1P Vår 2023

Eksempel: pris og antall bokser brus.

La $n$ være antall bokser brus og $y$ være den totale prisen i kroner. Én boks koster $15 \, \mathrm{kr}$, så

Begrunnelse for proporsjonalitet: Forholdet mellom pris og antall er alltid det samme:

Siden forholdet $\frac{y}{n}$ er konstant (= 15) for alle verdier av $n$, er $y$ og $n$ proporsjonale størrelser.

Graf: Grafen er en rett linje gjennom origo med stigning 15.

Grafen går gjennom punktene $(1, 15)$, $(2, 30)$, $(3, 45)$ og $(4, 60)$, og starter i origo $(0, 0)$.

Eksempel: fart og tid på en strekning på 60 km.

La $x$ være farten i $\mathrm{km/h}$ og $y$ være tiden i timer. Da gjelder

Begrunnelse for omvendt proporsjonalitet: Produktet av fart og tid er alltid det samme:

Siden produktet $x \cdot y$ er konstant (= 60) for alle verdier av $x$, er $x$ og $y$ omvendt proporsjonale størrelser.

Graf: Grafen er en hyperbel som nærmer seg begge aksene, men aldri krysser dem.

Grafen går gjennom punktene $(20, 3)$, $(30, 2)$, $(60, 1)$ og $(120; 0{,}5)$. Kurven faller bratt når farten er lav, og flater ut når farten øker.

Vi regner ut stigningen ved hjelp av to punkter fra tabellen. Vi bruker punktene $(4, 100)$ og $(10, 142)$:

Stigningen er $7$, som betyr at Klara vokser $7 \, \mathrm{cm}$ per år.

Vi bruker punkt-stigningstall-formen og setter inn punktet $(4, 100)$ for å finne konstantleddet $b$:

Vi sjekker at modellen stemmer med de andre verdiene i tabellen:

• $H(5) = 7 \cdot 5 + 72 = 35 + 72 = 107$ ✓
• $H(8) = 7 \cdot 8 + 72 = 56 + 72 = 128$ ✓
• $H(10) = 7 \cdot 10 + 72 = 70 + 72 = 142$ ✓

Modellen er:

der $x$ er alderen i år og $H(x)$ er høyden i cm.

Vi setter $x = 19$ inn i modellen:

Ifølge modellen vil Klara være $205 \, \mathrm{cm}$ høy når hun fyller 19 år. Det er svært høyt og lite realistisk — de fleste jenter er ferdigvokst rundt 16–17 år.

Ifølge oppgaven var Klara $50 \, \mathrm{cm}$ høy da hun ble født, det vil si ved $x = 0$.

Vi sjekker hva modellen gir for $x = 0$:

Modellen gir $72 \, \mathrm{cm}$ ved fødselen, men den faktiske fødselshøyden var $50 \, \mathrm{cm}$. Det er et avvik på $22 \, \mathrm{cm}$.

Vi kan også finne hvilken alder modellen gir høyden $50 \, \mathrm{cm}$:

En negativ alder gir ingen mening.

Modellen stemmer ikke for nyfødte eller små barn, og vil heller ikke stemme for voksne (man vokser ikke $7 \, \mathrm{cm}$ i året hele livet). Gyldighetsområdet er omtrent $4 \leq x \leq 14$ år, det vil si aldersspennet tabellen dekker.

Tyngden til sekken leses av på $x$-aksen (vekt i kg). Vi ser etter punktet som ligger lengst til høyre i koordinatsystemet.

Sekk D har størst $x$-verdi og er derfor tyngst.

Prisen til sekken leses av på $y$-aksen (pris i kroner). Vi ser etter punkter som ligger på samme høyde (samme $y$-verdi).

Sekk A og sekk C ligger på samme høyde i koordinatsystemet og koster derfor like mye.

Kiloprisen (pris per kg) bestemmes av forholdet mellom pris og vekt, altså $\frac{\text{pris}}{\text{vekt}}$. Jo lavere dette forholdet er, desto billigere er potetene per kilogram.

Sekk B og sekk C koster omtrent like mye, men sekk C er klart tyngre enn sekk B (større $x$-verdi). Da blir kiloprisen for sekk C lavere:

Det lønner seg å kjøpe sekk C, siden den er tyngre men koster omtrent det samme som sekk B — kiloprisen er altså lavere.

Like kilopris betyr at forholdet $\frac{\text{pris}}{\text{vekt}}$ er likt for de to sekkene. Geometrisk betyr dette at de to punktene ligger på den samme rette linjen gjennom origo: jo brattere linja er, desto høyere er kiloprisen.

Vi tegner tenkte linjer fra origo gjennom hvert punkt og ser hvilke to punkter som havner på samme linje.

Fra grafen ser vi at sekk A og sekk F ligger på den samme rette linja gjennom origo — sekk A er liten og forholdsvis billig, sekk F er tyngre og dyrere, men forholdet pris/vekt er det samme.

Sekk A og sekk F har samme kilopris.

Vi teller Non Stop i hver figur:

Mønsteret er at hver K har 4 flere Non Stop enn den forrige. Vi kan beskrive dette som $K_n = K_{n-1} + 4$ der $K_1 = 10$, eller med en eksplisitt formel $K_n = 4n + 6$.

Derfor er:

Vi starter med nonstop_figur = 10 (antall Non Stop i $K_1$) og nonstop_totalt = 10. I løkken skriver vi ut verdiene for figuren, og oppdaterer deretter til neste figur ved å legge til 4.

nonstop_figur = 10
nonstop_totalt = 10
print("Figurnummer     Non Stop i figur     Non Stop totalt")
for figurnummer in range(1, 21):
    print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")
    nonstop_figur = nonstop_figur + 4
    nonstop_totalt = nonstop_totalt + nonstop_figur

Programmet skriver ut:

Figurnummer     Non Stop i figur     Non Stop totalt
1			10			10
2			14			24
3			18			42
4			22			64
5			26			90
6			30			120
7			34			154
8			38			192
9			42			234
10			46			280
11			50			330
12			54			384
13			58			442
14			62			504
15			66			570
16			70			640
17			74			714
18			78			792
19			82			874
20			86			960

Fra utskriften til programmet leser vi av at totalen for de 20 første K-ene er $\underline{\underline{960}}$ Non Stop.

Vi kan også beregne dette med formelen $K_n = 4n + 6$:

Vi setter opp en formel for totalt antall Non Stop etter $n$ K-er:

Vi prøver systematisk:

$S(29) = 1914 \leq 2000$, men $S(30) = 2040 > 2000$.

Kari kan lage $\underline{\underline{29}}$ K-er med 2000 Non Stop.

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker eksponentiell regresjon med kommandoen RegEksp.

La $x$ = antall år etter 2015 og $y$ = salg i tusen liter.

Datapunktene er plottet som røde punkter i grafen under. GeoGebra gir regresjonsmodellen

Kurven passer godt med datapunktene fra 2015 til 2021 (se grafen).

• $a \approx 17\,396$ er modellens verdi for $E(0)$, det vil si estimert salg i 2015: ca. $17\,400$ tusen liter. (Det faktiske salget i 2015 var $18\,899$ tusen liter — $a$ er altså et estimat, ikke den eksakte verdien.)

• $b \approx 1{,}248$ er vekstfaktoren. Det betyr at salget ifølge modellen øker med ca. $24{,}8 \,\%$ per år.

Vi beregner faktisk prosentvis økning fra 2021 til 2022:

Den faktiske veksten fra 2021 til 2022 var altså ca. $7{,}5 \,\%$.

Modellen vår anslår en vekst på ca. $24{,}8 \,\%$ per år. Det er langt mer enn den faktiske veksten på $7{,}5 \,\%$.

Vi kan også sammenligne modellens spådom for 2022 ($x = 7$) med det faktiske salget:

Faktisk salg i 2022 var $73\,109$ tusen liter (det grønne punktet P2022 i grafen). Modellen overestimerer altså salget i 2022 med ca. 9 000 tusen liter.

Modellen passer dårlig for 2022. Veksten i salget har avtatt betydelig — fra rundt $25 \,\%$ per år (2015–2021) til bare $7{,}5 \,\%$ fra 2021 til 2022. Den eksponentielle modellen er best egnet for perioden den er basert på (2015–2021), men overestimerer kraftig når veksten bremser opp.