Fra grafen leser vi av at $f$ har nullpunkter i $x = -3$ og $x = 4$, og at $f(0) = 24$.

Vi skriver $f$ på nullpunktform:

Vi bruker at $f(0) = 24$ for å bestemme $a$:

Dermed er

Vi løser $f(x) > 12$:

Deler begge sider på $-2$ (snur ulikheten):

Faktoriserer venstresiden:

Produktet $(x-3)(x+2) < 0$ når de to faktorene har motsatt fortegn. Vi setter opp fortegnsskjema:

Produktet er negativt for $\mathbf{-2 < x < 3}$.

Vi plotter datapunktene fra tabellen og grafen til $O(x) = -0{,}09x^2 + 51{,}04x - 2776{,}98$ i GeoGebra:

Vi ser at alle de røde datapunktene ligger svært nær den blå kurven. Vi kan også beregne modellverdiene og sammenligne:

Avvikene er små (under $50$ kr) sammenlignet med overskuddet. $O(x)$ er en god modell.

Vi finner toppunktet til $O(x)$ ved å sette den deriverte lik null.

Vi løser dette i GeoGebra CAS:

Det vil si at overskuddet er størst ved $x \approx 284$ bagetter. Maksimalt overskudd:

Kantinen bør produsere og selge ca. $\underline{\underline{284}}$ bagetter per uke. Da blir overskuddet $\underline{\underline{\approx 4459 \, \mathrm{kr}}}$.

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom $(100,\, O(100))$ og $(200,\, O(200))$:

Stigningstallet er $\underline{\underline{24{,}04 \, \mathrm{kr/bagett}}}$.

Praktisk tolkning: Når antall solgte bagetter øker fra 100 til 200, øker overskuddet i gjennomsnitt med $24{,}04$ kr per ekstra bagett.

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte i punktet $x = 235$:

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{O'(235) \approx 8{,}74 \, \mathrm{kr/bagett}}}$.

Praktisk tolkning: Når kantinen allerede selger 235 bagetter per uke, vil én ekstra solgt bagett øke overskuddet med ca. $8{,}74$ kr.

Vi skal finne $u$ når $v = 39\degree$. Setter inn i likningen:

Se linje 1–2 i CAS-utklippet: $u \approx 56{,}82\degree$.

Vinkelen $u$ må være $\underline{\underline{u \approx 56{,}82\degree}}$.

Dersom $u \to 90\degree$, vil $\sin u \to 1$. Fra likningen får vi da:

Se linje 3 i CAS-utklippet. Selv om $u$ nærmer seg $90\degree$, vil $v$ aldri nå $90\degree$ — den nærmer seg $48{,}75\degree$ som en grenseverdi. Dette er den kritiske vinkelen for totalrefleksjon.

Vinkelen $v$ nærmer seg $\underline{\underline{v \approx 48{,}75\degree}}$ og kan aldri bli $90\degree$.

Vi antar $u = v$ og setter inn i likningen:

Se linje 4 i CAS-utklippet (løsningen $u = \pi \cdot k_1$ tilsvarer $u = 0\degree$ for ikke-negative vinkler). Da er også $v = 0\degree$.

Vinklene kan altså bare være like store når lysstrålen går rett gjennom langs linjen $m$.

$\underline{\underline{u = v = 0\degree}}$ er den eneste muligheten.

Vi bruker en løkke som for hvert $n$ summerer alle oddetall opp til og med det $n$-te oddetallet ($2n-1$):

for n in range(1, 21):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + (2*k - 1)
    print(f"S_{n} = {S}")

Programmet skriver ut:

S_1 = 1
S_2 = 4
S_3 = 9
S_4 = 16
S_5 = 25
S_6 = 36
S_7 = 49
S_8 = 64
S_9 = 81
S_10 = 100
S_11 = 121
S_12 = 144
S_13 = 169
S_14 = 196
S_15 = 225
S_16 = 256
S_17 = 289
S_18 = 324
S_19 = 361
S_20 = 400

Summene $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ er alle kvadrattall. Sammenhengen ser ut til å være:

Vi argumenterer for at dette stemmer ved hjelp av figuren:

Figuren viser at $S_n$ kan illustreres som et $n \times n$ kvadrat bygd opp av kuler. Hvert steg fra $S_{n-1}$ til $S_n$ legger vi til en ny rad langs bunnen og en ny kolonne langs høyre side. Disse to bidrar med $n + n = 2n$ kuler, men hjørnekula er telt to ganger, så vi trekker fra 1. Antall kuler som legges til er derfor:

Dette er nøyaktig det $n$-te oddetallet. Dermed bygger vi et $n \times n$ kvadrat fra et $(n-1) \times (n-1)$ kvadrat ved å legge til et L-formet skall med $2n - 1$ kuler:

Siden $S_1 = 1 = 1^2$, og hvert steg øker kvadratsiden med 1, gir dette:

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet til å finne en modell på formen $K(x) = a \cdot x^b$.

Fra GeoGebra (potensregresjon):

Modellen passer godt — alle datapunktene ligger nær kurven.

$\mathbf{K(x) = 8{,}71 \cdot x^{0{,}356}}$

Aris modell: Lufttrykket minker med 12 % per km, det vil si lufttrykket blir ganget med $0{,}88$ for hvert km. Vi starter ved $1000$ hPa ved havets overflate, slik at

der $x$ er antall km over havet.

Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver $5{,}5$ km, det vil si $k^{5{,}5} = \tfrac{1}{2}$, som gir $k = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/5{,}5} \approx 0{,}8816$. Med samme startverdi:

Modellene er svært like: $k_A = 0{,}88$ og $k_L \approx 0{,}882$.

Et egg blir hardkokt dersom kokepunktet er minst $85 \, \degree\mathrm{C}$. Vi må finne høyden $x$ slik at $K(L(x)) = 85$.

Vi bruker Aris modell og setter opp likningen

Vi løser likningen i GeoGebra CAS:

CAS gir $x \approx 3{,}98 \, \mathrm{km}$.

Med Lisas modell får man $x \approx 4{,}03 \, \mathrm{km}$ — begge modellene gir omtrent det samme svaret.

Det er mulig å få egg hardkokte opp til ca. $\underline{\underline{4 \, \mathrm{km}}}$ over havet.