1T Vår 2025

Vi løser først den tilhørende andregradslikningen ved å faktorisere:

$$x^2 - 4x - 12 = 0$$

Vi søker to tall som multipliserer til $-12$ og adderer til $-4$. Tallene $-6$ og $2$ passer:

$$x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2) = 0$$

Dette gir nullpunktene $x = 6$ og $x = -2$.

Siden ledende koeffisient er positiv ($a = 1 > 0$), åpner parabelen oppover. Det betyr at parabelen er under $x$-aksen mellom nullpunktene.

Vi setter opp et fortegnsskjema:

	$x < -2$	$x = -2$	$-2 < x < 6$	$x = 6$	$x > 6$
$(x+2)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(x-6)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$(x+2)(x-6)$	$+$	$0$	$\mathbf{-}$	$0$	$+$

Ulikheten $x^2 - 4x - 12 < 0$ er oppfylt der produktet er negativt, altså mellom nullpunktene.

Løsningen er $\underline{\underline{x \in \langle -2,\ 6 \rangle}}$.

a)

Vi prøver $x = 1$:

$$1^3 - 7 \cdot 1^2 - 10 \cdot 1 + 16 = 1 - 7 - 10 + 16 = 0 \checkmark$$

Siden $x = 1$ er en rot, er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

$$\frac{x^3 - 7x^2 - 10x + 16}{x - 1}$$ \begin{array}{r} x^2 - 6x - 16 \\[-4pt] \hline x - 1 \;\right)\; x^3 - 7x^2 - 10x + 16 \\ x^3 - x^2 \\[-4pt] \hline -6x^2 - 10x \\ -6x^2 + 6x \\[-4pt] \hline -16x + 16 \\ -16x + 16 \\[-4pt] \hline 0 \end{array}

Vi har nå:

$$x^3 - 7x^2 - 10x + 16 = (x - 1)(x^2 - 6x - 16)$$

Vi løser $x^2 - 6x - 16 = 0$ med abc-formelen:

$$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}$$ $$x = \frac{6 + 10}{2} = 8 \qquad \text{eller} \qquad x = \frac{6 - 10}{2} = -2$$

Løsningene er $x = -2$, $x = 1$ og $x = 8$.

b)

Vi bruker egenskapene til $f(x) = x^3 - 7x^2 - 10x + 16$ for å velge riktig graf:

• Ledende koeffisient positiv ($+x^3$): grafen går mot $-\infty$ når $x \to -\infty$ og mot $+\infty$ når $x \to +\infty$. Det utelukker A og B (som begge har negativ ledende koeffisient).
• Tre nullpunkter ved $x = -2$, $x = 1$ og $x = 8$: én negativ rot og to positive røtter.
• $y$-skjæring: $f(0) = 16 > 0$.
• Lokalt toppunkt mellom røttene $-2$ og $1$ ligger ved en negativ $x$-verdi (til venstre for $y$-aksen). Lokalt bunnpunkt ligger mellom røttene $1$ og $8$, altså ved en positiv $x$-verdi (til høyre for $y$-aksen).

Graf D har lokalt toppunkt til høyre for $y$-aksen og lokalt bunnpunkt til venstre – det stemmer ikke med $f$.

Graf C har:

• positiv ledende koeffisient (riktig retning)
• én negativ rot (ca. $x = -2$), lokalt toppunkt like til venstre for $y$-aksen
• positiv $y$-skjæring
• en rot ved liten positiv $x$ (ca. $x = 1$), lokalt bunnpunkt lengre til høyre
• en rot ved større positiv $x$ (ca. $x = 8$)

Dette stemmer med $f$. Graf C er riktig.

a)

Vi halverer den likesidede trekanten med et loddrett snitt fra ett hjørne ned til midtpunktet på den motsatte siden.

Dette gir en rettvinklet trekant med:

• hypotenus $= 2$
• kort katet $= 1$ (halvparten av bunnsiden)
• lang katet $= \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

Vinklene i den rettvinklede trekanten er $30\degree$, $60\degree$ og $90\degree$.

Fra definisjonen av sinus og cosinus:

$$\sin 30\degree = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}$$ $$\cos 60\degree = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} = \frac{1}{2}$$

Dermed er $\sin 30\degree = \cos 60\degree = \dfrac{1}{2}$.

b)

Vi bruker arealsetningen:

$$T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$$ $$T = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \sin 30\degree = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = \underline{\underline{15}}$$

c)

Vi bruker cosinussetningen:

$$QR^2 = PQ^2 + PR^2 - 2 \cdot PQ \cdot PR \cdot \cos P$$ $$QR^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos 60\degree$$ $$QR^2 = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$$ $$QR = \sqrt{49} = \underline{\underline{7}}$$

CAS prøver å finne hvilke $x$-verdier som gjør likningen sann. For å forstå hvorfor den svarer $x = x$, kan vi se hva som skjer når vi forenkler høyre side:

$$(x+2)(x-2) = x^2 - 2x + 2x - 4 = x^2 - 4$$

De to sidene er altså nøyaktig det samme algebraiske uttrykket. Det betyr at likningen

$$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$$

er sann uansett hvilken verdi $x$ har. Velger vi for eksempel $x = 3$:

$$3^2 - 4 = 5 \quad \text{og} \quad (3+2)(3-2) = 5 \cdot 1 = 5$$

eller $x = 0$:

$$0^2 - 4 = -4 \quad \text{og} \quad (0+2)(0-2) = 2 \cdot (-2) = -4$$

Begge sider gir alltid samme svar.

En slik likhet kalles en identitet — en likhet mellom to uttrykk som er sann for alle verdier av variabelen. CAS uttrykker dette med $x = x$: det er CAS sin måte å si «alle reelle tall er løsninger».

Dette er annerledes enn en vanlig likning, for eksempel $x^2 - 4 = 0$, der bare de spesielle verdiene $x = 2$ og $x = -2$ er løsninger.

Kari kan altså forklare at $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ er en identitet fordi de to sidene er ekvivalente uttrykk, og at CAS bekrefter dette ved å returnere $x = x$.

Programmet definerer $f(x) = x^2 + 2x - 15$ og starter med $x = -5$ og verdi = f(-5).

While-løkka går gjennom heltallene $x = -5, -4, -3, \ldots, 5$. For hvert steg sjekkes det om $f(x)$ er mindre enn den lagrede verdi. Hvis ja, oppdateres verdi. Til slutt skrives den minste verdien som ble funnet.

Vi regner ut $f(x)$ for alle heltall i intervallet:

$x$	$f(x) = x^2 + 2x - 15$
$-5$	$25 - 10 - 15 = 0$
$-4$	$16 - 8 - 15 = -7$
$-3$	$9 - 6 - 15 = -12$
$-2$	$4 - 4 - 15 = -15$
$-1$	$1 - 2 - 15 = \mathbf{-16}$
$0$	$0 + 0 - 15 = -15$
$1$	$1 + 2 - 15 = -12$
$2$	$4 + 4 - 15 = -7$
$3$	$9 + 6 - 15 = 0$
$4$	$16 + 8 - 15 = 9$
$5$	$25 + 10 - 15 = 20$

Den minste funksjonsverdien er $f(-1) = -16$.

Programmet skriver ut $\underline{\underline{-16}}$.

Vi definerer $K(x) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^x$ i GeoGebra CAS og beregner alle deloppgavene i én sesjon.

a)

Vi beregner $K(x)$ for de seks månedene i tabellen og sammenligner med de observerte verdiene:

Måned	$x$	Observert	$K(x)$
Januar 2023	1	29	$\approx 33$
Mai 2023	5	93	$\approx 69$
Oktober 2023	10	164	$\approx 172$
Februar 2024	14	284	$\approx 357$
August 2024	20	1035	$\approx 1066$
Oktober 2024	22	1657	$\approx 1535$

Modellverdiene er av samme størrelsesorden som de observerte verdiene i alle månedene. Avvikene er relativt små sammenlignet med de faktiske tallene. $K$ er derfor en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i perioden.

b)

Vi beregner stigningstallet til linjen gjennom $(4, K(4))$ og $(21, K(21))$:

$$\frac{K(21) - K(4)}{21 - 4} = \frac{1278{,}94 - 57{,}65}{17} \approx \underline{\underline{71{,}84}}$$

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antallet registrerte kikhoste-tilfeller med ca. $\textbf{72}$ tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 ($x = 4$) til september 2024 ($x = 21$).

c)

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022, altså $x = 29$.

$$K(29) = 27{,}8 \cdot 1{,}2^{29} \approx \underline{\underline{5499 \text{ tilfeller}}}$$

Ifølge modellen vil det bli registrert ca. 5499 tilfeller av kikhoste i Norge i mai 2025.

La $x$ være antall små sekker og $y$ være antall store sekker.

Vi setter opp likningssystemet:

$$\begin{cases} x + y = 80 \\ 4{,}5x + 12y = 720 \end{cases}$$

Vi løser systemet i GeoGebra CAS med kommandoen Løs({x + y = 80, (9/2)·x + 12·y = 720}, {x, y}):

CAS gir $x = 32$ og $y = 48$.

Butikken solgte $\underline{\underline{32 \text{ små sekker}}}$ og $\underline{\underline{48 \text{ store sekker}}}$ denne dagen.

a)

Isabel har gitt at $V = 450 \, \mathrm{cm}^3$. Hun løser volumformelen for $h$:

$$h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{450}{\pi r^2}$$

Deretter settes $h$ inn i overflateformelen:

$$O = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r}$$

Vi beregner $h$ og $O$ for hver radiusverdi i GeoGebra CAS (se utklipp):

Radius, $r$ (cm)	Høyde, $h$ (cm)	Overflate, $O$ (cm²)	Volum, $V$ (cm³)
2	35,8	462,6	450
4	8,95	275,3	450
6	3,98	263,1	450
8	2,24	313,6	450

b)

Vi setter $h = \dfrac{450}{\pi r^2}$ inn i formelen for overflaten:

$$O(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{450}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{900}{r}$$

Grafen under viser $O(r)$ for $r > 0$ med bunnpunktet markert:

c)

Vi finner minimumet ved å derivere $O(r)$ og sette $O'(r) = 0$:

$$O'(r) = 2\pi r - \frac{900}{r^2}$$

Vi setter $O'(r) = 0$:

$$2\pi r = \frac{900}{r^2} \implies r^3 = \frac{450}{\pi}$$

GeoGebra CAS gir $r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}$ (se utklipp over).

Høyden blir da:

$$h = \frac{450}{\pi \cdot 5{,}23^2} \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}$$

Vi merker oss at $h = r$ ved minimumet — boksen er like høy som den er bred.

Minste overflate:

$$O(5{,}23) = \pi \cdot 5{,}23^2 + \frac{900}{5{,}23} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2$$

Isabel bør velge radius $\underline{\underline{r \approx 5{,}23 \, \mathrm{cm}}}$. Da blir overflaten minst mulig, $\underline{\underline{O_{\min} \approx 258 \, \mathrm{cm}^2}}$.

Vi leser av egenskapene til grafene og setter opp funksjonsuttrykk som passer.

Funksjonen $f$

Grafen til $f$ har følgende egenskaper:

• To vertikale asymptoter ved $x = -1$ og $x = 1$
• Horisontal asymptote $y = 0$
• Positiv $y$-skjæring ($f(0) > 0$)
• Nullpunkt mellom $0$ og $1$ (ca. $x = 0{,}4$)

Siden $f$ har vertikale asymptoter ved $x = -1$ og $x = 1$, må nevneren ha nullpunkter nettopp der. En naturlig nevner er

$$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$$

Telleren må gi nullpunkt nær $x = 0{,}4$. Et lineært uttrykk $5x - 2$ har nullpunkt i $x = \tfrac{2}{5}$, som passer godt. Da blir

$$f(x) = \frac{5x - 2}{x^2 - 1}$$

Vi verifiserer:

• Vertikale asymptoter: $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ ✓
• Nullpunkt: $5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{5}$ ✓
• $y$-skjæring: $f(0) = \dfrac{-2}{-1} = 2 > 0$ ✓
• Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5x - 2}{x^2 - 1} = 0$ ✓

Funksjonen $g$

Grafen til $g$ har følgende egenskaper:

• Ingen vertikale asymptoter
• Horisontal asymptote $y = 0$
• Negativ $y$-skjæring og samme type teller som $f$ (lik nullpunkt og y-skjæring i tallverdi før fortegn)
• Lokalt minimum like til venstre for $y$-aksen, lokalt maksimum til høyre

Siden $g$ ikke har vertikale asymptoter, må nevneren aldri bli null. Vi beholder samme teller som i $f$ og bytter nevner til $x^2 + 1$ (alltid positiv):

$$g(x) = \frac{5x - 2}{x^2 + 1}$$

Vi verifiserer:

• Ingen vertikale asymptoter: $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ for alle $x$ ✓
• Nullpunkt: $5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{5}$ ✓
• $y$-skjæring: $g(0) = \dfrac{-2}{1} = -2$ ✓
• Horisontal asymptote: $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{5x - 2}{x^2 + 1} = 0$ ✓

Grafene er tegnet i GeoGebra (blå = $f$, rød = $g$) og samsvarer med originalfigurene: