2P Vår 2025

2P Vår 2025 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler
1-1	Elever i klassen basert på prosentandel	✔︎
1-2	Median og gjennomsnitt i heiskø	✔︎
1-3	Vekt på sekker med hundemat	KI
1-4	Areal og omkrets av halvsirkel og trekant	KI
1-5	Nedbetalingsplan for Marcos lån	KI
1-6	Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder	✔︎
1-7	Program for reduksjon av matsvinn	✔︎
Del 2 3 timer med hjelpemidler
2-1	Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp	✔︎
2-2	Påstander om gjennomsnitt og median i et rom	✔︎
2-3	Formlike trekanter over elv	KI
2-4	Halvert fuglebestand	✔︎
2-5	Husleie regulert etter KPI	KI
2-6	Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate	✔︎

Oppgave 1-1 : Elever i klassen basert på prosentandel

$88\,\%$ av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er $3$ elever som ikke deltar i undersøkelsen.

Hvor mange elever er det i klassen?

Fasit

25 elever i klassen.

Løsningsforslag

Siden 88 % har svart, så må de gjenværende 12 prosentene tilsvare de 3 elevene. Vi kan gå veien om en ved å finne ut hvor mange elever 1 prosent tilsvarer.

\frac{3\text{ elever}}{12 \,\%}=\frac{\cancel{ 3 } \text{ elever}}{\cancel{ 3 } \cdot 4 \, \%}=\frac{1}{4} \text{ elever per \%} = 0{,}25 \text{ elever per \%}

1 % tilsvarer altså 0,25 elever, og dermed tilsvarer 100 % 25 elever.

Det er 25 elever i klassen.

Sensorveiledning

Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: prosent
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 1-2 : Median og gjennomsnitt i heiskø

Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatene ser du nedenfor:

6\qquad 3\qquad 2\qquad 4\qquad 4\qquad 6\qquad 2\qquad 7\qquad 8\qquad 8

Bestem medianen og gjennomsnittet.

Bestem den kumulative frekvensen for $6$ personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Medianen er $5$ og gjennomsnittet er $5$ .

Den kumulative frekvensen for $6$ personer er $7$ (det var 7 av de 10 observasjonene som var $\le6$ ).

Løsningsforslag

Medianen er det midterste tallet etter at vi har sortert dem stigende

2,2,3,4,\underbrace{ 4,6 }_{ \text{Median} },6,7,8,8

Siden både 4 og 6 står i midten så er medianen 5.

Gjennomsnittet er summen av tallene delt på antallet observasjoner.

\frac{\text{Sum}}{\text{Antall observasjoner}}=\frac{2+2+3+4+4+6+6+7+8+8}{10}=\frac{50}{10}= \underline{\underline{5}}.

Medianen er 5 og gjennomsnittet er 5.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er antallet observasjoner som er 6 eller mindre. Det er 7 av de 10 observasjonene som er på 6 personer eller mindre.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er 7, det betyr at det i 7 av de 10 tilfellene var 6 personer eller færre i vogna i skiheisen.

Sensorveiledning

4 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig median, og 1 poeng for riktig gjennomsnitt. For å få uttelling må kandidaten vise hvordan svarene framkommer.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig kumulativ frekvens, og 1 poeng for riktig praktisk tolkning knyttet til situasjonen i oppgaven. For å få uttelling må kandidaten vise hvordan svaret framkommer. Generelle forklaringer av begrepet kumulativ frekvens gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: sentralmål, kumulativ frekvens
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 1-3 : Vekt på sekker med hundemat

Lotta har kjøpt fire små og to store sekker med hundemat. Sekkene veier til sammen $44 \mathrm{~kg}$ . De store sekkene veier $7 \mathrm{~kg}$ mer enn de små.

Hvor mye veier en liten sekk, og hvor mye veier en stor sekk?

Fasit

Liten sekk: $\underline{\underline{5 \, \mathrm{kg}}}$ , stor sekk: $\underline{\underline{12 \, \mathrm{kg}}}$

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ være vekten til en liten sekk (i kg) og $y$ vekten til en stor sekk (i kg).

Vi setter opp to likninger ut fra opplysningene i oppgaven:

4x + 2y = 44

y = x + 7

Vi setter uttrykket for $y$ inn i den første likningen:

4x + 2(x + 7) = 44

4x + 2x + 14 = 44

6x = 44 - 14

6x = 30

x = 5

Vi finner $y$ :

y = 5 + 7 = 12

En liten sekk veier $\underline{\underline{5 \, \mathrm{kg}}}$ og en stor sekk veier $\underline{\underline{12 \, \mathrm{kg}}}$ .

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: likningssystem
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 1-4 : Areal og omkrets av halvsirkel og trekant

Figur: halvsirkel med radius r og likebeint trekant ABC med høyde h

Et område har form som en halvsirkel med radius $r = 1{,}0 \mathrm{~m}$ . Et annet område har form som en likebeint trekant $ABC$ , der $AB = 3{,}0 \mathrm{~m}$ og høyden $h = 1{,}0 \mathrm{~m}$ . Se figurene ovenfor.

Gjør beregninger og avgjør

hvilket av de to områdene som har størst areal
hvilket av de to områdene som har størst omkrets

Fasit

Halvsirkelen har størst areal: $\underline{\underline{A_\text{halvsirkel} \approx 1{,}57 \, \mathrm{m}^2}}$
Trekanten har størst omkrets: $\underline{\underline{O_\text{trekant} \approx 6{,}61 \, \mathrm{m}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Areal av halvsirkelen

Arealet av en hel sirkel er $\pi r^2$ . En halvsirkel er halvparten av en hel sirkel:

A_\text{halvsirkel} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot (1{,}0)^2 \approx 1{,}57 \, \mathrm{m}^2

Areal av trekanten

Trekanten har grunnlinje $AB = 3{,}0 \, \mathrm{m}$ og høyde $h = 1{,}0 \, \mathrm{m}$ :

A_\text{trekant} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3{,}0 \cdot 1{,}0 = 1{,}5 \, \mathrm{m}^2

Sammenligning areal:

1{,}57 \, \mathrm{m}^2 > 1{,}5 \, \mathrm{m}^2

Halvsirkelen har størst areal.

Omkrets av halvsirkelen

Omkretsen består av den rette kanten (diameteren) og den buede kanten (halvsirkelbuen):

Diameter: $2r = 2 \cdot 1{,}0 = 2{,}0 \, \mathrm{m}$
Halvsirkelbue: $\pi r = \pi \cdot 1{,}0 \approx 3{,}14 \, \mathrm{m}$

O_\text{halvsirkel} = 2r + \pi r = 2{,}0 + 3{,}14 \approx 5{,}14 \, \mathrm{m}

Omkrets av trekanten

Trekanten er likebeint med $AB = 3{,}0 \, \mathrm{m}$ og høyde $h = 1{,}0 \, \mathrm{m}$ . Høyden deler grunnlinjen i to like deler, slik at hver halvdel er $\frac{3{,}0}{2} = 1{,}5 \, \mathrm{m}$ .

Vi finner lengden av sidekantene $AC$ og $BC$ med Pytagoras:

AC = \sqrt{1{,}5^2 + 1{,}0^2} = \sqrt{2{,}25 + 1{,}00} = \sqrt{3{,}25} \approx 1{,}80 \, \mathrm{m}

O_\text{trekant} = AB + AC + BC = 3{,}0 + 1{,}80 + 1{,}80 = 6{,}60 \, \mathrm{m}

Sammenligning omkrets:

6{,}60 \, \mathrm{m} > 5{,}14 \, \mathrm{m}

Trekanten har størst omkrets.

Sensorveiledning

Poengene fordeles i utgangspunktet slik: Beregninger og riktig svar knyttet til det første kulepunktet gir 1 poeng. Beregninger og riktig svar knyttet til det andre kulepunktet gir 2 poeng. En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 eller 2 poeng totalt.

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: geometri, areal
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid

Oppgave 1-5 : Nedbetalingsplan for Marcos lån

Stolpediagram som viser avdrag og renter per termin over 10 år

Marco har tatt opp et lån med fast årlig rente. Lånet skal betales tilbake i løpet av 10 år, med én termin i året. Figuren ovenfor viser nedbetalingsplanen.

Hvor stort lån har Marco tatt opp?

Er dette et annuitetslån eller et serielån? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Marco har tatt opp $\underline{\underline{100\,000 \, \mathrm{kr}}}$

Dette er et $\underline{\underline{\text{serielån}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Fra figuren leser vi av at avdraget er 10 000 kr i hver av de 10 terminene.

Lånebeløpet er summen av alle avdragene:

10\,000 \, \mathrm{kr} \cdot 10 = \underline{\underline{100\,000 \, \mathrm{kr}}}

Marco har tatt opp et lån på $100\,000 \, \mathrm{kr}$ .

Fra figuren ser vi at avdraget er likt i alle terminer — det er $10\,000 \, \mathrm{kr}$ per termin hele veien.

Rentedelen derimot avtar for hvert år. Det er fordi restgjelden blir mindre og mindre, og da beregnes rentene av et stadig lavere beløp.

Et lån med like store avdrag og avtagende renter kalles et serielån.

Et annuitetslån har derimot like store totale terminbeløp (avdrag + renter er det samme hver termin), og det ser vi ikke her.

Begrunnelse: Avdragene er konstant $10\,000 \, \mathrm{kr}$ per termin, så dette er et serielån.

Sensorveiledning

1 poeng

For å få uttelling, må svar og begrunnelse være riktig.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: lån
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort

Oppgave 1-6 : Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder

I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til $100$ personer som er medlemmer på et treningssenter:

Alder (år)	Antall medlemmer
$[16,20\rangle$	$20$
$[20,40\rangle$	$40$
$[40,60\rangle$	$30$
$[60,90\rangle$	$10$

Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. $38$ år, og at medianalderen er ca. $35$ år.

Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige. Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse.

Fasit

Gjennomsnitt ≈ $38{,}1$ år, median ≈ $35$ år (ved jevn fordeling i hver klasse).

Løsningsforslag

Trine må ha antatt at det er omtrent like mange personer i hver alder i hver klasse, altså at det for eksempel er 5 16-åringer, 5 17-åringer, 5 18-årnger og 5 19-åringer i den første klassen.

Hvis den antakelsen stemmer så kan vi finne gjennomsnittsalder ved å ta klassemidtpunktet for hver klasse og multiplisere med antallet medlemmer i klassen.

Alder	Midtpunkt	Frekvens	Midtpunkt $\cdot$ frekvens
$[16, 20\rangle$	18	20	360
$[20,40\rangle$	30	40	1200
$[40,60\rangle$	50	30	1500
$[60,90\rangle$	75	10	750
Sum		100	3810

Gjennomsnittsalderen er omtrent $\frac{3810}{100}=\underline{\underline{38{,}1}}$ år.

Medianen er «den midterste personen» blant de 100 hvis vi sorterer dem etter alder. Altså vil medianen være gjennomsnittet av alderen til person nr. 50 og 51.

Vi tenker oss de 100 personene sortert etter alder i en lang rekke. De 20 yngste personene er under 20 år. I den neste klassen er det 40 personer, og medianpersonen vil være gjennomsnittet av person nr. 30 og 31 inni denne klassen.

Hvis vi fordeler personene i klassen $[20, 40\rangle$ i 5-årsgrupper så finner vi ut at person nummer 21–30 er mellom 20–24 år, person 31–40 er 25–30 år, person 41–50 er 30–35 år og 51–60 er 35–40 år. Personene 50 og 51 er altså begge rett rundt 35 år, og dermed er medianalderen 35 år.

Gjennomsnittet er ca. 38 år og medianalderen er ca. 35 år hvis personene er jevnt fordelt innenfor hver klasse.

Sensorveiledning

Her gis i utgangspunktet 2 poeng for å vise at gjennomsnittet blir ca. 38 år, og 2 poeng for å vise at medianen blir ca. 35 år. Det gis 1 poeng for riktig argumentasjon for medianklassen. For å få full uttelling, må kandidaten gjøre rede for en antakelse om jevn fordeling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: sentralmål, gjennomsnitt, grupperte data, argumentasjon
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 1-7 : Program for reduksjon av matsvinn

Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn. Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. $160\text{ kg}$ mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.

matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87

år = 2025

while matsvinn > mål:
    matsvinn = matsvinn * vf
    år = år + 1

print(år)
print(matsvinn)

Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:

2030
79.74734731199999

Forklar hva Sofie ønsker å finne ut.
Hva forteller verdiene som blir skrevet ut når Sofie kjører programmet?

Fasit

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før matsvinnet er halvert (til under $80\text{ kg}$ ). Verdiene viser at målet nås i $2030$ med utslipp på $79{,}7\text{ kg}$ .

Løsningsforslag

I programmet ser jeg følgende:

Linje 1: matsvinnet starter på 160 kg
Linje 2: Målet er å halvere matsvinnet til 80 kg
Linje 3: Vekstfaktoren er 0,87, altså 13 % nedgang.
Linje 7: Starter en løkke som kjører fram til matsvinnet er mindre enn målet vårt på 80 kg
Linje 8: Reduserer matsvinnet med 13 %
Linje 9: Beregner hvilket år vi er i

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før vi har halvert matsvinnet vårt.

Verdiene som skrives ut forteller at vi når målet i 2030 dersom vi reduserer med 13 % per år, og at utslippet da vil være 79,7 kg per familie på fire.

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidaten gjøre rede for

at målet er å halvere utslippet
at utslippet skal reduseres med 13 % per år
at målet nås i 2030
at utslippet da er redusert til ca. 79,7 kg

For å få ett poeng, må kandidaten gjøre rede for to av de fire momentene nevnt ovenfor. Redegjørelsene må være presise.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: programmering, eksponentialfunksjoner
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 2-1 : Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser:

Den ene slipper ut $5000\mathrm{~tonn}$ per år
Den andre slipper ut $1000\mathrm{~tonn}$ per år.

Ledelsen mener funksjonen

U(x)=5000\cdot0{,}95^x+1000

er en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år etter $x$ år.

Forklar hva modellen forteller om ledelsens plan for å redusere utslippet.

Hvor lang tid vil det gå før bedriften har halvert det årlige utslippet ifølge modellen?

Hvor mange prosent er det årlige utslippet redusert med etter $10$ år ifølge modellen?

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,U(0))$ og $(30,U(30))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Myndighetene har krevd at utslippet skal reduseres til $800\text{ tonn}$ per år.

Vurder om det ifølge modellen $U$ er mulig å oppfylle dette kravet.

Fasit

Den ene prosessen reduseres med $5\%$ per år, den andre holdes konstant på $1000\text{ tonn}$ .

$18$ år.

$33{,}4\%$ reduksjon.

Stigningstallet ≈ $-131$ , som betyr en gjennomsnittlig årlig nedgang på $131\text{ tonn}$ de første 30 årene.

Nei, modellen har alltid $U(x)>1000$ og vil aldri nå $800$ ).

Løsningsforslag

$U(x)$ består av to ledd: $\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}$ og $\textcolor{seagreen}{1000}$ .

$\textcolor{maroon}{5000 \cdot 0{,}95^{x}}$ er en eksponentialfunksjon som synker med 5 % for hvert år. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 5000 tonn per år kommer til å reduseres med 5 %.
$\textcolor{seagreen}{1000}$ er en konstant funksjon, denne verdiene endrer seg altså ikke i framtiden. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 1000 tonn per år kommer til å fortsette på samme måte i framtiden.

Ledelsen ønsker å minke utslippet fra den ene prosessen med 5 % per år, og ikke gjøre noe med den andre prosessen.

Til de neste oppgavene har jeg brukt GeoGebra til å regne ut svarene, se figur figur 1.

For å finne antall år før utslippene blir halvert har jeg lagt ut linja $y=\frac{6000}{2}$ og funnet skjæringen med $U$ , se punkt $A$ .

Utslippene vil være halvert til 3000 tonn per år etter 18 år.

For å finne utslippet etter 10 år har jeg lagt ut linja $x=10$ og funnet skjæringen med $U$ , se punkt $B$ . Utslippene er 3993,7 tonn etter 10 år.

Jeg har beregnet den prosentvise endringen i algebrafeltet, se linjen merket c) ProsEndring.

Utslippene har minket med 33,4 % etter 10 år.

Jeg la ut punktene $C(0,U(0))$ og $D(30,U(30))$ i GeoGebra og trakk en linje mellom dem. Etter å ha ordnet uttrykket for linja ser jeg at stigningstallet til linja er $-130{,}9$ .

Stigningstallet til linja er omtrent -131, dette betyr at utslippene i gjennomsnitt minker med 131 tonn per år hvert år i løpet av de 30 første årene.

Jeg sjekket dette ved å lete etter skjæringen i mellom $y=800$ og $U(x)$ i GeoGebra. Da fikk jeg svaret Udefinert siden disse funksjonene ikke skjærer hverandre. Dette kunne jeg også sett fra funksjonsuttrykket med leddet $+1000$ , som gjør at $U(x)$ alltid vil være større enn 1000.

Det er ikke mulig å komme ned til 800 tonn per år med dagens modell.

Sensorveiledning

2,3 poeng

For å få uttelling må det gå klart fram at det er utslippet fra den ene prosessen som skal reduseres.

2,3 poeng

En kandidat som finner utslippet etter 10 år og gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2,3 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten finne riktig stigningstall og tolke dette som gjennomsnitt per år.

En kandidat tegner grafen sammen med linja $y=800$ , må argumentere for at grafen ikke vil skjære linja for å få uttelling.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: eksponentialfunksjoner, geogebra, funksjoner
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 2-2 : Påstander om gjennomsnitt og median i et rom

I et rom er det $10$ personer. Nedenfor ser du alderen til hver person:

12,\,14,\,40,\,42,\,70,\,67,\,5,\,5,\,28,\,30

Er denne påstanden riktig? Begrunn.

Fasit

Det kommer an på alderen på den som kommer. Hvis den er 29 år så blir medianen uendret.

Ja, hvis personen er 17 år.

Løsningsforslag

Akkurat nå er det 10 personer i rommet. Medianalderen blir da gjennomsnittet av aldrene til person nummer 5 og 6. Denne medianalderen er foreløpig $\frac{28+30}{2}=29$ år.

Dersom det kommer en ellevte person inn så er det person nr. 6 som vil være medianalderen:

Hvis personen er yngre enn 29 år så vil medianalderen bli 28
Hvis personen er eldre enn 29 år så vil medianalderen bli 30
Hvis personen er 29 år så blir den nye medianalderen 29

Påstanden er riktig.

Hvis det kommer en ny person inn i rommet så blir det 11 personer i rommet. Hvis deres gjennomsnittsalder skal være 30 så må summen av alle aldrene være $11 \cdot 30 = 330$ år.

Foreløpig er summen av aldrene 313 år. Hvis den siste personen er 17 år så blir blir summen 330 år, og dermed blir gjennomsnittet

\frac{330 \text{ år}}{11}=30 \text{ år}

Påstanden er riktig.

Sensorveiledning

En riktig argumentasjon for at gjennomsnittsalderen kan bli 30 år, gir full uttelling. Mindre presise argumenter kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: sentralmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 2-3 : Formlike trekanter over elv

Skisse av elv med punktene A, B, C, D og E markert

Kari skal over en elv. Hun har laget skissen ovenfor. Avstanden fra $A$ til $D$ er $5 \mathrm{~m}$ , avstanden fra $D$ til $E$ er $10 \mathrm{~m}$ , og avstanden fra $B$ til $C$ er $40 \mathrm{~m}$ .

Forklar at $\triangle ABC$ og $\triangle ADE$ er formlike.

Vis Kari hvordan hun kan regne ut avstanden fra $B$ til $D$ .

Fasit

$\triangle ABC$ og $\triangle ADE$ er formlike fordi de har felles vinkel i $A$ og begge har en rett vinkel (ved $B$ og $D$ ).

$\underline{\underline{BD = 15 \, \mathrm{m}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Figur som viser de to formlike trekantene ADE (grønn) og ABC (blå)

Vi skal forklare at $\triangle ABC$ og $\triangle ADE$ er formlike.

To trekanter er formlike hvis de har to par like vinkler (da er den tredje vinkelen automatisk lik også).

Begge trekantene har en felles vinkel i $A$ — samme vinkel inngår i begge trekantene.
Begge trekantene har en rett vinkel: $\angle ABС = 90°$ (ved $B$ ) og $\angle ADE = 90°$ (ved $D$ ), siden $BC$ og $DE$ er loddrette linjer i skissen (Kari har målt avstanden rett over elven).

Siden to vinkler er like i begge trekantene, er $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ .

Vi bruker at formlike trekanter har like forholdstall mellom tilsvarende sider.

De tilsvarende sidene er:

$AD$ svarer til $AB$
$DE$ svarer til $BC$

\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}

Vi setter inn kjente verdier ( $AD = 5 \, \mathrm{m}$ , $DE = 10 \, \mathrm{m}$ , $BC = 40 \, \mathrm{m}$ ):

\frac{5}{AB} = \frac{10}{40}

\frac{5}{AB} = \frac{1}{4}

AB = 5 \cdot 4 = 20 \, \mathrm{m}

Siden $AB = AD + DB$ , finner vi:

DB = AB - AD = 20 - 5 = \underline{\underline{15 \, \mathrm{m}}}

Avstanden fra $B$ til $D$ er $15 \, \mathrm{m}$ .

Sensorveiledning

1 poeng

For å få uttelling må kandidaten gjøre rede for at to vinkler er like store.

1 poeng

For å få uttelling, må kandidaten finne avstanden fra $B$ til $D$ .

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: geometri, formlikhet
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid

Oppgave 2-4 : Halvert fuglebestand

En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene.
I dag er det 12 000 fugler i bestanden.

Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.

Vis at funksjonen $F$ gitt ved $F(x)=12\,000 \cdot 0{,}87^{x}$ er en god modell for antallet fugler etter $x$ år.

Hvor stor vil bestanden være etter 7 år ifølge modellen?

Hvor mange år vil det gå før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen?

Fasit

–

4527 fugler

3 år

Løsningsforslag

Jeg bruker regresjon for å vise dette, se figuren.

Regresjon på antall fugler

Funksjonen $\underline{\underline{F(x)=12000\cdot 0{,}87^{x}}}$ er en god modell for utviklingen.

Fuglebestand

Jeg sjekket verdien av $F(7)$ i GeoGebra, se skjermbildet.

Etter 7 år vil det være 4527 fugler ifølge modellen.

Når bestanden er redusert med 35 % er det 65 % igjen, altså $12000 \cdot 0{,}65$ . Jeg la inn linja $y=12000 \cdot 0{,}65$ og fant skjæringen i punktet $A$ .

Det tar 3 år før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som viser at bestanden halveres for hvert 5. år, må vise minst to halveringer for å få full uttelling.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: eksponentialfunksjoner, regresjon, vekstfaktor
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 2-5 : Husleie regulert etter KPI

År	KPI for oktober
2021	117,2
2022	126,0
2023	131,1
2024	134,5

Tabellen ovenfor viser konsumprisindeksen for oktober måned i perioden 2021–2024.

Felix leier en leilighet. I oktober 2023 gikk husleien opp og ble satt til $8500$ kroner per måned.

Husleieloven sier at ny leie kan fastsettes én gang i året, tidligst ett år etter forrige leiefastsetting. Endringen kan ikke overstige endringen i konsumprisindeksen (KPI).

I oktober 2024 fikk Felix varsel fra huseieren om at leien igjen skulle settes opp, og at ny pris ville bli $9000$ kroner per måned.

Gjør beregninger og avgjør om huseieren hadde lov til å sette opp leien til $9000$ kroner per måned på dette tidspunktet.

Lag en oversikt som viser hvor mange prosent konsumprisen økte med per år fra oktober 2021 til oktober 2024.

Gjør antakelser og beregninger, og finn ut hvor mye Felix må regne med å betale i husleie per måned fra og med oktober 2026.

Fasit

Huseieren hadde ikke lov til å sette opp leien til $9000$ kr — maksimalt tillatt var $\underline{\underline{8720{,}44 \, \mathrm{kr}}}$ .

Se regneark/tabell i løsningsforslaget.

Med gjennomsnittlig KPI-vekst som antakelse: $\underline{\underline{\approx 9559 \, \mathrm{kr/mnd}}}$ fra oktober 2026.

LøsningsforslagKI-generert

Tabellen nedenfor er laget i regneark (openpyxl) og viser alle beregningene samlet:

Regneark: KPI-regulert husleie

Vi skal sjekke om en husleieøkning fra $8500 \, \mathrm{kr}$ til $9000 \, \mathrm{kr}$ er lovlig i oktober 2024.

Husleieloven sier at økningen ikke kan overstige endringen i KPI. Vi regner ut prosentvis KPI-endring fra oktober 2023 til oktober 2024:

\text{KPI-endring} = \frac{134{,}5 - 131{,}1}{131{,}1} \cdot 100 \approx 2{,}59 \,\%

Maksimalt tillatt husleie i oktober 2024 blir da:

8500 \cdot \left(1 + \frac{2{,}59}{100}\right) \approx 8500 \cdot 1{,}0259 \approx 8720{,}44 \, \mathrm{kr}

Siden $9000 \, \mathrm{kr} > 8720{,}44 \, \mathrm{kr}$ , hadde huseieren ikke lov til å sette opp leien til $9000 \, \mathrm{kr}$ .

Huseieren kan maksimalt sette husleien til $\underline{\underline{8720{,}44 \, \mathrm{kr}}}$ i oktober 2024.

Vi regner ut prosentvis endring i KPI for hvert år:

\text{Endring} = \frac{\text{KPI dette år} - \text{KPI forrige år}}{\text{KPI forrige år}} \cdot 100

Periode	KPI forrige år	KPI dette år	Prosentvis endring
okt 2021 → okt 2022	$117{,}2$	$126{,}0$	$\approx 7{,}51 \,\%$
okt 2022 → okt 2023	$126{,}0$	$131{,}1$	$\approx 4{,}05 \,\%$
okt 2023 → okt 2024	$131{,}1$	$134{,}5$	$\approx 2{,}59 \,\%$

Utregning for 2021–2022: $\dfrac{126{,}0 - 117{,}2}{117{,}2} \cdot 100 \approx 7{,}51 \,\%$

Vi vet ikke fremtidig KPI, så vi må gjøre en antakelse. Vi bruker gjennomsnittlig årlig KPI-vekst fra 2021 til 2024 som grunnlag.

Total vekst fra 2021 til 2024 (3 år):

\left(\frac{134{,}5}{117{,}2}\right)^{1/3} - 1 \approx 1{,}0470 - 1 = 0{,}0470 \approx 4{,}70 \,\%\text{ per år}

Vi tar utgangspunkt i maks tillatt husleie i oktober 2024 ( $8720{,}44 \, \mathrm{kr}$ ):

Tidspunkt	Beregning	Husleie
Oktober 2024	maks tillatt	$8720{,}44 \, \mathrm{kr}$
Oktober 2025	$8720{,}44 \cdot 1{,}0470$	$\approx 9130 \, \mathrm{kr}$
Oktober 2026	$9130 \cdot 1{,}0470$	$\approx 9559 \, \mathrm{kr}$

Med gjennomsnittlig KPI-vekst som antakelse må Felix regne med å betale omtrent $\underline{\underline{9559 \, \mathrm{kr/mnd}}}$ fra oktober 2026.

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: prosentregning, prosentvis endring, prisindeks
Kompetansemål: Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt

Oppgave 2-6 : Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate

År	Antall fødte	Antall døde	Fødselsrate	Dødsrate	Samlet fruktbarhetstall
1983	49 937	42 224	12,1	10,2	1,66
1993	59 678	46 597	13,8	10,8	1,86
2003	56 458	42 478	12,4	9,3	1,80
2013	58 995	41 282	11,6	8,1	1,78
2023	51 980	43 803	9,4	7,9	1,40

Datamaterialet ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrås nettsider.

Fødselsrate og dødsrate er antall fødte og døde per 1000 innbyggere.
Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag.

Title Gjør relevante sammenlikninger og beregninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon.

Presentasjonen skal inneholde

diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023
beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023

Fasit

Oppgaven er åpen og har mange mulige svar. Se løsningsforslag for et eksempel.

Løsningsforslag

Figur figur 1 viser et eksempel på svar på denne oppgaven, hvor jeg viser ulike framstillinger og beregninger.

Siden vi skal skal vise utvikling over tid fra 1983 til 2023 så passer linjediagrammer best. Jeg lager tre ulike linjediagrammer, ett diagram som passer til hver måleenhet (antall, antall per 1000 og antall per kvinne). For å vise beregninger med prosentvise endringer så har jeg laget en tabell som viser prosentvis endring fra 1983 fram til hvert år, og jeg har også vist formlene for beregningene i presentasjonen.

Vurdering av oppgaver hvor du skal presentere datamateriale

Dette er en type oppgave som har mange ulike svar, og det er vanskelig å si nøyaktig hva som er nok for å få full uttelling (4 poeng) på denne oppgaven. Fjorårets sensorveiledning sa at besvarelsene skulle vurderes på følgende måte

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte. Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter.

Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.) Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2 - 3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Jeg synes det er vanskelig å tolke fra oppgaveteksten om det er tilstrekkelig å bare ha med diagrammer som illustrerer utviklingen og beregningen som viser prosentvise endringer, eller om vi skal skal ta med enda flere relevante sammenligninger og beregninger.

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte. Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter. Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.). Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2 - 3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: presentasjon av data, prosentregning, diagram
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 1-1 : Elever i klassen basert på prosentandel

Oppgave 1-2 : Median og gjennomsnitt i heiskø

Oppgave 1-3 : Vekt på sekker med hundemat

Oppgave 1-4 : Areal og omkrets av halvsirkel og trekant

Oppgave 1-5 : Nedbetalingsplan for Marcos lån

Oppgave 1-6 : Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder

Oppgave 1-7 : Program for reduksjon av matsvinn

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Modell for reduksjon av utslipp Modell for reduksjon av utslipp

Oppgave 2-2 : Påstander om gjennomsnitt og median i et rom

Oppgave 2-3 : Formlike trekanter over elv

Oppgave 2-4 : Halvert fuglebestand

Oppgave 2-5 : Husleie regulert etter KPI

Oppgave 2-6 : Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate