Annuitetslån og serielån

Caroline skal kjøpe en leilighet og har skaffet et annuitetslån på 2 500 000 kr i en bank. Lånet skal betales tilbake med en nedbetalingstid på 30 år, én termin per år og en fast årlig rentesats på 2,7 %. Første innbetaling er om ett år.

Hvor mye må Caroline totalt betale til banken i løpet av hele låneperioden?

Rett etter innbetaling av det 10. terminbeløpet får Caroline banken til å gjøre lånet om til et serielån. Da gjenstår 20 årlige terminer før lånet er nedbetalt, den første om ett år. Rentesatsen er fortsatt 2,7 %.

Vis at de årlige avdragene på serielånet blir 93 820 kroner.

Bestem summen av de 20 terminbeløpene for serielånet.

Fasit

Ca. $3\,679\,560 \mathrm{~kr}$

Avdrag $\approx 93\,820 \mathrm{~kr}$

Ca. $2\,408\,372 \mathrm{~kr}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner terminbeløpet for annuitetslånet. Nåverdien av alle terminbeløp skal være lik lånebeløpet:

T \cdot \frac{1 - 1{,}027^{-30}}{0{,}027} = 2\,500\,000

Vi løser i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS: annuitetslån

Fra linje 1 ser vi at terminbeløpet er $T \approx 122\,652 \mathrm{~kr}$ .

Totalt betaler Caroline

30 \cdot T = 30 \cdot 122\,652 \approx \underline{\underline{3\,679\,560 \mathrm{~kr}}}

Vi finner restgjelden etter 10 terminer (se linje 3 i CAS-utklippet):

R_{10} = 2\,500\,000 \cdot 1{,}027^{10} - T \cdot \frac{1{,}027^{10} - 1}{0{,}027} \approx 1\,876\,410 \mathrm{~kr}

Med serielån over 20 terminer blir de årlige avdragene

\text{Avdrag} = \frac{R_{10}}{20} = \frac{1\,876\,410}{20} \approx \underline{\underline{93\,820 \mathrm{~kr}}}

Terminbeløp nummer $k$ i serielånet er avdrag pluss renter på gjenstående gjeld:

T_k = 93\,820 + (1\,876\,410 - (k-1) \cdot 93\,820) \cdot 0{,}027

Vi bruker GeoGebra CAS til å summere:

GeoGebra CAS: serielån sum

Fra linje 3 ser vi at summen av de 20 terminbeløpene er

\sum_{k=1}^{20} T_k \approx \underline{\underline{2\,408\,372 \mathrm{~kr}}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2020, del 2, oppgave 4
Poeng: 6
Temaer: lån, rekker, økonomi
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker