Tredjegradsfunksjon og vannstand

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x - 1)^2 \cdot (x - 7)

Vis at grafen til $f$ har et bunnpunkt i $(5, -32)$ . Bestem eventuelle andre toppunkter og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Vi skal nå studere vannstanden under en vårflom i en elv. Vannstanden er høyden (i meter) på vannet målt på en utplassert skala.

En modell $g$ for vannstanden er gitt ved

g(x) = -0{,}10 \cdot f(x), \quad D_g = [2, 6]

Her er $x$ antall dager etter at flommen startet.

Når var vannstanden på sitt høyeste, og hva var vannstanden da?

Når økte vannstanden mest, og hvor raskt økte den da?

Fasit

Bunnpunkt i $(5, -32)$ , toppunkt i $(1, 0)$

Skisse

Vannstanden var høyest etter 5 dager, med $g(5) = 3{,}2 \mathrm{~meter}$

Vannstanden økte mest etter 3 dager, med $1{,}2 \text{~meter per dag}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi utvider $f(x) = (x-1)^2(x-7)$ :

f(x) = (x^2 - 2x + 1)(x - 7) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7

Vi deriverer:

f'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x^2 - 6x + 5) = 3(x - 1)(x - 5)

Vi setter $f'(x) = 0$ :

3(x-1)(x-5) = 0 \implies x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 5

Vi bruker fortegnsskjema for $f'(x)$ :

$x$	$\leftarrow 1$	$1$	$1 \to 5$	$5$	$5 \to$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-32$	$\nearrow$

Vi ser at $f$ har toppunkt i $(1, 0)$ og bunnpunkt i $(5, -32)$ .

Vi kontrollerer: $f(5) = (5-1)^2(5-7) = 16 \cdot (-2) = -32$ ✓

Grafen til $f$ har:

Nullpunkter i $x = 1$ (dobbelt) og $x = 7$
Toppunkt i $(1, 0)$
Bunnpunkt i $(5, -32)$

Grafen starter negativt for $x < 1$ , tangerer $x$ -aksen i $x = 1$ , synker ned til bunnpunktet $(5, -32)$ , og krysser $x$ -aksen igjen i $x = 7$ .

Siden $g(x) = -0{,}10 \cdot f(x)$ , har $g$ maksimum der $f$ har minimum. Fra oppgave a) har $f$ minimum i $x = 5$ .

g(5) = -0{,}10 \cdot f(5) = -0{,}10 \cdot (-32) = 3{,}2

Vannstanden var på sitt høyeste etter $\underline{\underline{5 \mathrm{~dager}}}$ , og vannstanden var da $\underline{\underline{3{,}2 \mathrm{~meter}}}$ .

Vannstanden økte mest der $g'(x)$ er størst, altså i vendepunktet til $g$ der $g''(x) = 0$ .

g'(x) = -0{,}10 \cdot f'(x) = -0{,}10(3x^2 - 18x + 15)

g''(x) = -0{,}10(6x - 18)

Vi setter $g''(x) = 0$ :

6x - 18 = 0 \implies x = 3

Vi sjekker at $x = 3 \in [2, 6]$ ✓

g'(3) = -0{,}10(3 \cdot 9 - 18 \cdot 3 + 15) = -0{,}10(27 - 54 + 15) = -0{,}10 \cdot (-12) = 1{,}2

Vannstanden økte mest etter $\underline{\underline{3 \mathrm{~dager}}}$ , og den økte da med $\underline{\underline{1{,}2 \text{~meter per dag}}}$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2020, del 1, oppgave 5
Poeng: 8
Temaer: funksjonsdrøfting, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon