Trekantareal og sin 45 grader

Rettvinklet likebeint trekant

Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 45\degree = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Gitt en trekant $ABC$ der $AB = 3\sqrt{2}$ , $AC = 8$ og $\angle A = 45\degree$ .

Bestem arealet av trekanten.

Gitt en trekant $PQR$ der $PQ = 3\sqrt{2}$ , $PR = 8$ og $\angle P = 140\degree$ .

Hvilken av trekantene $ABC$ og $PQR$ har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Vis ved hjelp av trekanten

$T = 12$

Trekant $ABC$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten er rettvinklet og likebeint med kateter $= 1$ og hypotenus $= \sqrt{2}$ .

\sin 45\degree = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \qquad \square

T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \underline{\underline{12}}

T_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140\degree

$\sin 140\degree = \sin 40\degree \approx 0{,}643 < \sin 45\degree \approx 0{,}707$

Siden sidene er like men $\sin 45\degree > \sin 140\degree$ , har trekant $ABC$ størst areal.

Sensorveiledning

2,5 poeng

En riktig definisjon av sinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gir 1 poeng.

2,5 poeng

En kandidat som setter opp et riktig uttrykk, men ikke kommer fram til riktig areal, får 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2025, del 1, oppgave 5
Poeng: 5
Temaer: trigonometri, arealsetningen
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar