Vi faktoriserer $f(x)$:

Vi skriver om andregradsleddet ved å fullføre kvadratet:

Dermed er

Siden $(x-b)^2 \geq 0$ for alle reelle $x$, er $(x-b)^2 + 3 \geq 3 > 0$ for alle $b \in \mathbb{R}$.

Produktet $f(x) = 0$ krever dermed at $x = 0$. $f$ har altså bare ett nullpunkt, $x = 0$, uavhengig av verdien til $b$.

Vi deriverer $f$:

Vi løser $f'(x) = 0$ med GeoGebra CAS (se linje 4 i CAS-utklippet):

Grafen har to stasjonære punkter når likningen har to løsninger, dvs. når diskriminanten er positiv:

Grafen til $f$ har bare ett stasjonært punkt når $-3 \leq b \leq 3$.

(For $b = \pm 3$ er diskriminanten lik null — det er ett stasjonært punkt som er et vendepunkt.)

Vi finner $x$-verdiene der $f'(x) = 3$ med GeoGebra CAS (linje 5):

Tangent i $x = b$:

Fra CAS (linje 6): $f(b) = 3b$. Tangentlikningen blir:

Tangent i $x = \dfrac{b}{3}$:

Fra CAS (linje 7): $f\!\left(\dfrac{b}{3}\right) = \dfrac{4}{27}b^3 + b$. Tangentlikningen blir:

De to tangentene med stigningstall 3 har likningene:

GeoGebra CAS (linje 1–9):

Illustrasjon for $b = 2$ (tangentpunkter ved $P_1 = \bigl(\tfrac{2}{3},\, \tfrac{86}{27}\bigr)$ og $P_2 = (2,\, 6)$):