1P Høst 2023

Oppgave 1-1Tobias og daglig vannbehov

Tobias lurer på hvor mye vann han bør drikke hver dag. Han finner ulike svar på ulike nettsider. På en nettside finner han teksten nedenfor.

Tobias veier 70 kg.

Hvor mange liter vann bør Tobias drikke i løpet av et døgn ifølge nettsiden?

Fasit

$2,1 L$

LøsningsforslagKI-generert

Tobias veier 70 kg og trenger ca. 30 mL væske per kilogram kroppsvekt.

70 \cdot 30 mL = 2100 mL = 2,1 L

Tobias bør drikke omtrent $2,1 L$ vann i løpet av et døgn.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Et riktig svar som ikke er gjort om til liter, gir 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Tallregning, Proporsjonalitet
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Sosiale medier og prosentpoeng

Opplysningene ovenfor er hentet fra ssb.no.

Vil du si at overskriften samsvarer med første setning i teksten? Begrunn svaret ditt.

Hvor mange prosent tilsvarer økningen på 8 prosentpoeng?

Fasit

Overskriften samsvarer ikke helt: $88 %$ er ikke det samme som $90 %$ («ni av ti»), men det er en rimelig forenkling/avrunding.

Økningen på 8 prosentpoeng tilsvarer en økning på $10 %$ .

LøsningsforslagKI-generert

Del 1 – Samsvarer overskriften?

Overskriften sier «ni av ti», som betyr $\frac{9}{10} = 90 %$ .

Teksten sier $88 %$ .

$88 %$ er ikke det samme som $90 %$ , så overskriften stemmer ikke nøyaktig. Men $88 %$ er nær $90 %$ , og «ni av ti» er en enkel og lettfattelig formulering. Overskriften er altså en forenkling, men ikke grovt misvisende.

Del 2 – Hvor mange prosent tilsvarer 8 prosentpoeng?

For fem år siden brukte

100 % - 8 % = 88 % - 8 % = 80 %

av nordmenn sosiale medier. (Vi trekker 8 prosentpoeng fra dagens $88 %$ .)

Økningen i antall prosentpoeng er $88 - 80 = 8$ prosentpoeng.

Vi beregner hvor mange prosent dette er av utgangspunktet:

\frac{8}{80} \cdot 100 = 10 %

Økningen på 8 prosentpoeng tilsvarer en økning på $10 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for å begrunne hvorfor eller hvorfor ikke overskriften samsvarer med første setning i teksten. 1 poeng for å komme fram til at økningen tilsvarer 10 %.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Argumentasjon
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Utforske korleis ulike premissar vil kunne påverke korleis matematiske problem frå samfunnsliv og arbeidsliv blir løyste
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Ohms lov og proporsjonal sammenheng

Ohms lov sier at strømmen ( $I$ ) gjennom en metallisk leder med konstant temperatur er proporsjonal med spenningen ( $U$ ) og omvendt proporsjonal med motstanden ( $R$ ) i lederen.

Argumenter for om hver av påstandene er sann eller usann.

1. Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke. 2. Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.

Fasit

Sann — strømmen øker når spenningen øker.
Usann — strømmen avtar når motstanden øker.

LøsningsforslagKI-generert

Ohms lov kan skrives som formelen

I = \frac{U}{R}

der $I$ er strømmen, $U$ er spenningen og $R$ er motstanden.

Påstand 1: Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke.

Ifølge Ohms lov er $I$ proporsjonal med $U$ (når $R$ er konstant). Det betyr at når spenningen $U$ øker, vil strømmen $I$ også øke.

Påstanden er sann.

Påstand 2: Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.

Ifølge Ohms lov er $I$ omvendt proporsjonal med $R$ (når $U$ er konstant). Det betyr at når motstanden $R$ øker, vil strømmen $I$ avta — ikke øke.

For eksempel: hvis motstanden dobles, halveres strømmen.

Påstanden er usann.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for hvert svar som er riktig og argumentert for.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Formler, Proporsjonalitet
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Sondres modell for hundeår

Hunder utvikler seg raskere enn mennesker. Når en hund er 1 år gammel, tilsvarer det 16 menneskeår. Se tabellen nedenfor.

Så gammel er hunden din	Små/mellomstore hunder	Store hunder	Veldig store hunder
To måneder	2 år	2 år	2 år
Fire måneder	6 år	6 år	6 år
Seks måneder	10 år	10 år	10 år
Åtte måneder	12 år	12 år	12 år
Ti måneder	14 år	14 år	14 år
1 år	16 år	16 år	16 år
1,5 år	20 år	20 år	20 år
2 år	24 år	24 år	24 år
3 år	29 år	30 år	31 år
4 år	34 år	36 år	38 år
5 år	39 år	42 år	45 år
6 år	44 år	48 år	52 år
7 år	49 år	54 år	59 år
8 år	54 år	60 år	66 år
9 år	59 år	66 år	73 år
10 år	64 år	72 år	80 år
11 år	69 år	78 år	87 år
12 år	74 år	84 år	94 år
13 år	79 år	90 år	101 år
14 år	84 år	96 år	108 år

Sondre har en hund som er 2 år gammel. Han mener funksjonen $H$ gitt ved

H (x) = 6 x + 12

kan brukes som en modell for hvor mange menneskeår $H (x)$ en stor hund er når den er $x$ hundeår.

Forklar hvordan Sondre kan ha kommet fram til dette uttrykket, og argumenter for når modellen er gyldig.

Sondre påstår at modellen han har funnet, viser at alderen til en hund er proporsjonal med alderen til et menneske.

Stemmer påstanden til Sondre? Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Stigningstallet er $6$ (store hunder vokser med 6 menneskeår per hundeår etter fylte 2 år). Konstantleddet er $12$ , funnet ved å bruke punktet $(2, 24)$ . Modellen er gyldig for $x \geq 2$ .

Påstanden stemmer ikke. $H (x) = 6 x + 12$ er ikke proporsjonal fordi den ikke går gjennom origo.

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på kolonnen «Store hunder» i tabellen og ser på endringene fra $x = 2$ år og oppover:

Hundeår $x$	Menneskeår $H (x)$	Endring
2	24
3	30	$+ 6$
4	36	$+ 6$
5	42	$+ 6$
6	48	$+ 6$

Endringen er konstant lik $6$ for hvert hundeår. Dette betyr at stigningstallet i en lineær modell er $6$ .

Vi bruker punktet $(2, 24)$ fra tabellen og stigningstallet $a = 6$ :

H (x) = 6 x + b

Vi setter inn $x = 2$ og $H (2) = 24$ :

24 = 6 \cdot 2 + b

24 = 12 + b

b = 12

Slik kommer Sondre fram til $H (x) = 6 x + 12$ .

Modellen er gyldig for $x \geq 2$ . Fra tabellen ser vi at alle de tre hundekategoriene har samme verdier frem til og med $x = 2$ år ( $H = 24$ ). Først fra $x = 3$ begynner de å skille seg. Modellen beskriver den lineære veksten for store hunder, og denne lineariteten starter ved $x = 2$ .

For at en sammenheng skal være proporsjonal, må den gå gjennom origo. Det vil si at funksjonen må ha formen $y = k \cdot x$ , der $k$ er en konstant.

Vi sjekker om $H (x) = 6 x + 12$ er proporsjonal ved å sette inn $x = 0$ :

H (0) = 6 \cdot 0 + 12 = 12

Siden $H (0) = 12 \neq 0$ , går ikke grafen gjennom origo.

Påstanden til Sondre stemmer ikke. $H (x) = 6 x + 12$ er en lineær funksjon, men ikke en proporsjonal sammenheng. En proporsjonal sammenheng ville for eksempel hatt formen $H (x) = k \cdot x$ for et tall $k$ , men modellen har et konstantledd på $12$ som gjør at det ikke er proporsjonalitet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å forklare hvordan Sondre kan ha kommet fram til uttrykket.

1 poeng for å argumentere for gyldighetsområdet.

Riktig svar uten argumentasjon gir ingen uttelling.

Riktig svar med en mangelfull argumentasjon, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineær vekst, Modellering, Proporsjonalitet
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Dennis bil og verdifall

På en nettside har Dennis funnet teksten nedenfor.

Dennis vil kjøpe en ny bil som koster 490 000 kroner.

Sett opp et regnestykke som vil gi bilens verdi etter 2 år.

Fasit

$490 000 \cdot 0,80 \cdot 0,86 = 337 120 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Det første året faller bilen i verdi med $20 %$ . Det vil si at bilen beholder $100 % - 20 % = 80 %$ av verdien. Vekstfaktoren er $0,80$ .

Det andre året faller bilen i verdi med $14 %$ av bruktprisen. Bilen beholder da $100 % - 14 % = 86 %$ av verdien. Vekstfaktoren er $0,86$ .

Vi multipliserer startverdien med begge vekstfaktorene for å finne verdien etter 2 år:

490\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}86 = \textbf{337\,120 \, \mathrm{kr}} ParseError: Can't use function '\mathrm' in text mode at position 58: …bf{337\,120 \, \̲m̲a̲t̲h̲r̲m̲{kr}}

Bilens verdi etter 2 år er $337 120 kr$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Et delvis riktig regnestykke kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Prosentvis endring i flere perioder
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 2-1Modell for antall fiskere

Tabellen nedenfor viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke noen år i perioden 1952–2022.

År	1952	1982	1992	2002	2012	2022
Antall fiskere	65 956	25 289	19 780	13 841	9 825	9 591

Krever PC

La $x$ være antall år etter 1950 og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en modell $F$ som du mener kan brukes til å si noe om antall personer som har hatt fiske som hovedyrke i perioden 1952–2022.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange personer i Norge vil ha fiske som hovedyrke i 2050 ifølge modellen fra oppgave a)? Vurder modellens gyldighetsområde.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(30, F (30))$ og $(70, F (70))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

$F (x) = 66 360 \cdot {0,9714}^{x}$

Ca. 3 645 fiskere i 2050

$a \approx - 477$ fiskere per år

Løsningsforslag

Jeg la inn årstallene, antall år etter 1950 og antallet fiskere i regnearket i GeoGebra. Se figuren.

Regresjon i GeoGebra

Punktene så ut til å passe godt med en eksponentiell modell, og det virker fornuftig at antallet fiskere minker med en relativt fast prosentandel hvert år. Den eksponentielle modellen vil også aldri treffe 0, slik at den kan brukes langt fram i tid.

$F (x) = 66 360 \cdot {0,9714}^{x}$ er en god modell for antall fiskere i denne perioden.

Vi kan bruke modellen for å finne ut hvor mange fiskere det vil være i 1950. Vi regner ut $F (100)$ i GeoGebra siden 2050 tilsvarer $x = 100$ . Se linje 2 (merket med a) i utklippet.

Figur 1: Beregning av antall fiskere i 2050 og stigningstall

Det er vanskelig å vurdere gydligheten til denne modellen. Jeg vurderer at vi ikke bør bruke den lenger fram i framtida enn 2050. For eksempel er det kun 854 fiskere igjen i 2100 ifølge modellen. Det høres lite ut. Et fornuftig gyldighetsområde kan være $x \in [0,100]$ .

Det er omtrent 3645 fiskere i 2050 ifølge modellen vår. Jeg vurderer at modellen er gyldig fra 1950 til 2050.

Se figur 1. Jeg la inn punktene og trakk en linje mellom dem. Deretter målte jeg stigningen med stigningsverktøyet.

Stigningstallet til den rette linjen er $- 477$ . Det betyr at i gjennomsnitt sluttet 477 (netto) i yrket sitt mellom årene 1980 $(x = 30)$ og 2020 $(x = 70)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En modell som passer dårlig med datamaterialet kan gi 1 poeng dersom valget av modell er argumentert for.

For å få full uttelling må kandidaten sette $x = 0$ i 1950.

Et riktig svar på spørsmålet kan gi 1 poeng.

En vurdering av modellens gyldighetsområde kan gi 1 poeng.

Oppgave a) og b) må sees under ett med tanke på argumentasjon for valg av modell og gyldighetsområde.

1 poeng for riktig stigningstall.

1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet med riktig enhet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Lineær vekst, Stigningstall
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Sofie og prosentvis arealendring

For hånd

Sofie har et rektangelformet uteområde. Hun vil endre på dette området ved å øke lengden med 10 % og redusere bredden med 20 %.

Hvor stor vil den prosentvise endringen av arealet bli?

Fasit

Arealet minker med $12 %$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller det opprinnelige rektangelet for lengde $l$ og bredde $b$ .

Arealet er $A = l \cdot b$ .

Lengden øker med 10 %, så vekstfaktoren er $1,10$ .

Bredden reduseres med 20 %, så vekstfaktoren er $0,80$ .

Det nye arealet blir:

A_{ny} = 1,10 \cdot l \cdot 0,80 \cdot b

Vi finner den samlede vekstfaktoren for arealet:

1,10 \cdot 0,80 = 0,88

En vekstfaktor på $0,88$ betyr at det nye arealet er $88 %$ av det opprinnelige.

Prosentvis endring:

0,88 - 1 = - 0,12 = - 12 %

Arealet minker med $12 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som viser hvor stor endringen blir ved å bruke et rektangel med gitt lengde og bredde, får 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Areal og omkrets, Prosentvis endring
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Pølser rundt jorda

Opplysningene nedenfor er hentet fra nrk.no

Vi spiser omtrent 500 millioner pølser i Norge hvert år.
13 millioner av disse pølsene spiser vi 17. mai.
Om vi hadde lagt alle pølsene nordmenn spiser i løpet av et år, etter hverandre, ville vi kommet to og en halv gang rundt jorda.

Kalkulator

Hvor mange pølser spiser vi i gjennomsnitt hvert sekund i Norge?

Kalkulator

Hvor mange prosent av pølsene spiser vi 17. mai?

Jordens radius er 6378 km ved ekvator.

Kalkulator

Omtrent hvor lang har NRK regnet at en pølse er?

Fasit

Ca. 16 pølser per sekund

$2,6 %$

Ca. 20 cm

LøsningsforslagKI-generert

Det er 365 dager i et år. Vi regner ut antall sekunder i ett år:

365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 31 536 000 sekunder

Antall pølser per sekund blir:

\frac{500 000 000}{31 536 000} \approx 15,85

Vi spiser omtrent $16 pølser per sekund$ .

Vi finner hvor mange prosent 13 millioner er av 500 millioner:

\frac{13}{500} \cdot 100 = 2,6 %

Vi spiser $2,6 %$ av årets pølser den 17. mai.

Vi beregner jordens omkrets ved ekvator. Omkretsen av en sirkel er $O = 2 π r$ , der $r = 6378 km$ :

O = 2 \cdot π \cdot 6378 \approx 40 074 km

To og en halv gang rundt jorda gir en total lengde på:

2,5 \cdot 40 074 = 100 185 km

Vi gjør om til centimeter:

100 185 km = 100 185 000 m = 10 018 500 000 cm

Gjennomsnittlig pølselengde:

\frac{10 018 500 000}{500 000 000} \approx 20,04 cm

NRK har regnet med at en pølse er omtrent $20 cm$ lang.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til riktig svar, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Tallregning, Prosentregning, Store tall
Kompetansemål: Bruke prosent, prosentpoeng, promille og vekstfaktor i utrekningar og presentere og grunngi løysingar
Tolke og rekne med rotuttrykk, potensar og tal på standardform
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Snorre og Miras sjokolade

Kalkulator

Snorre har en hund som heter Mira. Mira har spist 200 g melkesjokolade.

Snorre har hørt at sjokolade er giftig for hunder, og lurer på hva han skal gjøre.

Han finner informasjonen nedenfor på helsenorge.no

Sjokolade inneholder teobromin, som er giftig for hunder.
I norsk melkesjokolade er det ca. $1,2 m g$ teobromin per gram sjokolade.
Hunder som har spist mer enn 20 mg teobromin per kg kroppsvekt, kan få kliniske tegn på forgiftning.
Kontakt veterinær hvis hunden din har spist en giftig mengde sjokolade.

Gjør antakelser og beregninger, og vurder om Snorre bør kontakte veterinær.

Fasit

Antakelse: Mira veier ca. $10 kg$ (liten til mellomstor hund).

Kritisk vekt: $12 kg$ — siden Mira sannsynligvis veier under dette, bør Snorre kontakte veterinær.

LøsningsforslagKI-generert

Jeg starter med å finne ut hvor mye teobromin Mira har fått i seg.

200 g \cdot 1,2 \frac{mg}{g} = 240 mgteobromin

Så finner jeg hva som er den kritiske grensen. Hunder som har spist mer enn $20 mg$ teobromin per $kg$ kroppsvekt kan bli syke. Jeg kaller den kritiske kroppsvekten for $v$ , og setter opp en likning:

\frac{240 mg}{v} = 20 \frac{mg}{kg}

v = \frac{240 mg}{20 \frac{mg}{kg}} = 12 kg

Antakelse: Jeg antar at Mira er en vanlig familiehund og veier ca. $10 kg$ .

Siden Mira sannsynligvis veier mindre enn $12 kg$ , har hun fått mer enn den kritiske dosen teobromin.

Snorre bør kontakte veterinær.

Hvis Mira derimot hadde veid mer enn $12 kg$ , ville mengden teobromin vært under den kritiske grensen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

For å få 2 poeng må det gå klart fram hvilke antakelser, beregninger og vurderinger kandidaten har gjort.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Tallregning, Proporsjonalitet, Måleenheter
Kompetansemål: Utforske, beskrive og bruke omgrepa proporsjonalitet og omvend proporsjonalitet
Tolke og bruke samansette måleiningar i praktiske samanhengar og velje eigna måleining
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Rektangel innskrevet i trekant

Krever PC

Klassen til Maria og Marta arbeider med oppgaven nedenfor.

Martin og Maria diskuterer hvordan de skal komme i gang, og vurderer ulike strategier.

Ta utgangspunkt i samtalen mellom Martin og Maria, og løs oppgaven klassen har fått.

Fasit

$P = (3, 3)$ , maksimalt areal $= 18$

LøsningsforslagKI-generert

Steg 1: Finn likningen for linje BC

Maria sier at $y = 6 - x$ . Vi kan verifisere: linjen går gjennom $B (6, 0)$ og $C (0, 6)$ .

Stigningstall: $\frac{6 - 0}{0 - 6} = - 1$ , og skjæring med $y$ -aksen er $6$ , så

y = - x + 6

Dermed: Velger vi et punkt $P$ med $x$ -koordinat $x$ , blir $y$ -koordinaten $y = 6 - x$ .

Steg 2: Sett opp arealet

Rektangelet er symmetrisk om $y$ -aksen (trekanten er symmetrisk). Det betyr at:

Bredde $= 2 x$ (fra $- x$ til $x$ langs $x$ -aksen)
Høyde $= y = 6 - x$

Arealet blir:

A (x) = 2 x \cdot (6 - x) = 12 x - 2 x^{2}

Steg 3: Prøv deg fram (som Martin foreslår)

$x$	$y = 6 - x$	Bredde $= 2 x$	Areal $= 2 x \cdot y$
1	5	2	10
2	4	4	16
3	3	6	18
4	2	8	16
5	1	10	10

Tabellen viser at $x = 3$ gir størst areal.

Steg 4: Tegn grafen i GeoGebra

Vi setter inn $A (x) = 2 x (6 - x)$ i GeoGebra og ber programmet finne toppunktet:

Graf av A(x) = 2x(6-x) med toppunkt B = (3, 18)

GeoGebra finner toppunktet $B = (3, 18)$ , det vil si at $x = 3$ gir maksimalt areal.

Steg 5: Finn koordinatene til P

Når $x = 3$ :

y = 6 - 3 = 3

Koordinatene til $P$ er $(3, 3)$ , og det maksimale arealet er $A (3) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten ta utgangspunkt i samtalen mellom Martin og Maria og løse oppgaven riktig.

Samtalen dreier seg om å

bestemme arealet av rektangelet når $x$ og $y$ er kjent
lage en oversikt som viser ulike arealer for å finne et rektangel som kan være det største
forklare at $y = 6 - x$
sette opp et funksjonsuttrykk som viser arealet av rektangelet
tegne grafen til funksjonen
bruke funksjonen til å bestemme $x$ og $y$ slik at rektangelet blir størst mulig

En kandidat som viser høy måloppnåelse, får 5 eller 6 poeng. En kandidat som viser middels måloppnåelse, får 3 eller 4 poeng. En kandidat som viser lav måloppnåelse, kan få 1 eller 2 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Areal og omkrets, Lineær vekst, Optimering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Linjestykker og geometrisk vekst

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.

Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene i figuren. Lengden av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.

Figur med 16 linjestykker satt sammen

Kalkulator

Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene i figuren.

Oppsett for hånd

Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker i figuren. Hvor mange linjestykker må vi ha med i figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?

Oppsett for hånd

Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker i figuren fra 50 til 100?

Fasit

569,5 cm

22 linjestykker

0,52 %

Løsningsforslag

Lengden reduseres med 10 % per linjestykke og den begynner på 100 cm. Da blir lengden av linjestykke nummer $n$ :

L (n) = 100 \cdot {0,9}^{n - 1}

Jeg bruker et regneark til å legge sammen de 8 første linjestykkene.

Lengden av de 8 første linjestykkene

Lengden av de 8 første linjestykkene er 569,5 cm.

n = 1
L = 100
total = L

while total < 900:      # Kjører så lenge totalen er under 900 cm
    L = L * 0.9         # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L   # Legger til linjestykke på totallengden
    n = n + 1           # Teller hvor mange linjestykker

print("Etter", n, "linjestykker er lengden", round(total, 2), "cm.")

Output: Etter 22 linjestykker er lengden 901.52 cm.

Du må ha 22 linjestykker for at lengden skal bli minst 9 meter.

L = 100
total = L

for n in range(1, 101):
    if n == 50:            # Lagrer totallengden etter 50 figurer
        lengde_50 = total
    if n == 100:           # Lagrer totallengden etter 100 figurer
        lengde_100 = total
    L = L * 0.9            # Beregner nytt linjestykke
    total = total + L      # Legger til linjestykke på totallengden

prosent_endring = (lengde_100 - lengde_50) / (lengde_50) * 100

print(round(prosent_endring, 2))

Output: 0.52

Summen av lengdene øker med 0,52 % dersom vi øker antallet linjestykker fra 50 til 100.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Et delvis riktig program kan gi 1 poeng.

En kandidat som svarer riktig på spørsmålet, og viser hvordan svaret framkommer, får 1 poeng for dette.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 1P, 1T
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Geometrisk vekst, Rekker, Programmering
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Ellipse og Ramanujans formel

Nedenfor ser du en ellipse med sentrum i $S$ . Linjestykket $S A = a$ kalles den store halvaksen, og linjestykket $S B = b$ kalles den lille halvaksen.

Ellipse med stor halvakse a og liten halvakse b

Mari har tegnet en ellipse der $a = 3$ cm og $b = 2$ cm, ved hjelp av et digitalt verktøy. Hun har funnet at ellipsen har en omkrets på $15,865 c m$ .

Kalkulator

Bruk Ramanujans formel, og bestem $O$ når $a = 3$ og $b = 2$ . Sammenlikn med svaret Mari har funnet.

For hånd

Undersøk om Ramanujans formel gjelder i det spesialtilfellet at ellipsen er en sirkel.

Fasit

Mari har regnet riktig.

Ja, den gjelder.

Løsningsforslag

Vi beregner først $h$ med $a = 3$ og $b = 2$ :

h = {(\frac{a - b}{a + b})}^{2} = {(\frac{3 - 2}{3 + 2})}^{2} = {(\frac{1}{5})}^{2} = \frac{1^{2}}{5^{2}} = \frac{1}{25}

Så regner vi ut omkretsen $O$ ved hjelp av formelen (jeg bruker CAS i GeoGebra som kalkulator).

Beregning av omkrets med Ramanujans formel

Omkretsen er omtrent 15,9 cm. Det er samme svaret som Mari har funnet.

En sirkel har omkretsen $O_{sirkel} = π \cdot d$ , der $d$ er diameteren, eller $O_{sirkel} = 2 π r$ dersom vi bruker radius istedenfor diameter.

I en sirkel vil begge halvaksene være like lange, og begge vil være lik radius i sirkelen, formelen for $h$ blir derfor:

h = {(\frac{a - b}{a + b})}^{2} = {(\frac{r - r}{r + r})}^{2} = {(\frac{0}{2 r})}^{2} = 0

Vi setter inn $a = b = r$ og $h = 0$ Ramanujans formel:

O \approx π (r + r) (1 + \underset{Telleren blir 0}{\underset{⏟}{\frac{3 \cdot 0}{10 + \sqrt{4 - 3 \cdot 0}}}}) = π (r + r) \cdot 1 = π \cdot 2 r = 2 π r

Ramanujans formel gjelder for spesialtilfellet der ellipsen er en sirkel.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som setter inn i formelen og gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Formler, Geometri
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Racerbil og fartsgraf

For hånd

Grafen nedenfor viser hvordan farten til en racerbil har variert gjennom en runde av et billøp.

Graf over fart gjennom en runde av billøpet

Bilen har kjørt på en av banene nedenfor, og runden har startet ved den røde markeringen.

Seks mulige baner A–F

Hvilken bane har bilen kjørt på? Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

B

Løsningsforslag

Vi ser at farten av gått ned 3 ganger i løpet av runden. Det betyr løypa må ha hatt 3 svinger og vi kan utelukke alternativ A og D.

Vi ser videre at det går ganske kort tid før første sving, deretter lengre stykke til sving 2 og en nesten like lang stund til sving 3. Det er kun B, E og F som har kort avstand til første sving, så vi utelukker C.

Farten er lavest i sving 2, mens sving 3 tar lengre tid samtidig som farten ikke er veldig lav. Den eneste formen som passer til denne beskrivelsen er B.

Bilen har kjørt på bane B.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Riktig svar uten argumentasjon gir ingen uttelling. Riktig svar med en noe mangelfull argumentasjon, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Graftolkning
Kompetansemål: Tolke og bruke funksjonar i matematisk modellering og problemløysing
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1Tobias og daglig vannbehov

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Sosiale medier og prosentpoeng

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Ohms lov og proporsjonal sammenheng

Påstand 1: Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke.

Påstand 2: Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Sondres modell for hundeår

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Dennis bil og verdifall

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 35 poeng

Oppgave 2-1Modell for antall fiskere

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Sofie og prosentvis arealendring

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Pølser rundt jorda

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Snorre og Miras sjokolade

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Rektangel innskrevet i trekant

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Linjestykker og geometrisk vekst

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Ellipse og Ramanujans formel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Racerbil og fartsgraf

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 5 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1·Tobias og daglig vannbehov

Oppgave 1-2·Sosiale medier og prosentpoeng

Oppgave 1-3·Ohms lov og proporsjonal sammenheng

Påstand 1: Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke.

Påstand 2: Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.

Oppgave 1-4·Sondres modell for hundeår

Oppgave 1-5·Dennis bil og verdifall

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 35 poeng

Oppgave 2-1·Modell for antall fiskere

Oppgave 2-2·Sofie og prosentvis arealendring

Oppgave 2-3·Pølser rundt jorda

Oppgave 2-4·Snorre og Miras sjokolade

Oppgave 2-5·Rektangel innskrevet i trekant

Oppgave 2-6·Linjestykker og geometrisk vekst

Oppgave 2-7·Ellipse og Ramanujans formel

Oppgave 2-8·Racerbil og fartsgraf

Temaer

Oppgave 1-1Tobias og daglig vannbehov

Oppgave 1-2Sosiale medier og prosentpoeng

Oppgave 1-3Ohms lov og proporsjonal sammenheng

Oppgave 1-4Sondres modell for hundeår

Oppgave 1-5Dennis bil og verdifall

Oppgave 2-1Modell for antall fiskere

Oppgave 2-2Sofie og prosentvis arealendring

Oppgave 2-3Pølser rundt jorda

Oppgave 2-4Snorre og Miras sjokolade

Oppgave 2-5Rektangel innskrevet i trekant

Oppgave 2-6Linjestykker og geometrisk vekst

Oppgave 2-7Ellipse og Ramanujans formel

Oppgave 2-8Racerbil og fartsgraf