Aritmetisk sum og uendelig geometrisk rekke

Bestem summen av den aritmetiske rekken

-8 - 3 + 2 + 7 + \cdots + 987

Begrunn at den uendelige geometriske rekken nedenfor konvergerer, og bestem summen av rekken

80 - 20 + 5 - \frac{5}{4} + \cdots

Fasit

$s_{200} = 97\,900$

$s = 64$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har en aritmetisk rekke med $a_1 = -8$ og differanse $d = -3 - (-8) = 5$ .

Vi finner antall ledd $n$ :

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

987 = -8 + (n-1) \cdot 5

995 = (n-1) \cdot 5

n - 1 = 199 \implies n = 200

Vi bruker summeformelen:

s_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-8 + 987}{2} \cdot 200 = \frac{979}{2} \cdot 200

\underline{\underline{s_{200} = 97\,900}}

Vi har en geometrisk rekke med $a_1 = 80$ og kvotient

k = \frac{-20}{80} = -\frac{1}{4}

Siden $|k| = \dfrac{1}{4} < 1$ , konvergerer rekken.

Summen av en uendelig geometrisk rekke er

s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{80}{1 - \left(-\dfrac{1}{4}\right)} = \frac{80}{\dfrac{5}{4}} = 80 \cdot \frac{4}{5}

\underline{\underline{s = 64}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2020, del 1, oppgave 3
Poeng: 4
Temaer: rekker, uendelig rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker