1P Høst 2023

Tobias veier 70 kg og trenger ca. 30 mL væske per kilogram kroppsvekt.

$$70 \cdot 30 \, \mathrm{mL} = 2100 \, \mathrm{mL} = 2{,}1 \, \mathrm{L}$$

Tobias bør drikke omtrent $\underline{\underline{2{,}1 \, \mathrm{L}}}$ vann i løpet av et døgn.

Del 1 – Samsvarer overskriften?

Overskriften sier «ni av ti», som betyr $\frac{9}{10} = 90 \,\%$.

Teksten sier $88 \,\%$.

$88 \,\%$ er ikke det samme som $90 \,\%$, så overskriften stemmer ikke nøyaktig. Men $88 \,\%$ er nær $90 \,\%$, og «ni av ti» er en enkel og lettfattelig formulering. Overskriften er altså en forenkling, men ikke grovt misvisende.

Del 2 – Hvor mange prosent tilsvarer 8 prosentpoeng?

For fem år siden brukte

$$100 \,\% - 8 \,\% = 88 \,\% - 8 \,\% = 80 \,\%$$

av nordmenn sosiale medier. (Vi trekker 8 prosentpoeng fra dagens $88 \,\%$.)

Økningen i antall prosentpoeng er $88 - 80 = 8$ prosentpoeng.

Vi beregner hvor mange prosent dette er av utgangspunktet:

$$\frac{8}{80} \cdot 100 = 10 \,\%$$

Økningen på 8 prosentpoeng tilsvarer en økning på $\underline{\underline{10 \,\%}}$.

Ohms lov kan skrives som formelen

$$I = \frac{U}{R}$$

der $I$ er strømmen, $U$ er spenningen og $R$ er motstanden.

Påstand 1: Hvis vi øker spenningen, vil strømmen også øke.

Ifølge Ohms lov er $I$ proporsjonal med $U$ (når $R$ er konstant). Det betyr at når spenningen $U$ øker, vil strømmen $I$ også øke.

Påstanden er sann.

Påstand 2: Hvis vi øker motstanden, vil strømmen også øke.

Ifølge Ohms lov er $I$ omvendt proporsjonal med $R$ (når $U$ er konstant). Det betyr at når motstanden $R$ øker, vil strømmen $I$ avta — ikke øke.

For eksempel: hvis motstanden dobles, halveres strømmen.

Påstanden er usann.

a)

Vi ser på kolonnen «Store hunder» i tabellen og ser på endringene fra $x = 2$ år og oppover:

Hundeår $x$	Menneskeår $H(x)$	Endring
2	24
3	30	$+6$
4	36	$+6$
5	42	$+6$
6	48	$+6$

Endringen er konstant lik $6$ for hvert hundeår. Dette betyr at stigningstallet i en lineær modell er $6$.

Vi bruker punktet $(2, 24)$ fra tabellen og stigningstallet $a = 6$:

$$H(x) = 6x + b$$

Vi setter inn $x = 2$ og $H(2) = 24$:

$$24 = 6 \cdot 2 + b$$ $$24 = 12 + b$$ $$b = 12$$

Slik kommer Sondre fram til $H(x) = 6x + 12$.

Modellen er gyldig for $x \geq 2$. Fra tabellen ser vi at alle de tre hundekategoriene har samme verdier frem til og med $x = 2$ år ($H = 24$). Først fra $x = 3$ begynner de å skille seg. Modellen beskriver den lineære veksten for store hunder, og denne lineariteten starter ved $x = 2$.

b)

For at en sammenheng skal være proporsjonal, må den gå gjennom origo. Det vil si at funksjonen må ha formen $y = k \cdot x$, der $k$ er en konstant.

Vi sjekker om $H(x) = 6x + 12$ er proporsjonal ved å sette inn $x = 0$:

$$H(0) = 6 \cdot 0 + 12 = 12$$

Siden $H(0) = 12 \neq 0$, går ikke grafen gjennom origo.

Påstanden til Sondre stemmer ikke. $H(x) = 6x + 12$ er en lineær funksjon, men ikke en proporsjonal sammenheng. En proporsjonal sammenheng ville for eksempel hatt formen $H(x) = k \cdot x$ for et tall $k$, men modellen har et konstantledd på $12$ som gjør at det ikke er proporsjonalitet.

Det første året faller bilen i verdi med $20 \,\%$. Det vil si at bilen beholder $100 \,\% - 20 \,\% = 80 \,\%$ av verdien. Vekstfaktoren er $0{,}80$.

Det andre året faller bilen i verdi med $14 \,\%$ av bruktprisen. Bilen beholder da $100 \,\% - 14 \,\% = 86 \,\%$ av verdien. Vekstfaktoren er $0{,}86$.

Vi multipliserer startverdien med begge vekstfaktorene for å finne verdien etter 2 år:

490\,000 \cdot 0{,}80 \cdot 0{,}86 = \textbf{337\,120 \, \mathrm{kr}}

Bilens verdi etter 2 år er $\underline{\underline{337\,120 \, \mathrm{kr}}}$.

Vi kaller det opprinnelige rektangelet for lengde $l$ og bredde $b$.

Arealet er $A = l \cdot b$.

Lengden øker med 10 %, så vekstfaktoren er $1{,}10$.

Bredden reduseres med 20 %, så vekstfaktoren er $0{,}80$.

Det nye arealet blir:

$$A_{\text{ny}} = \textcolor{seagreen}{1{,}10} \cdot l \cdot \textcolor{tomato}{0{,}80} \cdot b$$

Vi finner den samlede vekstfaktoren for arealet:

$$\textcolor{seagreen}{1{,}10} \cdot \textcolor{tomato}{0{,}80} = 0{,}88$$

En vekstfaktor på $0{,}88$ betyr at det nye arealet er $88 \,\%$ av det opprinnelige.

Prosentvis endring:

$$0{,}88 - 1 = -0{,}12 = -12 \,\%$$

Arealet minker med $\underline{\underline{12 \,\%}}$.

a)

Det er 365 dager i et år. Vi regner ut antall sekunder i ett år:

$$365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 = 31\,536\,000 \text{ sekunder}$$

Antall pølser per sekund blir:

$$\frac{500\,000\,000}{31\,536\,000} \approx 15{,}85$$

Vi spiser omtrent $\underline{\underline{16 \text{ pølser per sekund}}}$.

b)

Vi finner hvor mange prosent 13 millioner er av 500 millioner:

$$\frac{13}{500} \cdot 100 = \underline{\underline{2{,}6 \,\%}}$$

Vi spiser $\underline{\underline{2{,}6 \,\%}}$ av årets pølser den 17. mai.

c)

Vi beregner jordens omkrets ved ekvator. Omkretsen av en sirkel er $O = 2\pi r$, der $r = 6378 \, \mathrm{km}$:

$$O = 2 \cdot \pi \cdot 6378 \approx 40\,074 \, \mathrm{km}$$

To og en halv gang rundt jorda gir en total lengde på:

$$2{,}5 \cdot 40\,074 = 100\,185 \, \mathrm{km}$$

Vi gjør om til centimeter:

$$100\,185 \, \mathrm{km} = 100\,185\,000 \, \mathrm{m} = 10\,018\,500\,000 \, \mathrm{cm}$$

Gjennomsnittlig pølselengde:

$$\frac{10\,018\,500\,000}{500\,000\,000} \approx 20{,}04 \, \mathrm{cm}$$

NRK har regnet med at en pølse er omtrent $\underline{\underline{20 \, \mathrm{cm}}}$ lang.

Jeg starter med å finne ut hvor mye teobromin Mira har fått i seg.

$$200 \, \mathrm{g} \cdot 1{,}2 \, \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{g}} = 240 \, \mathrm{mg teobromin}$$

Så finner jeg hva som er den kritiske grensen. Hunder som har spist mer enn $20 \, \mathrm{mg}$ teobromin per $\mathrm{kg}$ kroppsvekt kan bli syke. Jeg kaller den kritiske kroppsvekten for $v$, og setter opp en likning:

$$\frac{240 \, \mathrm{mg}}{v} = 20 \, \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{kg}}$$ $$v = \frac{240 \, \mathrm{mg}}{20 \, \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{kg}}} = 12 \, \mathrm{kg}$$

Antakelse: Jeg antar at Mira er en vanlig familiehund og veier ca. $10 \, \mathrm{kg}$.

Siden Mira sannsynligvis veier mindre enn $12 \, \mathrm{kg}$, har hun fått mer enn den kritiske dosen teobromin.

Snorre bør kontakte veterinær.

Hvis Mira derimot hadde veid mer enn $12 \, \mathrm{kg}$, ville mengden teobromin vært under den kritiske grensen.

Steg 1: Finn likningen for linje BC

Maria sier at $y = 6 - x$. Vi kan verifisere: linjen går gjennom $B(6, 0)$ og $C(0, 6)$.

Stigningstall: $\dfrac{6 - 0}{0 - 6} = -1$, og skjæring med $y$-aksen er $6$, så

$$y = -x + 6$$

Dermed: Velger vi et punkt $P$ med $x$-koordinat $x$, blir $y$-koordinaten $y = 6 - x$.

Steg 2: Sett opp arealet

Rektangelet er symmetrisk om $y$-aksen (trekanten er symmetrisk). Det betyr at:

• Bredde $= 2x$ (fra $-x$ til $x$ langs $x$-aksen)
• Høyde $= y = 6 - x$

Arealet blir:

$$A(x) = 2x \cdot (6 - x) = 12x - 2x^2$$

Steg 3: Prøv deg fram (som Martin foreslår)

$x$	$y = 6 - x$	Bredde $= 2x$	Areal $= 2x \cdot y$
1	5	2	10
2	4	4	16
3	3	6	18
4	2	8	16
5	1	10	10

Tabellen viser at $x = 3$ gir størst areal.

Steg 4: Tegn grafen i GeoGebra

Vi setter inn $A(x) = 2x(6-x)$ i GeoGebra og ber programmet finne toppunktet:

GeoGebra finner toppunktet $B = (3, 18)$, det vil si at $x = 3$ gir maksimalt areal.

Steg 5: Finn koordinatene til P

Når $x = 3$:

$$y = 6 - 3 = 3$$

Koordinatene til $P$ er $(3, 3)$, og det maksimale arealet er $A(3) = 2 \cdot 3 \cdot 3 = \underline{\underline{18}}$.