1T Vår 2024

Oppgave 1-1Trigonometri i rettvinklet trekant

Rettvinklet trekant

Tom har arbeidet med trekanten ovenfor og påstår at $\tan u \cdot \tan v = 1$

Vis at Tom har rett.

Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler $u$ og $v$ .

Fasit

–

Påstanden stemmer alltid

Løsningsforslag

\begin{matrix} \tan u & = \frac{6}{8} \\ \tan v & = \frac{8}{6} \\ \tan u \cdot \tan v & = \frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6} = \frac{6}{8} \cdot \frac{8}{6} = 1 \end{matrix}

Tom har rett. $\tan u \cdot \tan v = 1$

For de to spisse vinklene $u$ og $v$ i en rettvinklet så vil de alltid ha «motsatte» hosliggende og mostående kateter. La oss kalle den ene kateten for $a$ og den andre for $b$ . Da er

\tan u = \frac{a}{b} og \tan v = \frac{b}{a}

Hvis vi multipliserer disse må vi alltid få 1.

\tan u \cdot \tan v = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1

Påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Bevis
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og faktorisering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Guri har utført to ulike polynomdivisjoner og påstår at begge divisjonene viser at faktoriseringen nedenfor er riktig.

2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = (2 x^{2} + 7 x + 3) \cdot (x - 2)

Hvilke to polynomdivisjoner kan hun ha utført?

Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.

Fasit

Divisjon 1: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (x - 2) = 2 x^{2} + 7 x + 3$ , rest $0$

Divisjon 2: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (2 x^{2} + 7 x + 3) = x - 2$ , rest $0$

LøsningsforslagKI-generert

Guri påstår at $2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = (2 x^{2} + 7 x + 3) (x - 2)$ .

For å kontrollere dette kan hun dele på én av faktorene og sjekke at resten blir $0$ og kvotienten er den andre faktoren. To naturlige valg er:

Divisjon 1: dele på den enkle faktoren $(x - 2)$
Divisjon 2: dele på den kvadratiske faktoren $(2 x^{2} + 7 x + 3)$

Divisjon 1: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (x - 2)$

\begin{matrix} (2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 & ) : (x - 2) = 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ 2 x^{3} - 4 x^{2} + 0 x + 0 \\ 7 x^{2} - 11 x - 6 \\ 7 x^{2} - 14 x + 0 \\ 3 x - 6 \\ 3 x - 6 \\ 0 \end{matrix}

Steg for steg:

$2 x^{3} : x = 2 x^{2}$ , og $2 x^{2} \cdot (x - 2) = 2 x^{3} - 4 x^{2}$ . Rest: $7 x^{2} - 11 x - 6$
$7 x^{2} : x = 7 x$ , og $7 x \cdot (x - 2) = 7 x^{2} - 14 x$ . Rest: $3 x - 6$
$3 x : x = 3$ , og $3 \cdot (x - 2) = 3 x - 6$ . Rest: $0$

Kvotienten er $2 x^{2} + 7 x + 3$ og resten er $0$ .

Siden resten er $0$ , er $(x - 2)$ en faktor i $2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6$ , og vi får

2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = (x - 2) (2 x^{2} + 7 x + 3)

Dette viser at faktoriseringen er riktig.

Divisjon 2: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (2 x^{2} + 7 x + 3)$

\begin{matrix} (2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 & ) : (2 x^{2} + 7 x + 3) = x - 2 \\ 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x + 0 \\ - 4 x^{2} - 14 x - 6 \\ - 4 x^{2} - 14 x - 6 \\ 0 \end{matrix}

Steg for steg:

$2 x^{3} : 2 x^{2} = x$ , og $x \cdot (2 x^{2} + 7 x + 3) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x$ . Rest: $- 4 x^{2} - 14 x - 6$
$- 4 x^{2} : 2 x^{2} = - 2$ , og $- 2 \cdot (2 x^{2} + 7 x + 3) = - 4 x^{2} - 14 x - 6$ . Rest: $0$

Kvotienten er $x - 2$ og resten er $0$ .

Siden resten er $0$ , er $(2 x^{2} + 7 x + 3)$ en faktor i $2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6$ , og vi får

2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6 = (2 x^{2} + 7 x + 3) (x - 2)

Dette viser at faktoriseringen er riktig.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

I utgangspunktet gis ett poeng for hver riktig utført polynomdivisjon og ett poeng for forklaringen av faktoriseringen.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Algebra
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Matematisk identitet fra arealmodell

Rektangel der det grønne området har mål a−b og b

Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det grønne området.

Fasit

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

LøsningsforslagKI-generert

Det store kvadratet har side $a$ , så totalarealet er $a^{2}$ .

Det hvite området nede til høyre er et kvadrat med side $b$ , så arealet er $b^{2}$ .

Det grønne området er alt unntatt det hvite hjørnet:

Grønt areal = a^{2} - b^{2}

Vi kan også beregne det grønne arealet direkte ved å dele det opp i to rektangler. Vi deler det grønne L-formet område langs den horisontale linjen:

Øverste del (hele bredden $a$ , høyde $a - b$ ): areal $= a (a - b)$
Nedre del (bare bredde $a - b$ , høyde $b$ ): areal $= (a - b) \cdot b$

Grønt areal = a (a - b) + (a - b) \cdot b = (a - b) (a + b)

De to uttrykkene for det grønne arealet må være like, så vi får identiteten:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som setter opp ett riktig uttrykk for arealet, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Identiteter, Algebra, Areal og omkrets
Kompetansemål: Forklare forskjellen mellom ein identitet, ei likning, eit algebraisk uttrykk og ein funksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Gjennomsnittlig vekstfart med program

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ada har laget programmet nedenfor.

def f(x):
    return x ** 2 - 3 * x + 7

a = 0
b = 5

v = (f(b) - f(a)) / (b - a)

print(v)

Hvilken verdi skrives ut når Ada kjører programmet, og hva forteller denne verdien?

Fasit

Programmet skriver ut $2$ .

Verdien er den gjennomsnittlige vekstfarten til $f$ på intervallet $[0, 5]$ . Det vil si at $f (x)$ i gjennomsnitt øker med $2$ per enhet $x$ på dette intervallet.

LøsningsforslagKI-generert

Programmet beregner $v = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ med $a = 0$ og $b = 5$ .

Vi finner $f (0)$ og $f (5)$ :

f (0) = 0^{2} - 3 \cdot 0 + 7 = 7

f (5) = 5^{2} - 3 \cdot 5 + 7 = 25 - 15 + 7 = 17

Deretter beregner programmet:

v = \frac{f (5) - f (0)}{5 - 0} = \frac{17 - 7}{5} = \frac{10}{5} = 𝟐

Programmet skriver ut $2$ .

Denne verdien er den gjennomsnittlige vekstfarten til $f (x)$ på intervallet $[0, 5]$ . Det betyr at $f (x)$ i gjennomsnitt øker med $2$ enheter per enhet $x$ i dette intervallet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

I utgangspunktet gir ett poeng for riktig verdi og ett poeng for riktig tolkning av verdien.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Programmering, Gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser grafen til en funksjon $f$ .

Graf til f med nullpunkter (−3, 0) og (4, 0) og toppunkt (0, 24)

Bestem $f (x)$

Løs ulikheten $f (x) > 12$

Fasit

$f (x) = - 2 x^{2} + 2 x + 24$

$- 2 < x < 3$

LøsningsforslagKI-generert

Fra grafen leser vi av at $f$ har nullpunkter i $x = - 3$ og $x = 4$ , og at $f (0) = 24$ .

Vi skriver $f$ på nullpunktform:

f (x) = a (x + 3) (x - 4)

Vi bruker at $f (0) = 24$ for å bestemme $a$ :

f (0) = a \cdot (0 + 3) (0 - 4) = - 12 a = 24 ⟹ a = - 2

Dermed er

f (x) = - 2 (x + 3) (x - 4) = - 𝟐 𝐱^{𝟐} + 𝟐 𝐱 + 𝟐𝟒

Vi løser $f (x) > 12$ :

- 2 x^{2} + 2 x + 24 > 12

- 2 x^{2} + 2 x + 12 > 0

Deler begge sider på $- 2$ (snur ulikheten):

x^{2} - x - 6 < 0

Faktoriserer venstresiden:

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

Produktet $(x - 3) (x + 2) < 0$ når de to faktorene har motsatt fortegn. Vi setter opp fortegnsskjema:

Fortegnslinje for (x + 2)(x - 3)

Produktet er negativt for $- 𝟐 < 𝐱 < 𝟑$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Et delvis riktig uttrykk kan gi noe uttelling.

En riktig grafisk løsning som er argumentert for, kan gi full uttelling.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Andregradslikninger, Funksjoner
Kompetansemål: Utforske samanhengar mellom andregradslikningar og andregradsulikskapar, andregradsfunksjonar og kvadratsetningane og bruke samanhengane i problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Modellering av bagettsalg

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.

Solgte bagetter	100	130	160	175	190	220	235
Overskudd (kroner)	1450	2300	3050	3365	3720	4140	4175

Kalkulator

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $O$ gitt ved

O (x) = - 0,09 x^{2} + 51,04 x - 2776,98

er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger $x$ bagetter i løpet av uken.

Krever PC

Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen $O$ , for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(100, O (100))$ og $(200, O (200))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Krever PC

Bestem den momentane vekstfarten når $x = 235$ . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Fasit

Alle datapunkter ligger nær kurven — $O (x)$ er en god modell.

Maksimalt overskudd $\approx 4459 kr$ ved $x \approx 284$ bagetter.

Stigningstallet er $24,04 k r / b a g e t t$ .

Momentan vekstfart: $O^{'} (235) \approx 8,74 k r / b a g e t t$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi plotter datapunktene fra tabellen og grafen til $O (x) = - 0,09 x^{2} + 51,04 x - 2776,98$ i GeoGebra:

Datapunkter og O(x) plottet i GeoGebra

Vi ser at alle de røde datapunktene ligger svært nær den blå kurven. Vi kan også beregne modellverdiene og sammenligne:

$x$	$O (x)$ (modell)	Faktisk overskudd	Avvik
100	$1 427$ kr	$1 450$ kr	$23$ kr
130	$2 348$ kr	$2 300$ kr	$48$ kr
160	$3 092$ kr	$3 050$ kr	$42$ kr
175	$3 405$ kr	$3 365$ kr	$40$ kr
190	$3 706$ kr	$3 720$ kr	$14$ kr
220	$4 102$ kr	$4 140$ kr	$38$ kr
235	$4 178$ kr	$4 175$ kr	$3$ kr

Avvikene er små (under $50$ kr) sammenlignet med overskuddet. $O (x)$ er en god modell.

Vi finner toppunktet til $O (x)$ ved å sette den deriverte lik null.

O^{'} (x) = - 0,18 x + 51,04 = 0

Vi løser dette i GeoGebra CAS:

CAS: derivert og optimum

x = \frac{51,04}{0,18} \approx 283,56

Det vil si at overskuddet er størst ved $x \approx 284$ bagetter. Maksimalt overskudd:

O (283,56) \approx 4459,36 kr

Kantinen bør produsere og selge ca. $284$ bagetter per uke. Da blir overskuddet $\approx 4459 kr$ .

Vi beregner stigningstallet til sekanten gjennom $(100, O (100))$ og $(200, O (200))$ :

O (100) = - 0,09 \cdot 100^{2} + 51,04 \cdot 100 - 2776,98 = 1 427,02 kr

O (200) = - 0,09 \cdot 200^{2} + 51,04 \cdot 200 - 2776,98 = 3 831,02 kr

Stigningstall = \frac{O (200) - O (100)}{200 - 100} = \frac{3831,02 - 1427,02}{100} = \frac{2404}{100} = 24,04

Stigningstallet er $24,04 k r / b a g e t t$ .

Praktisk tolkning: Når antall solgte bagetter øker fra 100 til 200, øker overskuddet i gjennomsnitt med $24,04$ kr per ekstra bagett.

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte i punktet $x = 235$ :

O^{'} (x) = - 0,18 x + 51,04

O^{'} (235) = - 0,18 \cdot 235 + 51,04 = - 42,30 + 51,04 = 8,74

Den momentane vekstfarten er $O^{'} (235) \approx 8,74 k r / b a g e t t$ .

Praktisk tolkning: Når kantinen allerede selger 235 bagetter per uke, vil én ekstra solgt bagett øke overskuddet med ca. $8,74$ kr.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

En kandidat som bruker regresjon, men ikke kommer fram til en andregradsfunksjon, får ingen uttelling.

For å få full uttelling må kandidaten vise tydelig hvordan svarene framkommer.

For å få full uttelling må kandidaten både finne riktig stigningstall, og gi en praktisk tolkning av stigningstallet.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Modellering, Derivasjon, Optimering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Lysbrytning i vann

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når en lysstråle går fra luft til vann, skifter den retning.

På figuren står linjen $m$ vinkelrett på vannoverflaten og lysstrålen går fra å danne en vinkel $u$ med $m$ til å danne en vinkel $v$ med $m$ .

Når lysstrålen går fra luft til vann, vil

\sin u = 1,33 \cdot \sin v

Lysstråle som brytes fra luft til vann med vinkler u og v

Kalkulator

Hvor stor må vinkelen $u$ være for at vinkelen $v$ skal bli $39 °$ ?

Kalkulator

Hva vil skje med vinkelen $v$ dersom vinkelen $u$ nærmer seg $90 °$ ?

For hånd

Kan vinklene $u$ og $v$ bli like store?

Husk å begrunne svarene dine.

Fasit

$u \approx 56,82 °$

Vinkelen $v$ nærmer seg $v \approx 48,75 °$ (og kan aldri bli $90 °$ ).

$u = v = 0 °$ er den eneste muligheten.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven. Likningen for lysbrytning er gitt:

\sin u = 1,33 \cdot \sin v

GeoGebra CAS-utregning for lysbrytning

Vi skal finne $u$ når $v = 39 °$ . Setter inn i likningen:

\sin u = 1,33 \cdot \sin 39 °

u = \arcsin (1,33 \cdot \sin 39 °)

Se linje 1–2 i CAS-utklippet: $u \approx 56,82 °$ .

Vinkelen $u$ må være $u \approx 56,82 °$ .

Dersom $u \to 90 °$ , vil $\sin u \to 1$ . Fra likningen får vi da:

\sin v \to \frac{1}{1,33} \approx 0,752

v \to \arcsin (\frac{1}{1,33}) \approx 48,75 °

Se linje 3 i CAS-utklippet. Selv om $u$ nærmer seg $90 °$ , vil $v$ aldri nå $90 °$ — den nærmer seg $48,75 °$ som en grenseverdi. Dette er den kritiske vinkelen for totalrefleksjon.

Vinkelen $v$ nærmer seg $v \approx 48,75 °$ og kan aldri bli $90 °$ .

Vi antar $u = v$ og setter inn i likningen:

\sin u = 1,33 \cdot \sin u

0 = 1,33 \cdot \sin u - \sin u = 0,33 \cdot \sin u

\sin u = 0 ⟹ u = 0 °

Se linje 4 i CAS-utklippet (løsningen $u = π \cdot k_{1}$ tilsvarer $u = 0 °$ for ikke-negative vinkler). Da er også $v = 0 °$ .

Vinklene kan altså bare være like store når lysstrålen går rett gjennom langs linjen $m$ .

$u = v = 0 °$ er den eneste muligheten.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Likninger
Kompetansemål: Gjere greie for definisjonane av sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å berekne lengder, vinklar og areal i vilkårlege trekantar
Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Trekant med arealsetning og cosinussetning

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du får vite følgende om en trekant $A B C$

$A B$ er 8
$∠ A = 120 °$
Arealet av trekanten er $4 \sqrt{3}$

Bestem lengdene av sidene $A C$ og $B C$ eksakt.

Fasit

$A C = 2$ , $B C = 2 \sqrt{21}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å løse oppgaven eksakt.

GeoGebra CAS: arealsetning og cosinussetning

Finn AC med arealsetningen:

Arealsetningen gir

T = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \sin A

Vi setter inn kjente verdier og løser for $A C$ :

\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot A C \cdot \sin (120 °) = 4 \sqrt{3}

CAS gir $A C = 2$ .

Finn BC med cosinussetningen:

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot \cos A

B C^{2} = 8^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \cos (120 °) = 64 + 4 - 32 \cdot (- \frac{1}{2}) = 68 + 16 = 84

B C = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2 \sqrt{21}

CAS bekrefter $B C = 2 \sqrt{21}$ .

Svar: $A C = 2$ og $B C = 2 \sqrt{21}$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

I utgangspunktet gis 2 poeng for hvert riktige svar som er argumentert for og gitt eksakt.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Arealsetningen, Cosinussetningen, Trigonometri
Kompetansemål: Grunngi sinus-, cosinus- og arealsetninga
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Summer av oddetall og programmering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du arbeide med summer av oddetall.

S_{1} = 1

S_{2} = 1 + 3

S_{3} = 1 + 3 + 5

S_{4} = 1 + 3 + 5 + 7

S_{5} = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

S_{6} = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

\dots

Oppsett for hånd

Lag et program som summerer og skriver ut summene $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ … $S_{20}$

For hånd

Beskriv sammenhengen du oppdager når du ser på summene som er skrevet ut. Bruk figuren nedenfor til å argumentere for at sammenhengen må være riktig.

Ruter med kuler som illustrerer summer av oddetall

Fasit

Se programmet i løsningsforslaget. Summene er $1, 4, 9, 16, 25, \dots, 400$ .

$S_{n} = n^{2}$ — summen av de $n$ første oddetallene er alltid et kvadrattall.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker en løkke som for hvert $n$ summerer alle oddetall opp til og med det $n$ -te oddetallet ( $2 n - 1$ ):

for n in range(1, 21):
    S = 0
    for k in range(1, n + 1):
        S = S + (2*k - 1)
    print(f"S_{n} = {S}")

Programmet skriver ut:

S_1 = 1
S_2 = 4
S_3 = 9
S_4 = 16
S_5 = 25
S_6 = 36
S_7 = 49
S_8 = 64
S_9 = 81
S_10 = 100
S_11 = 121
S_12 = 144
S_13 = 169
S_14 = 196
S_15 = 225
S_16 = 256
S_17 = 289
S_18 = 324
S_19 = 361
S_20 = 400

Summene $1, 4, 9, 16, 25, \dots$ er alle kvadrattall. Sammenhengen ser ut til å være:

S_{n} = n^{2}

Vi argumenterer for at dette stemmer ved hjelp av figuren:

Figuren viser at $S_{n}$ kan illustreres som et $n \times n$ kvadrat bygd opp av kuler. Hvert steg fra $S_{n - 1}$ til $S_{n}$ legger vi til en ny rad langs bunnen og en ny kolonne langs høyre side. Disse to bidrar med $n + n = 2 n$ kuler, men hjørnekula er telt to ganger, så vi trekker fra 1. Antall kuler som legges til er derfor:

2 n - 1

Dette er nøyaktig det $n$ -te oddetallet. Dermed bygger vi et $n \times n$ kvadrat fra et $(n - 1) \times (n - 1)$ kvadrat ved å legge til et L-formet skall med $2 n - 1$ kuler:

S_{n} = S_{n - 1} + (2 n - 1)

Siden $S_{1} = 1 = 1^{2}$ , og hvert steg øker kvadratsiden med 1, gir dette:

𝐒_{𝐧} = 𝐧^{𝟐}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.

I utgangspunktet gis 1 poeng for en riktig beskrivelse og 1 poeng for riktig argumentasjon ut fra figuren.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Rekker, Argumentasjon
Kompetansemål: Formulere og løyse problem ved hjelp av algoritmisk tenking, ulike problemløysingsstrategiar, digitale verktøy og programmering
Lese og forstå matematiske bevis og utforske og utvikle bevis i relevante matematiske emne
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Lufttrykk og kokepunkt for vann

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn $100 ° C$ . Se tabellen nedenfor.

Lufttrykk (hPa)	Kokepunkt for vann ( $° C$ )
1000	100
500	81,4
200	60,1
80	41,5
40	29

Krever PC

Bestem en modell $K$ på formen

K (x) = a \cdot x^{b}

som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket $x$ hPa og kokepunktet $K (x)$ $° C$ .

Kalkulator

Lag modellene for Ari og Lisa.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?

Fasit

$K (x) = 8,71 \cdot x^{0,356}$

Aris modell: $L_{A} (x) = 1000 \cdot {0,88}^{x}$ . Lisas modell: $L_{L} (x) = 1000 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x / 5,5}$

Med Aris modell: ca. $4 km$ over havet.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet til å finne en modell på formen $K (x) = a \cdot x^{b}$ .

Fra GeoGebra (potensregresjon):

K (x) = 8,71 \cdot x^{0,356}

Graf av K(x) med datapunkter og linje y=85

Modellen passer godt — alle datapunktene ligger nær kurven.

$𝐊 (𝐱) = 𝟖,𝟕𝟏 \cdot 𝐱^{𝟎,𝟑𝟓𝟔}$

Aris modell: Lufttrykket minker med 12 % per km, det vil si lufttrykket blir ganget med $0,88$ for hvert km. Vi starter ved $1000$ hPa ved havets overflate, slik at

L_{A} (x) = 1000 \cdot {0,88}^{x}

der $x$ er antall km over havet.

Lisas modell: Lufttrykket halveres for hver $5,5$ km, det vil si $k^{5,5} = \frac{1}{2}$ , som gir $k = {(\frac{1}{2})}^{1 / 5,5} \approx 0,8816$ . Med samme startverdi:

L_{L} (x) = 1000 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x / 5,5}

Modellene er svært like: $k_{A} = 0,88$ og $k_{L} \approx 0,882$ .

Et egg blir hardkokt dersom kokepunktet er minst $85 ° C$ . Vi må finne høyden $x$ slik at $K (L (x)) = 85$ .

Vi bruker Aris modell og setter opp likningen

K (L_{A} (x)) = 8,71 \cdot {(1000 \cdot {0,88}^{x})}^{0,356} = 85

Vi løser likningen i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS løser K(L(x)) = 85

CAS gir $x \approx 3,98 km$ .

Med Lisas modell får man $x \approx 4,03 km$ — begge modellene gir omtrent det samme svaret.

Det er mulig å få egg hardkokte opp til ca. $4 km$ over havet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

En kandidat som ikke kommer fram til en potensfunksjon, får ingen uttelling.

I utgangspunktet gis to poeng for hver riktig modell.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer helt i mål med modellen, kan få 1 poeng.

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1T, 1P
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Potensfunksjon, Eksponentiell vekst, Modellering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Tangent fra derivertgraf

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Graf til den deriverte f′ som er en rett linje i et koordinatsystem

Den rette linjen som er tegnet i koordinatsystemet ovenfor, er den deriverte av en funksjon $f$ .

Punktet $P (1, 2)$ ligger på grafen til $f$ .

Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ i punktet $P$ . Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

$y = - 2 x + 4$

LøsningsforslagKI-generert

Tangentens stigningstall i et punkt er lik den deriverte i det punktet.

Vi leser av $f^{'} (1)$ fra grafen til $f^{'}$ : linjen passerer gjennom $(2, 0)$ og $(4, 4)$ , så stigningstallet til $f^{'}$ er

\frac{4 - 0}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2

Linjens likning er $f^{'} (x) = 2 x + b$ . Fra punktet $(2, 0)$ :

0 = 2 \cdot 2 + b ⟹ b = - 4

Altså $f^{'} (x) = 2 x - 4$ , og dermed

f^{'} (1) = 2 \cdot 1 - 4 = - 2

Tangentens stigningstall i $P (1, 2)$ er $- 2$ .

Tangentlikningen gjennom $P (1, 2)$ med stigningstall $- 2$ :

y - 2 = - 2 (x - 1)

y = - 2 x + 2 + 2

y = - 2 x + 4

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng. Et riktig svar med en noe mangelfull argumentasjon, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjoner
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar, setje opp formlar og utforske desse ved hjelp av digitale verktøy
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Lukket kurve med tre funksjoner

Krever PC

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tre grafer som til sammen danner en lukket kurve med punkter A, B og C

Figuren ovenfor viser tre grafer som til sammen danner en lukket kurve.

To av grafene har bunnpunkter som ligger på $y$ -aksen.
Punktet $A$ og punktet $B$ har samme $y$ -koordinat.

Bruk tre ulike funksjoner og lag en tilsvarende figur slik at kravene i begge kulepunktene ovenfor er oppfylt.

Det skal gå klart fram av besvarelsen hvilke funksjonsuttrykk du har brukt.

Husk å forklare hvordan du har tenkt, og argumenter for at løsningen din er riktig.

Fasit

Én mulig løsning:

f (x) = x^{2} + 3, x \in ⟨ - 2 \sqrt{2}, 0 ⟩

g (x) = 2 x^{2} + 3, x \in ⟨ 0, 2 ⟩

h (x) = 11, x \in ⟨ - 2 \sqrt{2}, 2 ⟩

Bunnpunkt for $f$ : $(0, 3)$ på $y$ -aksen. Bunnpunkt for $g$ : $(0, 3)$ på $y$ -aksen. $A = (- 2 \sqrt{2}, 11)$ og $B = (2, 11)$ har begge $y$ -koordinat $11$ .

LøsningsforslagKI-generert

Jeg velger to andregradfunksjoner som begge har bunnpunkt på $y$ -aksen, og en horisontal linje som lukker kurven øverst. Funksjonsuttrykkene er

f (x) = x^{2} + 3, g (x) = 2 x^{2} + 3, h (x) = 11.

Definisjonsområder og grensepunkter

Jeg bestemmer definisjonsområdene slik at de tre grafene møtes og danner en lukket kurve:

$f$ er definert for $x \in ⟨ - 2 \sqrt{2}, 0 ⟩$
$g$ er definert for $x \in ⟨ 0, 2 ⟩$
$h$ er definert for $x \in ⟨ - 2 \sqrt{2}, 2 ⟩$

Punktet $C = (0, 3)$ er der $f$ og $g$ møtes:

f (0) = 0^{2} + 3 = 3 og g (0) = 2 \cdot 0^{2} + 3 = 3

De to grafene har altså same funksjonsverdi i $x = 0$ , og kurven er sammenhengende her.

Punktene A og B

Punkt $A$ er der $f$ og $h$ møtes. Jeg setter $f (x) = 11$ :

x^{2} + 3 = 11 ⟹ x^{2} = 8 ⟹ x = - 2 \sqrt{2}

(tar den negative løsningen siden $f$ er definert for $x \leq 0$ ).

A = (- 2 \sqrt{2}, 11)

Punkt $B$ er der $g$ og $h$ møtes. Jeg setter $g (x) = 11$ :

2 x^{2} + 3 = 11 ⟹ 2 x^{2} = 8 ⟹ x^{2} = 4 ⟹ x = 2

B = (2, 11)

Begge punktene har $y$ -koordinat $11$ , så kravet om at $A$ og $B$ har samme $y$ -koordinat er oppfylt.

Bunnpunkter på $y$ -aksen

$f (x) = x^{2} + 3$ er en parabel som åpner oppover. Bunnpunktet er der $f^{'} (x) = 2 x = 0$ , altså $x = 0$ . Bunnpunktet er $(0, 3)$ , som ligger på $y$ -aksen.

$g (x) = 2 x^{2} + 3$ er også en parabel som åpner oppover. Bunnpunktet er der $g^{'} (x) = 4 x = 0$ , altså $x = 0$ . Bunnpunktet er $(0, 3)$ , som ligger på $y$ -aksen.

Begge de to parabler har altså bunnpunkt på $y$ -aksen, slik oppgaven krever.

Den lukkede kurven

Grafene danner en lukket kurve i tre deler:

$f$ : fra $A = (- 2 \sqrt{2}, 11)$ ned til $C = (0, 3)$ (venstre parabelgren)
$g$ : fra $C = (0, 3)$ opp til $B = (2, 11)$ (høyre parabelgren, brattere)
$h$ : horisontal linje fra $B = (2, 11)$ tilbake til $A = (- 2 \sqrt{2}, 11)$ (toppen)

Figuren nedenfor viser den lukkede kurven med $f$ i blått, $g$ i grønt og $h$ i rødt.

Lukket kurve av tre funksjoner: f (blå), g (grønn) og h (rød)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

I utgangspunktet fordeles poengene slik:

2 poeng for en tredjegradsfunksjon med graf tilsvarende bildet, der punktene $A$ og $B$ tilfredsstiller kravene i oppgaveteksten.
2 poeng for en andregradsfunksjon med graf tilsvarende bildet, der punktene $A$ og $C$ tilfredsstiller kravene i oppgaveteksten.

For å få full uttelling, må linjestykket også være på plass, og kandidaten må ha argumentert for hele løsningen på en god måte.

Nærmere presiseringer kan komme etter sensorskoleringen.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Funksjonsdrøfting, Argumentasjon
Kompetansemål: Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar
Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 13 poeng

Oppgave 1-1Trigonometri i rettvinklet trekant

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og faktorisering

Divisjon 1: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (x - 2)$

Divisjon 2: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (2 x^{2} + 7 x + 3)$

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Matematisk identitet fra arealmodell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Gjennomsnittlig vekstfart med program

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 35 poeng

Oppgave 2-1Modellering av bagettsalg

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Lysbrytning i vann

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Trekant med arealsetning og cosinussetning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Summer av oddetall og programmering

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Lufttrykk og kokepunkt for vann

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Tangent fra derivertgraf

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Lukket kurve med tre funksjoner

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 13 poeng

Oppgave 1-1·Trigonometri i rettvinklet trekant

Oppgave 1-2·Polynomdivisjon og faktorisering

Divisjon 1: (2x3+3x2−11x−6):(x−2)

Divisjon 2: (2x3+3x2−11x−6):(2x2+7x+3)

Oppgave 1-3·Matematisk identitet fra arealmodell

Oppgave 1-4·Gjennomsnittlig vekstfart med program

Oppgave 1-5·Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 7 oppgaver · 35 poeng

Oppgave 2-1·Modellering av bagettsalg

Oppgave 2-2·Lysbrytning i vann

Oppgave 2-3·Trekant med arealsetning og cosinussetning

Oppgave 2-4·Summer av oddetall og programmering

Oppgave 2-5·Lufttrykk og kokepunkt for vann

Oppgave 2-6·Tangent fra derivertgraf

Oppgave 2-7·Lukket kurve med tre funksjoner

Temaer

Oppgave 1-1Trigonometri i rettvinklet trekant

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og faktorisering

Divisjon 1: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (x - 2)$

Divisjon 2: $(2 x^{3} + 3 x^{2} - 11 x - 6) : (2 x^{2} + 7 x + 3)$

Oppgave 1-3Matematisk identitet fra arealmodell

Oppgave 1-4Gjennomsnittlig vekstfart med program

Oppgave 1-5Andregradsuttrykk og ulikhet fra graf

Oppgave 2-1Modellering av bagettsalg

Oppgave 2-2Lysbrytning i vann

Oppgave 2-3Trekant med arealsetning og cosinussetning

Oppgave 2-4Summer av oddetall og programmering

Oppgave 2-5Lufttrykk og kokepunkt for vann

Oppgave 2-6Tangent fra derivertgraf

Oppgave 2-7Lukket kurve med tre funksjoner