Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x)=2x^3+x^2-18x-9

Vis at divisjonen $f(x):(x-3)$ går opp.

Gjør beregninger, og vurder hvilken av grafene nedenfor som kan være grafen til $f$ .

Tre kandidater A, B og C for grafen til f

Fasit

$f(3) = 0$ , så resten ved divisjon med $(x-3)$ er $0$ — divisjonen går opp.

$f(x) = (x-3)(2x+1)(x+3)$ , nullpunkter i $x = -3$ , $x = -\dfrac{1}{2}$ og $x = 3$ . Graf C.

LøsningsforslagKI-generert

Etter restsetningen er resten ved divisjon av $f(x)$ med $(x - 3)$ lik $f(3)$ . Vi regner ut:

f(3) = 2 \cdot 3^3 + 3^2 - 18 \cdot 3 - 9 = 54 + 9 - 54 - 9 = 0

Siden $f(3) = 0$ , er resten $0$ , og dermed går divisjonen $f(x):(x-3)$ opp. $\square$

Først finner vi kvotienten ved polynomdivisjon $f(x) : (x-3)$ , slik at vi kan finne de andre nullpunktene:

f(x) = (x - 3)(2x^2 + 7x + 3)

De resterende nullpunktene finner vi ved å løse $2x^2 + 7x + 3 = 0$ med andregradsformelen:

x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-7 \pm 5}{4}

x = -\frac{1}{2} \qquad \text{eller} \qquad x = -3

Sammen med $x = 3$ fra oppgave a) har $f$ altså tre nullpunkter:

\underline{x = -3}, \qquad \underline{x = -\frac{1}{2}}, \qquad \underline{x = 3}

Vi ser etter den grafen som krysser $x$ -aksen i nøyaktig disse tre punktene. Bare graf C har nullpunkter på riktige steder ( $x = -3$ , $x = -\frac{1}{2}$ og $x = 3$ ).

$\underline{\underline{\text{Graf C}}}$ er grafen til $f$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Oppgave a) og b) må ses under ett. En riktig polynomdivisjon gir 2 poeng (1 poeng i a) og 1 av 3 poeng i b)). Riktig svar uten begrunnelse gir 0 poeng. En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, får 1 eller 2 poeng. For å få 3 poeng, må kandidaten være presis i sin begrunnelse.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2022, del 1, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Tredjegradsfunksjon, Grafisk framstilling
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Sync på tvers av enheter

Polynomdivisjon og grafvalg for tredjegradsfunksjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave