1T Høst 2023

1T Høst 2023 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler
1-1	Likesidet trekant og cos 60°	KI
1-2	Skjæringspunkter med x-aksen	KI
1-3	Tangent til tredjegradsfunksjon	KI
1-4	To trekanter og størst areal	KI
1-5	Rasjonale funksjoner og grafvalg	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler
2-1	Folketall i et område	KI
2-2	Areal av firekantet figur	KI
2-3	Linjestykker og geometrisk vekst	✔︎
2-4	Antall fiskere og regresjon	—
2-5	Avstand mellom to funksjoner	KI
2-6	Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter	✔︎
2-7	Rektangel under graf	✔︎

Oppgave 1-1 : Likesidet trekant og cos 60°

En likesidet trekant har sidelengder 2. Se figuren til høyre.

Likesidet trekant med sidelengder 2

Bruk trekanten til å vise at

\cos 60\degree = \frac{1}{2}

Fasit

$\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}$ (vist ved geometrisk argument).

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner høyden $h$ fra ett hjørne ned til motstående side i den likesilte trekanten med sidelengder $2$ .

Høyden deler trekanten i to kongruente rettvinklede trekanter. I én av dem er:

hypotenus $= 2$ (sidekant i den likesilte trekanten),
korteste katet $= 1$ (halvparten av motstående side, siden høyden halverer den),
vinkelen ved hypotenusen $= 60\degree$ (hjørnevinkelen i den likesilte trekanten).

Definisjonen av cosinus gir

\cos 60\degree = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}

Dermed er $\underline{\underline{\cos 60\degree = \dfrac{1}{2}}}$ .

Sensorveiledning

En kandidat som setter opp et riktig utrykk for cosinus til en vinkel, eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: trigonometri, bevis, argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne

Oppgave 1-2 : Skjæringspunkter med x-aksen

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen $x$ -aksen?

Fasit

Skjæringspunkter med $x$ -aksen: $(-3, 0)$ , $(-1, 0)$ og $(2, 0)$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen skjærer $x$ -aksen der $f(x) = 0$ , altså der

x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = 0

Vi prøver heltallsrøtter som er delere av konstantleddet $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .

f(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 \checkmark

Siden $x = -1$ er en rot, er $(x + 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

\require{enclose} \begin{array}{r} x^2 + x - 6 \\[-3pt] x+1 \enclose{longdiv}{x^3 + 2x^2 - 5x - 6} \\[-3pt] \underline{-(x^3 + x^2)} \phantom{{}-5x-6} \\[-3pt] x^2 - 5x \phantom{{}-6} \\[-3pt] \underline{-(x^2 + x)} \phantom{{}-6} \\[-3pt] -6x - 6 \\[-3pt] \underline{-(-6x - 6)} \\[-3pt] 0 \end{array}

Vi kan altså skrive

x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x^2 + x - 6)

Andregradsuttrykket $x^2 + x - 6$ faktoriserer vi:

x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}

x = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{-1 - 5}{2} = -3

Dermed er

x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x - 2)(x + 3)

og likningen $f(x) = 0$ har løsningene $x = -1$ , $x = 2$ og $x = -3$ .

Grafen skjærer $x$ -aksen i punktene $\underline{\underline{(-3, 0)}}$ , $\underline{\underline{(-1, 0)}}$ og $\underline{\underline{(2, 0)}}$ .

Sensorveiledning

En kandidat som finner ett nullpunkt ved «prøving og feiling», får 1 poeng. En kandidat som faktoriserer uttrykket, men ikke bestemmer nullpunktene, får 2 poeng.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 eller 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: faktorisering, polynomdivisjon, røtter
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-3 : Tangent til tredjegradsfunksjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 4

Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $(1, f(1))$ .

Fasit

$\underline{\underline{y = -4x + 5}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først funksjonsverdien i $x = 1$ :

f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 - 1 + 4 = 1 - 3 - 1 + 4 = 1

Tangentpunktet er altså $(1, 1)$ , som stemmer med oppgaven.

Deretter deriverer vi $f$ :

f'(x) = 3x^2 - 6x - 1

Stigningstallet til tangenten er $f'(1)$ :

f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 - 1 = 3 - 6 - 1 = -4

Tangentlinjen går gjennom $(1, 1)$ med stigning $-4$ . Vi bruker ettpunktsformelen:

y - 1 = -4(x - 1)

y = -4x + 4 + 1

\underline{\underline{y = -4x + 5}}

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 eller 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: derivasjon
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-4 : To trekanter og størst areal

To trekanter med oppgitte sider og vinkler

Hvilken av de to trekantene har størst areal?

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

Trekant 2 (med vinkel 32°) har størst areal.

$A_1 = 9 \, \mathrm{cm}^2$ , $\quad A_2 = 18\sin(32°) \, \mathrm{cm}^2 > 9 \, \mathrm{cm}^2$

LøsningsforslagKI-generert

Begge trekantene har to sider med lengde 6 (la oss kalle dem $a = b = 6$ ), men ulike inkluderte vinkler. Vi bruker arealsetningen:

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C)

Trekant 1 har inkludert vinkel $C_1 = 150°$ :

A_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(150°)

Vi utnytter at $\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$ :

A_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{1}{2} = \mathbf{9}

Trekant 2 har inkludert vinkel $C_2 = 32°$ :

A_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(32°) = 18\sin(32°)

Sammenligning: Vi trenger å avgjøre om $\sin(32°) > \sin(150°) = \frac{1}{2}$ .

Sinusfunksjonen er stigende på intervallet $\langle 0°, 90° \rangle$ , og siden $32° > 30°$ :

\sin(32°) > \sin(30°) = \frac{1}{2}

Dermed er $A_2 = 18\sin(32°) > 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 = A_1$ .

$\underline{\underline{\text{Trekant 2 har størst areal.}}}$

Sensorveiledning

Riktig svar uten argumentasjon gir ingen uttelling. Riktig svar med en mangelfull argumentasjon, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: arealsetningen, trigonometri, argumentasjon
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne

Oppgave 1-5 : Rasjonale funksjoner og grafvalg

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f(x) = \frac{2x - 8}{x + 2}

g(x) = \frac{x^2 - 4}{(x - 3)(x + 3)}

Grafer A–F for rasjonale funksjoner

Hvilken av grafene ovenfor er grafen til $f$ ?

Hvilken av grafene ovenfor er grafen til $g$ ?

Husk å argumentere for at svarene dine er riktige.

Fasit

Graf C

Graf F

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner kjennetegnene til $f(x) = \dfrac{2x-8}{x+2}$ .

Vertikal asymptote der nevneren er null:

x + 2 = 0 \implies \textcolor{steelblue}{x = -2}

Horisontal asymptote — teller og nevner er begge av grad 1, så vi tar forholdet mellom de ledende koeffisientene:

\textcolor{steelblue}{y = \frac{2}{1} = 2}

Nullpunkt — sett teller lik null:

2x - 8 = 0 \implies x = 4, \quad \text{altså } \textcolor{steelblue}{(4,\ 0)}

Skjæring med $y$ -aksen ( $x = 0$ ):

f(0) = \frac{2\cdot 0 - 8}{0 + 2} = \frac{-8}{2} = -4, \quad \text{altså } \textcolor{steelblue}{(0,\ {-4})}

Vi leter etter grafen som har:

én vertikal asymptote til venstre for $y$ -aksen (ved $x = -2$ ),
horisontal asymptote ved $y = 2$ (over $x$ -aksen),
nullpunkt ved $x = 4$ (til høyre for $y$ -aksen),
skjærer $y$ -aksen ved $y = -4$ (under $x$ -aksen).

Dette passer med graf C.

Vi finner kjennetegnene til $g(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x-3)(x+3)}$ .

Vertikale asymptoter der nevneren er null:

x - 3 = 0 \implies x = 3 \qquad \text{og} \qquad x + 3 = 0 \implies \textcolor{seagreen}{x = -3}

Grafene med to vertikale asymptoter er D, E og F.

Horisontal asymptote — teller og nevner er begge av grad 2:

\textcolor{seagreen}{y = \frac{1}{1} = 1}

Nullpunkter — faktoriser telleren:

x^2 - 4 = (x-2)(x+2) = 0 \implies \textcolor{seagreen}{x = \pm 2}

Nullpunktene $x = -2$ og $x = 2$ ligger begge mellom de to asymptotene ved $x = -3$ og $x = 3$ .

Skjæring med $y$ -aksen ( $x = 0$ ):

g(0) = \frac{0^2 - 4}{(0-3)(0+3)} = \frac{-4}{-9} = \frac{4}{9} \approx 0{,}44

$y$ -skjæringen er positiv og litt under den horisontale asymptoten $y = 1$ .

Vi leter etter grafen med:

to vertikale asymptoter symmetrisk om $y$ -aksen (ved $x = \pm 3$ ),
horisontal asymptote ved $y = 1$ ,
to nullpunkter mellom asymptotene (ved $x = \pm 2$ ),
$y$ -skjæring mellom 0 og 1.

Dette passer med graf F.

Sensorveiledning

2 poeng

Riktig svar uten argumentasjon gir ingen uttelling.

Riktig svar med en mangelfull argumentasjon, kan gi 1 poeng.

2 poeng

Riktig svar uten argumentasjon gir ingen uttelling.

Riktig svar med en mangelfull argumentasjon, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: rasjonale funksjoner, asymptoter, tolke grafer
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-1 : Folketall i et område

En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og laget en modell $F$ gitt ved

F(x) = \frac{1}{1000} \cdot \left(0{,}027x^3 - 5{,}8x^2 + 220x + 7900\right), \quad x \in [0, 80]

for folketallet $F(x)$ tusen innbyggere i området $x$ år etter 1960.

Vis hvordan du på to ulike måter kan bestemme når folketallet var høyest ifølge modellen.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(30, F(30))$ og $(70, F(70))$ . Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Når vil folketallet avta raskest ifølge modellen?

Fasit

Folketallet var høyest etter $\underline{\underline{x \approx 22{,}5 \text{~år (år 1982/1983)}}}$ , med $\underline{\underline{F(22{,}5) \approx 10{,}22 \text{~tusen innbyggere}}}$ .

Stigningstallet er $\underline{\underline{-0{,}1467 \text{~tusen innbyggere per år} \approx -147 \mathrm{~innb/år}}}$ .

Folketallet avtar raskest etter $\underline{\underline{x \approx 71{,}6 \text{~år (rundt år 2031/2032)}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Graf for Folketall i et område

CAS-utregning

Vi skal finne når $F(x)$ har sitt maksimum for $x \in [0, 80]$ .

Metode 1 – grafisk (toppunkt):

Vi plotter $F(x)$ i GeoGebra og bruker verktøyet for å finne toppunktet. Grafen viser at toppunktet ligger ved $x \approx 22{,}5$ , se Topp i grafen.

Metode 2 – $F'(x) = 0$ og fortegnstest:

Vi deriverer:

F'(x) = \frac{1}{1000}\left(0{,}081x^2 - 11{,}6x + 220\right)

Vi løser $F'(x) = 0$ i CAS (linje 4) og får to løsninger. Den ene er $x \approx 22{,}5$ (innenfor domenet $[0, 80]$ ) og den andre er $x \approx 120{,}7$ (utenfor domenet).

Vi sjekker med andrederiverte (linje 3):

F''(x) = \frac{1}{1000}\left(0{,}162x - 11{,}6\right)

F''(22{,}5) = \frac{1}{1000}(0{,}162 \cdot 22{,}5 - 11{,}6) \approx \frac{1}{1000}(3{,}645 - 11{,}6) < 0

Siden $F''(22{,}5) < 0$ , er $x \approx 22{,}5$ et toppunkt.

Funksjonsverdi (linje 5):

F(22{,}5) = \frac{654163}{64000} \approx 10{,}22 \text{~tusen innbyggere}

Folkretallet var høyest etter omtrent $22{,}5$ år, det vil si rundt 1982/1983, med ca. 10 220 innbyggere.

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom $(30, F(30))$ og $(70, F(70))$ (se CAS linje 6–8 og sekantlinjen sek i grafen):

F(30) = \frac{10009}{1000} = 10{,}009 \quad \text{og} \quad F(70) = \frac{4141}{1000} = 4{,}141

a = \frac{F(70) - F(30)}{70 - 30} = \frac{4{,}141 - 10{,}009}{40} = \frac{-5{,}868}{40} = -\frac{1467}{10000} \approx -0{,}1467

Stigningstallet er $\approx -0{,}1467$ tusen innbyggere per år.

Praktisk tolkning: Fra 1990 ( $x = 30$ ) til 2030 ( $x = 70$ ) avtok folketallet i gjennomsnitt med omtrent $\mathbf{147}$ innbyggere per år.

Folketallet avtar raskest der $F'(x)$ er mest negativ. Det skjer i vendepunktet til $F$ , altså der $F''(x) = 0$ .

F''(x) = \frac{1}{1000}(0{,}162x - 11{,}6) = 0

Vi løser i CAS (linje 9):

x = \frac{5800}{81} \approx 71{,}6

Momentan vekstfart i dette punktet (linje 10):

F'(71{,}6) = -\frac{1220679}{6250000} \approx -0{,}1953 \text{~tusen innbyggere per år} \approx -195 \mathrm{~innb/år}

$x \approx 71{,}6$ svarer til år $1960 + 71{,}6 \approx 2031/2032$ , se vendepunktet Vend i grafen.

Ifølge modellen vil folketallet avta raskest rundt år 2031/2032, med en nedgang på ca. 195 innbyggere per år.

Sensorveiledning

1 poeng for hver metode med riktig svar.

1 poeng for riktig stigningstall.

1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet med riktig enhet.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: modellering, derivasjon, gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-2 : Areal av firekantet figur

Firekantet figur ABCD med mål

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.

Bestem arealet. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Fasit

$\approx 38{,}6$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deler firkanten ABCD i to trekanter ved å trekke diagonalen $BD$ .

Trekant ABD: Vi kjenner $BD = 12$ , $\angle A = 125°$ og $\angle ABD = 35°$ .

Vinkelsummen gir den siste vinkelen:

\angle ADB = 180° - 125° - 35° = 20°

Vi bruker sinussetningen til å finne $AB$ :

\frac{AB}{\sin(\angle ADB)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)} \quad \Rightarrow \quad AB = \frac{12 \cdot \sin 20°}{\sin 125°}

Deretter bruker vi arealsetningen for trekant ABD:

A_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 12 \cdot \sin 35°

Trekant BCD: Vi kjenner $BC = 6$ , $DC = 8$ og $BD = 12$ .

Vi bruker cosinussetningen til å finne $\angle BCD$ :

\cos(\angle BCD) = \frac{BC^2 + DC^2 - BD^2}{2 \cdot BC \cdot DC} = \frac{36 + 64 - 144}{96}

Deretter bruker vi arealsetningen for trekant BCD:

A_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DC \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(\angle BCD)

Vi beregner alt i CAS, se linje 1–6 i utklippet:

GeoGebra CAS: areal av firkant ABCD

Fra linje 6 leser vi av at det totale arealet er

A_{ABCD} = A_{\triangle ABD} + A_{\triangle BCD} \approx 17{,}2 + 21{,}3 = 38{,}6

Arealet av figuren er $\underline{\underline{\approx 38{,}6}}$ .

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 eller 2 poeng. Kandidaten kan for eksempel få 1 poeng for å bestemme lengden av en ukjent side, og 1 poeng for å bestemme en ukjent vinkel i $\triangle BCD$ .

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: trigonometri, areal, arealsetningen, cosinussetningen
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga

Oppgave 2-3 : Linjestykker og geometrisk vekst

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.

Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.

Figur med 16 linjestykker satt sammen

Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene i figuren.

Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker i figuren. Hvor mange linjestykker må vi ha med i figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?

Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100?

Fasit

569,5 cm

22 linjestykker

0,52 %

Løsningsforslag

Lengden reduseres med 10 % per linjestykke og den begynner på 100 cm. Da blir lengden av linjestykke nummer $n$ :

L(n)=100 \cdot 0{,}9^{n-1}

Jeg bruker et regneark til å legge sammen de 8 første linjestykkene.

Lengden av de 8 første linjestykkene

Lengden av de 8 første linjestykkene er 569,5 cm.

n = 1
L = 100
total = L

while total < 900:      # Kjører så lenge totalen er under 900 cm
    L = L * 0.9         # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L   # Legger til linjestykke på totallengden
    n = n + 1           # Teller hvor mange linjestykker

print("Etter", n, "linjestykker er lengden", round(total, 2), "cm.")

Output: Etter 22 linjestykker er lengden 901.52 cm.

Du må ha 22 linjestykker for at lengden skal bli minst 9 meter.

L = 100
total = L

for n in range(1, 101):
    if n == 50:            # Lagrer totallengden etter 50 figurer
        lengde_50 = total
    if n == 100:           # Lagrer totallengden etter 100 figurer
        lengde_100 = total
    L = L * 0.9            # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L      # Legger til linjestykke på totallengden

prosent_endring = (lengde_100 - lengde_50) / (lengde_50) * 100

print(round(prosent_endring, 2))

Output: 0.52

Summen av lengdene øker med 0,52 % dersom vi øker antallet linjestykker fra 50 til 100.

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.

En kandidat som svarer riktig på spørsmålet, og viser hvordan svaret framkommer, får 1 poeng for dette.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: geometrisk vekst, rekker, programmering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Oppgave 2-4 : Antall fiskere og regresjon

Tabellen nedenfor viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke noen år i perioden 1952–2022.

År	1952	1982	1992	2002	2012	2022
Antall fiskere	65 956	25 289	19 780	13 841	9 825	9 591

La $x$ være antall år etter 1950 og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en modell $F$ som du mener kan brukes til å si noe om antall personer som har hatt fiske som hovedyrke i perioden 1952–2022.

Hvor mange personer i Norge vil i 2050 ha fiske som hovedyrke ifølge modellen fra oppgave a)? Vurder modellens gyldighetsområde.

Fasit

$F(x)=66\,360 \cdot 0{,}9714^{x}$

Ca. 3645 fiskere i 2050. Gyldighetsområde: $x \in [0, 100]$ .

Løsningsforslag

Jeg la inn årstallene, antall år etter 1950 og antallet fiskere i regnearket i GeoGebra. Se figuren.

Regresjon i GeoGebra

Punktene så ut til å passe godt med en eksponentiell modell, og det virker fornuftig at antallet fiskere minker med en relativt fast prosentandel hvert år. Den eksponentielle modellen vil også aldri treffe 0, slik at den kan brukes langt fram i tid.

$\underline{\underline{ F(x)=66\,360 \cdot 0{,}9714^{x} }}$ er en god modell for antall fiskere i denne perioden.

Vi kan bruke modellen for å finne ut hvor mange fiskere det vil være i 1950. Vi regner ut $F(100)$ i GeoGebra siden 2050 tilsvarer $x=100$ .

Beregning av antall fiskere i 2050

Det er vanskelig å vurdere gydligheten til denne modellen. Jeg vurderer at vi ikke bør bruke den lenger fram i framtida enn 2050. For eksempel er det kun 854 fiskere igjen i 2100 ifølge modellen. Det høres lite ut. Et fornuftig gyldighetsområde kan være $x \in \left[ 0,100 \right]$ .

Det er omtrent 3645 fiskere i 2050 ifølge modellen vår. Jeg vurderer at modellen er gyldig fra 1950 til 2050.

Sensorveiledning

2 poeng

En modell som passer dårlig med datamaterialet kan gi 1 poeng dersom valget av modell er argumentert for.

For å få full uttelling må kandidaten sette $x = 0$ i 1950.

2 poeng

Et riktig svar på spørsmålet kan gi 1 poeng.

En vurdering av modellens gyldighetsområde kan gi 1 poeng.

Oppgave a) og b) må sees under ett med tanke på argumentasjon for valg av modell og gyldighetsområde.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: regresjon, modellering
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-5 : Avstand mellom to funksjoner

Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$ gitt ved

f(x) = 2x + 8

g(x) = x^3 - x^2 - 4x + 8

Sara sine grafer til f og g

Linjen $x = 1$ skjærer grafen til $f$ i punktet $P$ og grafen til $g$ i punktet $Q$ .

Bestem avstanden fra $P$ til $Q$ .

Sara skal tegne en ny linje $x = a$ der $a \in \langle 1, 3 \rangle$ i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linjen og grafen til $f$ for $R$ og skjæringspunktet mellom linjen og grafen til $g$ for $S$ .

Bestem $a$ slik at avstanden fra $R$ til $S$ blir størst mulig. Oppgi svaret eksakt.

Fasit

$\underline{\underline{PQ = 6}}$

$\underline{\underline{a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven.

CAS-utregning for oppgave 5

Vi definerer $f$ og $g$ og beregner funksjonsverdiene ved $x = 1$ (linje 3–4 i CAS):

f(1) = 2 \cdot 1 + 8 = 10 \quad \Rightarrow \quad P = (1,\, 10)

g(1) = 1^3 - 1^2 - 4 \cdot 1 + 8 = 4 \quad \Rightarrow \quad Q = (1,\, 4)

Siden $P$ og $Q$ ligger på den vertikale linjen $x = 1$ , er avstanden

PQ = |f(1) - g(1)| = |10 - 4| = \mathbf{\underline{\underline{6}}}

For $a \in \langle 1, 3 \rangle$ er $f(a) > g(a)$ , så avstanden fra $R$ til $S$ er

d(a) = f(a) - g(a)

CAS forenkler dette til (linje 5–6):

d(a) = -a^3 + a^2 + 6a

Vi finner ekstremalstedene ved å derivere og sette $d'(a) = 0$ (linje 7–8):

d'(a) = -3a^2 + 2a + 6 = 0

CAS gir løsningene $a = \dfrac{-\sqrt{19}+1}{3}$ og $a = \dfrac{\sqrt{19}+1}{3}$ .

Siden $a \in \langle 1, 3 \rangle$ er det kun $a = \dfrac{1 + \sqrt{19}}{3} \approx 1{,}79$ som er aktuell.

Vi kontrollerer at det er et maksimum: $d''(a) = -6a + 2$ , og ved $a \approx 1{,}79$ er $d''(a) < 0$ , så det er et maksimumspunkt.

Maksimal avstand fra $R$ til $S$ oppnås når

\mathbf{\underline{\underline{a = \frac{1 + \sqrt{19}}{3}}}}

(Maksimumsverdien er $d\left(\dfrac{1+\sqrt{19}}{3}\right) = \dfrac{2}{27}\left(19\sqrt{19}+28\right) \approx 8{,}21$ .)

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: derivasjon, optimering, funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-6 : Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

En tredjegradsfunksjon $f$ er gitt ved

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 64

Punktet $(-8, 0)$ er et toppunkt på grafen til $f$ .
Den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ i intervallet $[0, 5]$ er $\dfrac{64}{5}$ .

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

$a=\frac{1}{5}, b=\frac{11}{5},c=-\frac{16}{5}$

Løsningsforslag

Vi vet at $f'(x)=0$ i toppunktet, så jeg begynner med å derivere funksjonen og setter uttrykket lik null

\begin{aligned} f'(x)&=3ax^{2}+2bx+c \\ f'(-8)&=3a \cdot (-8)^{2}+2b \cdot (-8)+c\\ 0&= 3a \cdot 64 + (-16b)+c \\ 0&=192a -16b+c \end{aligned}

Vi kan også sette opp en likning for funksjonsverdien ved toppunktet.

\begin{aligned} f(x)&=ax^3 + bx^2 + cx - 64 \\ f(-8)&=a(-8)^3 + b(-8)^2 + c(-8) - 64 \\ 0&=-512a+64b-8c-64 \end{aligned}

Til slutt kan vi sette opp en likning for gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $x \in \left[ 0,5 \right]$ .

\begin{aligned} \frac{64}{5}&=\frac{f(5)-f(0)}{5-0}\\ \frac{64}{5}&= \frac{\left( a \cdot 5^{3}+b \cdot 5^{2}+ c \cdot 5 - 64 \right) - \left( 0+0+0-64 \right) }{5}\\ \frac{64}{5}&=\frac{125a+25b+5c}{5} \\ 64&=125a+25b+5c \\ 0&=125a+25b+5c-64 \end{aligned}

Det var først nå jeg la merke til at dette var en del 2 oppgave, så jeg løste likningssystemet i GeoGebra 😄. Se utklippet.

Løsning av likningssystem i GeoGebra

\underline{\underline{ a=\frac{1}{5}, b=\frac{11}{5},c=-\frac{16}{5} }}

Sensorveiledning

I utgangspunktet kan kandidaten få 1 poeng for hver opplysning (punkt på graf, toppunkt, gjennomsnittlig vekstfart) som tolkes og brukes riktig. For å få full uttelling, må kandidaten i tillegg komme fram til riktig svar.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: derivasjon, gjennomsnittlig vekstfart, likningssystem
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-7 : Rektangel under graf

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = \frac{8}{x^2 + 20}

Graf til f med rektangel innskrevet

Rektangelet under grafen har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(5, 0)$ , $(5, f(5))$ og $(0, f(5))$ .

Bestem arealet av rektangelet.

Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(n, 0)$ , $(n, f(n))$ og $(0, f(n))$ for $n \in \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$

Bestem $k$ slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene $(0, 0)$ , $(k, 0)$ , $(k, f(k))$ og $(0, f(k))$ , blir størst mulig.

Fasit

$\frac{8}{9}$

–

$2\sqrt{ 5 } \approx 4{,}47$

Løsningsforslag

Rektangelet har bredde $5$ og høyde $f(5)$ .

f(5)=\frac{8}{5^{2}+20}=\frac{8}{45}

\text{Areal}=5 \cdot \frac{8}{45}=\underline{\underline{ \frac{8}{9} }}

Arealet er $\underline{\underline{ \frac{8}{9} }}$ .

Den enkleste måten å lage en systematisk oversikt er med et regneark.

Oversikt over arealer

Ut fra oversikten ser det ut til at svaret vil være når bredden er omtrent 4,5. For å bestemme dette eksakt kan vi lage en arealfunksjon:

A(x)= \text{Bredde} \cdot \text{Høyde} = x \cdot f(x)=x \cdot \frac{8}{x^{2}+20}

For å finne toppunktet til funksjonen deriverer vi den i CAS og setter den deriverte lik 0.

Finner største areal i CAS

Arealet er størst når $\underline{\underline{ k=2\sqrt{ 5 } }}$ .

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Mindre systematiske og mangelfulle oversikter kan gi 1 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: optimering, derivasjon, funksjoner, cas
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time

Oppgave 1-1 : Likesidet trekant og cos 60°

Oppgave 1-2 : Skjæringspunkter med x-aksen

Oppgave 1-3 : Tangent til tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4 : To trekanter og størst areal

Oppgave 1-5 : Rasjonale funksjoner og grafvalg

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer

Oppgave 2-1 : Folketall i et område

Oppgave 2-2 : Areal av firekantet figur

Oppgave 2-3 : Linjestykker og geometrisk vekst

Oppgave 2-4 : Antall fiskere og regresjon

Oppgave 2-5 : Avstand mellom to funksjoner

Oppgave 2-6 : Tredjegradsfunksjon med ukjente koeffisienter

Oppgave 2-7 : Rektangel under graf