitt reduseres med per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen?

Fasit

Kravet om halvering hvert sjette år gir $k = \sqrt[6]{0{,}5} \approx 0{,}89$ , og startverdi $16\,000$ tonn.

Utslippet reduseres med $\mathbf{11 \,\%}$ per år.

Gjennomsnittlig reduksjon er ca. $\mathbf{1413}$ tonn per år.

Løsningsforslag

Vi kan løse denne med regresjon i GeoGebra hvis vi setter opp i at vi i dag er i år 0 med 16 000 tonn og at utslippene i år 6 og 12 skal være henholdsvis 8000 tonn og 4000 tonn.

Regresjonsanalyse

En modell som passer godt er $\underline{\underline{ U(x)=16\,000 \cdot 0{,}89^{x} }}$ .

Vekstfaktoren i modellen er $0{,}89$ .

Det betyr at utslippet hvert år er $0{,}89$ ganger utslippet året før.

Prosentvis endring per år:

1 - 0{,}89 = 0{,}11 = 11 \,\%

Utslippet reduseres med $11 \,\%$ per år, ifølge modellen.

Utslippene er 16 000 tonn i dag. Om 5 år er utslippene:

Utslipp om 5 år

Gjennomsnittlig reduksjon per år over de 5 årene:

\frac{U(0) - U(5)}{5} = \frac{16\,000-8934{,}5}{5} \approx 1413 \text{ tonn per år}

I gjennomsnitt reduseres utslippet med ca. $\underline{\underline{1413}}$ tonn per år i løpet av de fem første årene, ifølge modellen.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P V2026, del 2, oppgave 1
Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: eksponentialfunksjon, modellering, vekstfaktor
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane