1T Høst 2025 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler
1-1	Andregradsulikhet med faktorisering	✔︎
1-2	Nullpunkter til tredjegradsfunksjon	✔︎
1-3	Påstander om rasjonal funksjon	✔︎
1-4	Bankinnskudd med rente bakover	✔︎
1-5	Trekantareal og sin 45 grader	KI
1-6	Femkanttall og programmering	✔︎
Del 2 3 timer med hjelpemidler
2-1	Vekt og lengde potensfunksjon	KI
2-2	Aldersregnestykke med likningssystem	KI
2-3	Areal av firkant med trigonometri	KI
2-4	Gråmønster i likesidet trekant	KI
2-5	Størst mulig rektangel under kurve	KI
2-6	Tangent til parabel og lagerhall	KI

Oppgave 1-1 : Andregradsulikhet med faktorisering

Løs ulikheten

x^2 + 4x - 5 < 0

Fasit

$-5 < x < 1$

Løsningsforslag

Faktoriserer med heltallsmetoden med tallene $+5$ og $-1$ :

x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1)

Nullpunktene er $x = -5$ og $x = 1$ . Siden koeffisienten foran $x^{2}$ -leddet er 1, så vet vi at parabelen er konveks. Uttrykket er derfor negativt mellom nullpunktene.

Løsning: $\underline{\underline{-5 < x < 1}}$

Sensorveiledning

En kandidat som har funnet riktige nullpunkter og viser hvordan svarene framkommer, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: andregradslikninger, algebra, ulikheter
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing

Oppgave 1-2 : Nullpunkter til tredjegradsfunksjon

Bestem nullpunktene til funksjonen gitt ved $f$

f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12

Fasit

$x = -2$ , $x = 1$ , $x = 6$

Løsningsforslag

Tester $x=1$ : $f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0$ , så $(x-1)$ et nullpunkt, og det er en faktor i tredjegradsfunksjonen vår.

Vi utfører polynomdivisjonen:

\begin{aligned} & \,\quad \left( x^{3} -5x^{2}-8x +12 \right) : (x-1) = x^{2}-4x-12 \\ & \underline{ - \left( x^{3} -x^{2} \right) } \\ & \quad \quad \quad -4x^{2} - 8x +12 \\ & \quad \;\; - \underline{ \left( -4x^{2} +4x\right) }\\ & \quad \;\quad \quad \quad \quad - 12x+12 \\ & \quad \;\;\; \quad \quad \underline{- \left( - 12x+12 \right)} \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0 \end{aligned}

Vi kan altså skrive om $f$ som $f(x) = (x-1)(x^2 - 4x - 12)$ .

Vi prøver heltallsmetoden på andregradsuttrykket og ser at $-6$ og $+2$ passer slik at

(x^2 - 4x - 12)=(x-6)(x+2)

Dermed har vi funnet to nye nullpunkter: $x=6$ og $x=-2$ .

Nullpunktene er $\underline{\underline{x = -2}}$ , $\underline{\underline{x = 1}}$ og $\underline{\underline{x = 6}}$ .

Sensorveiledning

Poengene fordeles i utgangspunktet slik: Én riktig faktor/ett riktig nullpunkt gir 1 poeng. En kandidat som gjør noen riktige beregninger videre, kan få 2 poeng. For å få full uttelling, må det gå klart fram hvilke tre $x$ -verdier som er løsninger av likningen.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: algebra, polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-3 : Påstander om rasjonal funksjon

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{2x+6}{x^2+4}

Hvilke av påstandene nedenfor er riktige? Husk å begrunne svarene dine.

Påstand 1: Grafen til $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.

Påstand 2: Grafen til $f$ har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til $f$ skjærer aldri $y$ -aksen.

Påstand 4: Grafen til $f$ har horisontal asymptote $y = 2$ .

Fasit

Påstand 1 og 2 er riktige.

Løsningsforslag

Påstand 1 (riktig): Nullpunkt der $2x+6=0 \Rightarrow x=-3$ . Nevneren $x^2+4>0$ alltid, så $x=-3$ er gyldig og eneste nullpunkt.

Påstand 2 (riktig): Vertikale asymptoter der $x^2+4=0$ , men $x^2=-4$ har ingen reelle løsninger.

Påstand 3 (feil): $f(0) = 6/4 = 3/2$ , grafen skjærer $y$ -aksen.

Påstand 4 (feil): Telleren har lavere grad enn nevneren, så $f(x) \to 0$ . Horisontal asymptote er $y=0$ .

Sensorveiledning

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig argumentasjon knyttet til hver påstand.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: rasjonale funksjoner, asymptoter, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-4 : Bankinnskudd med rente bakover

For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått $4{,}5\ \%$ rente per år. I dag har han $250\,000$ kroner på kontoen.

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto?

::: {.grid cols=3}

250\,000 \cdot 0{,}955^5

\dfrac{250\,000}{1{,}045^5}

250\,000 \cdot 1{,}045^5

250\,000 \cdot 0{,}955^{-5}

\dfrac{250\,000}{0{,}955^5}

250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}

:::

Fasit

og 6)

Løsningsforslag

4,5 % rente tilsvarer vekstfaktor 1,045. For å gå fem år tilbake i tid kan vi enten

Dele beløpet vårt på vekstfaktoren 5 ganger: $\dfrac{250\,000}{1{,}045^5}$
Opphøye vekstfaktoren vår i minus 5: $250\,000 \cdot 1{,}045^{-5}$

Uttrykk 2) og 6) er riktige.

Sensorveiledning

En kandidat som argumenterer for ett riktig uttrykk, kan få 1 poeng. En kandidat som finner begge de riktige uttrykkene, men ikke argumenterer for disse, får 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: prosentregning, geometrisk vekst, vekstfaktor
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 1-5 : Trekantareal og sin 45 grader

deloppgave: c poeng: 1

Trekantareal og sin 45 grader

Rettvinklet likebeint trekant

Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Gitt en trekant $ABC$ der $AB = 3\sqrt{2}$ , $AC = 8$ og $\angle A = 45\degree$ .

Bestem arealet av trekanten.

Gitt en trekant $PQR$ der $PQ = 3\sqrt{2}$ , $PR = 8$ og $\angle P = 140\degree$ .

Hvilken av trekantene $ABC$ og $PQR$ har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Vis ved hjelp av trekanten

$T = 12$

Trekant $ABC$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten er rettvinklet og likebeint med kateter $= 1$ og hypotenus $= \sqrt{2}$ .

\sin 45\degree = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \qquad \square

T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \underline{\underline{12}}

T_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140\degree

$\sin 140\degree = \sin 40\degree \approx 0{,}643 < \sin 45\degree \approx 0{,}707$

Siden sidene er like men $\sin 45\degree > \sin 140\degree$ , har trekant $ABC$ størst areal.

Sensorveiledning

2,5 poeng

En riktig definisjon av sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gir 1 poeng.

2,5 poeng

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke kommer fram til riktig areal, får 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: trigonometri, arealsetningen
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar

Oppgave 1-6 : Femkanttall og programmering

De 4 første femkanttallene

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.

tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
	print(tall)
	tall = tall + differanse
	differanse = differanse + 3

Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Fasit

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut. Siri har oppdaget at antallet nye sirkler øker med 3 fra ett femkanttall til det neste.

Løsningsforslag

Variabelen tall inneholder antall sirkler i et femkanttall slik tall utvikler seg slik tabellen viser.

$n$	tall	differanse
1	1	4
2	5	7
3	12	10
4	22	13
5	35	16
6	51	19
7	70	22

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut av programmet.

Siri har oppdaget at antallet nye sirkler i femkanttalene (de som er tegnet oppe mot høyre i figuren) øker med 3 for hvert femkanttall.

Sensorveiledning

For å få full uttelling, må kandidaten få med de riktige tallene og beskrive sammenhengen på en presis måte. En kandidat som får med alle tallene, men ikke gjør rede for sammenhengen på en presis måte, kan få 2 poeng. En kandidat som ikke kommenterer sammenhengen, må få med minst fem av tallene som skrives ut for å få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: figurtall, programmering, rekursiv formel
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering

Oppgave 2-1 : Vekt og lengde potensfunksjon

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen

F(x) = a \cdot x^b

der $F(x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ . Tegn grafen til $F$ .

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(75,\ F(75))$ og $(95,\ F(95))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem den momentane vekstfarten når $x = 100$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med $20\ \%$ ifølge modellen?

Fasit

$F(x) \approx 0{,}00966 \cdot x^{3{,}00}$

$\approx 210 \mathrm{~gram/cm}$

$\approx 289 \mathrm{~gram/cm}$

$\approx 72{,}8\ \%$

LøsningsforslagKI-generert

Legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker PotensRegresjon. GeoGebra gir:

F(x) \approx 0{,}00966 \cdot x^{3{,}00}

k = \frac{F(95) - F(75)}{95 - 75} \approx \frac{8219 - 4105}{20} \approx \underline{\underline{210 \mathrm{~gram/cm}}}

Gjennomsnittlig øker vekten med omtrent $210\ \mathrm{gram}$ per centimeter ekstra lengde i intervallet $75$ – $95\ \mathrm{cm}$ .

$F'(100) = a \cdot b \cdot 100^{b-1} \approx 0{,}00966 \cdot 3{,}00 \cdot 100^{2{,}00} \approx \underline{\underline{289 \mathrm{~gram/cm}}}$

Når fisken er $100\ \mathrm{cm}$ , øker vekten med omtrent $289\ \mathrm{gram}$ per centimeter ekstra lengde.

\frac{F(1{,}2x)}{F(x)} = \frac{a(1{,}2x)^b}{ax^b} = 1{,}2^b \approx 1{,}2^3 = 1{,}728

Vekten øker med omtrent $\underline{\underline{72{,}8\ \%}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for en riktig modell og 1 poeng for en grafisk framstilling som kommuniserer godt. Det skal gå tydelig fram at tallene langs $x$ -aksen er lengde i centimeter og at tallene langs $y$ -aksen er vekt i gram. En kandidat som lager en grafisk framstilling som oppfyller disse kravene i oppgave b), c) eller d), får også uttelling for dette i oppgave a). En kandidat som ikke bruker en potensfunksjon, kan få uttelling for den grafiske framstillingen.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i vekt per centimeter.

2 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig momentan vekstfart og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av svaret. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en momentan økning i vekt per centimeter.

2 poeng

En kandidat som bare gjør beregninger for én lengde, får høyst 1 poeng. For å få full uttelling, må kandidaten vise eller argumentere for at sammenhengen gjelder generelt, eller gjøre beregninger for minst to ulike lengder.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: potensfunksjon, derivasjon, regresjon
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte

Oppgave 2-2 : Aldersregnestykke med likningssystem

I dag er Abid, Therese og Harald til sammen 68 år. Therese er 17 år eldre enn Abid.

Om tre år vil Abid være dobbelt så gammel som Harald.

Hvor gamle er Abid, Therese og Harald i dag?

Fasit

Abid: 21 år, Therese: 38 år, Harald: 9 år

LøsningsforslagKI-generert

La $a$ , $t$ , $h$ være alderen til Abid, Therese og Harald. Likningssystemet:

\begin{aligned} a + t + h &= 68 \\ t &= a + 17 \\ a + 3 &= 2(h + 3) \end{aligned}

Fra ligning 3: $a = 2h + 3$ . Fra ligning 2: $t = 2h + 20$ . Inn i ligning 1:

$(2h+3) + (2h+20) + h = 68 \implies 5h = 45 \implies h = 9$

Dermed $a = 21$ og $t = 38$ .

$\underline{\underline{\text{Abid er 21 år, Therese er 38 år og Harald er 9 år.}}}$

Sensorveiledning

En kandidat som setter opp minst to riktige likninger eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: likningssystem, algebra
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 2-3 : Areal av firkant med trigonometri

Figur med firkant ABCD

Gitt figuren ovenfor.

Gjør beregninger og vis at $AC = 3$ .

Bestem arealet av firkanten $ABCD$ . Gi svaret eksakt.

Fasit

Vis ved beregning

$\dfrac{9 + 6\sqrt{3}}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

I trekant $ADC$ : $\angle D = 120\degree$ , $\angle DCA = 30\degree$ , $DC = \sqrt{3}$ .

$\angle DAC = 180\degree - 120\degree - 30\degree = 30\degree$

Sinussetningen: $\dfrac{AC}{\sin 120\degree} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sin 30\degree} \implies AC = \dfrac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 \qquad \square$

Areal av $ADC$ : Siden $\angle DAC = \angle DCA = 30\degree$ er $AD = DC = \sqrt{3}$ .

T_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 120\degree = \frac{3\sqrt{3}}{4}

Areal av $ABC$ : $BC = \sqrt{6}$ , $AC = 3$ , $\angle BAC = 45\degree$ .

\sin(\angle ABC) = \frac{AC \cdot \sin 45\degree}{BC} = \frac{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \angle ABC = 60\degree

$\angle ACB = 180\degree - 45\degree - 60\degree = 75\degree$

T_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot 3 \cdot \sin 75\degree = \frac{3\sqrt{6}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} = \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4}

Totalt:

T_{ABCD} = \frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{9 + 3\sqrt{3}}{4} = \underline{\underline{\frac{9 + 6\sqrt{3}}{4}}}

Sensorveiledning

2,5 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2,5 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for hver trigonometrisk setning som er brukt på en riktig måte. For å få full uttelling, må kandidaten legge sammen arealene av de to trekantene og gi svaret eksakt.

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: geometri, trigonometri
Kompetansemål: Bruke trigonometri til å analysere og løyse samansette teoretiske og praktiske problem med lengder, vinklar og areal
Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga

Oppgave 2-4 : Gråmønster i likesidet trekant

Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.

Mønster med likesidede trekanter

Tenk deg at Maria fortsetter å dele opp trekanten og fargelegge etter samme mønster.

Sett opp en algoritme Maria kan bruke for å finne summen av arealene av de 100 første trekantene som vil bli grå.

Ta utgangspunkt i algoritmen og lag et program som regner ut summen av arealene dersom arealet av den likesidede trekanten hun starter med er 36.

Fasit

Se algoritme

$12$

LøsningsforslagKI-generert

Maria tar hvert steg den største hvite trekanten, deler den i 4 like trekanter og farger den midterste (inverterte) grå. Grå trekant nummer $n$ har areal $S/4^n$ . Arealene danner en geometrisk rekke med kvotient $1/4$ .

Algoritme:

S_start = 36
total = 0
grå_areal = S_start / 4

gjenta 100 ganger:
    total = total + grå_areal
    grå_areal = grå_areal / 4

skriv ut total

S_start = 36
total = 0
graa_areal = S_start / 4

for i in range(100):
    total += graa_areal
    graa_areal /= 4

print(total)

Programmet skriver ut $\underline{\underline{12{,}0}}$ .

Sensorveiledning

1,5 poeng

For å få 1 poeng må kandidaten gjøre rede for en steg for steg framsgangsmåte.

1,5 poeng

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng. Det er viktig å se på helheten i besvarelsen av oppgave a) og b).

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: figurtall, programmering, rekker
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering

Oppgave 2-5 : Størst mulig rektangel under kurve

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{10}{x^2 + 3}, \quad x > 0

Punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $A$ ligger i origo, punktet $B$ ligger på $x$ -aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$ , og punktet $D$ ligger på $y$ -aksen. Se figuren nedenfor.

Rektangel under kurven

Bestem arealet av rektangelet dersom punktet $B$ har koordinatene $(3, 0)$ .

Hvor på $x$ -aksen må punktet $B$ ligge for at arealet av rektangelet $ABCD$ skal bli størst mulig?

Fasit

$5/2$

$x = \sqrt{3}$

LøsningsforslagKI-generert

f(3) = \frac{10}{9+3} = \frac{5}{6}, \quad A = 3 \cdot \frac{5}{6} = \underline{\underline{\frac{5}{2}}}

Arealet er $A(x) = x \cdot f(x) = \dfrac{10x}{x^2 + 3}$ .

A'(x) = \frac{30 - 10x^2}{(x^2+3)^2} = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}

Siden $A'(x) > 0$ for $x < \sqrt{3}$ og $A'(x) < 0$ for $x > \sqrt{3}$ , er $x = \sqrt{3}$ et maksimumspunkt.

$B$ må ligge i $\underline{\underline{x = \sqrt{3}}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten bestemme ekstremalpunktet grafisk eller ved regning. En «prøve og feile»-metode, for eksempel med en glider, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: derivasjon, funksjoner, geometri
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-6 : Tangent til parabel og lagerhall

Snitt av lagerhall

En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved

p(x) = -\frac{1}{12}x^2 + 20

På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festes på en stang som er 3 meter lang.

Den rette linjen på figuren går gjennom punktet $(0, 23)$ og er en tangent til grafen.

Bestem likningen for tangenten.

Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?

Fasit

$y = -x + 23$

$21 - 4\sqrt{15} \approx 5{,}5 \mathrm{~m}$

LøsningsforslagKI-generert

$p'(x) = -x/6$ . La tangentpunktet være $(c, p(c))$ og tangenten gå gjennom $(0, 23)$ :

23 - p(c) = -p'(c) \cdot c = \frac{c^2}{6}

3 + \frac{c^2}{12} = \frac{c^2}{6} \implies 3 = \frac{c^2}{12} \implies c = \pm 6

For $c = 6$ : $m = -1$ , tangent: $y = -(x-6) + 17 = \underline{\underline{-x + 23}}$

Veggen er der $p(x) = 0$ : $x = 4\sqrt{15} \approx 15{,}5\ \mathrm{m}$ fra senter.

Kameraet i $(0, 23)$ ser langs tangenten. En tyv på $2\ \mathrm{m}$ er skjult når linjen fra kameraet til hodet $(x_t, 2)$ tangerer bygget i $x = 6$ :

23 - \frac{126}{x_t} = 17 \implies x_t = 21\ \mathrm{m}

Avstand fra vegg: $21 - 4\sqrt{15} \approx \underline{\underline{5{,}5\ \mathrm{m}}}$ .

Sensorveiledning

1,5 poeng

Riktig likning uten begrunnelse gir ingen utteling. En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som prøver seg fram, må verifisere svaret for å få full uttelling.

1,5 poeng

En kandidat som ikke tar hensyn til tyvens høyde, kan også få full utteling.

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: derivasjon, modellering, geometri
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Sync på tvers av enheter

1T Høst 2025

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 1-1 : Andregradsulikhet med faktorisering

Oppgave 1-2 : Nullpunkter til tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-3 : Påstander om rasjonal funksjon

Oppgave 1-4 : Bankinnskudd med rente bakover

Oppgave 1-5 : Trekantareal og sin 45 grader

Trekantareal og sin 45 grader

Oppgave 1-6 : Femkanttall og programmering

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Vekt og lengde potensfunksjon

Oppgave 2-2 : Aldersregnestykke med likningssystem

Oppgave 2-3 : Areal av firkant med trigonometri

Oppgave 2-4 : Gråmønster i likesidet trekant

Oppgave 2-5 : Størst mulig rektangel under kurve

Oppgave 2-6 : Tangent til parabel og lagerhall