S2 Vår 2020

S2 Vår 2020 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler
1-1	Enkel derivasjon	KI
1-2	Likningssystem med tre ukjente	KI
1-3	Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke	KI
1-4	Polynom og ulikhet	KI
1-5	Tredjegradsfunksjon og vannstand	KI
1-6	Kostnadsfunksjon og tangent	KI
1-7	Gule drops i poser	KI
Del 2 2 timer med hjelpemidler
2-1	Fremskrittspartiet og hypotesetest	KI
2-2	Rottebestand og logistisk modell	KI
2-3	Overskuddsfunksjon og prisfunksjon	KI
2-4	Annuitetslån og serielån	KI

Oppgave 1-1 : Enkel derivasjon

Deriver funksjonene

$f(x) = x^3 + 3e^x$

$g(x) = \dfrac{\ln(2x)}{x^2}$

Fasit

$f'(x) = 3x^2 + 3e^x$

$g'(x) = \dfrac{1 - 2\ln(2x)}{x^3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd.

f(x) = x^3 + 3e^x

\underline{\underline{f'(x) = 3x^2 + 3e^x}}

Vi bruker kvotientregelen med $u = \ln(2x)$ og $v = x^2$ .

g(x) = \frac{\ln(2x)}{x^2}

Vi har $u' = \dfrac{1}{x}$ og $v' = 2x$ .

g'(x) = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} = \frac{\dfrac{1}{x} \cdot x^2 - \ln(2x) \cdot 2x}{x^4}

= \frac{x - 2x\ln(2x)}{x^4} = \frac{x(1 - 2\ln(2x))}{x^4}

\underline{\underline{g'(x) = \frac{1 - 2\ln(2x)}{x^3}}}

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: derivasjon, logaritmer, eksponentialfunksjoner
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-2 : Likningssystem med tre ukjente

Løs likningssystemet

6x - y + 3z = 12

5x + 3y + z = 11

3x + 2y + z = 10

Løs likningssystemet.

Fasit

$x = -1$ , $y = 3$ , $z = 7$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har likningssystemet

\text{I:} \quad 6x - y + 3z = 12

\text{II:} \quad 5x + 3y + z = 11

\text{III:} \quad 3x + 2y + z = 10

Vi trekker likning III fra likning II for å eliminere $z$ :

\text{II} - \text{III:} \quad 2x + y = 1 \quad \text{(IV)}

Vi ganger likning III med 3 og trekker fra likning I:

3 \cdot \text{III} - \text{I:} \quad 9x + 6y + 3z - 6x + y - 3z = 30 - 12

3x + 7y = 18 \quad \text{(V)}

Fra (IV) har vi $y = 1 - 2x$ . Vi setter inn i (V):

3x + 7(1 - 2x) = 18

3x + 7 - 14x = 18

-11x = 11

\underline{\underline{x = -1}}

Vi setter $x = -1$ inn i (IV):

2(-1) + y = 1 \implies \underline{\underline{y = 3}}

Vi setter $x = -1$ og $y = 3$ inn i likning III:

3(-1) + 2 \cdot 3 + z = 10 \implies -3 + 6 + z = 10 \implies \underline{\underline{z = 7}}

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: likningssystem

Oppgave 1-3 : Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke

Bestem summen av den aritmetiske rekken

-8 - 3 + 2 + 7 + \cdots + 987

Begrunn at den uendelige geometriske rekken nedenfor konvergerer, og bestem summen av rekken

80 - 20 + 5 - \frac{5}{4} + \cdots

Fasit

$s_{200} = 97\,900$

$s = 64$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har en aritmetisk rekke med $a_1 = -8$ og differanse $d = -3 - (-8) = 5$ .

Vi finner antall ledd $n$ :

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

987 = -8 + (n-1) \cdot 5

995 = (n-1) \cdot 5

n - 1 = 199 \implies n = 200

Vi bruker summeformelen:

s_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-8 + 987}{2} \cdot 200 = \frac{979}{2} \cdot 200

\underline{\underline{s_{200} = 97\,900}}

Vi har en geometrisk rekke med $a_1 = 80$ og kvotient

k = \frac{-20}{80} = -\frac{1}{4}

Siden $|k| = \dfrac{1}{4} < 1$ , konvergerer rekken.

Summen av en uendelig geometrisk rekke er

s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{80}{1 - \left(-\dfrac{1}{4}\right)} = \frac{80}{\dfrac{5}{4}} = 80 \cdot \frac{4}{5}

\underline{\underline{s = 64}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: rekker, uendelig rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-4 : Polynom og ulikhet

Et polynom $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7

Begrunn at $P(x)$ er delelig med $(x - 1)$ .

Løs ulikheten $P(x) \geq 0$ .

Forkort brøken

\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - 9x^2 + 15x - 7}

Fasit

$P(1) = 0$ , så $P(x)$ er delelig med $(x-1)$

$x \in \{1\} \cup [7, \to \rangle$

$\dfrac{1}{x - 7}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 1$ :

P(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 7 = 1 - 9 + 15 - 7 = 0

Siden $P(1) = 0$ , er $P(x)$ delelig med $(x - 1)$ ifølge faktorsettningen.

Vi utfører polynomdivisjon $P(x) : (x - 1)$ :

P(x) = (x - 1)(x^2 - 8x + 7)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)

Altså:

P(x) = (x - 1)^2(x - 7)

Vi løser ulikheten $P(x) \geq 0$ :

$(x - 1)^2 \geq 0$ for alle $x$ , så fortegnet til $P(x)$ bestemmes av $(x - 7)$ .

$(x-7) \geq 0$ når $x \geq 7$
Når $x = 1$ : $P(1) = 0$

\underline{\underline{x \in \{1\} \cup [7, \to \rangle}}

Vi kjenner igjen telleren som et fullstendig kvadrat:

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Fra oppgave b) har vi $P(x) = (x-1)^2(x-7)$ . Vi forkorter:

\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - 9x^2 + 15x - 7} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x - 7)} = \underline{\underline{\frac{1}{x - 7}}}

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-5 : Tredjegradsfunksjon og vannstand

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 7)

Vis at grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(5, -32)$ . Bestem eventuelle andre toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Vi skal nå studere vannstanden under en vårflom i en elv. Vannstanden er høyden (i meter) på vannet målt på en utplassert skala.

En modell $g$ for vannstanden er gitt ved

g(x) = -0{,}10 \cdot f(x), \quad D_g = [2, 6]

Her er $x$ antall dager etter at flommen startet.

Når var vannstanden på sitt høyeste, og hva var vannstanden da?

Når økte vannstanden mest, og hvor raskt økte den da?

Fasit

Bunnpunkt i $(5, -32)$ , toppunkt i $(1, 0)$

Skisse

Vannstanden var høyest etter 5 dager, med $g(5) = 3{,}2 \mathrm{~meter}$

Vannstanden økte mest etter 3 dager, med $1{,}2 \text{~meter per dag}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider $f(x) = (x-1)^2(x-7)$ :

f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x - 7) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7

Vi deriverer:

f'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x^2 - 6x + 5) = 3(x - 1)(x - 5)

Vi setter $f'(x) = 0$ :

3(x-1)(x-5) = 0 \implies x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 5

Vi bruker fortegnsskjema for $f'(x)$ :

$x$	$\leftarrow 1$	$1$	$1 \to 5$	$5$	$5 \to$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-32$	$\nearrow$

Vi ser at $f$ har toppunkt i $(1, 0)$ og bunnpunkt i $(5, -32)$ .

Vi kontrollerer: $f(5) = (5-1)^2(5-7) = 16 \cdot (-2) = -32$ ✓

Grafen til $f$ har:

Nullpunkter i $x = 1$ (dobbelt) og $x = 7$
Toppunkt i $(1, 0)$
Bunnpunkt i $(5, -32)$

Grafen starter negativt for $x < 1$ , tangerer $x$ -aksen i $x = 1$ , synker ned til bunnpunktet $(5, -32)$ , og krysser $x$ -aksen igjen i $x = 7$ .

Siden $g(x) = -0{,}10 \cdot f(x)$ , har $g$ maksimum der $f$ har minimum. Fra oppgave a) har $f$ minimum i $x = 5$ .

g(5) = -0{,}10 \cdot f(5) = -0{,}10 \cdot (-32) = 3{,}2

Vannstanden var på sitt høyeste etter $\underline{\underline{5 \mathrm{~dager}}}$ , og vannstanden var da $\underline{\underline{3{,}2 \mathrm{~meter}}}$ .

Vannstanden økte mest der $g'(x)$ er størst, altså i vendepunktet til $g$ der $g''(x) = 0$ .

g'(x) = -0{,}10 \cdot f'(x) = -0{,}10(3x^2 - 18x + 15)

g''(x) = -0{,}10(6x - 18)

Vi setter $g''(x) = 0$ :

6x - 18 = 0 \implies x = 3

Vi sjekker at $x = 3 \in [2, 6]$ ✓

g'(3) = -0{,}10(3 \cdot 9 - 18 \cdot 3 + 15) = -0{,}10(27 - 54 + 15) = -0{,}10 \cdot (-12) = 1{,}2

Vannstanden økte mest etter $\underline{\underline{3 \mathrm{~dager}}}$ , og den økte da med $\underline{\underline{1{,}2 \text{~meter per dag}}}$ .

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: funksjonsdrøfting, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-6 : Kostnadsfunksjon og tangent

For en bedrift koster det $K(x)$ kroner å produsere $x$ enheter av en vare per dag.

Enhetskostnaden er

E(x) = \frac{K(x)}{x}

Figuren nedenfor viser grafen til $K$ og tangenten til grafen i punktet $(100, 1200)$ .

Grafen til K og tangenten i (100, 1200)

Bruk figuren nedenfor til å bestemme $K'(100)$ og $E(100)$ .

Vis at den deriverte av enhetskostnaden kan skrives som

E'(x) = \frac{K'(x) - E(x)}{x}

Bestem $E'(100)$ . Hva forteller dette tallet oss?

Fasit

$K'(100) = 5$ og $E(100) = 12$

Vis ved derivasjon av $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$

$E'(100) = -0{,}07$

LøsningsforslagKI-generert

Enhetskostnaden er

E(100) = \frac{K(100)}{100} = \frac{1200}{100} = \underline{\underline{12}}

Grensekostnaden $K'(100)$ er stigningstallet til tangenten i $(100, 1200)$ . Vi leser av figuren at tangenten skjærer $y$ -aksen i omtrent $y = 700$ . Stigningstallet blir

K'(100) = \frac{1200 - 700}{100 - 0} = \underline{\underline{5}}

Vi deriverer $E(x) = \dfrac{K(x)}{x}$ med kvotientregelen:

E'(x) = \frac{K'(x) \cdot x - K(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{K'(x) \cdot x - K(x)}{x^2}

Vi deler teller og nevner med $x$ :

E'(x) = \frac{K'(x) - \dfrac{K(x)}{x}}{x} = \frac{K'(x) - E(x)}{x}

Vi setter inn verdiene fra oppgave a):

E'(100) = \frac{K'(100) - E(100)}{100} = \frac{5 - 12}{100} = \underline{\underline{-0{,}07}}

Dette betyr at enhetskostnaden synker med omtrent $0{,}07$ kr per enhet når produksjonen økes fra 100 enheter. Grensekostnaden ( $K'(100) = 5$ ) er lavere enn enhetskostnaden ( $E(100) = 12$ ), så det lønner seg å produsere flere enheter.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: enhetskostnad, derivasjon, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Oppgave 1-7 : Gule drops i poser

En bedrift produserer drops. 20 % av dropsene er gule, og resten er røde. Dropsene blir tilfeldig fordelt i poser. Det er 100 drops i hver pose.

La $X$ være antall gule drops i en tilfeldig valgt pose.

Vi kan anta at $X$ er en binomisk fordelt variabel.

Vis at $\text{E}(X) = 20$ og $\text{Var}(X) = 16$ .

I resten av oppgaven går vi ut fra at $X$ er tilnærmet normalfordelt.

Bestem sannsynligheten for at det er 25 eller flere gule drops i en tilfeldig valgt pose.

Lag en skisse som viser sannsynlighetsfordelingen til $X$ . Skraver området som illustrerer svaret i oppgave b).

Bestem $a$ slik at $P(20 - a \leq X \leq 20 + a) = 0{,}90$ . Hva forteller intervallet $[20 - a, 20 + a]$ oss i denne situasjonen?

Fasit

$\text{E}(X) = 20$ , $\text{Var}(X) = 16$

$P(X \geq 25) \approx 0{,}1303$

Skisse

$a \approx 6{,}58$

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = 0{,}20$ .

\text{E}(X) = n \cdot p = 100 \cdot 0{,}20 = \underline{\underline{20}}

\text{Var}(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 100 \cdot 0{,}20 \cdot 0{,}80 = \underline{\underline{16}}

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 20$ og $\sigma = \sqrt{16} = 4$ .

Vi bruker halvkorreksjon og finner $P(X \geq 24{,}5)$ :

z = \frac{24{,}5 - 20}{4} = 1{,}125

P(X \geq 25) \approx P(Z \geq 1{,}125) = 1 - \Phi(1{,}125) \approx \underline{\underline{0{,}1303}}

(Den eksakte binomiske sannsynligheten er $0{,}1314$ .)

Vi tegner en normalfordelingskurve med $\mu = 20$ og $\sigma = 4$ . Området til høyre for $x = 24{,}5$ skraveres. Dette området representerer $P(X \geq 25)$ .

Vi skal finne $a$ slik at $P(20 - a \leq X \leq 20 + a) = 0{,}90$ .

Siden $X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 20$ og $\sigma = 4$ , standardiserer vi:

P\left(\frac{-a}{4} \leq Z \leq \frac{a}{4}\right) = 0{,}90

Symmetrien gir:

P\left(Z \leq \frac{a}{4}\right) = 0{,}95

Vi slår opp i normalfordelingstabellen og finner $z_{0{,}95} = 1{,}6449$ .

\frac{a}{4} = 1{,}6449 \implies \underline{\underline{a \approx 6{,}58}}

Intervallet $[20 - 6{,}58, \; 20 + 6{,}58] = [13{,}42, \; 26{,}58]$ forteller oss at det er 90 % sannsynlighet for at en tilfeldig valgt pose inneholder mellom ca. 13 og 27 gule drops.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: binomisk, normalfordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene

Oppgave 2-1 : Fremskrittspartiet og hypotesetest

Ved stortingsvalget i september 2017 fikk Fremskrittspartiet 15,2 % av stemmene. Vi lar $X$ være antall personer som stemte Fremskrittspartiet blant 1500 tilfeldig valgte personer som stemte ved forrige stortingsvalg.

Vi kan betrakte $X$ som en binomisk fordelt variabel.

Bestem $P(X \geq 240)$ .

En avis hadde mistanke om at oppslutningen til Fremskrittspartiet hadde gått ned. I april 2020 ble 1500 tilfeldig valgte personer som stemte ved forrige stortingsvalg, spurt hvilket parti de ville ha stemt på om det hadde vært valg i dag.

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som kan brukes for å teste avisens mistanke.

Det viste seg at 13,8 % av de spurte ville ha stemt på Fremskrittspartiet.

Gjennomfør hypotesetesten. Bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å si at Fremskrittspartiet har fått mindre oppslutning. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$P(X \geq 240) \approx 0{,}2033$

$H_0\colon p = 0{,}152$ , $H_1\colon p < 0{,}152$

$P$ -verdi $\approx 0{,}069 > 0{,}05$ . Vi forkaster ikke $H_0$ .

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 1500$ og $p = 0{,}152$ .

Vi bruker normalapproksimasjon:

\mu = np = 1500 \cdot 0{,}152 = 228

\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{1500 \cdot 0{,}152 \cdot 0{,}848} \approx 13{,}90

Med halvkorreksjon:

P(X \geq 240) \approx P\left(Z \geq \frac{239{,}5 - 228}{13{,}90}\right) = P(Z \geq 0{,}83) \approx \underline{\underline{0{,}2033}}

Avisen har mistanke om at oppslutningen har gått ned. Vi tester:

H_0\colon p = 0{,}152

H_1\colon p < 0{,}152

Vi har $n = 1500$ og observert andel $\hat{p} = 0{,}138$ , altså $x = 0{,}138 \cdot 1500 = 207$ personer.

Vi beregner $P$ -verdien under $H_0$ ( $p = 0{,}152$ ):

P\text{-verdi} = P(X \leq 207)

Med normalapproksimasjon:

z = \frac{207 - 228}{13{,}90} \approx -1{,}51

P\text{-verdi} = \Phi(-1{,}51) \approx 0{,}066

Siden $P$ -verdien $\approx 0{,}066 > 0{,}05$ , forkaster vi ikke $H_0$ på 5 % signifikansnivå.

Vi har ikke tilstrekkelig grunnlag for å si at oppslutningen til Fremskrittspartiet har gått ned.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: binomisk, hypotesetest
Kompetansemål: Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet

Oppgave 2-2 : Rottebestand og logistisk modell

I 2019 registrerte forskere antall rotter i en bypark noen dager i perioden fra og med 31. mai til og med 20. juli. Se tabellen.

Antall dager etter 31. mai	0	10	20	30	40	50
Antall rotter	6	15	37	72	104	126

La $t$ være antall dager etter 31. mai, og bruk regresjon til å bestemme en logistisk modell $g$ for antall rotter i parken.

Modellen $f$ gitt ved

f(t) = \frac{120}{1 + 19 \cdot e^{-0{,}12t}}

viser hvor mange rotter det var i den samme parken $t$ dager etter 31. mai i 2018.

Når økte antall rotter raskest, ifølge modellen $f$ ? Hvor raskt økte rottebestanden da?

I en annen park ble det i 2019 registrert 20 rotter den 31. mai. Anta at rottebestanden også i denne parken følger en logistisk modell. Anta videre at veksten i antall rotter var størst den 15. juli, og at bestanden stabiliserte seg på 200.

Hvor mange rotter var det i denne parken den 30. juli, ifølge disse antakelsene?

Fasit

$g(t) \approx \dfrac{140{,}3}{1 + 23{,}1 \cdot e^{-0{,}1056t}}$

Etter ca. 24,5 dager. Veksten var da ca. 3,6 rotter per dag.

Ca. 135 rotter

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker logistisk regresjon.

$t$	0	10	20	30	40	50
Antall	6	15	37	72	104	126

Vi tilpasser en logistisk modell $g(t) = \dfrac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}}$ .

Regresjonen gir

\underline{\underline{g(t) \approx \frac{140{,}3}{1 + 23{,}1 \cdot e^{-0{,}1056t}}}}

For en logistisk funksjon $f(t) = \dfrac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}}$ øker antallet raskest i vendepunktet, der $f(t) = \dfrac{C}{2}$ .

Vi bruker GeoGebra CAS til å finne vendepunktet til $f$ :

GeoGebra CAS: vendepunkt

Fra linje 2 ser vi at vendepunktet er i $(24{,}54, \; 60)$ .

Fra linje 3 ser vi at $f'(24{,}54) \approx 3{,}6$ .

Antall rotter økte raskest etter ca. $\underline{\underline{24{,}5 \mathrm{~dager}}}$ (rundt 25. juni).

Veksten var da ca. $\underline{\underline{3{,}6 \text{~rotter per dag}}}$ .

Vi skal finne en logistisk modell for den andre parken:

h(t) = \frac{C}{1 + a \cdot e^{-bt}}

Vi vet at:

$C = 200$ (bestanden stabiliserer seg på 200)
$h(0) = 20$ (20 rotter den 31. mai)
Veksten er størst 15. juli, som er dag $t = 45$

I vendepunktet er $h(t) = \dfrac{C}{2} = 100$ , og dette skjer ved $t = 45$ .

Fra $h(0) = 20$ :

\frac{200}{1 + a} = 20 \implies 1 + a = 10 \implies a = 9

Fra vendepunkt ved $t = 45$ :

a \cdot e^{-45b} = 1 \implies 9 \cdot e^{-45b} = 1 \implies e^{-45b} = \frac{1}{9}

b = \frac{\ln 9}{45} \approx 0{,}0488

Den 30. juli er dag $t = 60$ :

h(60) = \frac{200}{1 + 9 \cdot e^{-0{,}0488 \cdot 60}} = \frac{200}{1 + 9 \cdot e^{-2{,}929}}

= \frac{200}{1 + 9 \cdot 0{,}0535} = \frac{200}{1{,}482} \approx \underline{\underline{135 \mathrm{~rotter}}}

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: logistisk funksjon, regresjon, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Oppgave 2-3 : Overskuddsfunksjon og prisfunksjon

En bedrift produserer og selger en vare. Kostnaden $K$ i kroner ved å produsere og selge $x$ enheter av varen per dag, er gitt ved

K(x) = 0{,}03x^2 + 20x + 500, \quad 0 \leq x \leq 250

Inntekten $I$ i kroner dersom bedriften selger $x$ enheter per dag, er gitt ved

I(x) = -0{,}14x^2 + 74x, \quad 0 \leq x \leq 250

Tegn grafen til overskuddsfunksjonen.

Bestem hvor mange enheter bedriften må produsere og selge per dag for å få størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?

For en annen vare antar vi at salgsprisen i kroner per enhet ved produksjon av $x$ enheter er gitt på formen

p(x) = ax + b

Her er $a$ og $b$ to reelle tall.

Kostnadsfunksjonen for denne varen er $K$ som gitt ovenfor.

Bestem $a$ og $b$ slik at overskuddet er

størst ved produksjon og salg av 175 enheter
5625 kr ved produksjon av 175 enheter

Fasit

Se graf

Ca. $158{,}8$ enheter, overskudd ca. $3788 \mathrm{~kr}$

$a = -0{,}17$ og $b = 90$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddsfunksjonen er

O(x) = I(x) - K(x) = -0{,}14x^2 + 74x - 0{,}03x^2 - 20x - 500

O(x) = -0{,}17x^2 + 54x - 500

Graf over overskuddsfunksjonen

Vi finner maksimum ved å sette $O'(x) = 0$ :

GeoGebra CAS: overskuddsfunksjon

Fra linje 4 ser vi at $O'(x) = 0$ gir $x = \dfrac{2700}{17} \approx 158{,}8$ .

Fra linje 5 ser vi at $O\!\left(\dfrac{2700}{17}\right) = \dfrac{64\,400}{17} \approx 3788$ .

Bedriften må produsere og selge ca. $\underline{\underline{159 \mathrm{~enheter}}}$ per dag for størst overskudd. Overskuddet blir da ca. $\underline{\underline{3788 \mathrm{~kr}}}$ .

Inntekten med prisfunksjonen $p(x) = ax + b$ er

I(x) = x \cdot p(x) = ax^2 + bx

Overskuddet blir

O(x) = I(x) - K(x) = ax^2 + bx - 0{,}03x^2 - 20x - 500

O(x) = (a - 0{,}03)x^2 + (b - 20)x - 500

Krav 1: Størst overskudd ved $x = 175$ , altså $O'(175) = 0$ :

O'(x) = 2(a - 0{,}03)x + (b - 20)

O'(175) = 350(a - 0{,}03) + (b - 20) = 0

350a + b = 30{,}5 \quad \text{(I)}

Krav 2: $O(175) = 5625$ :

(a - 0{,}03) \cdot 175^2 + (b - 20) \cdot 175 - 500 = 5625

30625a - 918{,}75 + 175b - 3500 - 500 = 5625

30625a + 175b = 10543{,}75 \quad \text{(II)}

Fra (I): $b = 30{,}5 - 350a$ . Innsatt i (II):

30625a + 175(30{,}5 - 350a) = 10543{,}75

30625a + 5337{,}5 - 61250a = 10543{,}75

-30625a = 5206{,}25

\underline{\underline{a = -0{,}17}}

\underline{\underline{b = 30{,}5 - 350 \cdot (-0{,}17) = 90}}

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: optimering, derivasjon, økonomi
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 2-4 : Annuitetslån og serielån

Caroline skal kjøpe en leilighet og har skaffet et annuitetslån på 2 500 000 kr i en bank. Lånet skal betales tilbake med en nedbetalingstid på 30 år, én termin per år og en fast årlig rentesats på 2,7 %. Første innbetaling er om ett år.

Hvor mye må Caroline totalt betale til banken i løpet av hele låneperioden?

Rett etter innbetaling av det 10. terminbeløpet får Caroline banken til å gjøre lånet om til et serielån. Da gjenstår 20 årlige terminer før lånet er nedbetalt, den første om ett år. Rentesatsen er fortsatt 2,7 %.

Vis at de årlige avdragene på serielånet blir 93 820 kroner.

Bestem summen av de 20 terminbeløpene for serielånet.

Fasit

Ca. $3\,679\,560 \mathrm{~kr}$

Avdrag $\approx 93\,820 \mathrm{~kr}$

Ca. $2\,408\,372 \mathrm{~kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner terminbeløpet for annuitetslånet. Nåverdien av alle terminbeløp skal være lik lånebeløpet:

T \cdot \frac{1 - 1{,}027^{-30}}{0{,}027} = 2\,500\,000

Vi løser i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: annuitetslån

Fra linje 1 ser vi at terminbeløpet er $T \approx 122\,652 \mathrm{~kr}$ .

Totalt betaler Caroline

30 \cdot T = 30 \cdot 122\,652 \approx \underline{\underline{3\,679\,560 \mathrm{~kr}}}

Vi finner restgjelden etter 10 terminer (se linje 3 i CAS-utklippet):

R_{10} = 2\,500\,000 \cdot 1{,}027^{10} - T \cdot \frac{1{,}027^{10} - 1}{0{,}027} \approx 1\,876\,410 \mathrm{~kr}

Med serielån over 20 terminer blir de årlige avdragene

\text{Avdrag} = \frac{R_{10}}{20} = \frac{1\,876\,410}{20} \approx \underline{\underline{93\,820 \mathrm{~kr}}}

Terminbeløp nummer $k$ i serielånet er avdrag pluss renter på gjenstående gjeld:

T_k = 93\,820 + (1\,876\,410 - (k-1) \cdot 93\,820) \cdot 0{,}027

Vi bruker GeoGebra CAS til å summere:

GeoGebra CAS: serielån sum

Fra linje 3 ser vi at summen av de 20 terminbeløpene er

\sum_{k=1}^{20} T_k \approx \underline{\underline{2\,408\,372 \mathrm{~kr}}}

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: lån, rekker, økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Enkel derivasjon

Oppgave 1-2 : Likningssystem med tre ukjente

Oppgave 1-3 : Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-4 : Polynom og ulikhet

Oppgave 1-5 : Tredjegradsfunksjon og vannstand

Oppgave 1-6 : Kostnadsfunksjon og tangent

Oppgave 1-7 : Gule drops i poser

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Fremskrittspartiet og hypotesetest

Oppgave 2-2 : Rottebestand og logistisk modell

Oppgave 2-3 : Overskuddsfunksjon og prisfunksjon

Oppgave 2-4 : Annuitetslån og serielån