Ellipse og Ramanujans formel

Nedenfor ser du en ellipse med sentrum i $S$ . Linjestykket $SA = a$ kalles den store halvaksen, og linjestykket $SB = b$ kalles den lille halvaksen.

Ellipse med stor halvakse a og liten halvakse b

Mari har tegnet en ellipse der $a = 3$ cm og $b = 2$ cm, ved hjelp av et digitalt verktøy. Hun har funnet at ellipsen har en omkrets på $15{,}865 \mathrm{~cm}$ .

Bruk Ramanujans formel, og bestem $O$ når $a = 3$ og $b = 2$ . Sammenlikn med svaret Mari har funnet.

Undersøk om Ramanujans formel gjelder i det spesialtilfellet at ellipsen er en sirkel.

Fasit

Mari har regnet riktig.

Ja, den gjelder.

Løsningsforslag

Vi beregner først $h$ med $a=3$ og $b=2$ :

h = \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2= \left( \frac{3-2}{3+2} \right) ^{2}=\left( \frac{1}{5} \right) ^{2}=\frac{1^{2}}{5^{2}}=\frac{1}{25}

Så regner vi ut omkretsen $O$ ved hjelp av formelen (jeg bruker CAS i GeoGebra som kalkulator).

Beregning av omkrets med Ramanujans formel

Omkretsen er omtrent 15,9 cm. Det er samme svaret som Mari har funnet.

En sirkel har omkretsen $O_{\text{sirkel}}=\pi \cdot d$ , der $d$ er diameteren, eller $O_{\text{sirkel}}=2 \pi r$ dersom vi bruker radius istedenfor diameter.

I en sirkel vil begge halvaksene være like lange, og begge vil være lik radius i sirkelen, formelen for $h$ blir derfor:

h = \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2= \left( \frac{r-r}{r+r} \right) ^{2}=\left( \frac{0}{2r} \right) ^{2}=0

Vi setter inn $a=b=r$ og $h=0$ Ramanujans formel:

O \approx \pi \left( r+r \right) \left( 1+ \underbrace{ \frac{3 \cdot 0}{10 + \sqrt{ 4- 3 \cdot 0 }} }_{ \text{Telleren blir 0} } \right) = \pi (r+r) \cdot 1= \pi \cdot 2r = 2\pi r

Ramanujans formel gjelder for spesialtilfellet der ellipsen er en sirkel.

Sensorveiledning

En kandidat som setter inn i formelen og gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

4 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2023, del 2, oppgave 7
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: formler, geometri
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv