1P Vår 2026

1P Vår 2026 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler
1-1	Prosent av antall sauer 1P V26	KI
1-2	Vannforbruk per måned i liter 1P V26	KI
1-3	Multiplikasjon av store og små tall 1P V26	KI
1-4	Omvendt proporsjonal tabell 1P V26	KI
1-5	Sortere potensuttrykk i stigende rekkefølge 1P V26	KI
1-6	Prosent opp og prosent ned 1P V26	KI
1-7	Verditap av båt etter seks år 1P V26	KI
1-8	Vekt av stålplate fra volum og tetthet 1P V26	KI
1-9	Lineær modell for bom i hyttefelt 1P V26	KI
1-10	Tallfølge med mønsterformel 1T V26	KI
1-11	Andregradskostnadsfunksjon med ukjent koeffisient 1P V26	KI
1-12	Proporsjonalitet i formel for lufttetthet 1P V26	KI
1-13	Tolke fuglebestand i Python-kode 1P V26	KI
Del 2 2 timer med hjelpemidler
2-1	CO2-utslipp og optimal fart 1T V26	KI
2-2	Prosentpoeng og prosent for styringsrenten 1P V26	KI
2-3	Vipebestand med eksponentielle modeller	KI
2-4	Energiforbruk og kostnad ved varmtvannsdusj 1P V26	KI

Oppgave 1-1 : Prosent av antall sauer 1P V26

En bonde har $60$ sauer. $80 \, \%$ av sauene skal slaktes.

Hvor mange sauer skal slaktes?

Fasit

$\underline{\underline{48 \text{ sauer}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $80 \, \%$ av $60$ .

Vi regner ut:

80 \, \% \text{ av } 60 = 0{,}80 \cdot 60 = 48

48 sauer skal slaktes.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: prosentregning
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar

Oppgave 1-2 : Vannforbruk per måned i liter 1P V26

En familie leser av vannmåleren og ser at de i løpet av det siste året har brukt $120 \mathrm{~m^3}$ vann.

Hvor mange liter vann har familien i gjennomsnitt brukt hver måned?

Fasit

$\underline{\underline{10\,000 \, \mathrm{L}}}$ per måned

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at $1 \, \mathrm{m}^3 = 1\,000 \, \mathrm{L}$ .

Først gjør vi om $120 \, \mathrm{m}^3$ til liter:

120 \, \mathrm{m}^3 = 120 \cdot 1\,000 \, \mathrm{L} = 120\,000 \, \mathrm{L}

Så finner vi gjennomsnittlig forbruk per måned ved å dele på 12:

\frac{120\,000 \, \mathrm{L}}{12} = 10\,000 \, \mathrm{L}

Familien har i gjennomsnitt brukt $\underline{\underline{10\,000 \, \mathrm{L}}}$ vann per måned.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: måleenheter, gjennomsnitt
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining

Oppgave 1-3 : Multiplikasjon av store og små tall 1P V26

Regn ut

250 \, 000 \, 000 \cdot 0{,}000 \, 008

Fasit

$2000$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver tallene på standardform:

250 \, 000 \, 000 = 2{,}5 \cdot 10^8

0{,}000 \, 008 = 8 \cdot 10^{-6}

Deretter multipliserer vi:

2{,}5 \cdot 10^8 \cdot 8 \cdot 10^{-6} = (2{,}5 \cdot 8) \cdot 10^{8 + (-6)} = 20 \cdot 10^2 = 2000

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: tallregning, tierpotenser
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform

Oppgave 1-4 : Omvendt proporsjonal tabell 1P V26

Antall personer	10	20
Pris per person (kroner)	600		100

Skriv av og fyll ut tabellen ovenfor slik at antall personer og pris per person blir omvendt proporsjonale størrelser.

Fasit

Antall personer	10	20	60
Pris per person (kroner)	600	300	100

LøsningsforslagKI-generert

Når to størrelser er omvendt proporsjonale, er produktet av dem alltid det samme (konstant).

Vi finner konstanten fra første kolonne:

10 \cdot 600 = 6000

Nå kan vi fylle inn de manglende verdiene.

Antall = 20:

\text{pris per person} = \frac{6000}{20} = \mathbf{300} \, \mathrm{kr}

Pris = 100 kr:

\text{antall personer} = \frac{6000}{100} = \mathbf{60}

Den utfylte tabellen blir:

Antall personer	10	20	60
Pris per person (kroner)	600	300	100

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: omvendt proporsjonalitet
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet

Oppgave 1-5 : Sortere potensuttrykk i stigende rekkefølge 1P V26

Gjør beregninger og sorter tallene i stigende rekkefølge.

$Sju tall i bobler: \sqrt{81}, \sqrt{10^6}, 3^{-2}, 10^{-1}, 10^2, 2 \cdot 2^4, \frac{1}{2^3}$

Fasit

$10^{-1} < 3^{-2} < \dfrac{1}{2^3} < \sqrt{81} < 2 \cdot 2^4 < 10^2 < \sqrt{10^6}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut hvert uttrykk for seg.

$10^{-1}$

10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1

$3^{-2}$

3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}111

$\dfrac{1}{2^3}$

\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125

$\sqrt{81}$

\sqrt{81} = 9

$2 \cdot 2^4$

2 \cdot 2^4 = 2^1 \cdot 2^4 = 2^{1+4} = 2^5 = 32

$10^2$

10^2 = 100

$\sqrt{10^6}$

\sqrt{10^6} = (10^6)^{\frac{1}{2}} = 10^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 10^3 = 1000

Vi har nå:

Uttrykk	Verdi
$10^{-1}$	$0{,}1$
$3^{-2}$	$\approx 0{,}111$
$\dfrac{1}{2^3}$	$0{,}125$
$\sqrt{81}$	$9$
$2 \cdot 2^4$	$32$
$10^2$	$100$
$\sqrt{10^6}$	$1000$

Stigende rekkefølge:

\underline{\underline{10^{-1} < 3^{-2} < \frac{1}{2^3} < \sqrt{81} < 2 \cdot 2^4 < 10^2 < \sqrt{10^6}}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: potenser, kvadratrøtter
Kompetansemål: Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform

Oppgave 1-6 : Prosent opp og prosent ned 1P V26

Prisen for en vare settes opp med $10 \, \%$ . Litt senere settes prisen ned igjen med $10 \, \%$ .

Koster varen nå mer enn, mindre enn eller det samme som den gjorde før de to prisendringene? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Varen koster mindre enn opprinnelig pris — den koster $99 \,\%$ av opprinnelig pris.

LøsningsforslagKI-generert

La oss kalle den opprinnelige prisen for $P$ .

Steg 1: Prisen settes opp med $10 \,\%$

Når prisen øker med $10 \,\%$ , bruker vi vekstfaktoren $1{,}10$ .

\text{Ny pris} = P \cdot 1{,}10

Steg 2: Prisen settes ned med $10 \,\%$

Når prisen senkes med $10 \,\%$ , bruker vi vekstfaktoren $0{,}90$ .

De to endringene skjer etter hverandre, så vi multipliserer vekstfaktorene:

\text{Endelig pris} = P \cdot 1{,}10 \cdot 0{,}90

Steg 3: Beregn den samlede vekstfaktoren

1{,}10 \cdot 0{,}90 = 0{,}99

Dermed er den endelige prisen $P \cdot 0{,}99$ .

Konklusjon:

Siden den samlede vekstfaktoren er $0{,}99$ , som er mindre enn $1$ , koster varen $\mathbf{mindre}$ enn opprinnelig. Varen koster $99 \,\%$ av den opprinnelige prisen — altså $1 \,\%$ mindre enn før de to prisendringene.

Grunnen til at prisen ikke havner tilbake til det opprinnelige er at de to endringene ikke er symmetriske: den første oppgangen på $10 \,\%$ regnes av den lave opprinnelige prisen, mens den påfølgende nedgangen på $10 \,\%$ regnes av den høyere prisen etter oppgangen. Dermed trekkes det ned mer enn det ble lagt til, og prisen ender opp lavere enn der den startet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: prosentregning, argumentasjon
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar

Oppgave 1-7 : Verditap av båt etter seks år 1P V26

Christoffer har kjøpt ny båt. Båtens verdi er $850\,000$ kroner. Anta at verdien vil falle med $20 \, \%$ det første året og så med $6 \, \%$ per år de neste fem årene.

Sett opp et uttrykk som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år.

Fasit

$\underline{\underline{850\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}94^5}}$

LøsningsforslagKI-generert

Det første året faller verdien med $20 \,\%$ . Det betyr at båten beholder $80 \,\%$ av verdien, og vekstfaktoren er $\textcolor{steelblue}{0{,}80}$ .

De neste fem årene faller verdien med $6 \,\%$ hvert år. Det betyr at båten beholder $94 \,\%$ per år, og vekstfaktoren er $\textcolor{seagreen}{0{,}94}$ per år. Over fem år blir den samlede vekstfaktoren $\textcolor{seagreen}{0{,}94^5}$ .

Vi kan sette opp en tabell for å se utviklingen:

År	Verditap	Vekstfaktor
1	$20 \,\%$	$\textcolor{steelblue}{0{,}80}$
2	$6 \,\%$	$\textcolor{seagreen}{0{,}94}$
3	$6 \,\%$	$\textcolor{seagreen}{0{,}94}$
4	$6 \,\%$	$\textcolor{seagreen}{0{,}94}$
5	$6 \,\%$	$\textcolor{seagreen}{0{,}94}$
6	$6 \,\%$	$\textcolor{seagreen}{0{,}94}$

Verdien etter seks år kan derfor skrives som:

850\,000 \cdot \textcolor{steelblue}{0{,}80} \cdot \textcolor{seagreen}{0{,}94^5}

Uttrykket som kan brukes for å regne ut båtens verdi etter seks år er $\underline{\underline{850\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}94^5}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: prosentregning, vekstfaktor, verditap
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar

Oppgave 1-8 : Vekt av stålplate fra volum og tetthet 1P V26

En stålplate har form som et rektangel. Platen er $1000 \mathrm{~mm}$ lang, $500 \mathrm{~mm}$ bred og $6 \mathrm{~mm}$ tykk.

Stål har en massetetthet på $8 \mathrm{~g/cm^3}$ .

Hvor mye veier stålplaten?

Fasit

$\underline{\underline{24 \, \mathrm{kg}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi må gjøre om målene fra millimeter til centimeter slik at enhetene stemmer med massetetthet oppgitt i $\mathrm{g/cm^3}$ .

Vi bruker at $1 \, \mathrm{cm} = 10 \, \mathrm{mm}$ , så vi deler på 10:

1000 \, \mathrm{mm} = 100 \, \mathrm{cm}

500 \, \mathrm{mm} = 50 \, \mathrm{cm}

6 \, \mathrm{mm} = 0{,}6 \, \mathrm{cm}

Volumet av platen finner vi med formelen $V = l \cdot b \cdot h$ :

V = 100 \, \mathrm{cm} \cdot 50 \, \mathrm{cm} \cdot 0{,}6 \, \mathrm{cm} = 3000 \, \mathrm{cm^3}

Vekten finner vi ved å gange volumet med massetetthet:

m = V \cdot \rho = 3000 \, \mathrm{cm^3} \cdot 8 \, \mathrm{g/cm^3} = 24\,000 \, \mathrm{g}

Vi gjør om til kilogram (deler på 1000):

24\,000 \, \mathrm{g} = \mathbf{\underline{\underline{24 \, \mathrm{kg}}}}

Stålplaten veier $24 \, \mathrm{kg}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: måleenheter, massetetthet, volum
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv

Oppgave 1-9 : Lineær modell for bom i hyttefelt 1P V26

Petter, Ola og Ine eier hver sin hytte. Hyttene ligger i et stort hyttefelt. På veien inn til hyttefeltet er det satt opp en bom. Alle hytteeierne må betale en fast årsavgift for å kunne bruke veien. I tillegg må de betale for hver bompassering.

I fjor passerte Petter bommen $40$ ganger. Han betalte til sammen $3200$ kroner i årsavgift og for passeringer.
Ola passerte bommen $100$ ganger og betalte til sammen $6200$ kroner.

Hvor mye betaler hver hytteeier i årsavgift? Hva er prisen per bompassering?

Sett opp en lineær modell som viser sammenhengen mellom antall bompasseringer og den totale prisen hver hytteeier må betale hvert år.

Ine betalte til sammen $5200$ kroner.

Hvor mange ganger passerte hun bommen?

Fasit

Årsavgift: $\underline{\underline{1200 \, \mathrm{kr}}}$ , pris per passering: $\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}$

$\underline{\underline{y = 50x + 1200}}$

$\underline{\underline{x = 80 \text{ passeringer}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $a$ være prisen per bompassering og $b$ være den faste årsavgiften.

Fra opplysningene om Petter og Ola setter vi opp to likninger:

\textcolor{steelblue}{40a + b = 3200} \quad (1)

\textcolor{seagreen}{100a + b = 6200} \quad (2)

Vi trekker likning $(1)$ fra likning $(2)$ :

(2) - (1): \quad 100a - 40a + b - b = 6200 - 3200

60a = 3000

a = \frac{3000}{60} = 50

Prisen per bompassering er $\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi setter $a = 50$ inn i likning $(1)$ for å finne årsavgiften:

40 \cdot 50 + b = 3200

2000 + b = 3200

b = 3200 - 2000 = 1200

Den faste årsavgiften er $\underline{\underline{1200 \, \mathrm{kr}}}$ .

Vi lar $x$ være antall bompasseringer og $y$ være den totale prisen i kroner. Da er modellen:

\underline{\underline{y = 50x + 1200}}

Ine betalte totalt $5200$ kroner. Vi setter $y = 5200$ inn i modellen og løser for $x$ :

5200 = 50x + 1200

5200 - 1200 = 50x

4000 = 50x

x = \frac{4000}{50} = 80

Ine passerte bommen $\underline{\underline{80 \text{ ganger}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: lineære likningssystem, modellering, lineær funksjon
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Modellere situasjonar knytte til tema frå samfunnsliv og arbeidsliv, presentere og argumentere for resultata og for når modellane er gyldige

Oppgave 1-10 : Tallfølge med mønsterformel 1T V26

Susanne arbeider med tallfølgen

1 \quad 3 \quad 7 \quad 13 \quad 21 \quad \ldots

Hun ser et mønster og skriver

\begin{aligned} 0 \cdot 1 + 1 &= 1 \\ 1 \cdot 2 + 1 &= 3 \\ 2 \cdot 3 + 1 &= 7 \\ 3 \cdot 4 + 1 &= 13 \end{aligned}

Bestem tall nummer 8 i tallfølgen.

Sett opp en formel som Susanne kan bruke for å finne tall nummer $n$ i tallfølgen.

Fasit

$\underline{\underline{57}}$

$\underline{\underline{a_n = (n-1) \cdot n + 1}}$

LøsningsforslagKI-generert

Mønsteret viser at tall nummer $n$ er gitt ved $(n-1) \cdot n + 1$ .

Vi setter inn $n = 8$ :

(8-1) \cdot 8 + 1 = 7 \cdot 8 + 1 = 56 + 1 = \mathbf{57}

Tall nummer 8 i tallfølgen er $\underline{\underline{57}}$ .

Fra mønsteret ser vi at tall nummer $n$ er

a_n = (n-1) \cdot n + 1

Dette kan også skrives som

a_n = n^2 - n + 1

Oppgavedata

Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: tallfølger, formler
Kompetansemål: Identifisere variable storleikar i ulike situasjonar, setje opp formlar og utforske desse ved hjelp av digitale verktøy

Oppgave 1-11 : Andregradskostnadsfunksjon med ukjent koeffisient 1P V26

En bedrift produserer en vare. Kostnadene $K(x)$ kroner ved produksjon av $x$ enheter av varen er gitt ved

K(x) = x^2 + b \cdot x + 20\,000

Bestem $K(0)$ . Hva forteller denne verdien om kostnadene ved produksjonen?

Det koster $30\,000$ kroner å produsere $50$ enheter.

Bestem $b$ .

Fasit

$\underline{\underline{K(0) = 20\,000 \, \mathrm{kr}}}$ — de faste kostnadene

$\underline{\underline{b = 150}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 0$ i uttrykket for $K(x)$ :

K(0) = 0^2 + b \cdot 0 + 20\,000 = 20\,000

$K(0) = 20\,000 \, \mathrm{kr}$

$K(0)$ er kostnaden når bedriften produserer $0$ enheter. Dette er de faste kostnadene — altså kostnader som ikke avhenger av hvor mye som produseres (for eksempel husleie, maskiner og lignende).

Vi vet at det koster $30\,000 \, \mathrm{kr}$ å produsere $50$ enheter, det vil si $K(50) = 30\,000$ .

Vi setter inn $x = 50$ :

K(50) = 50^2 + b \cdot 50 + 20\,000

K(50) = 2\,500 + 50b + 20\,000

K(50) = 50b + 22\,500

Siden $K(50) = 30\,000$ setter vi opp likningen:

50b + 22\,500 = 30\,000

Vi trekker $22\,500$ fra begge sider:

50b = 30\,000 - 22\,500

50b = 7\,500

Vi deler begge sider på $50$ :

b = \frac{7\,500}{50} = 150

$b = 150$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: kostnadsfunksjon, andregradsfunksjon
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv

Oppgave 1-12 : Proporsjonalitet i formel for lufttetthet 1P V26

Lufttetthet er et mål på hvor mye luftmasse det er i et bestemt volum – altså hvor tettpakket luften er.

I tørr luft er sammenhengen mellom lufttettheten $L$ , trykket $p$ og temperaturen $T$ gitt ved

L = \frac{p}{287 \cdot T}

Argumenter for om hver påstand nedenfor er sann eller usann.

Påstand 1: Når temperaturen er konstant, er trykk og lufttetthet proporsjonale størrelser.

Påstand 2: Lufttetthet og temperatur er omvendt proporsjonale størrelser.

Fasit

Påstand 1: Sann

Påstand 2: Usann (eller: sann bare når trykket er konstant)

LøsningsforslagKI-generert

Påstand 1: Sann

Formelen er

L = \frac{p}{287 \cdot T}

Når temperaturen $T$ er konstant, er $287 \cdot T$ et fast tall. Vi kan da skrive formelen som

L = k \cdot p, \quad \text{der } k = \frac{1}{287 \cdot T} \text{ er en konstant.}

To størrelser er proporsjonale når den ene er en konstant multiplisert med den andre. Siden $L = k \cdot p$ med konstant $k$ , er lufttetthet og trykk proporsjonale størrelser når temperaturen er konstant.

Påstanden er sann.

Påstand 2: Usann

To størrelser er omvendt proporsjonale dersom produktet deres alltid er konstant. Vi sjekker om produktet $L \cdot T$ er konstant.

Fra formelen får vi

L \cdot T = \frac{p}{287 \cdot T} \cdot T = \frac{p}{287}

Produktet $L \cdot T$ er lik $\dfrac{p}{287}$ . Dette er bare konstant dersom trykket $p$ er konstant. Påstanden sier ingenting om at trykket er konstant – den gjelder generelt.

Siden $L \cdot T$ ikke er konstant når trykket kan variere, er lufttetthet og temperatur ikke omvendt proporsjonale størrelser generelt.

Påstanden er usann.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: proporsjonalitet, omvendt proporsjonalitet, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv

Oppgave 1-13 : Tolke fuglebestand i Python-kode 1P V26

I 2026 består en fuglebestand av $20\,000$ individer. Sofie er forsker. Hun antar at bestanden vil minke de kommende årene. Hun har laget to modeller og skrevet programkoden nedenfor.

x = 0       # x er antall år etter 2026

def f(x):
    return 20000 - 300 * x

def g(x):
    return 20000 * 0.984 ** x

while f(x) >= g(x):
    x = x + 1

print("Resultat:")
print(x)
print(f(x))
print(g(x))

Resultat:
10
17000
17020.83963620087

Gi en praktisk tolkning av modellene $f$ og $g$ .

Hva ønsker Sofie å finne ut? Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?

Fasit

$f$ er en lineær modell der bestanden minker med $\underline{\underline{300 \text{ individer per år}}}$ . $g$ er en eksponentiell modell der bestanden minker med $\underline{\underline{1{,}6 \,\%\text{ per år}}}$ .

Sofie ønsker å finne det første året der den eksponentielle modellen gir større bestand enn den lineære. Svaret er $\underline{\underline{x = 10}}$ , dvs. i år $\underline{\underline{2036}}$ , da er $f(10) = 17\,000$ og $g(10) \approx 17\,021$ .

LøsningsforslagKI-generert

Modellen $f(x) = 20\,000 - 300x$ er en lineær modell.

$x$ er antall år etter 2026. For hvert år som går, trekker vi fra $300$ individer. Bestanden minker altså med et konstant antall på $300$ individer per år, uansett hvor stor bestanden er.

Modellen $g(x) = 20\,000 \cdot 0{,}984^x$ er en eksponentiell modell.

Vekstfaktoren er $0{,}984$ . Siden $0{,}984 = 1 - 0{,}016$ , betyr dette at bestanden minker med $1{,}6 \,\%$ per år. Nedgangen regnes av den nåværende bestanden, slik at antall individer som forsvinner blir stadig færre etter hvert som bestanden krymper.

Begge modellene starter på $20\,000$ individer i 2026 (når $x = 0$ ).

Hva ønsker Sofie å finne ut?

Sofie ønsker å finne ut hvilket år den eksponentielle modellen $g$ for første gang gir en høyere bestand enn den lineære modellen $f$ . Med andre ord: når «henter» $g$ inn igjen $f$ ?

Slik fungerer while-løkken:

Løkken starter med $x = 0$ og øker $x$ med $1$ for hvert steg, så lenge $f(x) \geq g(x)$ . Den stopper første gang $g(x) > f(x)$ .

I starten (ved $x = 0$ ) er begge modellene like: $f(0) = g(0) = 20\,000$ . De første årene synker $f$ raskere enn $g$ i absolutt antall, fordi $300$ av $20\,000$ tilsvarer $1{,}5 \,\%$ per år – altså et litt større prosentfall enn $g$ s $1{,}6 \,\%$ per år. Etter hvert som bestanden ifølge $g$ krymper, krymper også det absolutte fallet i $g$ – mens $f$ fortsetter å falle med nøyaktig $300$ hvert år. Derfor vil $g$ til slutt «passere» $f$ ovenfra.

Hva forteller utskriften?

Resultat:
10
17000
17020.83963620087

$x = 10$ : det skjer 10 år etter 2026, altså i år 2036
$f(10) = 17\,000$ : den lineære modellen gir $17\,000$ individer i 2036
$g(10) \approx 17\,021$ : den eksponentielle modellen gir omtrent $17\,021$ individer i 2036

Fra og med 2036 forutsier den eksponentielle modellen en større fuglebestand enn den lineære modellen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: programmering, lineær funksjon, eksponentialfunksjon, modellering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane

Oppgave 2-1 : CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på $x$ km/h, slipper bilen ut $U(x)$ gram CO₂ per kilometer, der $U(x)$ er gitt ved

U(x) = \frac{5400}{x} + 0{,}0074 x^2 + 50 \quad ,\quad 30 < x < 110

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på $50 \mathrm{~km/h}$ ?

Hvilken fart gir minst utslipp av CO₂ per kilometer? Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?

Fru Hansen kjører med en fart på $90 \mathrm{~km/h}$ i $20$ minutter.

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut i løpet av disse $20$ minuttene?

Fasit

$\underline{\underline{U(50) = 176{,}5 \, \mathrm{g/km}}}$

Minst utslipp ved fart $\underline{\underline{x \approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}}}$ , utslipp $\underline{\underline{U(71{,}5) \approx 163{,}4 \, \mathrm{g/km}}}$

$\underline{\underline{\approx 5098 \, \mathrm{g} \approx 5{,}1 \, \mathrm{kg}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Nedenfor vises grafen til $U(x)$ med de tre aktuelle punktene markert. Grafen er laget med Python og matplotlib:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(30, 110, 500)
U = 5400/x + 0.0074*x**2 + 50

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5.5))
ax.plot(x, U, color='steelblue', linewidth=2.2)

# Markerte punkter
ax.plot(50, 176.5, 'o', color='seagreen', markersize=9)   # a)
ax.plot(71.46, 163.36, 'o', color='tomato', markersize=9)  # b) minimum
ax.plot(90, 169.94, 'o', color='orange', markersize=9)     # c)

ax.set_xlabel('Fart x (km/h)')
ax.set_ylabel('CO2-utslipp U(x) (g/km)')
plt.savefig('1t-v26-2-1.png', dpi=150)

Graf av U

Vi setter inn $x = 50$ i uttrykket for $U(x)$ :

U(50) = \frac{5400}{50} + 0{,}0074 \cdot 50^2 + 50

= 108 + 0{,}0074 \cdot 2500 + 50

= 108 + 18{,}5 + 50

= \underline{\underline{176{,}5 \, \mathrm{g/km}}}

Bilen slipper ut $176{,}5$ gram CO₂ per kilometer ved $50 \, \mathrm{km/h}$ .

Vi finner minimum ved å derivere $U(x)$ og sette den deriverte lik null.

U(x) = 5400 \cdot x^{-1} + 0{,}0074x^2 + 50

U'(x) = -\frac{5400}{x^2} + 0{,}0148x

Vi setter $U'(x) = 0$ :

-\frac{5400}{x^2} + 0{,}0148x = 0

0{,}0148x = \frac{5400}{x^2}

0{,}0148x^3 = 5400

x^3 = \frac{5400}{0{,}0148} \approx 364865

x = \sqrt[3]{364865} \approx 71{,}5

Fra grafen ser vi at $U(x)$ har et bunnpunkt (minimum) ved $x \approx 71{,}5$ , som stemmer med utregningen.

Vi regner ut utslippet ved denne farten:

U(71{,}5) = \frac{5400}{71{,}5} + 0{,}0074 \cdot 71{,}5^2 + 50 \approx 75{,}5 + 37{,}8 + 50 = \underline{\underline{163{,}4 \, \mathrm{g/km}}}

Minst utslipp per kilometer er $163{,}4 \, \mathrm{g/km}$ , og oppnås ved fart $\approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}$ .

Vi setter inn $x = 90$ og finner utslippet per kilometer:

U(90) = \frac{5400}{90} + 0{,}0074 \cdot 90^2 + 50

= 60 + 0{,}0074 \cdot 8100 + 50

= 60 + 59{,}94 + 50

= 169{,}94 \, \mathrm{g/km}

Fru Hansen kjører i $20$ minutter med fart $90 \, \mathrm{km/h}$ . Vi finner strekningen:

s = v \cdot t = 90 \, \mathrm{km/h} \cdot \frac{20}{60} \, \mathrm{h} = 90 \cdot \frac{1}{3} = 30 \, \mathrm{km}

Totalt CO₂-utslipp over de $30 \, \mathrm{km}$ :

\text{Utslipp} = U(90) \cdot s = 169{,}94 \, \mathrm{g/km} \cdot 30 \, \mathrm{km} \approx \underline{\underline{5098 \, \mathrm{g} \approx 5{,}1 \, \mathrm{kg}}}

Bilen slipper ut omtrent $5098$ gram ( $5{,}1 \, \mathrm{kg}$ ) CO₂ i løpet av disse $20$ minuttene.

Oppgavedata

Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: funksjoner, modellering, optimering, måleenheter
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige

Oppgave 2-2 : Prosentpoeng og prosent for styringsrenten 1P V26

I september 2025 satte Norges Bank ned styringsrenten fra $4{,}25 \, \%$ til $4 \, \%$ .

Hvor mange prosentpoeng ble styringsrenten satt ned med?

Hvor mange prosent ble styringsrenten satt ned med?

Fasit

$\underline{\underline{0{,}25 \text{ prosentpoeng}}}$

$\underline{\underline{\approx 5{,}9 \,\%}}$

LøsningsforslagKI-generert

Prosentpoeng er den direkte differansen mellom to prosenttall.

4{,}25 \,\% - 4 \,\% = \textcolor{seagreen}{0{,}25 \text{ prosentpoeng}}

Styringsrenten ble satt ned med $\underline{\underline{0{,}25}}$ prosentpoeng.

Prosentvis nedgang forteller hvor stor endringen er sammenliknet med utgangspunktet. Vi deler nedgangen på den opprinnelige renten.

\frac{0{,}25}{4{,}25} \cdot 100 \,\% \approx \textcolor{seagreen}{5{,}9 \,\%}

Styringsrenten ble satt ned med omtrent $\underline{\underline{5{,}9 \,\%}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: prosentregning, prosentpoeng
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar

Oppgave 2-3 : Vipebestand med eksponentielle modeller

Vipe (fugl)

Vipa er kritisk truet fugleart i Norge.

I 2013 ble bestanden av viper anslått til å være omtrent 9000 par. I 2022 var bestanden omtrent 2500 par.

År	2013	2022
Vipebestand (par)	9000	2500

Tor antar at bestanden av viper har avtatt lineært og vil fortsette å avta lineært i årene framover. Egil antar at nedgangen har vært, og fortsatt vil være, eksponentiell.

La $x$ være antall år etter 2013.

Lag en modell $f$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Tors antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Lag en modell $g$ som viser utviklingen av vipebestanden ut fra Egils antakelser. Forklar hva modellen forteller om utviklingen.

Myndigheter og interesseorganisasjoner arbeider med å verne hekkeområdene til vipa. De håper at dette skal bidra til å stoppe nedgangen, slik at bestanden vil stabilisere seg.

Egil ønsker å lage en ny modell som tar hensyn til dette. Han lager først den eksponentielle modellen $p$ . Så endrer han litt på denne og kommer fram til modellen $q$ . Nedenfor ser du grafene til de to modellene.

Tre koordinatsystemer som viser modellen p, modellen p og modellen q sammen, og modellen q alene

Gjør rede for hvilke antakelser Egil har lagt til grunn for modellen $q$ . Bestem $p(x)$ og $q(x)$ .

Fasit

$f(x) = -\dfrac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000$

$g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x$

$p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x$ , $\quad q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000$

LøsningsforslagKI-generert

Grafer for f og g (lineær og eksponentiell modell) og Egils modeller p og q

Vi bruker de to datapunktene $(0, 9000)$ og $(9, 2500)$ .

En lineær modell har formen $f(x) = ax + b$ .

Siden $x = 0$ svarer til år 2013 og bestanden da var 9000, får vi direkte

b = 9000

Stigningstallet finner vi ved

a = \frac{2500 - 9000}{9 - 0} = \frac{-6500}{9} \approx -722{,}2

Den lineære modellen er

\boxed{f(x) = -\frac{6500}{9}x + 9000 \approx -722{,}2x + 9000}

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen synker bestanden med omtrent $\mathbf{722}$ par per år. Modellen predikerer at bestanden faller til null rundt $x \approx 12{,}5$ , dvs. rundt år 2025–2026.

En eksponentiell modell har formen $g(x) = 9000 \cdot b^x$ (startverdi 9000 ved $x = 0$ ).

Vi bruker punktet $(9, 2500)$ :

\begin{aligned} 9000 \cdot b^9 &= 2500 \\ b^9 &= \frac{2500}{9000} = \frac{5}{18} \\ b &= \left(\frac{5}{18}\right)^{\tfrac{1}{9}} \approx 0{,}867 \end{aligned}

Den eksponentielle modellen er

\boxed{g(x) = 9000 \cdot 0{,}867^x}

Tolkning: I 2013 var bestanden 9000 par. Ifølge modellen avtar bestanden med ca. $\mathbf{13{,}3\,\%}$ per år (siden $b \approx 0{,}867$ betyr $1 - 0{,}867 = 0{,}133 = 13{,}3\,\%$ nedgang). Bestanden nærmer seg null, men når aldri null.

Egils antakelse: Egil antar at bestanden ikke vil falle til null, men stabilisere seg på 2000 par. Modell $q$ har derfor en horisontal asymptote ved $y = 2000$ .

Konstruksjon av $p$ :

Egil lager først modellen $p$ ved å trekke fra 2000 fra alle bestandsverdier – han ser på den «overskytende» bestanden utover 2000 par:

Ved $x = 0$ : $9000 - 2000 = 7000$
Ved $x = 9$ : $2500 - 2000 = 500$

Modellen $p$ er eksponentiell med startverdi 7000:

p(x) = 7000 \cdot c^x

Vi finner $c$ fra punktet $(9, 500)$ :

\begin{aligned} 7000 \cdot c^9 &= 500 \\ c^9 &= \frac{500}{7000} = \frac{1}{14} \\ c &= \left(\frac{1}{14}\right)^{\tfrac{1}{9}} \approx 0{,}746 \end{aligned}

\boxed{p(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x}

Konstruksjon av $q$ :

Egil hever $p$ opp med 2000 (legger tilbake det han trakk fra) slik at bestanden stabiliserer seg ved 2000 par:

\boxed{q(x) = 7000 \cdot 0{,}746^x + 2000}

Tolkning: Modell $q$ har horisontal asymptote $y = 2000$ : bestanden avtar fortsatt eksponentielt, men tilnærmer seg 2000 par på sikt uten å falle under det. Dette gjenspeiler antakelsen om at vernearbeidet vil stabilisere bestanden på minst 2000 par.

Oppgavedata

Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: eksponentialfunksjon, modellering, tolke grafer
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Oppgave 2-4 : Energiforbruk og kostnad ved varmtvannsdusj 1P V26

For å varme opp $1$ liter vann $1$ grad celsius kreves en energi på $4184$ joule (J).

Når kaldt vann kommer inn i en varmtvannstank, er temperaturen omtrent $10 \degree \mathrm{C}$ . I varmtvannstanken varmes vannet opp til $70 \degree \mathrm{C}$ .

Vis at å varme opp $100 \mathrm{~L}$ vann fra $10 \degree \mathrm{C}$ til $70 \degree \mathrm{C}$ krever en energi på $2{,}51 \cdot 10^7 \mathrm{~J}$ .

Når Martin dusjer, bruker han $15$ liter vann per minutt. Vannet i dusjen er en blanding av varmt vann fra varmtvannstanken og kaldt vann med en temperatur på $10 \degree \mathrm{C}$ . Vannet i dusjen har en temperatur på $40 \degree \mathrm{C}$ .

Martin har funnet ut at han kan bruke formelen nedenfor til å finne ut hvor mange liter vann $V$ fra varmtvannstanken han bruker per minutt når temperaturen på vannet i dusjen er $T \degree \mathrm{C}$

V = \frac{T - 10}{4}

En dag dusjer Martin i $10$ minutter. Vannet i dusjen har en temperatur på $40 \degree \mathrm{C}$ .

Hvor mange liter vann fra varmtvannstanken bruker han?

Hvor mye energi kreves for å varme opp vannet han bruker fra varmtvannstanken?

Når vi betaler for den elektriske energien vi bruker, betaler vi per kilowattime (kWh).

1 \mathrm{~kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6 \mathrm{~J}

En morgen var strømprisen $134$ øre per kWh.

Hvor mye kostet det Martin å ta en dusj på $10$ minutter denne morgenen?

Fasit

$E = 100 \cdot 4184 \cdot 60 = 25\,104\,000 \mathrm{~J} \approx \underline{\underline{2{,}51 \cdot 10^7 \mathrm{~J}}}$

$\underline{\underline{75 \mathrm{~L}}}$ fra varmtvannstanken

$\underline{\underline{E \approx 1{,}88 \cdot 10^7 \mathrm{~J}}}$

$\underline{\underline{\approx 7{,}01 \mathrm{~kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

For å varme opp $100 \mathrm{~L}$ vann fra $10 \degree\mathrm{C}$ til $70 \degree\mathrm{C}$ er temperaturdifferansen

\Delta T = 70 - 10 = 60 \degree\mathrm{C}

Energien som kreves er

E = \textcolor{steelblue}{100} \cdot 4184 \cdot \textcolor{seagreen}{60}

der $\textcolor{steelblue}{100}$ er antall liter og $\textcolor{seagreen}{60}$ er grader som vannet varmes opp.

E = 25\,104\,000 \mathrm{~J} \approx \mathbf{2{,}51 \cdot 10^7 \mathrm{~J}}

Dette stemmer med det vi skulle vise. $\underline{\underline{E \approx 2{,}51 \cdot 10^7 \mathrm{~J}}}$

Formelen gir antall liter fra varmtvannstanken per minutt når temperaturen på dusjen er $T \degree\mathrm{C}$ :

V = \frac{T - 10}{4}

Martin dusjer ved $T = 40 \degree\mathrm{C}$ , så han bruker

V = \frac{40 - 10}{4} = \frac{30}{4} = 7{,}5 \mathrm{~L \, per \, minutt}

fra varmtvannstanken. På $10$ minutter bruker han

7{,}5 \cdot 10 = \mathbf{75 \mathrm{~L}}

$\underline{\underline{75 \mathrm{~L}}}$ fra varmtvannstanken.

Vannet fra varmtvannstanken er varmt opp fra $10 \degree\mathrm{C}$ til $70 \degree\mathrm{C}$ , altså en temperaturdifferanse på $\Delta T = 60 \degree\mathrm{C}$ .

Martin bruker $75 \mathrm{~L}$ fra varmtvannstanken (fra deloppgave b), så energien som kreves er

E = 75 \cdot 4184 \cdot 60 = 18\,828\,000 \mathrm{~J}

\underline{\underline{E \approx 1{,}88 \cdot 10^7 \mathrm{~J}}}

Vi gjør om energien fra joule til kilowattime. Vi vet at $1 \mathrm{~kWh} = 3{,}6 \cdot 10^6 \mathrm{~J}$ , så

E = \frac{18\,828\,000}{3{,}6 \cdot 10^6} \approx 5{,}23 \mathrm{~kWh}

Strømprisen er $134$ øre per kWh, og kostnaden blir

\text{Kostnad} = 5{,}23 \cdot 134 \approx 700{,}8 \mathrm{~øre} \approx 7{,}01 \mathrm{~kr}

$\underline{\underline{\text{Dusjen kostet Martin ca. }7{,}01 \mathrm{~kr}}}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: måleenheter, formler, modellering, energi
Kompetansemål: Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Prosent av antall sauer 1P V26

Oppgave 1-2 : Vannforbruk per måned i liter 1P V26

Oppgave 1-3 : Multiplikasjon av store og små tall 1P V26

Oppgave 1-4 : Omvendt proporsjonal tabell 1P V26

Oppgave 1-5 : Sortere potensuttrykk i stigende rekkefølge 1P V26

Oppgave 1-6 : Prosent opp og prosent ned 1P V26

Oppgave 1-7 : Verditap av båt etter seks år 1P V26

Oppgave 1-8 : Vekt av stålplate fra volum og tetthet 1P V26

Oppgave 1-9 : Lineær modell for bom i hyttefelt 1P V26

Oppgave 1-10 : Tallfølge med mønsterformel 1T V26

Oppgave 1-11 : Andregradskostnadsfunksjon med ukjent koeffisient 1P V26

Oppgave 1-12 : Proporsjonalitet i formel for lufttetthet 1P V26

Oppgave 1-13 : Tolke fuglebestand i Python-kode 1P V26

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Oppgave 2-2 : Prosentpoeng og prosent for styringsrenten 1P V26

Oppgave 2-3 : Vipebestand med eksponentielle modeller

Oppgave 2-4 : Energiforbruk og kostnad ved varmtvannsdusj 1P V26