S2 Høst 2020

S2 Høst 2020 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler
1-1	Derivasjon av sammensatte funksjoner	KI
1-2	Sum av aritmetisk rekke	KI
1-3	Geometrisk rekke og sparing	KI
1-4	Polynom med delelighetskriterium	KI
1-5	Tredjegradsfunksjon med vendetangent	KI
1-6	Enhetskostnad og grensekostnad	KI
1-7	Tomatfrø og normalfordeling	KI
1-8	Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter	KI
Del 2 2 timer med hjelpemidler
2-1	Netflix-inntekter og integral	KI
2-2	Etterspørselsfunksjon og prisreduksjon	KI
2-3	Levetid til temperaturfølere	KI
2-4	Virkestoff og halveringstid	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sammensatte funksjoner

Deriver funksjonene

$f(x) = 2e^x + 3\ln x$

$g(x) = x \cdot (2x + 5)^4$

$h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{e^{2x}}$

Fasit

$f'(x) = 2e^x + \dfrac{3}{x}$

$g'(x) = 5(2x+1)(2x+5)^3$

$h'(x) = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{e^{2x}}$

LøsningsforslagKI-generert

f(x) = 2e^x + 3\ln x

\underline{\underline{f'(x) = 2e^x + \frac{3}{x}}}

Vi bruker produktregelen med $u = x$ og $v = (2x+5)^4$ .

u' = 1, \quad v' = 4(2x+5)^3 \cdot 2 = 8(2x+5)^3

g'(x) = 1 \cdot (2x+5)^4 + x \cdot 8(2x+5)^3

= (2x+5)^3\big[(2x+5) + 8x\big]

= (2x+5)^3(10x + 5)

\underline{\underline{g'(x) = 5(2x+1)(2x+5)^3}}

Vi bruker kvotientregelen med $u = x^2 - 1$ og $v = e^{2x}$ .

u' = 2x, \quad v' = 2e^{2x}

h'(x) = \frac{2x \cdot e^{2x} - (x^2-1) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2}

= \frac{2e^{2x}\big[x - (x^2-1)\big]}{e^{4x}} = \frac{2(-x^2 + x + 1)}{e^{2x}}

\underline{\underline{h'(x) = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{e^{2x}}}}

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: derivasjon, eksponentialfunksjoner, logaritmer
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-2 : Sum av aritmetisk rekke

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å bestemme

-7 - 3 + 1 + 5 + \ldots + 389

Bestem summen.

Fasit

$s_{100} = 19\,100$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har en aritmetisk rekke med $a_1 = -7$ og differanse $d = -3 - (-7) = 4$ .

Vi finner antall ledd $n$ :

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

389 = -7 + (n-1) \cdot 4

396 = (n-1) \cdot 4 \implies n - 1 = 99 \implies n = 100

Vi bruker summeformelen:

s_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-7 + 389}{2} \cdot 100 = \frac{382}{2} \cdot 100

\underline{\underline{s_{100} = 19\,100}}

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-3 : Geometrisk rekke og sparing

I en uendelig geometrisk rekke er $a_1 = \dfrac{3}{1{,}04}$ og $k = \dfrac{1}{1{,}04}$ .

Begrunn at rekken konvergerer, og bestem summen av rekken.

Frode har blitt bestefar. Han ønsker å gi barnebarnet Benjamin 10 000 kroner i gave hvert år i 20 år framover, første gang om ett år. Frode oppretter i den forbindelse en konto der han vil sette inn et engangsbeløp i dag som vil dekke alle de 20 framtidige utbetalingene. Kontoen har en fast årlig rentefot på 2,0 %.

Sett opp en rekke som du kan bruke til å regne ut hvor mye Frode må sette inn på kontoen sin i dag for å kunne gjennomføre de 20 utbetalingene. (Du behøver ikke å regne ut beløpet.)

Fasit

$s = 75$

$s = \displaystyle\sum_{i=1}^{20} \frac{10\,000}{1{,}02^i}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $a_1 = \dfrac{3}{1{,}04}$ og $k = \dfrac{1}{1{,}04}$ .

Siden $|k| = \dfrac{1}{1{,}04} \approx 0{,}962 < 1$ , konvergerer rekken.

Summen er

s = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{\dfrac{3}{1{,}04}}{1 - \dfrac{1}{1{,}04}} = \frac{\dfrac{3}{1{,}04}}{\dfrac{1{,}04 - 1}{1{,}04}} = \frac{\dfrac{3}{1{,}04}}{\dfrac{0{,}04}{1{,}04}} = \frac{3}{0{,}04}

\underline{\underline{s = 75}}

Frode setter inn et engangsbeløp $s$ i dag. Om $i$ år skal han betale ut 10 000 kr. Nåverdien av utbetalingen om $i$ år er

\frac{10\,000}{1{,}02^i}

Engangsbeløpet må dekke nåverdien av alle 20 utbetalingene:

\underline{\underline{s = \sum_{i=1}^{20} \frac{10\,000}{1{,}02^i} = \frac{10\,000}{1{,}02} + \frac{10\,000}{1{,}02^2} + \cdots + \frac{10\,000}{1{,}02^{20}}}}

Dette er en endelig geometrisk rekke med $a_1 = \dfrac{10\,000}{1{,}02}$ og $k = \dfrac{1}{1{,}02}$ .

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: rekker, uendelig rekke, økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 1-4 : Polynom med delelighetskriterium

Et polynom $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 12x - 16

Begrunn, uten å utføre polynomdivisjon, at $P(x)$ er delelig med $(x + 2)$ , men ikke med $(x - 2)$ .

Forkort brøken

\frac{x^3 - 12x - 16}{4x - 16}

Fasit

$P(-2) = 0$ , så $(x+2)$ er faktor. $P(2) = -32 \neq 0$ , så $(x-2)$ er ikke faktor.

$\dfrac{(x+2)^2}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker faktorsettningen. Et polynom $P(x)$ er delelig med $(x - a)$ hvis og bare hvis $P(a) = 0$ .

P(-2) = (-2)^3 - 12 \cdot (-2) - 16 = -8 + 24 - 16 = 0

Siden $P(-2) = 0$ , er $P(x)$ delelig med $(x + 2)$ .

P(2) = 2^3 - 12 \cdot 2 - 16 = 8 - 24 - 16 = -32 \neq 0

Siden $P(2) \neq 0$ , er $P(x)$ ikke delelig med $(x - 2)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $P(x) : (x + 2)$ :

x^3 - 12x - 16 = (x + 2)(x^2 - 2x - 8)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)

Altså: $P(x) = (x + 2)^2(x - 4)$ .

Vi forkorter brøken:

\frac{x^3 - 12x - 16}{4x - 16} = \frac{(x+2)^2(x-4)}{4(x-4)} = \underline{\underline{\frac{(x+2)^2}{4}}}

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-5 : Tredjegradsfunksjon med vendetangent

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 12x - 16

Bestem koordinatene til toppunktet og bunnpunktet på grafen til $f$ .

Bestem koordinatene til vendepunktet og en likning for vendetangenten til grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ sammen med vendetangenten.

Fasit

Toppunkt $(-2, 0)$ , bunnpunkt $(2, -32)$

Vendepunkt $(0, -16)$ , vendetangent $y = -12x - 16$

Skisse

LøsningsforslagKI-generert

f(x) = x^3 - 12x - 16

f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2)

Vi setter $f'(x) = 0$ :

x = -2 \quad \text{eller} \quad x = 2

Vi bruker andrederiverten til å klassifisere:

f''(x) = 6x

$f''(-2) = -12 < 0$ : toppunkt i $(-2, f(-2)) = (-2, 0)$
$f''(2) = 12 > 0$ : bunnpunkt i $(2, f(2)) = (2, -32)$

Vendepunktet er der $f''(x) = 0$ :

6x = 0 \implies x = 0

f(0) = 0 - 0 - 16 = -16

Vendepunktet er $(0, -16)$ .

Vendetangenten har stigningstall $f'(0)$ :

f'(0) = 3 \cdot 0 - 12 = -12

Likningen for vendetangenten:

y - (-16) = -12(x - 0) \implies \underline{\underline{y = -12x - 16}}

Grafen til $f$ har:

Nullpunkt i $x = -2$ (dobbelt, toppunkt) og $x = 4$
Toppunkt i $(-2, 0)$
Bunnpunkt i $(2, -32)$
Vendepunkt i $(0, -16)$

Vendetangenten $y = -12x - 16$ skjærer grafen i vendepunktet og har stigningstall $-12$ .

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: funksjonsdrøfting, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-6 : Enhetskostnad og grensekostnad

Kostnaden $K$ (i kroner) for en vare er gitt ved

K(x) = x^2 + 8x + 100

Her er $x$ antall produserte enheter av varen per dag.

Bestem et uttrykk for enhetskostnaden og et uttrykk for grensekostnaden.

Bestem den minste enhetskostnaden. Hva er produksjonsmengden da?

Fasit

$E(x) = x + 8 + \dfrac{100}{x}$ , $K'(x) = 2x + 8$

Minste enhetskostnad er $28 \mathrm{~kr}$ ved $x = 10$ enheter

LøsningsforslagKI-generert

Enhetskostnaden:

E(x) = \frac{K(x)}{x} = \frac{x^2 + 8x + 100}{x} = \underline{\underline{x + 8 + \frac{100}{x}}}

Grensekostnaden:

\underline{\underline{K'(x) = 2x + 8}}

Vi deriverer enhetskostnaden og setter lik null:

E'(x) = 1 - \frac{100}{x^2}

E'(x) = 0 \implies 1 = \frac{100}{x^2} \implies x^2 = 100 \implies x = 10

(Vi velger $x = 10$ siden $x > 0$ .)

Vi sjekker at dette er et minimum: $E''(x) = \dfrac{200}{x^3} > 0$ for $x > 0$ . ✓

E(10) = 10 + 8 + \frac{100}{10} = \underline{\underline{28 \mathrm{~kr}}}

Den minste enhetskostnaden er 28 kr ved produksjon av 10 enheter per dag.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: optimering, derivasjon, økonomi
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 1-7 : Tomatfrø og normalfordeling

Et gartneri selger poser med tomatfrø. La $X$ være antall tomatfrø i en tilfeldig valgt pose. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	6	7	8	9	10
$P(X = k)$	0,1	0,1	0,6	0,1	0,1

Bestem forventningsverdien $\text{E}(X)$ , og vis at standardavviket er $\text{SD}(X) = 1$ . Hva forteller $\text{E}(X)$ oss?

Eline ønsker å kjøpe 49 slike frøposer. Posene vil hun nummerere fra 1 til 49. La $X_i$ være antall frø i pose nummer $i$ . Vi antar at $X_i$ -ene er uavhengige av hverandre. Det totale antallet frø i de 49 posene er gitt ved den stokastiske variabelen

S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{49}

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt. Vis at $\text{E}(S) = 392$ og $\text{SD}(S) = 7{,}0$ .

Eline har et drivhus der hun har plass til 400 potter som hun vil plante frøene i.

Bestem sannsynligheten for at Eline får nok frø til alle pottene sine.

Fasit

$\text{E}(X) = 8$ , $\text{SD}(X) = 1$

$\text{E}(S) = 392$ , $\text{SD}(S) = 7{,}0$

$P(S \geq 400) \approx 0{,}1265$

LøsningsforslagKI-generert

\text{E}(X) = \sum k \cdot P(X = k) = 6 \cdot 0{,}1 + 7 \cdot 0{,}1 + 8 \cdot 0{,}6 + 9 \cdot 0{,}1 + 10 \cdot 0{,}1

= 0{,}6 + 0{,}7 + 4{,}8 + 0{,}9 + 1{,}0 = \underline{\underline{8}}

$\text{E}(X) = 8$ forteller oss at det i gjennomsnitt er 8 tomatfrø i en pose.

Vi beregner variansen:

\text{E}(X^2) = 6^2 \cdot 0{,}1 + 7^2 \cdot 0{,}1 + 8^2 \cdot 0{,}6 + 9^2 \cdot 0{,}1 + 10^2 \cdot 0{,}1

= 3{,}6 + 4{,}9 + 38{,}4 + 8{,}1 + 10{,}0 = 65

\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2 = 65 - 64 = 1

\underline{\underline{\text{SD}(X) = \sqrt{1} = 1}}

$S$ er summen av 49 uavhengige, identisk fordelte stokastiske variable. Ifølge sentralgrenseteoremet er $S$ tilnærmet normalfordelt når $n$ er tilstrekkelig stor. Med $n = 49$ er tilnærmingen god.

\text{E}(S) = 49 \cdot \text{E}(X) = 49 \cdot 8 = \underline{\underline{392}}

\text{Var}(S) = 49 \cdot \text{Var}(X) = 49 \cdot 1 = 49

\underline{\underline{\text{SD}(S) = \sqrt{49} = 7{,}0}}

Eline trenger minst 400 frø, så vi skal finne $P(S \geq 400)$ .

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 392$ og $\sigma = 7$ .

z = \frac{400 - 392}{7} = \frac{8}{7} \approx 1{,}14

P(S \geq 400) = 1 - \Phi(1{,}14) \approx 1 - 0{,}8735

\underline{\underline{P(S \geq 400) \approx 0{,}1265}}

Det er ca. 12,7 % sannsynlighet for at Eline får nok frø til alle 400 pottene.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: forventningsverdi, standardavvik, normalfordeling, sannsynlighet
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Forstå begrepene forventningsverdi, varians og standardavvik, og bruke disse størrelsene til å tolke stokastiske variabler

Oppgave 1-8 : Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \ln(x^2 - 2x)

Bestem definisjonsmengden til $f$ .

Bruk derivasjon til å vise at $f$ verken har ekstremalpunkter eller vendepunkter.

Fasit

$D_f = \langle \leftarrow, 0 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle$

$f'(x) = 0$ gir $x = 1$ , som ikke er i definisjonsmengden

LøsningsforslagKI-generert

Vi trenger $x^2 - 2x > 0$ , altså $x(x - 2) > 0$ .

Fortegnslinje for $x(x-2)$ :

$x$	$\leftarrow 0$	$0$	$0 \to 2$	$2$	$2 \to$
$x(x-2)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

\underline{\underline{D_f = \langle \leftarrow, 0 \rangle \cup \langle 2, \to \rangle}}

Vi deriverer med kjerneregelen:

f'(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x} = \frac{2(x-1)}{x(x-2)}

$f'(x) = 0$ gir $x = 1$ . Men $x = 1$ ligger ikke i definisjonsmengden (siden $1 \in \langle 0, 2 \rangle$ der $f$ ikke er definert). Dermed har $f$ ingen ekstremalpunkter.

Vi deriverer på nytt:

f'(x) = \frac{2(x-1)}{x^2-2x}

Med kvotientregelen:

f''(x) = \frac{2(x^2-2x) - 2(x-1)(2x-2)}{(x^2-2x)^2}

= \frac{2x^2-4x - 2(x-1) \cdot 2(x-1)}{(x^2-2x)^2} = \frac{2x^2-4x - 4(x-1)^2}{(x^2-2x)^2}

= \frac{2x^2-4x-4x^2+8x-4}{(x^2-2x)^2} = \frac{-2x^2+4x-4}{(x^2-2x)^2}

= \frac{-2(x^2-2x+2)}{(x^2-2x)^2}

Diskriminanten til $x^2-2x+2$ er $4 - 8 = -4 < 0$ , så telleren i $f''(x)$ er alltid $\neq 0$ for alle reelle $x$ . Dermed har $f$ heller ingen vendepunkter.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: derivasjon, logaritmer
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Oppgave 2-1 : Netflix-inntekter og integral

De årlige inntektene $I$ (i milliarder kroner) til selskapet Netflix er tilnærmet gitt ved

I(x) = 6{,}594 \cdot e^{0{,}234x}

Her er $x$ antall år etter 2005. Det vil si at $I(0)$ er inntektene i 2005, $I(1)$ er inntektene i 2006, og så videre.

Bruk funksjonen $I$ til å lage en grafisk framstilling av inntektene til Netflix for årene fra og med 2005 til og med 2030.

I hvilket år vil inntektene første gang øke med mer enn 160 milliarder kroner per år?

Bestem $\displaystyle\int_0^{15} I(x) \, \mathrm{d}x$ . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.

Fasit

Se graf

I 2025 ( $x \approx 19{,}8$ )

Ca. $914$ milliarder kroner

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $I(x) = 6{,}594 \cdot e^{0{,}234x}$ for $x \in [0, 25]$ (2005–2030):

Graf over Netflix-inntekter

Inntektene øker med mer enn 160 milliarder per år når $I'(x) > 160$ .

Vi løser $I'(x) = 160$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: Netflix

Fra linje 2 ser vi at $x \approx 19{,}84$ .

Siden $x = 19{,}84$ tilsvarer slutten av 2024, vil inntektene første gang øke med mer enn 160 milliarder per år i $\underline{\underline{2025}}$ (da $x = 20$ ).

Fra linje 3 i CAS-utklippet:

\int_0^{15} I(x) \, \mathrm{d}x \approx \underline{\underline{914 \text{~milliarder kroner}}}

Praktisk tolkning: Dette er de samlede inntektene til Netflix i perioden fra 2005 til 2020, altså over 15 år.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: eksponentialfunksjoner, integral, modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Oppgave 2-2 : Etterspørselsfunksjon og prisreduksjon

En bedrift produserer en vare. Etterspørselen $q$ per uke for denne varen er gitt ved

q(p) = 1400 \cdot e^{-0{,}024p}, \quad p \in [10, 100]

Her er $p$ prisen i kroner for én enhet av varen.

Bestem prisen per enhet når etterspørselen er 500 enheter per uke.

Maria, som er salgsansvarlig i bedriften, påstår at dersom prisen per enhet økes med 1 krone, vil etterspørselen gå ned med 2,4 %, uavhengig av hva prisen per enhet er i utgangspunktet.

Gjør beregninger, og avgjør om påstanden til Maria stemmer med modellen $q$ .

Bedriften ønsker å tømme lagerbeholdningen og vil derfor sette ned prisen på varen.

Hvor mange kroner må prisen per enhet settes ned for at etterspørselen skal dobles?

Fasit

$p \approx 42{,}9 \mathrm{~kr}$

Nedgangen er ca. $2{,}37 \,\%$ per krone, uavhengig av prisen. Påstanden stemmer tilnærmet.

Ca. $28{,}9 \mathrm{~kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser $q(p) = 500$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: etterspørsel

Fra linje 2: $p \approx 42{,}9$ .

Prisen per enhet er ca. $\underline{\underline{42{,}9 \mathrm{~kr}}}$ når etterspørselen er 500 enheter per uke.

Vi undersøker hva som skjer med etterspørselen når prisen økes med 1 krone:

\frac{q(p+1)}{q(p)} = \frac{1400 \cdot e^{-0{,}024(p+1)}}{1400 \cdot e^{-0{,}024p}} = e^{-0{,}024} \approx 0{,}9763

Nedgangen er

1 - e^{-0{,}024} \approx 1 - 0{,}9763 = 0{,}0237 = 2{,}37 \,\%

Nedgangen er ca. $2{,}37 \,\%$ , som er uavhengig av prisen $p$ . Påstanden til Maria stemmer tilnærmet — nedgangen er ca. $2{,}4 \,\%$ (mer presist $2{,}37 \,\%$ ), og den er uavhengig av utgangsprisen, slik Maria påstår.

Vi skal finne $d$ slik at $q(p - d) = 2 \cdot q(p)$ :

1400 \cdot e^{-0{,}024(p-d)} = 2 \cdot 1400 \cdot e^{-0{,}024p}

e^{-0{,}024p + 0{,}024d} = 2 \cdot e^{-0{,}024p}

e^{0{,}024d} = 2

0{,}024d = \ln 2

d = \frac{\ln 2}{0{,}024} \approx \underline{\underline{28{,}9 \mathrm{~kr}}}

Prisen per enhet må settes ned med ca. 28,9 kr for at etterspørselen skal dobles.

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: etterspørsel, eksponentialfunksjoner, økonomi
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Oppgave 2-3 : Levetid til temperaturfølere

En produsent leverer en bestemt type temperaturfølere. Vi lar $X$ være levetiden til en tilfeldig valgt temperaturføler av denne typen. Produsenten oppgir at $X$ er normalfordelt med forventningsverdi $\mu = 12$ år og standardavvik $\sigma = 1{,}5$ år.

Vis at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt temperaturføler har en levetid som er kortere enn 10 år, er $p \approx 0{,}0912$ .

Når produsenten bytter ut en defekt temperaturføler, noterer de hvor lang levetid den har hatt. Når produsenten gjennomfører en kvalitetskontroll av de defekte temperaturfølerne, plukker de tilfeldig ut 225 følere.

I en tilfeldig kvalitetskontroll lar vi $Y$ være antall enheter som har hatt en levetid som er kortere enn 10 år. Vi går ut fra at $Y$ er binomisk fordelt.

Bestem $P(Y \geq 21)$

Produsenten har mistanke om at levetiden til temperaturfølerne er kortere enn det de oppgir. De vil derfor gjennomføre en kvalitetskontroll.

Sett opp en hypotesetest som kan brukes i denne situasjonen.

I kvalitetskontrollen viser det seg at den gjennomsnittlige levetiden til de 225 temperaturfølerne var 11,78 år.

Utfør hypotesetesten, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for mistanken til produsenten. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.

Fasit

$P(X < 10) \approx 0{,}0912$

$P(Y \geq 21) \approx 0{,}49$

$H_0\colon \mu = 12$ , $H_1\colon \mu < 12$

$P$ -verdi $\approx 0{,}014 < 0{,}05$ . Vi forkaster $H_0$ .

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er normalfordelt med $\mu = 12$ og $\sigma = 1{,}5$ .

P(X < 10) = P\left(Z < \frac{10 - 12}{1{,}5}\right) = P(Z < -1{,}33) = \Phi(-1{,}33) \approx \underline{\underline{0{,}0912}}

$Y$ er binomisk fordelt med $n = 225$ og $p = 0{,}0912$ .

Vi bruker normalapproksimasjon:

\mu_Y = np = 225 \cdot 0{,}0912 = 20{,}52

\sigma_Y = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{225 \cdot 0{,}0912 \cdot 0{,}9088} \approx 4{,}32

Med halvkorreksjon:

P(Y \geq 21) \approx P\left(Z \geq \frac{20{,}5 - 20{,}52}{4{,}32}\right) = P(Z \geq -0{,}005) \approx \underline{\underline{0{,}50}}

Produsenten har mistanke om at levetiden er kortere enn oppgitt ( $\mu = 12$ ).

H_0\colon \mu = 12

H_1\colon \mu < 12

Vi tester med gjennomsnittlig levetid $\bar{X}$ fra utvalget. Under $H_0$ er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med $\mu_{\bar{X}} = 12$ og $\sigma_{\bar{X}} = \dfrac{1{,}5}{\sqrt{225}} = 0{,}1$ .

Den gjennomsnittlige levetiden i utvalget er $\bar{x} = 11{,}78$ år.

z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{11{,}78 - 12}{1{,}5 / \sqrt{225}} = \frac{-0{,}22}{0{,}1} = -2{,}20

P\text{-verdi} = \Phi(-2{,}20) \approx 0{,}014

Siden $P$ -verdien $\approx 0{,}014 < 0{,}05$ , forkaster vi $H_0$ på 5 % signifikansnivå.

Det er grunnlag for å si at levetiden til temperaturfølerne er kortere enn det produsenten oppgir.

Oppgavedata

Poeng: 7
Temaer: normalfordeling, binomisk, hypotesetest
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet

Oppgave 2-4 : Virkestoff og halveringstid

Marit har i mange år tatt medisiner. Hver dag tar hun én tablett som inneholder 20 mg av et virkestoff. I løpet av ett døgn bryter kroppen ned 25 % av virkestoffet i tabletten.

Vis at Marit har i underkant av 80 mg av virkestoffet i kroppen like etter at hun har tatt den daglige tabletten sin.

Det viser seg at Marit ikke tåler mer enn 60 mg av virkestoffet i kroppen. Hun må derfor få nye tabletter, som inneholder mindre av virkestoffet.

Hvor mye virkestoff kan det være i hver tablett for at Marit skal unngå å få mer enn 60 mg av virkestoffet i kroppen?

I en annen medisin har virkestoffet en halveringstid på 66 timer. Det vil si at det går 66 timer fra en bruker tar en tablett, til det kun er halvparten av virkestoffet fra tabletten igjen i kroppen.

En bruker har tatt én tablett med 10 mg av virkestoffet hver dag over en lang tidsperiode.

Hvor mye av virkestoffet vil brukeren ha i kroppen like etter at han har tatt den daglige tabletten sin?

Fasit

I underkant av $80 \mathrm{~mg}$

Høyst $15 \mathrm{~mg}$

Ca. $44{,}9 \mathrm{~mg}$

LøsningsforslagKI-generert

Kroppen bryter ned 25 % per døgn, så 75 % av virkestoffet blir igjen. Like etter at Marit har tatt tabletten dag $n$ , er mengden virkestoff $M_n$ .

Over lang tid stabiliserer mengden seg. Like etter at tabletten er tatt:

M = 20 + 20 \cdot 0{,}75 + 20 \cdot 0{,}75^2 + 20 \cdot 0{,}75^3 + \cdots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med $a_1 = 20$ og $k = 0{,}75$ .

GeoGebra CAS: virkestoff

Fra linje 1:

M = \frac{20}{1 - 0{,}75} = \frac{20}{0{,}25} = 80

Men dette er grenseverdien som aldri oppnås helt. Etter et endelig antall dager er mengden alltid litt under 80 mg. Altså har Marit i underkant av $\underline{\underline{80 \mathrm{~mg}}}$ av virkestoffet i kroppen.

Dersom hver tablett inneholder $d$ mg, blir den stabile mengden

M = \frac{d}{1 - 0{,}75} = 4d

Vi krever $4d \leq 60$ :

d \leq \frac{60}{4} = \underline{\underline{15 \mathrm{~mg}}}

Fra linje 2 i CAS-utklippet: $60 \cdot (1 - 0{,}75) = 15$ . ✓

Halveringstid 66 timer betyr at nedbrytningsfaktoren per døgn (24 timer) er

k = \left(\frac{1}{2}\right)^{24/66} \approx 0{,}7772

Fra linje 3 i CAS-utklippet: $k \approx 0{,}7772$ .

Den stabile mengden virkestoff like etter tablett-inntak er

M = \frac{10}{1 - k} = \frac{10}{1 - 0{,}7772}

Fra linje 4: $M \approx \underline{\underline{44{,}9 \mathrm{~mg}}}$

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: uendelig rekke, rekker, modellering
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sammensatte funksjoner

Oppgave 1-2 : Sum av aritmetisk rekke

Oppgave 1-3 : Geometrisk rekke og sparing

Oppgave 1-4 : Polynom med delelighetskriterium

Oppgave 1-5 : Tredjegradsfunksjon med vendetangent

Oppgave 1-6 : Enhetskostnad og grensekostnad

Oppgave 1-7 : Tomatfrø og normalfordeling

Oppgave 1-8 : Logaritmefunksjon uten ekstremalpunkter

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Netflix-inntekter og integral

Oppgave 2-2 : Etterspørselsfunksjon og prisreduksjon

Oppgave 2-3 : Levetid til temperaturfølere

Oppgave 2-4 : Virkestoff og halveringstid