CO2-utslipp og optimal fart 1T V26

Fru Hansen eier en gammel bil. Når hun kjører med en fart på $x$ km/h, slipper bilen ut $U(x)$ gram CO₂ per kilometer, der $U(x)$ er gitt ved

U(x) = \frac{5400}{x} + 0{,}0074 x^2 + 50 \quad ,\quad 30 < x < 110

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer dersom fru Hansen kjører med en fart på $50 \mathrm{~km/h}$ ?

Hvilken fart gir minst utslipp av CO₂ per kilometer? Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut per kilometer ved denne farten?

Fru Hansen kjører med en fart på $90 \mathrm{~km/h}$ i $20$ minutter.

Hvor mange gram CO₂ slipper bilen ut i løpet av disse $20$ minuttene?

Fasit

$\underline{\underline{U(50) = 176{,}5 \, \mathrm{g/km}}}$

Minst utslipp ved fart $\underline{\underline{x \approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}}}$ , utslipp $\underline{\underline{U(71{,}5) \approx 163{,}4 \, \mathrm{g/km}}}$

$\underline{\underline{\approx 5098 \, \mathrm{g} \approx 5{,}1 \, \mathrm{kg}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Nedenfor vises grafen til $U(x)$ med de tre aktuelle punktene markert. Grafen er laget med Python og matplotlib:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(30, 110, 500)
U = 5400/x + 0.0074*x**2 + 50

fig, ax = plt.subplots(figsize=(9, 5.5))
ax.plot(x, U, color='steelblue', linewidth=2.2)

# Markerte punkter
ax.plot(50, 176.5, 'o', color='seagreen', markersize=9)   # a)
ax.plot(71.46, 163.36, 'o', color='tomato', markersize=9)  # b) minimum
ax.plot(90, 169.94, 'o', color='orange', markersize=9)     # c)

ax.set_xlabel('Fart x (km/h)')
ax.set_ylabel('CO2-utslipp U(x) (g/km)')
plt.savefig('1t-v26-2-1.png', dpi=150)

Graf av U

Vi setter inn $x = 50$ i uttrykket for $U(x)$ :

U(50) = \frac{5400}{50} + 0{,}0074 \cdot 50^2 + 50

= 108 + 0{,}0074 \cdot 2500 + 50

= 108 + 18{,}5 + 50

= \underline{\underline{176{,}5 \, \mathrm{g/km}}}

Bilen slipper ut $176{,}5$ gram CO₂ per kilometer ved $50 \, \mathrm{km/h}$ .

Vi finner minimum ved å derivere $U(x)$ og sette den deriverte lik null.

U(x) = 5400 \cdot x^{-1} + 0{,}0074x^2 + 50

U'(x) = -\frac{5400}{x^2} + 0{,}0148x

Vi setter $U'(x) = 0$ :

-\frac{5400}{x^2} + 0{,}0148x = 0

0{,}0148x = \frac{5400}{x^2}

0{,}0148x^3 = 5400

x^3 = \frac{5400}{0{,}0148} \approx 364865

x = \sqrt[3]{364865} \approx 71{,}5

Fra grafen ser vi at $U(x)$ har et bunnpunkt (minimum) ved $x \approx 71{,}5$ , som stemmer med utregningen.

Vi regner ut utslippet ved denne farten:

U(71{,}5) = \frac{5400}{71{,}5} + 0{,}0074 \cdot 71{,}5^2 + 50 \approx 75{,}5 + 37{,}8 + 50 = \underline{\underline{163{,}4 \, \mathrm{g/km}}}

Minst utslipp per kilometer er $163{,}4 \, \mathrm{g/km}$ , og oppnås ved fart $\approx 71{,}5 \, \mathrm{km/h}$ .

Vi setter inn $x = 90$ og finner utslippet per kilometer:

U(90) = \frac{5400}{90} + 0{,}0074 \cdot 90^2 + 50

= 60 + 0{,}0074 \cdot 8100 + 50

= 60 + 59{,}94 + 50

= 169{,}94 \, \mathrm{g/km}

Fru Hansen kjører i $20$ minutter med fart $90 \, \mathrm{km/h}$ . Vi finner strekningen:

s = v \cdot t = 90 \, \mathrm{km/h} \cdot \frac{20}{60} \, \mathrm{h} = 90 \cdot \frac{1}{3} = 30 \, \mathrm{km}

Totalt CO₂-utslipp over de $30 \, \mathrm{km}$ :

\text{Utslipp} = U(90) \cdot s = 169{,}94 \, \mathrm{g/km} \cdot 30 \, \mathrm{km} \approx \underline{\underline{5098 \, \mathrm{g} \approx 5{,}1 \, \mathrm{kg}}}

Bilen slipper ut omtrent $5098$ gram ( $5{,}1 \, \mathrm{kg}$ ) CO₂ i løpet av disse $20$ minuttene.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2026, del 2, oppgave 1
Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: funksjoner, modellering, optimering, måleenheter
Kompetansemål: Bruke gjennomsnittleg og momentan vekstfart i konkrete døme og gjere greie for den deriverte
Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige