Tangent til parabel og lagerhall

Snitt av lagerhall

En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved

p(x) = -\frac{1}{12}x^2 + 20

På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festes på en stang som er 3 meter lang.

Den rette linjen på figuren går gjennom punktet $(0, 23)$ og er en tangent til grafen.

Bestem likningen for tangenten.

Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?

Fasit

$y = -x + 23$

$21 - 4\sqrt{15} \approx 5{,}5 \mathrm{~m}$

LøsningsforslagKI-generert

$p'(x) = -x/6$ . La tangentpunktet være $(c, p(c))$ og tangenten gå gjennom $(0, 23)$ :

23 - p(c) = -p'(c) \cdot c = \frac{c^2}{6}

3 + \frac{c^2}{12} = \frac{c^2}{6} \implies 3 = \frac{c^2}{12} \implies c = \pm 6

For $c = 6$ : $m = -1$ , tangent: $y = -(x-6) + 17 = \underline{\underline{-x + 23}}$

Veggen er der $p(x) = 0$ : $x = 4\sqrt{15} \approx 15{,}5\ \mathrm{m}$ fra senter.

Kameraet i $(0, 23)$ ser langs tangenten. En tyv på $2\ \mathrm{m}$ er skjult når linjen fra kameraet til hodet $(x_t, 2)$ tangerer bygget i $x = 6$ :

23 - \frac{126}{x_t} = 17 \implies x_t = 21\ \mathrm{m}

Avstand fra vegg: $21 - 4\sqrt{15} \approx \underline{\underline{5{,}5\ \mathrm{m}}}$ .

Sensorveiledning

1,5 poeng

Riktig likning uten begrunnelse gir ingen utteling. En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som prøver seg fram, må verifisere svaret for å få full uttelling.

1,5 poeng

En kandidat som ikke tar hensyn til tyvens høyde, kan også få full utteling.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2025, del 2, oppgave 6
Poeng: 3
Temaer: derivasjon, modellering, geometri
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige