1T Vår 2022

Oppgave 1-1Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

(x - 2) (x + 1) = 0

Sett opp en ulikhet som har løsning $x \in ⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 2, \to ⟩$

Husk å begrunne svaret.

Fasit

$x = - 1 eller x = 2$

$(x + 1) (x - 2) > 0$

LøsningsforslagKI-generert

Produktet $(x - 2) (x + 1) = 0$ når én av faktorene er null:

x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2

x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1

Svar: $x = - 1 eller x = 2$

Løsningsmengden $x \in ⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 2, \to ⟩$ betyr at $x < - 1$ eller $x > 2$ , altså utenfor røttene $x = - 1$ og $x = 2$ .

Vi setter opp ulikheten med et andregradsuttrykk som har røtter i $x = - 1$ og $x = 2$ . Siden parabelen åpner oppover (positivt fortegnskoeffisient), er uttrykket positivt utenfor røttene.

(x + 1) (x - 2) > 0

Begrunnelse med fortegnslinje:

Fortegnslinje for (x+1)(x-2)

Produktet er positivt (større enn null) når $x < - 1$ eller $x > 2$ , som stemmer med den gitte løsningsmengden.

Svar: $(x + 1) (x - 2) > 0$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Faktorisering, Andregradslikninger, Ulikheter
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Identitet med andre kvadratsetning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem $r$ og $s$ slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet

9 x^{2} - 30 x + r = {(3 x - s)}^{2}

Fasit

$r = 25$ , $s = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider høyre side med andre kvadratsetning ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ :

{(3 x - s)}^{2} = {(3 x)}^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot s + s^{2} = 9 x^{2} - 6 s x + s^{2}

For at dette skal være en identitet, må koeffisientene på venstre og høyre side stemme overens for alle ledd.

Koeffisient foran $x$ :

- 30 = - 6 s ⟹ s = \frac{30}{6} = 5

Konstantleddet:

r = s^{2} = 5^{2} = 25

Kontroll: Vi setter inn $s = 5$ og $r = 25$ :

9 x^{2} - 30 x + 25 = {(3 x - 5)}^{2} = 9 x^{2} - 30 x + 25 ✓

Identiteten holder, og vi har $s = 5$ og $r = 25$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Identiteter, Andregradsfunksjon, Faktorisering
Kompetansemål: Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon
Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Rettvinklet trekant med tan B og tre tester

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om en rettvinklet trekant $A B C$ får du vite at $\tan ∠ B = \frac{3}{4}$ .

Kan det være riktig at $\sin ∠ B = \frac{3}{10}$ ?
Kan det være riktig at den ene kateten er 6 og den andre kateten er 8?
Kan det være riktig at hypotenusen er kortere enn 4?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Fasit

Nei, $\sin ∠ B = \frac{3}{5}$ , ikke $\frac{3}{10}$ .
Ja, kateter 6 og 8 er mulig.
Ja, hypotenusen kan godt være kortere enn 4.

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $\tan ∠ B = \frac{3}{4}$ . Det betyr at i en rettvinklet trekant $A B C$ er forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet lik $\frac{3}{4}$ .

Den enkleste slike trekanten har motstående katet $= 3$ og hosliggende katet $= 4$ . Pytagoras gir

hypotenus = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Påstand 1: Kan $\sin ∠ B = \frac{3}{10}$ ?

Sinus er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen:

\sin ∠ B = \frac{motstående}{hypotenus} = \frac{3}{5}

$\frac{3}{5} \neq \frac{3}{10}$ , så påstanden er feil.

Påstand 2: Kan den ene kateten være 6 og den andre 8?

Vi sjekker om $\tan ∠ B = \frac{3}{4}$ stemmer med kateter 6 og 8. Velger vi motstående $= 6$ og hosliggende $= 8$ :

\tan ∠ B = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} ✓

Dette er den 3–4–5-trekanten skalert med faktor 2 (kateter $6 = 2 \cdot 3$ og $8 = 2 \cdot 4$ , hypotenus $10 = 2 \cdot 5$ ). Påstanden er riktig.

Påstand 3: Kan hypotenusen være kortere enn 4?

Trekanten behøver ikke ha akkurat kateter 3 og 4 — alle tre sidene kan skaleres med samme positive faktor $k$ og $\tan ∠ B$ forblir $\frac{3}{4}$ . Med faktor $k$ er sidene:

motstående = 3 k, hosliggende = 4 k, hypotenus = 5 k

Velger vi for eksempel $k = \frac{1}{2}$ :

motstående = \frac{3}{2}, hosliggende = 2, hypotenus = \frac{5}{2} = 2,5

Her er hypotenusen $2,5 < 4$ , og $\tan ∠ B = \frac{3 / 2}{2} = \frac{3}{4}$ stemmer. Påstanden er riktig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

1 poeng for hvert riktig svar som er begrunnet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Rettvinklet trekant, Pytagoras, Argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Python-program med kvadrater og while-løkke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

def f(x):
    return x ** 2     # Definerer funksjonen f gitt ved f(x) = x ^ 2

x = 1

while f(x) <= 400:
    print(f(x))
    x = x + 1

Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres. Hva blir resultatet?

Fasit

Programmet skriver ut kvadrattallene $1, 4, 9, 16, \dots, 400$ (de 20 første kvadrattallene).

LøsningsforslagKI-generert

Programmet definerer funksjonen $f (x) = x^{2}$ og starter med $x = 1$ .

While-løkken kjører så lenge betingelsen $f (x) \leq 400$ er oppfylt, det vil si så lenge $x^{2} \leq 400$ .

For hvert steg i løkken skjer to ting:

print(f(x)) skriver ut verdien $x^{2}$ .
x = x + 1 øker $x$ med 1.

Siden $20^{2} = 400 \leq 400$ er betingelsen sann, men $21^{2} = 441 > 400$ er den ikke lenger sann. Løkken stopper derfor etter at $x = 20$ er skrevet ut.

Programmet skriver ut alle perfekte kvadrattall fra $1^{2}$ til $20^{2}$ :

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400

Det er $20$ tall som skrives ut, og det siste tallet er $400$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som bare viser forståelse for enkeltlinjer i koden, får 1 poeng. En kandidat som viser forståelse for koden og while-løkken, får 2 poeng. En kandidat som også har fått klart fram at programmet skriver ut de 20 første kvadrattallene, får 3 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Programmering
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rasjonal funksjon $f$ har vertikal asymptote $x = - 2$ og horisontal asymptote $y = 3$ .

Bestem to mulige funksjonsuttrykk for $f$ . Husk å forklare hvordan du tenker.

Fasit

For eksempel $f (x) = \frac{3 x}{x + 2}$ og $f (x) = \frac{3 x + 1}{x + 2}$ (mange svar er mulige).

LøsningsforslagKI-generert

En rasjonal funksjon med vertikal asymptote $x = - 2$ har $(x + 2)$ i nevneren. For å få horisontal asymptote $y = 3$ må telleren og nevneren ha samme grad, og forholdet mellom ledende koeffisienter må være $3$ .

Den generelle formen blir:

f (x) = \frac{3 x + k}{x + 2}, k \neq 6

(Kravet $k \neq 6$ sikrer at uttrykket ikke forenkles til konstanten $3$ .)

Vi kan kontrollere asymptotene for et slikt uttrykk:

\lim_{x \to \infty} \frac{3 x + k}{x + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{k}{x}}{1 + \frac{2}{x}} = \frac{3}{1} = 3 ✓

Nevneren er null når $x + 2 = 0$ , det vil si $x = - 2$ $✓$

To eksempler på gyldige funksjonsuttrykk:

Eksempel 1 ( $k = 0$ ):

𝐟 (𝐱) = \frac{𝟑 𝐱}{𝐱 + 𝟐}

Eksempel 2 ( $k = 1$ ):

𝐟 (𝐱) = \frac{𝟑 𝐱 + 𝟏}{𝐱 + 𝟐}

Begge har vertikal asymptote $x = - 2$ og horisontal asymptote $y = 3$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

1 poeng dersom den første funksjonen har vertikal asymptote. 1 poeng dersom den første funksjonen har horisontal asymptote. 1 poeng for en ny funksjon med de samme asymptotene. Om forklaringene er mangelfulle, får kandidaten maksimalt 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Rasjonale funksjoner, Asymptoter
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 18 x - 9

Vis at divisjonen $f (x) : (x - 3)$ går opp.

Gjør beregninger, og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til $f$ .

Tre kandidater A, B og C for grafen til f

Fasit

$f (3) = 0$ , så resten ved divisjon med $(x - 3)$ er $0$ — divisjonen går opp.

$f (x) = (x - 3) (2 x + 1) (x + 3)$ , nullpunkter i $x = - 3$ , $x = - \frac{1}{2}$ og $x = 3$ . Graf C.

LøsningsforslagKI-generert

Etter restsetningen er resten ved divisjon av $f (x)$ med $(x - 3)$ lik $f (3)$ . Vi regner ut:

f (3) = 2 \cdot 3^{3} + 3^{2} - 18 \cdot 3 - 9 = 54 + 9 - 54 - 9 = 0

Siden $f (3) = 0$ , er resten $0$ , og dermed går divisjonen $f (x) : (x - 3)$ opp. $■$

Først finner vi kvotienten ved polynomdivisjon $f (x) : (x - 3)$ , slik at vi kan finne de andre nullpunktene:

f (x) = (x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 3)

De resterende nullpunktene finner vi ved å løse $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ med andregradsformelen:

x = \frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{- 7 \pm 5}{4}

x = - \frac{1}{2} eller x = - 3

Sammen med $x = 3$ fra oppgave a) har $f$ altså tre nullpunkter:

x = - 3, x = - \frac{1}{2}, x = 3

Vi ser etter den grafen som krysser $x$ -aksen i nøyaktig disse tre punktene. Bare graf C har nullpunkter på riktige steder ( $x = - 3$ , $x = - \frac{1}{2}$ og $x = 3$ ).

$Graf C$ er grafen til $f$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Oppgave a) og b) må ses under ett. En riktig polynomdivisjon gir 2 poeng (1 poeng i a) og 1 av 3 poeng i b)). Riktig svar uten begrunnelse gir 0 poeng. En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 eller 2 poeng. For å få 3 poeng, må kandidaten være presis i sin begrunnelse.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Tredjegradsfunksjon, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Vanntank som tappes ut

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut.

Anta at funksjonen $V$ gitt ved

V (x) = 2000 - 2000 \cdot {(1 - \frac{x}{40})}^{2}, 0 \leq x \leq 40

kan brukes som en modell for hvor mange liter vann $V (x)$ som er tappet ut av tanken $x$ minutter etter at tappingen startet.

For hånd

Bestem $V (0)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

For hånd

Bestem verdimengden til $V$ .

Krever PC

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0, V (0))$ og $(30, V (30))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Krever PC

Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

Fasit

$V (0) = 0 L$ . Tolkning: ingen vann er tappet ut ved starten.

$⟨ 0, 2000 ⟩$

$x \approx 11,72 m i n$ (ca. 11 min 43 s)

Stigningstallet er $𝟔𝟐,𝟓$ . Tolkning: gjennomsnittlig ble det tappet ut 62,5 liter per minutt de første 30 minuttene.

Det tappes aldri ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt. Høyest hastighet er i første minutt: $V (1) - V (0) = 98,75 L$ .

Løsningsforslag

Vi bruker GeoGebra CAS til alle utregningene. Se skjermbildet under for linjene 1–7.

Vanntank som tappes ut – CAS-beregninger

Vi definerer funksjonen og beregner $V (0)$ (linje 1–2 i CAS):

V (x) = 2000 - 2000 \cdot {(1 - \frac{x}{40})}^{2}

V (0) = 2000 - 2000 \cdot {(1 - \frac{0}{40})}^{2} = 2000 - 2000 \cdot 1 = 𝟎

$V (0) = 0$ , det vil si at ved starten av tappingen ( $x = 0$ ) er det tappet ut 0 liter – tanken er ennå full.

Funksjonen $V (x) = 2000 - 2000 {(1 - \frac{x}{40})}^{2}$ er definert på $⟨ 0, 40 ⟩$ .

Fra CAS (linje 2–3): $V (0) = 0$ og $V (40) = 𝟐𝟎𝟎𝟎$ .

Siden $V$ er en andregradsfunksjon med positiv ledende koeffisient ( $- 2000 \cdot {(- 1 / 40)}^{2} \cdot x^{2} \Rightarrow$ koeffisient $= - 2000 / 1600 = - 1,25 < 0$ ) og har maksimum ved $x = 40$ , er $V$ voksende på $⟨ 0, 40 ⟩$ .

Verdimengden er $⟨ 𝟎, 𝟐𝟎𝟎𝟎 ⟩$ liter.

Vi løser $V (x) = 1000$ (halvparten av 2000 liter). Se linje 4 i CAS:

2000 - 2000 {(1 - \frac{x}{40})}^{2} = 1000

CAS gir $x \approx 11,72$ (og $x \approx 68,28$ , men den er utenfor definisjonsmengden $[0, 40]$ ).

Det tar omtrent $11,72 m i n$ (ca. 11 min 43 s) før halvparten av vannet er tappet ut.

Vi beregner stigningstallet til den rette linjen gjennom $(0, V (0))$ og $(30, V (30))$ .

Fra CAS (linje 5–6): $V (30) = 1875$ og

\frac{V (30) - V (0)}{30 - 0} = \frac{1875 - 0}{30} = 𝟔𝟐,𝟓

Stigningstallet er $62,5$ .

Tolkning: de første 30 minuttene ble det i gjennomsnitt tappet ut 62,5 liter per minutt.

Vi undersøker om det noen gang tappes ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt. Tappehastigheten er størst i starten (funksjonen er konkav – vekstraten avtar). Vi sjekker derfor det første minuttet (linje 7 i CAS):

V (1) - V (0) = 98,75 - 0 = 98,75 L

Siden $V$ er konkav på $[0, 40]$ , avtar mengden som tappes ut per minutt hele veien. Det første minuttet gir størst uttak, og dette er $98,75 L < 105 L$ .

Det tappes aldri ut mer enn 105 liter i løpet av ett minutt.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 10 poeng

1 poeng for å bestemme $V (0)$ . 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av svaret.

En kandidat som kommer i gang, tegner grafen eller gjør noen riktige beregninger uten å komme fram til riktig svar, får 1 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

1 poeng for riktig stigningstall. 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av svaret.

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner eller konkluderer feil, får 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Andregradsfunksjon, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart, Derivasjon
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Klossmønster i tre figurer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre figurer satt sammen av klosser

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

For hånd

Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?

Kalkulator

Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

Oppsett for hånd

Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har laget figurene?

Fasit

$55 klosser$

$1210 klosser$

Roar kan lage $17 figurer$ og har $1279 klosser$ igjen.

LøsningsforslagKI-generert

Hver figur er en pyramide der lagene ovenfra og ned er $1 \times 1$ , $2 \times 2$ , $3 \times 3$ , … Figur $n$ består altså av lagene $1^{2}, 2^{2}, \dots, n^{2}$ klosser:

Figurnummer $n$	1	2	3
Antall klosser	$1$	$1 + 4 = 5$	$1 + 4 + 9 = 14$

Antall klosser i figur $n$ er summen av de $n$ første kvadrattallene:

f (n) = \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

Figur 5 har

f (5) = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = \frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = 𝟓𝟓 klosser

Vi trenger summen av antall klosser i de 10 første figurene. La $g (n)$ være denne summen:

g (n) = \sum_{m = 1}^{n} f (m) = \sum_{m = 1}^{n} \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6}

Vi bruker GeoGebra CAS til å sette opp $f (n)$ og $g (n)$ og regne ut:

GeoGebra CAS – klossmønster: figur 5, sum av 10 første, og kumulativ sum

CAS gir $g (10) = 𝟏𝟐𝟏𝟎 klosser$ (se linje 4 i utklippet).

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Her trengs ikke CAS. Vi regner ut $f (m) = \frac{m (m + 1) (2 m + 1)}{6}$ for hver av de ti figurene på kalkulatoren og legger sammen:

Figur $m$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$f (m)$	1	5	14	30	55	91	140	204	285	385

g (10) = 1 + 5 + 14 + 30 + 55 + 91 + 140 + 204 + 285 + 385 = 1210

Legg merke til at hver ny figur bare legger til ett kvadrattall mer enn den forrige, så tabellen kan fylles ut raskt: $f (m + 1) = f (m) + {(m + 1)}^{2}$ .

Roar lager én figur i hver størrelse, fra den minste og oppover. Han kan lage figurene så lenge den totale klossmengden $g (n)$ ikke overstiger $10 000$ . Fra CAS-utklippet (linje 5 og 6):

g (17) = 8 721 \leq 10 000 g (18) = 10 830 > 10 000

Roar kan altså lage $17 figurer$ . Antall klosser igjen er

10 000 - 8 721 = 𝟏𝟐𝟕𝟗 klosser

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Riktig svar uten begrunnelse gir 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Mønstre, Figurtall, Rekker, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkant ABCD med vinkler 45°, 75°, 120° og sider 2a, 2a

Gitt firkanten $A B C D$ ovenfor.

For hånd

Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

For hånd

Vis at forholdet mellom arealet av $△ A B D$ og arealet av $△ B C D$ er $\frac{3}{2} (\sqrt{3} + 1)$ .

Fasit

$O = a (7 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{2})$

$\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{3}{2} (\sqrt{3} + 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trekker diagonalen $B D$ , som deler firkanten i $△ B C D$ og $△ A B D$ .

Merk om vinklene: Av figuren er $∠ B C D = 120 °$ (vinkel i firkanten), $∠ A B D = 75 °$ (vinkelen i $△ A B D$ ved $B$ ), og $∠ D A B = 45 °$ (vinkel i firkanten ved $A$ ).

Steg 1 – Finn $B D$ med cosinussetningen i $△ B C D$ .

$△ B C D$ er likebeint med $B C = C D = 2 a$ og $∠ B C D = 120 °$ .

B D^{2} = B C^{2} + C D^{2} - 2 \cdot B C \cdot C D \cdot \cos (120 °)

B D^{2} = 4 a^{2} + 4 a^{2} - 2 \cdot 2 a \cdot 2 a \cdot (- \frac{1}{2}) = 8 a^{2} + 4 a^{2} = 12 a^{2}

B D = 2 a \sqrt{3}

Steg 2 – Finn $A B$ og $A D$ med sinussetningen i $△ A B D$ .

I $△ A B D$ er $∠ D A B = 45 °$ , $∠ A B D = 75 °$ , dermed $∠ A D B = 180 ° - 45 ° - 75 ° = 60 °$ .

Sinussetningen gir (CAS bekrefter, se utklipp):

\frac{B D}{\sin (∠ D A B)} = \frac{A D}{\sin (∠ A B D)} = \frac{A B}{\sin (∠ A D B)}

A D = B D \cdot \frac{\sin 75 °}{\sin 45 °} = 2 a \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 75 °}{\sin 45 °} = (\sqrt{3} + 3) a

A B = B D \cdot \frac{\sin 60 °}{\sin 45 °} = 2 a \sqrt{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3 a \sqrt{2}

CAS-utregning av BD, AD, AB og omkrets

Steg 3 – Beregn omkretsen.

O = A B + B C + C D + D A = 3 a \sqrt{2} + 2 a + 2 a + (\sqrt{3} + 3) a

O = a (7 + \sqrt{3} + 3 \sqrt{2})

Areal av $△ B C D$ (to like sider og mellomliggende vinkel):

S_{△ B C D} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot C D \cdot \sin (∠ B C D) = \frac{1}{2} \cdot 2 a \cdot 2 a \cdot \sin 120 ° = 2 a^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^{2} \sqrt{3}

Areal av $△ A B D$ (to sider og mellomliggende vinkel $∠ D A B = 45 °$ ):

S_{△ A B D} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D \cdot \sin (∠ D A B) = \frac{1}{2} \cdot 3 a \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 3) a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

= \frac{1}{2} \cdot 3 a \sqrt{2} \cdot (\sqrt{3} + 3) a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 a^{2} \cdot 2 \cdot (\sqrt{3} + 3)}{4} = \frac{3 a^{2} (\sqrt{3} + 3)}{2}

CAS bekrefter: $S_{△ A B D} = \frac{3 \sqrt{3} + 9}{2} a^{2}$ (se utklipp, rad 7).

Forholdet:

\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{\frac{3 (\sqrt{3} + 3)}{2} a^{2}}{a^{2} \sqrt{3}} = \frac{3 (\sqrt{3} + 3)}{2 \sqrt{3}}

Vi rasjonaliserer ved å gange teller og nevner med $\sqrt{3}$ :

= \frac{3 \sqrt{3} (\sqrt{3} + 3)}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 3)}{2} = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 (1 + \sqrt{3})}{2} = \frac{3}{2} (\sqrt{3} + 1)

\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{3}{2} (\sqrt{3} + 1)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner feil, får 1 eller 2 poeng. Riktige mellomregninger gir poeng, selv om svaret er feil. Riktig svar som ikke er gitt eksakt, gir 2 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men regner feil, får 1 poeng. Riktige mellomregninger gir poeng, selv om svaret er feil.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Arealsetningen, Cosinussetningen, Eksakte verdier
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Da Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stua $2,0 ° C$ . De skrudde på varmen og stilte termostaten på $20 ° C$ . Tabell 1 viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Temperatur (°C)	$2,0$	$3,7$	$5,3$	$8,0$	$10,2$	$13,4$	$16,4$	$18,4$

Tabell 1

Eline og Malene vil lage en modell som viser temperaturen i stua $x$ minutter etter at de skrudde på varmen. De starter med å bruke tallene i tabell 1 til å lage en modell $T_{1}$ på formen $T_{1} (x) = a \cdot x^{b}$ .

Krever PC

Bestem tallene $a$ og $b$ .

Krever PC

Vurder gyldighetsområdet til modellen $T_{1}$ .

Eline og Malene ønsker å forbedre modellen $T_{1}$ . Eline foreslår at de skal trekke $20 ° C$ fra hver temperatur de har målt, og heller bruke en eksponentialfunksjon som modell. Hun setter opp en ny tabell.

Tid (minutter)	1	5	10	20	30	50	80	120
Korrigert temperatur (°C)	$- 18,0$	$- 16,3$	$- 14,7$	$- 12,0$	$- 9,8$	$- 6,6$	$- 3,6$	$- 1,6$

Tabell 2

Krever PC

Lag en eksponentialfunksjon $f$ som passer godt til tallene i tabell 2.

Krever PC

Tegn grafen til $T_{1}$ og grafen til $f$ i samme koordinatsystem. Beskriv forskjeller mellom de to grafene.

Malene mener de kan bruke funksjonen $f$ til å lage en bedre modell enn $T_{1}$ for temperaturen i stua. «Vi løfter grafen til $f$ opp $20 ° C$ , slik at den starter omtrent i punktet $(0,2)$ », sier hun. «Da vil den passe perfekt.»

Krever PC

Bruk funksjonen $f$ , og lag en modell $T_{2}$ ved å gjøre som Malene foreslår. Hva vil temperaturen i stua være etter 4 timer ifølge modellen $T_{2}$ ?

Fasit

$T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}$

Modellen gjelder bare i et begrenset tidsintervall (omtrent de to første timene). For store $x$ vokser $T_{1}$ ubegrenset og overstiger snart $20 ° C$ .

$f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$

Se graf. $T_{1}$ er positiv og vokser uten grense. $f$ er negativ og nærmer seg $0$ nedenfra (asymptote $y = 0$ ).

$T_{2} (x) = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$ . Etter 4 timer: $T_{2} (240) \approx 19,86 ° C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregresjon i GeoGebra CAS med tallene fra tabell 1.

T 1Data : = {(1; 2,0), (5; 3,7), (10; 5,3), (20; 8,0), (30; 10,2), (50; 13,4), (80; 16,4), (120; 18,4)}

𝚁𝚎𝚐𝙿𝚘𝚝(𝚃𝟷𝙳𝚊𝚝𝚊)

CAS-regresjon

GeoGebra gir $a \approx 1,85$ og $b \approx 0,49$ , det vil si:

T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}

$T_{1} (x) \approx 1,85 \cdot x^{0,49}$

$T_{1}$ er en potensfunksjon som vokser ubegrenset når $x$ øker. I virkeligheten kan temperaturen ikke overstige termostatens innstilte temperatur på $20 ° C$ . Vi ser allerede at $T_{1} (150) \approx 21,5 ° C$ , som er urealistisk.

Modellen er kun gyldig i et begrenset tidsrom — omtrent for de første to timene ( $x ≲ 120 m i n$ ) der datapunktene i tabell 1 ligger. For store verdier av $x$ gir modellen temperaturer som overstiger $20 ° C$ , noe som ikke er fysisk mulig.

Vi bruker eksponentialregresjon i GeoGebra CAS med den korrigerte temperaturen fra tabell 2.

La $g (x) = 18,16 \cdot {0,980}^{x}$ (regresjon på de positive verdiene av $|$ korrigert temperatur $|$ ). Da er eksponentialfunksjonen som passer til tabell 2:

f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

GeoGebra gir koeffisientene $a \approx - 18,16$ og $b \approx 0,980$ (se CAS-skjermbidet fra oppgave a):

f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

$f (x) \approx - 18,16 \cdot {0,980}^{x}$

Vi tegner grafene til $T_{1}$ og $f$ i samme koordinatsystem i GeoGebra.

Grafer for T1 og f

Forskjeller mellom de to grafene:

$T_{1}$ (grønn) er positiv for alle $x > 0$ og vokser ubegrenset — den har ingen horisontal asymptote.
$f$ (blå) er negativ for alle $x > 0$ og nærmer seg $0$ nedenfra etter hvert som $x$ øker — den har horisontal asymptote $y = 0$ .
$T_{1}$ øker raskest i begynnelsen (typisk potensatferd), mens $f$ flater ut mot asymptoten gradvis (typisk eksponentiell nedgang).

Malene foreslår å «løfte grafen til $f$ opp $20 ° C$ ». Det betyr at vi legger til $20$ til $f (x)$ :

T_{2} (x) = f (x) + 20 = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{x}

Etter 4 timer er $x = 4 \cdot 60 = 240 m i n$ . Vi regner ut:

T_{2} (240) = 20 - 18,16 \cdot {0,980}^{240}

Fra GeoGebra CAS (se skjermbildet fra oppgave a):

T_{2} (240) \approx 19,86 ° C

Ifølge modellen $T_{2}$ vil temperaturen i stua være omtrent $19,86 ° C$ etter 4 timer.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En kandidat som bruker en potensfunksjon og velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktige svar, får 1 poeng.

En kandidat som tegner grafene, men ikke beskriver forskjeller på en god måte, får 1 poeng.

1 poeng for å komme fram til modellen $T_{2} (x) = - 18 \cdot {0,98}^{x} + 20$ . 1 poeng for å kunne bruke modellen til i å bestemme temperaturen i stua etter fire timer. En kandidat som kommer fram til feil modell, men velger riktig strategi for å bestemme temperaturen etter fire timer, får full uttelling dersom svaret som framkommer er rimelig.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Potensfunksjon, Eksponentialfunksjon, Modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Andregradsfunksjon fra tangentstigninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til en andregradsfunksjon $f$ har

en tangent i punktet $(1, f (1))$ med stigningstall 0
en tangent i punktet $(4, f (4))$ med stigningstall 6

For hånd

Bestem $f^{'} (x)$ .

Grafen til $f$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0,4)$ .

For hånd

Bestem $f (x)$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x - 2$

$f (x) = x^{2} - 2 x + 4$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $f$ er en andregradsfunksjon, har den formen $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , og den deriverte er

f^{'} (x) = 2 a x + b

Vi bruker de to opplysningene om tangentstigninger:

f^{'} (1) = 0 \Rightarrow 2 a + b = 0

f^{'} (4) = 6 \Rightarrow 8 a + b = 6

Vi løser likningssystemet i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS — andregradsfunksjon fra tangentstigninger

CAS gir $a = 1$ og $b = - 2$ , så

f^{'} (x) = 2 x - 2

Vi vet at $f (x) = x^{2} - 2 x + c$ (fra a). Grafen skjærer $y$ -aksen i $(0, 4)$ , altså $f (0) = 4$ :

f (0) = 0 - 0 + c = 4 \Rightarrow c = 4

Dermed er

f (x) = x^{2} - 2 x + 4

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng. Riktig svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Andregradsfunksjon, Derivasjon, Tangent
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 2 b \cdot x^{2} + (b^{2} + 3) \cdot x der b \in ℝ

For hånd

Vis at $f$ bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av $b$ .

For hånd

Løs likningen $f^{'} (x) = 0$ . For hvilke verdier av $b$ har grafen til $f$ bare ett stasjonært punkt?

Dersom $b \neq 0$ har grafen til $f$ to tangenter med stigningstall 3.

For hånd

Bestem likningene for disse tangentene.

Fasit

$f (x) = x ((x - b)^{2} + 3) = 0$ kun for $x = 0$ siden ${(x - b)}^{2} + 3 \geq 3 > 0$

$x = \frac{2 b \pm \sqrt{b^{2} - 9}}{3}$ . Bare ett stasjonært punkt når $- 3 \leq b \leq 3$ .

$y = 3 x$ og $y = 3 x + \frac{4}{27} b^{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi faktoriserer $f (x)$ :

f (x) = x^{3} - 2 b x^{2} + (b^{2} + 3) x = x (x^{2} - 2 b x + b^{2} + 3)

Vi skriver om andregradsleddet ved å fullføre kvadratet:

x^{2} - 2 b x + b^{2} + 3 = {(x - b)}^{2} + 3

Dermed er

f (x) = x ((x - b)^{2} + 3)

Siden ${(x - b)}^{2} \geq 0$ for alle reelle $x$ , er ${(x - b)}^{2} + 3 \geq 3 > 0$ for alle $b \in ℝ$ .

Produktet $f (x) = 0$ krever dermed at $x = 0$ . $f$ har altså bare ett nullpunkt, $x = 0$ , uavhengig av verdien til $b$ .

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 b x + b^{2} + 3

Vi løser $f^{'} (x) = 0$ med GeoGebra CAS (se linje 4 i CAS-utklippet):

x = \frac{2 b \pm \sqrt{b^{2} - 9}}{3}

Grafen har to stasjonære punkter når likningen har to løsninger, dvs. når diskriminanten er positiv:

b^{2} - 9 > 0 ⟹ | b | > 3

Grafen til $f$ har bare ett stasjonært punkt når $- 3 \leq b \leq 3$ .

(For $b = \pm 3$ er diskriminanten lik null — det er ett stasjonært punkt som er et vendepunkt.)

Vi finner $x$ -verdiene der $f^{'} (x) = 3$ med GeoGebra CAS (linje 5):

f^{'} (x) = 3 ⟹ x = b eller x = \frac{b}{3}

Tangent i $x = b$ :

Fra CAS (linje 6): $f (b) = 3 b$ . Tangentlikningen blir:

y = f (b) + 3 (x - b) = 3 b + 3 x - 3 b = 3 x

Tangent i $x = \frac{b}{3}$ :

Fra CAS (linje 7): $f (\frac{b}{3}) = \frac{4}{27} b^{3} + b$ . Tangentlikningen blir:

y = \frac{4}{27} b^{3} + b + 3 (x - \frac{b}{3}) = \frac{4}{27} b^{3} + b + 3 x - b = \frac{4}{27} b^{3} + 3 x

De to tangentene med stigningstall 3 har likningene:

y = 3 x og y = 3 x + \frac{4}{27} b^{3}

GeoGebra CAS (linje 1–9):

GeoGebra CAS-utklipp

Illustrasjon for $b = 2$ (tangentpunkter ved $P_{1} = (\frac{2}{3}, \frac{86}{27})$ og $P_{2} = (2, 6)$ ):

Graf av f og de to tangentene med stigningstall 3 (b=2)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som løser likningen, men ikke tolker løsningen riktig, får 1 poeng. En kandidat som bare finner én verdi for $b$ , får 2 poeng.

En kandidat som bare finner $x$ -verdiene til tangeringspunktene, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Tredjegradsfunksjon, Derivasjon, Tangent, Argumentasjon
Kompetansemål: Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Identitet med andre kvadratsetning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Rettvinklet trekant med tan B og tre tester

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Python-program med kvadrater og while-løkke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 38 poeng

Oppgave 2-1Vanntank som tappes ut

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Klossmønster i tre figurer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Andregradsfunksjon fra tangentstigninger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 6 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 1-1·Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22

Oppgave 1-2·Identitet med andre kvadratsetning

Oppgave 1-3·Rettvinklet trekant med tan B og tre tester

Oppgave 1-4·Python-program med kvadrater og while-løkke

Oppgave 1-5·Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk

Oppgave 1-6·Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 38 poeng

Oppgave 2-1·Vanntank som tappes ut

Oppgave 2-2·Klossmønster i tre figurer

Oppgave 2-3·Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Oppgave 2-4·Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Oppgave 2-5·Andregradsfunksjon fra tangentstigninger

Oppgave 2-6·Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter

Temaer

Oppgave 1-1Andregradslikning og ulikhet med faktorisering 1T V22

Oppgave 1-2Identitet med andre kvadratsetning

Oppgave 1-3Rettvinklet trekant med tan B og tre tester

Oppgave 1-4Python-program med kvadrater og while-løkke

Oppgave 1-5Rasjonal funksjon fra asymptoter og to uttrykk

Oppgave 1-6Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Oppgave 2-1Vanntank som tappes ut

Oppgave 2-2Klossmønster i tre figurer

Oppgave 2-3Eksakt omkrets og arealforhold i firkant

Oppgave 2-4Temperatur i hytte med potens- og eksponentialmodell

Oppgave 2-5Andregradsfunksjon fra tangentstigninger

Oppgave 2-6Tredjegradsfunksjon med parameter b og tangenter