1T Vår 2022

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

1T Vår 2022 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler
1-1	Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22	—
1-2	Identitet med andre kvadratsetning	—
1-3	Rettvinklet trekant med tan B og tre tester	—
1-4	Python-program med kvadrater og while-løkke	—
1-5	Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk	—
1-6	Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler
2-1	Vanntank som tappes ut	—
2-2	Klossmønster i tre figurer	—
2-3	Eksakt omkrets og arealforhold i firkant	—
2-4	Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell	—
2-5	Andregradsfunksjon fra tangentstigninger	—
2-6	Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time

Oppgave 1-1 : Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22

Løs likningen

(x-2)(x+1)=0

Sett opp en ulikhet som har løsning $x\in\langle\leftarrow,-1\rangle\cup\langle 2,\rightarrow\rangle$

Husk å begrunne svaret.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Temaer: faktorisering, andregradslikning, ulikheter
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing

Oppgave 1-2 : Identitet med andre kvadratsetning

Bestem $r$ og $s$ slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet

9x^2-30x+r=(3x-s)^2

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: identitet, andregradsfunksjon, faktorisering
Kompetansemål: Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon
Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing

Oppgave 1-3 : Rettvinklet trekant med tan B og tre tester

Om en rettvinklet trekant $ABC$ får du vite at $\tan\angle B=\dfrac{3}{4}$ .

Kan det være riktig at $\sin\angle B=\dfrac{3}{10}$ ?
Kan det være riktig at den ene kateten er 6 og den andre kateten er 8?
Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn 4?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: trigonometri, rettvinklet trekant, Pytagoras, argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar

Oppgave 1-4 : Python-program med kvadrater og while-løkke

def f(x):
    return x ** 2     # Definerer funksjonen f gitt ved f(x) = x ^ 2

x = 1

while f(x) <= 400:
    print(f(x))
    x = x + 1

Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres. Hva blir resultatet?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Temaer: programmering
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering

Oppgave 1-5 : Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk

En rasjonal funksjon $f$ har vertikal asymptote $x=-2$ og horisontal asymptote $y=3$ .

Bestem to mulige funksjonsuttrykk for $f$ . Husk å forklare hvordan du tenker.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: rasjonale funksjoner, asymptoter
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-6 : Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x)=2x^3+x^2-18x-9

Vis at divisjonen $f(x):(x-3)$ går opp.

Gjør beregninger, og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til $f$ .

Tre kandidater A, B og C for grafen til f

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering, tredjegradsfunksjon, grafisk framstilling
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer

Oppgave 2-1 : Vanntank som tappes ut

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.

Anta at funksjonen $V$ gitt ved

V(x)=2000-2000\cdot\left(1-\frac{x}{40}\right)^2,\quad 0\le x\le 40

kan brukes som en modell for hvor mange liter vann $V(x)$ som er tappet ut av tanken $x$ minutter etter at tappingen startet.

Bestem $V(0)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem verdimengden til $V$ .

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,V(0))$ og $(30,V(30))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: andregradsfunksjon, modellering, gjennomsnittlig vekstfart, derivasjon
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-2 : Klossmønster i tre figurer

Tre figurer satt sammen av klosser

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?

Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: mønstre, figurtall, rekker, modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-3 : Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Firkant ABCD med vinkler 45°, 75°, 120° og sider 2a, 2a

Gitt firkanten $ABCD$ ovenfor.

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

Vis at forholdet mellom arealet av $\triangle ABD$ og arealet av $\triangle BCD$ er $\dfrac{3}{2}\left(\sqrt{3}+1\right)$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: trigonometri, arealsetningen, cosinussetningen, eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Oppgave 2-4 : Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}0 \mathrm{~\degree C}$ . De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20 \mathrm{~\degree C}$ . Tabell 1 viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temperatur (°C)	$/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}0$	$/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}7$	$/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}3$	$/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}0$	$10{,}2$	$13{,}4$	$16{,}4$	$18{,}4$

Tabell 1

Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell $T_1$ på formen $T_1(x)=a\cdot x^b$ .

Bestem tallene $a$ og $b$ .

Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_1$ .

Eline og Malene ønsker å forbedre modellen $T_1$ . Eline foreslår at de skal trekke $20 \mathrm{~\degree C}$ fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Korrigert temperatur (°C)	$-18{,}0$	$-16{,}3$	$-14{,}7$	$-12{,}0$	$-9{,}8$	$-6{,}6$	$-3{,}6$	$-1{,}6$

Tabell 2

Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.

Tegn grafen til $T_1$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

Malene mener de kan bruke funksjonen $f$ til å lage en bedre modell enn $T_1$ for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til $f$ opp $20\mathrm{~\degree C}$ , slik at den starter omtrent i punktet $(0,2)$ », sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Bruk funksjonen $f$ , og lag en modell $T_2$ ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_2$ ?

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: regresjon, potensfunksjon, eksponentialfunksjoner, modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-5 : Andregradsfunksjon fra tangentstigninger

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ har

en tangent i punktet $(1,f(1))$ med stigningstall 0
en tangent i punktet $(4,f(4))$ med stigningstall 6

Bestem $f'(x)$ .

Grafen til $f$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0,4)$ .

Bestem $f(x)$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: andregradsfunksjon, derivasjon, tangent
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Oppgave 2-6 : Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x)=x^3-2b\cdot x^2+(b^2+3)\cdot x \quad\text{der}\quad b\in\mathbb{R}

Vis at $f$ bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av $b$ .

Løs likningen $f'(x)=0$ . For hvilke verdier av $b$ har grafen til $f$ bare ett stasjonært punkt?

Dersom $b\neq 0$ har grafen til $f$ to tangenter med stigningstall 3.

Bestem likningene for disse tangentene.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: tredjegradsfunksjon, derivasjon, tangent, argumentasjon
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte