1T Høst 2022

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

1T Høst 2022 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler
1-1	Vis at (sin u) / (cos u) = tan u	✔︎
1-2	Tredjegradsfunksjon med tre nullpunkter og grafvalg	—
1-3	Python-program med rasjonal funksjon og feilmelding	—
1-4	Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler
2-1	Hagebasseng som kjøles ned	—
2-2	Leiligheter i bygård	KI
2-3	Sirkel med diameter og innskrevet trekant	—
2-4	Cosinussetning med to løsninger	—
2-5	Pendel og potensregresjon med fysikkformel	—
2-6	Største areal i rektangel med omkrets 64	—
2-7	Gardiner som parabler kuttet fra tøyrull	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time

Oppgave 1-1 : Vis at (sin u) / (cos u) = tan u

Gitt trekanten under.

Trekant 3, 4, 5

Vis at

\frac{\sin u}{\cos u}=\tan u

Fasit

Se løsningsforslag

Løsningsforslag

Vi vet at $\sin u= \frac{mk}{h}$ og $\cos u = \frac{hk}{h}$ . Da er

\frac{\sin u}{\cos u}=\frac{\frac{mk}{\cancel{ h }}}{\frac{hk}{\cancel{ h }}}=\frac{mk}{hk}

Siden $\tan u = \frac{mk}{hk}$ så har vi vist at

\frac{\sin u}{\cos u}=\tan u \qquad\qquad \blacksquare

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 1
Temaer: trigonometri
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne

Oppgave 1-2 : Tredjegradsfunksjon med tre nullpunkter og grafvalg

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x)=(x-4)(x-2)(x+4)

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$ ? Husk å forklare hvordan du tenker.

Tre kandidater A, B og C

Løs ulikheten

(x-4)(x-2)(x+4)>0

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Temaer: tredjegradsfunksjon, faktorisering, ulikheter, grafisk framstilling
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-3 : Python-program med rasjonal funksjon og feilmelding

def f(x):
    return (1 - 2 * x) / (x - 2)

x = 8

while x >= -8:

    print(x , f(x))
    x = x - 1

8 -2.5
7 -2.6
6 -2.75
5 -3.0
4 -3.5
3 -5.0

Lars har skrevet en programkode. Ovenfor ser du koden, og resultatet Lars får når han kjører programmet.

Når programmet har skrevet ut de seks linjene, kommer en feilmelding.

Hva ønsker Lars å bruke programmet til, og hvorfor får han en feilmelding?

Foreslå endringer Lars kan gjøre i koden for å unngå feilmeldingen.

Skisser grafen til funksjonen $f$ som Lars har definert i linje 1 og 2 i koden.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: programmering, rasjonale funksjoner, asymptoter
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-4 : Andregradsfunksjon fra to tangentlikninger

Andregradsfunksjon og de to tangentene

Om grafen til en andregradsfunksjon $f$ får du vite at

tangenten i punktet $(-2,0)$ har likningen $y=9x+18$
tangenten i punktet $(8,-10)$ har likningen $y=-11x+78$

Bestem $f'(x)$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: andregradsfunksjon, derivasjon, tangent
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer

Oppgave 2-1 : Hagebasseng som kjøles ned

Hagebasseng

Strømmen som holder vannet i et hagebasseng varmt, blir slått av.

Anta at funksjonen $T$ gitt ved

T(x)=3{,}5+34{,}5\cdot 0{,}87^x,\quad x\ge 0

kan brukes som en modell for temperaturen $T(x)\degree$ i vannet $x$ timer etter at strømmen blir slått av.

Hva er temperaturen i vannet når strømmen blir slått av?

Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i vannet er under $20\degree$ ?

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(0,T(0))$ og $(4,T(4))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Undersøk om temperaturen i vannet noen gang vil synke med mer enn $5\degree$ i løpet av en time.

Gi en praktisk tolkning av tallet $3{,}5$ i modellen.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: eksponentialfunksjoner, modellering, derivasjon, gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-2 : Leiligheter i bygård

I en bygård er det 40 leiligheter med til sammen 90 rom. Hver leilighet har enten to eller tre rom.

Hvor mange leiligheter har to rom, og hvor mange har tre rom?

Fasit

30 leiligheter med 2 rom, 10 leiligheter med 3 rom

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ = antall leiligheter med 2 rom og $y$ = antall leiligheter med 3 rom.

Vi setter opp et likningssystem:

\begin{cases} x + y = 40 & \text{(totalt antall leiligheter)} \\ 2x + 3y = 90 & \text{(totalt antall rom)} \end{cases}

Vi løser systemet i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: løsning av likningssystem

CAS gir $x = 30$ og $y = 10$ .

Det er $\underline{\underline{30}}$ leiligheter med 2 rom og $\underline{\underline{10}}$ leiligheter med 3 rom.

Sjekk: $30 + 10 = 40$ ✓ og $2 \cdot 30 + 3 \cdot 10 = 60 + 30 = 90$ ✓

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Temaer: likningssystem
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 2-3 : Sirkel med diameter og innskrevet trekant

Sirkel med sentrum S, diameter AB og C på periferien

En sirkel har sentrum i $S$ . $AB$ er diameter, og $C$ ligger på sirkelperiferien. Arealet av $\triangle SBC$ er $3\cdot\sqrt{2}$ .

Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.

Bestem arealet av $\triangle ABC$ . Bruk eksakte verdier.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: geometri, trigonometri, sirkel, eksakte verdier, arealsetningen
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Oppgave 2-4 : Cosinussetning med to løsninger

Nina og Edvard arbeider med å finne en ukjent side $x$ i en trekant. De har brukt cosinussetningen og satt opp likningen

14^2=16^2+x^2-16x

Hvilke opplysninger kan Nina og Edvard ha fått om trekanten?

Siden likningen ovenfor er en andregradslikning, antar Nina at det er to ulike trekanter som passer med opplysningene de har fått.

Løs likningen og lag én skisse som viser at Ninas antakelse er riktig. Sett mål på skissen.

Nina og Edvard vet at andregradslikninger kan ha to løsninger, én løsning eller ingen løsning. Edvard bytter ut $14^2$ med $5^2$ . Da har likningen ovenfor ingen løsning.

«Det kunne vi sett om vi hadde laget en skisse», sier Nina. «Jeg lurer på hvilket tall vi måtte erstattet $14^2$ med for å få nøyaktig én løsning.»

Ta utgangspunkt i skissen du har laget. Gjør beregninger og bestem lengdene av sidene i det tilfellet der likningen har nøyaktig én løsning. Bruk eksakte verdier.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: cosinussetningen, andregradslikning, trigonometri, argumentasjon
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal

Oppgave 2-5 : Pendel og potensregresjon med fysikkformel

Pendel mellom posisjon A og B

Figuren ovenfor viser en pendel. Tiden pendelen bruker på å svinge fra posisjon B til posisjon A og tilbake til posisjon A igjen, kalles svingetiden.

Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder.

Tabellen nedenfor viser svingetiden til pendler med åtte ulike snorlengder.

Snorlengde (meter)	$0{,}1$	$0{,}3$	$0{,}5$	$0{,}8$	$1{,}0$	$1{,}3$	$1{,}6$	$2{,}0$
Svingetid (sekund)	$0{,}69$	$1{,}17$	$1{,}44$	$1{,}82$	$/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}08$	$/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}27$	$/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}53$	$/Users/stale/Downloads/1T_V22_LK20.pdf{,}80$

Bruk tallene i tabellen, og lag en modell på formen

S(x)=a\cdot x^b

som viser svingetiden $S(x)$ sekunder til en pendel med snorlengde $x$ meter.

Formelen

T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}

kan brukes for å regne ut svingetiden $T$ til en pendel, når vi ser bort fra friksjon og luftmotstand. $L$ er snorlengden gitt i meter, og $g$ er tyngdens akselerasjon. På jorden er $g=9{,}81 \mathrm{~m/s^2}$ .

Gjør beregninger og sammenlikn uttrykket du fant for $S(x)$ i oppgave a) med formelen for $T$ .

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: regresjon, potensfunksjon, modellering, formler
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-6 : Største areal i rektangel med omkrets 64

Gjerde rundt et rektangulært område

Per og Solveig har nok materialer til å lage et gjerde som er $64\mathrm{~m}$ langt. De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal.

Per påstår at arealet blir størst mulig dersom alle sidekantene er like lange.

Vis at Per sin påstand kan være riktig, ved å lage en oversikt som viser arealet av ulike rektangler med omkrets $64\mathrm{~m}$ .

Solveig lurer på om de kan tegne en graf som viser at Per har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Sett opp funksjonsuttrykket for Solveig. Tegn grafen, og vis at Per sin påstand er riktig.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Temaer: optimering, andregradsfunksjon, derivasjon, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-7 : Gardiner som parabler kuttet fra tøyrull

En bedrift produserer gardiner. Hvert gardin skal ha form som en parabel. Høyden skal være $70\mathrm{~cm}$ . Lengden øverst skal være $150\mathrm{~cm}$ . Se figuren nedenfor.

Ett gardin: 150 cm bredt, 70 cm høyt

Bedriften vil klippe ut gardinene fra tøyruller som er $140\mathrm{~cm}$ brede. For å bruke så lite tøy som mulig vil en maskin klippe ut gardinene slik figuren nedenfor viser.

Stoffrull med åtte gardiner klippet vekselvis

Gjør beregninger, og finn ut hvor langt tøystykke bedriften minst må bruke for å lage åtte gardiner.

Fasit

Løsningsforslag

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: andregradsfunksjon, integrasjon, areal, modellering
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige