1T Høst 2022

Nullpunktene til $f$ er der $f(x)=0$, altså der en av faktorene er null:

Nullpunktene er altså $x=-4$, $x=2$ og $x=4$.

Den eneste grafen som passer er A. Der ser vi at de to ytterste nullpunktene er like langt fra origo.

Vi setter opp en fortegnslinje for $f(x)=(x-4)(x-2)(x+4)$. Nullpunktene deler tallinja i fire intervaller:

$f(x)>0$ i intervallene der produktet er positivt:

Programmet starter med $x=8$ og teller ned med $1$ for hver runde i løkken, helt til $x<-8$. For hver verdi av $x$ regner det ut $f(x)={\displaystyle \frac{1-2x}{x-2}}$ og skriver ut $x$ og $f(x)$.

Formålet er altså å lage en tabell over funksjonsverdiene $f(x)$ for heltall fra $8$ til $-8$.

Etter at de seks linjene er skrevet ut, er neste verdi $x=2$. Da er nevneren $x-2=0$, og Python klarer ikke å dividere med null. Programmet krasjer med feilmeldingen ZeroDivisionError: division by zero.

Svar: Lars ønsker å lage en tabell over $f(x)$ for heltallsverdier av $x$ fra $8$ til $-8$. Feilmeldingen kommer fordi $f(2)$ er udefinert — nevneren $x-2=0$ når $x=2$.

En måte å unngå feilmeldingen på er å hoppe over $x=2$ med en if-setning:

def f(x):
    return (1 - 2 * x) / (x - 2)

x = 8

while x >= -8:
    if x != 2:
        print(x, f(x))
    x = x - 1

En annen mulighet er å fange feilen med try/except:

def f(x):
    return (1 - 2 * x) / (x - 2)

x = 8

while x >= -8:
    try:
        print(x, f(x))
    except ZeroDivisionError:
        print(x, "udefinert")
    x = x - 1

Funksjonen er $f(x)={\displaystyle \frac{1-2x}{x-2}}$.

Vi finner viktige punkter og linjer:

Loddrett asymptote: Nevneren er null når $x-2=0$, altså $x=2$.

Vannrett asymptote: For store $|x|$ dominerer leddene med høyest grad. Da er

Vannrett asymptote: $y=-2$.

Nullpunkt: $f(x)=0$ gir $1-2x=0$, altså $\underline{x={\displaystyle \frac{1}{2}}}$.

Skjæring med $y$-aksen: $f(0)={\displaystyle \frac{1-0}{0-2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Skisse:

Grafen har to grener, én for $x<2$ og én for $x>2$. Begge grenene nærmer seg asymptotene $x=2$ og $y=-2$. Grafen skjærer $x$-aksen i $({\displaystyle \frac{1}{2}},0)$ og $y$-aksen i $(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$.

For $x>2$ er telleren $1-2x<0$ og nevneren $x-2>0$, så $f(x)<0$. Grenen går fra $-\infty$ (ved $x=2^{+}$) opp mot $-2$ (når $x\to \infty$).

For $x<2$ er grenen over asymptoten $y=-2$ for $x<\frac{1}{2}$ (med skjæring i $x$-aksen og $y$-aksen som markert), og fortsetter opp mot $+\infty$ når $x\to 2^{-}$.

Vi setter inn $x=0$:

Temperaturen i vannet når strømmen blir slått av, er $\underline{\underline{38°\mathrm{C}}}$.

Vi løser ulikheten $T(x)<20$ i CAS:

Altså gjelder $T(x)<20$ for $x>\mathrm{5,30}$.

Temperaturen er under $20°\mathrm{C}$ etter ca. $\underline{\underline{\mathrm{5,30}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ (omtrent 5 timer og 18 minutter).

Stigningstallet til linjen gjennom $(0,T(0))$ og $(4,T(4))$ er

CAS gir $T(4)\approx \mathrm{23,265}$ og $T(0)=38$, så

Stigningstallet er $\underline{\underline{a\approx -\mathrm{3,68}°\mathrm{C}\text{ per time}}}$.

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt synker temperaturen i bassenget med ca. $\mathrm{3,68}°\mathrm{C}$ per time de første 4 timene etter at strømmen slås av.

Temperaturnedgangen i løpet av time nummer $x$ til $x+1$ er $T(x)-T(x+1)$.

Siden $T$ er en avtagende eksponentialfunksjon, er nedgangen størst i begynnelsen og avtar for hver time. Det er altså tilstrekkelig å sjekke den første timen:

CAS bekrefter $T(0)-T(1)\approx \mathrm{4,485}<5$.

Temperaturen synker aldri med mer enn $5°\mathrm{C}$ i løpet av en time. Den største nedgangen er ca. $\mathrm{4,49}°\mathrm{C}$, og den skjer i den første timen.

Funksjonen $T(x)=\mathrm{3,5}+\mathrm{34,5}\cdot {\mathrm{0,87}}^x$ har horisontal asymptote $y=\mathrm{3,5}$, siden ${\mathrm{0,87}}^x\to 0$ når $x\to \infty$.

Tallet $\mathrm{3,5}$ er omgivelsestemperaturen — den temperaturen vannet vil nærme seg på lang sikt (men aldri gå under). Dette tilsvarer lufttemperaturen rundt bassenget, som er den naturlige likevektstemperaturen.

Siden $S$ er sentrum i sirkelen, er $SA=SB=SC=r$ (alle er radier). Dermed er $△SBC$ likebeint med $SB=SC=r$.

Fra figuren ser vi at $\angle BSC=45°$.

Arealet av en trekant er $T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin C$, der $a$ og $b$ er to sider og $C$ er vinkelen mellom dem. For $△SBC$:

Vi setter opp likningen $T_{△SBC}=3\sqrt{2}$ og løser i CAS:

(Den negative løsningen $r=-2\sqrt{3}$ forkastes siden en radius er positiv.)

$△ABC$ og $△SBC$ har felles høyde fra $C$ ned til linja $AB$.

• Grunnlinja i $△ABC$ er $AB=2r$
• Grunnlinja i $△SBC$ er $SB=r$

Derfor er arealet av $△ABC$ dobbelt så stort som arealet av $△SBC$:

Cosinussetningen sier at $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Vi sammenligner med likningen

og ser at leddet $-16x$ svarer til $-2\cdot 16\cdot x\cdot \cos A$, som gir

Nina og Edvard har altså en trekant med to kjente sider $16$ og $x$, der den mellomliggende vinkelen er $60°$. Den tredje siden (motstående $A$) er $14$.

Vi løser andregradslikningen i GeoGebra CAS:

CAS gir $x=6$ eller $x=10$.

Begge løsningene er positive og kan være sider i en trekant. Ninas antakelse er altså riktig — det finnes to ulike trekanter:

• Trekant 1: sider $14$, $16$, $6$, med $60°$ mellom sidene $16$ og $6$.
• Trekant 2: sider $14$, $16$, $10$, med $60°$ mellom sidene $16$ og $10$.

Skisse (begge trekantene):

(Vinkelen på $60°$ er mellom sidene $16$ og $x$, motstående side er $14$.)

For at likningen

skal ha nøyaktig én løsning, må diskriminanten være null:

CAS bekrefter: $\text{Løs}(4a^2-768=0,a)\to a=8\sqrt{3}$ (positiv løsning).

Da er $x={\displaystyle \frac{16}{2}}=8$ (dobbeltrot: $x={\displaystyle \frac{-(-16)}{2\cdot 1}}=8$).

Trekanten har sidene $\underline{\underline{8\sqrt{3}}}$, $16$ og $\underline{\underline{8}}$, med $60°$ mellom sidene $16$ og $8$.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen og utfører potensregresjon i GeoGebra (Regneark → velg data → Analyse av ett datasett → Regresjon → Potensfunksjon).

GeoGebra gir:

$\underline{\underline{S(x)\approx \mathrm{2,03}\cdot x^{\mathrm{0,47}}}}$

Grafen viser at regresjonskurven (blå) passer godt til alle målepunktene (røde).

Vi skriver om fysikkformelen slik at den ligner på potensformen $a\cdot x^b$:

Med $g=\mathrm{9,81}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$:

Altså gir fysikkformelen:

Vi sammenligner:

Koeffisienten fra forsøket ($\mathrm{2,03}$) avviker kun ca. $1\%$ fra den teoretiske verdien ($\mathrm{2,006}$), og eksponenten ($\mathrm{0,47}$) avviker ca. $6\%$ fra $\mathrm{0,5}$. Modellen fra forsøket stemmer godt med fysikkformelen.

Avvikene skyldes målefeil i forsøket og at vi ser bort fra friksjon og luftmotstand i formelen.

Vi lar $x$ være bredden i rektangelet (i meter). Siden omkretsen er $64\mathrm{m}$, blir

der $y$ er lengden. Vi setter opp en oversikt over ulike verdier:

Oversikten viser at arealet er størst når $x=16\mathrm{m}$ og $y=16\mathrm{m}$, altså når rektangelet er et kvadrat. Dette støtter Pers påstand.

Vi bruker at $y=32-x$ og setter opp arealet som funksjon av $x$:

Vi finner toppunktet med GeoGebra CAS:

Grafen viser $A(x)=x(32-x)$ med toppunktet $A=(16,256)$.

Siden toppunktet er i $x=16$, blir lengden $y=32-16=16\mathrm{m}$.

Rektangelet er altså et kvadrat med sidelengde $16\mathrm{m}$, og det største arealet er

Dette bekrefter Pers påstand.