S2 Høst 2021

Oppgave 1-1Derivasjon med eksponential og logaritme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x^{3} + e^{x}

g (x) = \ln (x^{3} + 1)

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + e^{x}$

$g^{'} (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1}$

LøsningsforslagKI-generert

f (x) = x^{3} + e^{x}

Vi deriverer ledd for ledd:

f^{'} (x) = 3 x^{2} + e^{x}

g (x) = \ln (x^{3} + 1)

Vi bruker kjerneregelen med ytre funksjon $\ln u$ og kjerne $u = x^{3} + 1$ :

g^{'} (x) = \frac{1}{x^{3} + 1} \cdot 3 x^{2} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Logaritmer
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Polynomdivisjon med ulikhet og eksponentiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomet $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 31 x - 28

Vis, uten å utføre polynomdivisjon, at $P (x)$ ikke er delelig med $(x - 1)$ .

Utfør polynomdivisjonen $P (x) : (x + 1)$ .

Løs ulikheten $P (x) \geq 0$ .

Løs likningen $e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 31 e^{x} - 28 = 0$ .

Fasit

$P (1) = - 60 \neq 0$

$P (x) : (x + 1) = x^{2} - 3 x - 28$

$x \in {- 4} \cup [7, \to ⟩$

$x = \ln 7$

LøsningsforslagKI-generert

Dersom $P (x)$ er delelig med $(x - 1)$ , må $P (1) = 0$ (faktorteoremet).

P (1) = 1 - 2 - 31 - 28 = - 60 \neq 0

Altså er $P (x)$ ikke delelig med $(x - 1)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen:

\begin{matrix} (x^{3} - 2 x^{2} - 31 x - 28 & ) : (x + 1) = x^{2} - 3 x - 28 \\ x^{3} + 1 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 3 x^{2} - 31 x - 28 \\ - 3 x^{2} - 3 x + 0 \\ - 28 x - 28 \\ - 28 x - 28 \\ 0 \end{matrix}

Altså $P (x) = (x + 1) (x^{2} - 3 x - 28)$ .

Vi faktoriserer $x^{2} - 3 x - 28$ :

x^{2} - 3 x - 28 = (x - 7) (x + 4)

Dermed er $P (x) = (x + 1) (x + 4) (x - 7)$ med nullpunkter $x = - 4$ , $x = - 1$ og $x = 7$ .

Fortegnslinje:

Fortegnslinje for P(x)

$P (x) \geq 0$ for $x = - 4$ , $x \in [- 4, - 1]$ … nei, la oss sjekke:

For $x = - 3$ : $P (- 3) = (- 3 + 1) (- 3 + 4) (- 3 - 7) = (- 2) (1) (- 10) = 20 > 0$ ✓

P (x) \geq 0 for x \in [- 4, - 1] \cup [7, \to ⟩

Vi setter $u = e^{x}$ i likningen $e^{3 x} - 2 e^{2 x} - 31 e^{x} - 28 = 0$ :

u^{3} - 2 u^{2} - 31 u - 28 = 0

Dette er $P (u) = 0$ , som fra oppgave b) og c) har løsningene $u = - 4$ , $u = - 1$ og $u = 7$ .

Siden $u = e^{x} > 0$ , er den eneste gyldige løsningen $u = 7$ :

e^{x} = 7 \Rightarrow x = \ln 7 \approx 1,95

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke med sumformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En aritmetisk rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ har sum $S_{n} = 2 n^{2} + n$ .

Bestem $a_{1}$ og $a_{10}$ .

Bestem en formel for $a_{n}$ uttrykt ved $n$ .

Bestem summen av rekken når $a_{n} = 399$ .

Fasit

$a_{1} = 3$ , $a_{10} = 39$

$a_{n} = 4 n - 1$

$S_{100} = 20 100$

LøsningsforslagKI-generert

a_{1} = S_{1} = 2 \cdot 1^{2} + 1 = 3

a_{10} = S_{10} - S_{9} = (2 \cdot 100 + 10) - (2 \cdot 81 + 9) = 210 - 171 = 39

For $n \geq 2$ :

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (2 n^{2} + n) - (2 {(n - 1)}^{2} + (n - 1))

= 2 n^{2} + n - 2 n^{2} + 4 n - 2 - n + 1 = 4 n - 1

Vi sjekker at formelen også gjelder for $n = 1$ : $a_{1} = 4 \cdot 1 - 1 = 3$ ✓

a_{n} = 4 n - 1

Vi finner $n$ når $a_{n} = 399$ :

4 n - 1 = 399 \Rightarrow n = 100

S_{100} = 2 \cdot 100^{2} + 100 = 20 000 + 100 = 20 100

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Grensekostnad og grenseinntekt bedrift

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når en bedrift produserer og selger $x$ enheter per dag, er grensekostnaden $K^{'}$ og grenseinntekten $I^{'}$ gitt ved

K^{'} (x) = 0,4 x + 500 og I^{'} (x) = - 0,3 x + 850

Bedriften produserer og selger 400 enheter per dag.

Avgjør om en økning i den daglige produksjonsmengden vil kunne gi et større overskudd for bedriften.

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge per dag for at overskuddet skal bli størst mulig?

Bedriftens daglige kostnader $K$ består av en fast del på 50 000 kroner og en variabel del som er avhengig av produksjonsmengden.

Hva er de daglige kostnadene ved produksjon av 400 enheter?

Fasit

Ja, en økning vil gi større overskudd

500 enheter

$282 000 k r$

LøsningsforslagKI-generert

Overskuddet øker når grenseinntekten er større enn grensekostnaden, altså når $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ .

Vi sjekker for $x = 400$ :

K^{'} (400) = 0,4 \cdot 400 + 500 = 660

I^{'} (400) = - 0,3 \cdot 400 + 850 = 730

Siden $I^{'} (400) = 730 > 660 = K^{'} (400)$ , vil en økning i produksjonsmengden gi større overskudd.

Overskuddet er størst når $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ :

- 0,3 x + 850 = 0,4 x + 500

350 = 0,7 x \Rightarrow x = 500

Vi sjekker at dette gir maksimum: For $x < 500$ er $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ (overskuddet øker), og for $x > 500$ er $I^{'} (x) < K^{'} (x)$ (overskuddet avtar). Altså er overskuddet størst ved 500 enheter.

Vi finner $K (x)$ ved å integrere grensekostnaden:

K (x) = \int K^{'} (x) d x = 0,2 x^{2} + 500 x + C

Den faste kostnaden er $C = 50 000$ , så

K (x) = 0,2 x^{2} + 500 x + 50 000

K (400) = 0,2 \cdot 160 000 + 500 \cdot 400 + 50 000 = 32 000 + 200 000 + 50 000 = 282 000 k r

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Økonomi, Integrasjon
Kompetansemål: Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Logaritmefunksjon ln x delt på x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{\ln x}{x}

Vis at $f^{'} (x) = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}$ .

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $f$ .

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = 3 - 6 e \cdot f (x)

Bestem eventuelle toppunkt og bunnpunkt på grafen til $g$ .

Fasit

Se løsningsforslag

Toppunkt $(e, e^{- 1})$

Bunnpunkt $(e, - 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ med kvotientregelen:

f^{'} (x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1 - \ln x}{x^{2}}

Vi setter $f^{'} (x) = 0$ :

\frac{1 - \ln x}{x^{2}} = 0 \Rightarrow 1 - \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e

Siden $x^{2} > 0$ for alle $x > 0$ , bestemmes fortegnet til $f^{'} (x)$ av telleren $1 - \ln x$ :

For $x < e$ : $\ln x < 1$ , så $f^{'} (x) > 0$ (voksende)
For $x > e$ : $\ln x > 1$ , så $f^{'} (x) < 0$ (avtagende)

$f$ skifter fra voksende til avtagende, altså har vi et toppunkt:

f (e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}

Toppunkt: (e, \frac{1}{e}) \approx (2,72, 0,37)

Det er ingen bunnpunkter.

g (x) = 3 - 6 e \cdot f (x) = 3 - \frac{6 e \cdot \ln x}{x}

Vi deriverer:

g^{'} (x) = - 6 e \cdot f^{'} (x) = - 6 e \cdot \frac{1 - \ln x}{x^{2}}

$g^{'} (x) = 0$ gir $1 - \ln x = 0$ , altså $x = e$ (samme som for $f$ ).

Fortegnsanalyse: Siden $- 6 e < 0$ , snur $g^{'}$ fortegnet sammenlignet med $f^{'}$ :

For $x < e$ : $g^{'} (x) < 0$ (avtagende)
For $x > e$ : $g^{'} (x) > 0$ (voksende)

$g$ skifter fra avtagende til voksende, altså har vi et bunnpunkt:

g (e) = 3 - 6 e \cdot \frac{1}{e} = 3 - 6 = - 3

Bunnpunkt: (e, - 3) \approx (2,72, - 3)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Logaritmer, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Vekten til poteter

Vi lar $X$ være vekten til en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen til Jostein. Vi antar at $X$ er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 200 gram og standardavvik 40 gram.

Jostein skal ta opp poteter. Han plukker en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen.

Bestem sannsynligheten for at poteten veier mellom 180 gram og 220 gram

Normalfordelingskurven til $X$ er grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{1}{40 \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{{(x - 200)}^{2}}{3200}}

Bestem $\int_{0}^{150} f (x) d x$ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Lag en skisse av grafen til $f$ . Bruk skissen til å visualisere resultatene fra oppgave a og oppgave b.

Jostein tar opp 500 tilfeldige poteter fra kjøkkenhagen.

Hvor mange av disse potetene kan han regne med at den veier minst 300 gram?

Fasit

0,383

0,106. Dette er sannsynligheten for å trekke opp en potet som veier mindre enn 150 gram.

–

3,1. Vi runder av til 3 poteter.

Løsningsforslag

$X$ er normalfordelt med $μ = 200$ og $σ = 40$ .

P (180 < X < 220) = P (\frac{180 - 200}{40} < Z < \frac{220 - 200}{40}) = P (- 0,5 < Z < 0,5)

= Φ (0,5) - Φ (- 0,5) = 0,6915 - 0,3085 = 0,383

\int_{0}^{150} f (x) d x = P (X \leq 150) = Φ (\frac{150 - 200}{40}) = Φ (- 1,25) \approx 0,106

Dette er sannsynligheten for at en tilfeldig potet fra kjøkkenhagen veier mindre enn 150 gram.

Normalfordelingskurven er symmetrisk om $μ = 200$ og klokkeformet.

Arealet mellom $x = 180$ og $x = 220$ (oppgave a) representerer $P (180 < X < 220) \approx 0,383$
Arealet til venstre for $x = 150$ (oppgave b) representerer $P (X \leq 150) \approx 0,106$

P (X \geq 300) = 1 - Φ (\frac{300 - 200}{40}) = 1 - Φ (2,5) = 1 - 0,9938 = 0,0062

Forventet antall poteter som veier minst 300 gram:

500 \cdot 0,0062 \approx 3,1 \approx 3 poteter

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet, Normalfordeling, Graftolkning, Areal under graf
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Timelønner for idrettstrener

Oppsett for hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Solveig jobber som trener for en idrettsklubb. Timelønnen avhenger av om hun jobber på dagtid, på kveldstid eller i helgene.

Tabellen gir en oversikt over hvor mye Solveig tjente de tre første månedene i 2021.

	Dag (timer)	Kveld (timer)	Helg (timer)	Lønn (kroner)
Januar	45	21	14	17 830
Februar	28	35	24	21 470
Mars	33	18	12	14 280

Bruk opplysningene til å bestemme timelønnen til Solveig når hun jobber på dagtid.

Fasit

Timelønn dagtid: $180 k r$

LøsningsforslagKI-generert

La $d$ , $k$ og $h$ være timelønnen for henholdsvis dag, kveld og helg.

Fra tabellen setter vi opp likningssystemet:

{\begin{matrix} 45 d + 21 k + 14 h = 17 830 & (januar) \\ 28 d + 35 k + 24 h = 21 470 & (februar) \\ 33 d + 18 k + 12 h = 14 280 & (mars) \end{matrix}

Vi løser i CAS:

CAS-løsning av likningssystemet

d = 180 k r

(Kveldstimelønn $k = 250 k r$ , helgetimelønn $h = 320 k r$ .)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Camillas aksjefond

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Camilla er 11 år. Da hun ble født, bestemte foreldrene seg for å gi henne 6000 kroner hver gang hun hadde bursdag. Pengene ble plassert i et aksjefond. Første beløp ble satt inn den dagen hun fylte 1 år. Dette fortsatte de med hvert år til og med det året hun ble 10 år. Aksjefondet ga en årlig gjennomsnittlig avkastning på 6 prosent.

Kalkulator

Hva var verdien på Camillas andel i aksjefondet dagen før hun fylte 11 år?

På elleveårsdagen økte de beløpet de satte inn i fondet til 12 000 kroner. Deretter vil de øke det årlige beløpet med 5 prosent hvert år, helt til og med den dagen Camilla fyller 20 år. Det vil si at de på tolvårsdagen vil sette inn 12 600 kroner, på trettenårsdagen vil de sette inn 13 230 kroner, og så videre.

Vi antar at avkastningen på aksjefondet fortsatt vil være 6 prosent per år.

Kalkulator

Hva vil verdien på Camillas andel i aksjefondet være like etter at det siste beløpet blir satt inn?

Fasit

$\approx 83 830 k r$

$\approx 335 972 k r$

LøsningsforslagKI-generert

Innskudd nummer $i$ (satt inn på $i$ -årsdagen) har vokst med rente i $(11 - i)$ år når vi måler «dagen før 11-årsdagen». Men verdien «dagen før 11-årsdagen» betyr at hvert innskudd har fått rente i hele år fra innskuddstidspunktet:

Innskudd 1 (1-årsdag) vokser i 10 år: $6000 \cdot {1,06}^{10}$
Innskudd 2 (2-årsdag) vokser i 9 år: $6000 \cdot {1,06}^{9}$
$⋮$
Innskudd 10 (10-årsdag) vokser i 1 år: $6000 \cdot {1,06}^{1}$

Totalverdien er en geometrisk rekke:

S = \sum_{i = 1}^{10} 6000 \cdot {1,06}^{i} = 6000 \cdot 1,06 \cdot \frac{{1,06}^{10} - 1}{1,06 - 1}

Vi beregner i CAS (se linje 1 i utklippet):

CAS-beregning av aksjefond

S \approx 83 830 k r

Verdien fra a) vokser i 9 nye år (fra 11- til 20-årsdag):

S_{a} \cdot {1,06}^{9} \approx 141 629 k r

I tillegg kommer nye innskudd fra 11-årsdagen til 20-årsdagen. Innskudd på $j$ -årsdagen er $12 000 \cdot {1,05}^{j - 11}$ og vokser med 6 % i $(20 - j)$ år:

S_{ny} = \sum_{j = 11}^{20} 12 000 \cdot {1,05}^{j - 11} \cdot {1,06}^{20 - j}

Fra CAS (linje 4): $S_{ny} \approx 194 344 k r$

Totalverdi:

S_{a} \cdot {1,06}^{9} + S_{ny} \approx 335 972 k r

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Sparing, Rekker, Økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Selvbetjeningskasse og hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en selvbetjeningskasse i en matbutikk blir i gjennomsnitt hver tiende kunde trukket tilfeldig ut til kontroll. Dette kan vi betrakte som et binomisk forsøk med $p = 0,1$ .

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at fem kunder etter hverandre ikke blir trukket ut til kontroll.

La $X$ være antall kunder som blir trukket ut til kontroll av de 200 første kundene som bruker selvbetjeningskassen en tilfeldig dag.

Kalkulator

Bestem forventningsverdien $E (X)$ og variansen $Var (X)$ .

Kalkulator

Bestem $P (X \geq 25)$ .

Ledelsen i butikkjeden har mistanke om at færre enn 10 prosent av kundene blir kontrollert.

Kalkulator

Sett opp hypoteser som de kan bruke til å avgjøre om mistanken er berettiget.

Ledelsen bestemmer seg for å undersøke hvor mange kunder som ble kontrollert en tilfeldig valgt dag. Det viser seg at 579 kunder brukte selvbetjeningskassen den dagen. Av disse ble 47 trukket ut til kontroll.

Kalkulator

Utfør hypotesetesten og avgjør om mistanken er berettiget. Bruk et signifikansnivå på 5 prosent.

Fasit

${0,9}^{5} \approx 0,590$

$E (X) = 20$ , $Var (X) = 18$

$P (X \geq 25) \approx 0,145$

Se løsningsforslag

Mistanken er ikke berettiget ( $p$ -verdi $\approx 0,066 > 0,05$ )

LøsningsforslagKI-generert

Sannsynligheten for at én kunde ikke blir kontrollert er $1 - 0,1 = 0,9$ .

For fem kunder etter hverandre:

P = {0,9}^{5} \approx 0,590

$X$ er binomisk fordelt med $n = 200$ og $p = 0,1$ .

E (X) = n p = 200 \cdot 0,1 = 20

Var (X) = n p (1 - p) = 200 \cdot 0,1 \cdot 0,9 = 18

Siden $n$ er stor, kan vi tilnærme $X$ med normalfordeling:

X \approx N (μ = 20, σ = \sqrt{18} \approx 4,24)

P (X \geq 25) \approx P (Z \geq \frac{24,5 - 20}{4,24}) = P (Z \geq 1,06) = 1 - Φ (1,06) \approx 0,145

(Vi bruker kontinuitetskorreksjon: $P (X \geq 25) = P (X > 24,5)$ .)

Ledelsen mistenker at andelen kontrollerte er lavere enn 10 %. Vi setter opp:

H_{0} : p = 0,1 (andelen er 10 %)

H_{1} : p < 0,1 (andelen er lavere enn 10 %)

Vi gjennomfører en venstresidig test med signifikansnivå $α = 0,05$ .

Vi har $n = 579$ og $\hat{p} = \frac{47}{579} \approx 0,0812$ .

Under $H_{0}$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 579$ og $p = 0,1$ . Vi tilnærmer med normalfordeling:

E (X) = 57,9 og SD (X) = \sqrt{579 \cdot 0,1 \cdot 0,9} \approx 7,22

Testobservator:

z = \frac{47 - 57,9}{7,22} \approx - 1,51

$p$ -verdi: $P (Z \leq - 1,51) = Φ (- 1,51) \approx 0,066$

Siden $p$ -verdien $0,066 > 0,05 = α$ , forkaster vi ikke $H_{0}$ .

$Konklusjon: Det er ikke grunnlag for å si at mistanken er berettiget.$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Binomisk fordeling, Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk
Kompetansemål: Argumentere for sentralgrensesetningen og utforske og tolke praktiske situasjoner ved hjelp av normalfordelingen
Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Virussmitte og logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et virus sprer seg i et land. Da virusutbruddet ble oppdaget, var allerede 1,5 prosent av befolkningen smittet. En forsker mente at dersom det ikke ble satt inn tiltak, ville 22 prosent av befolkningen ha blitt smittet etter 20 døgn og 44 prosent etter 30 døgn.

Andelen som har blitt smittet $t$ døgn etter at viruset ble oppdaget, kan modelleres med en funksjon $g$ på formen

g (t) = \frac{N}{1 + a \cdot e^{- k t}}

Oppsett for hånd

Bruk opplysningene ovenfor til å bestemme $N$ , $a$ og $k$ .

For hånd

Hvor stor andel av befolkningen ville blitt smittet ifølge denne modellen?

Det ble satt inn tiltak mot viruset den dagen utbruddet ble oppdaget. Vi kan gå ut fra at andelen nye registrerte smittede i løpet av døgn $t$ etter at utbruddet ble oppdaget, er gitt ved modellen

f (t) = 0,0070 \cdot e^{- \frac{{(t - 18)}^{2}}{300}}, t \geq 0

Kalkulator

Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem.

Kalkulator

Hvilket døgn vil smitten øke raskest ifølge modellen $f$ ?

Oppsett for hånd

Hvor stor andel av befolkningen blir smittet av dette viruset?

Fasit

$N = 0,60$ , $a = 39$ , $k \approx 0,156$

60 % av befolkningen

Se graf

Døgn 18

Omtrent 20 % av befolkningen

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker de tre opplysningene til å sette opp likninger.

$g (0) = 0,015$ :

\frac{N}{1 + a} = 0,015 \Rightarrow N = 0,015 (1 + a) (I)

$g (20) = 0,22$ :

\frac{N}{1 + a \cdot e^{- 20 k}} = 0,22 (II)

$g (30) = 0,44$ :

\frac{N}{1 + a \cdot e^{- 30 k}} = 0,44 (III)

Fra (II) og (III):

\frac{g (30)}{g (20)} = \frac{0,44}{0,22} = 2 \Rightarrow \frac{1 + a \cdot e^{- 20 k}}{1 + a \cdot e^{- 30 k}} = 2

1 + a \cdot e^{- 20 k} = 2 + 2 a \cdot e^{- 30 k}

La $u = e^{- 10 k}$ . Da:

a u^{2} - 2 a u^{3} = 1 \Rightarrow a u^{2} (1 - 2 u) = 1 (IV)

Fra (I) og (II): $0,015 (1 + a) = 0,22 (1 + a u^{2})$

Vi løser dette likningssystemet numerisk og får

N \approx 0,60, a \approx 39, k \approx 0,156

Når $t \to \infty$ , har vi $e^{- k t} \to 0$ , slik at

g (t) \to \frac{N}{1 + 0} = N = 0,60

$Ifølge modellen ville 60 % av befolkningen blitt smittet.$

Vi tegner grafen til $f$ i GeoGebra:

Graf av smittemodellen f

$f (t) = 0,0070 \cdot e^{- \frac{{(t - 18)}^{2}}{300}}$ er en Gauss-kurve med toppunkt i $t = 18$ .

Eksponenten $- \frac{{(t - 18)}^{2}}{300}$ er størst (dvs. lik 0) når $t = 18$ .

$Smitten øker raskest døgn 18.$

Den totale andelen av befolkningen som blir smittet er

\int_{0}^{\infty} f (t) d t = \int_{0}^{\infty} 0,0070 \cdot e^{- \frac{{(t - 18)}^{2}}{300}} d t

Vi beregner integralet numerisk:

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

f = lambda t: 0.007 * np.exp(-(t-18)**2 / 300)
result, _ = quad(f, 0, np.inf)
print(result)  # 0.1997

\int_{0}^{\infty} f (t) d t \approx 0,20

$Omtrent 20 % av befolkningen blir smittet.$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 9
Temaer: Logistisk funksjon, Modellering, Integrasjon, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 28 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon med eksponential og logaritme

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Polynomdivisjon med ulikhet og eksponentiallikning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke med sumformel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Grensekostnad og grenseinntekt bedrift

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Logaritmefunksjon ln x delt på x