Polynom og ulikhet

Et polynom $P$ er gitt ved

P(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7

Begrunn at $P(x)$ er delelig med $(x - 1)$ .

Løs ulikheten $P(x) \geq 0$ .

Forkort brøken

\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - 9x^2 + 15x - 7}

Fasit

$P(1) = 0$ , så $P(x)$ er delelig med $(x-1)$

$x \in \{1\} \cup [7, \to \rangle$

$\dfrac{1}{x - 7}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 1$ :

P(1) = 1^3 - 9 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 7 = 1 - 9 + 15 - 7 = 0

Siden $P(1) = 0$ , er $P(x)$ delelig med $(x - 1)$ ifølge faktorsettningen.

Vi utfører polynomdivisjon $P(x) : (x - 1)$ :

P(x) = (x - 1)(x^2 - 8x + 7)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)

Altså:

P(x) = (x - 1)^2(x - 7)

Vi løser ulikheten $P(x) \geq 0$ :

$(x - 1)^2 \geq 0$ for alle $x$ , så fortegnet til $P(x)$ bestemmes av $(x - 7)$ .

\underline{\underline{x \in \{1\} \cup [7, \to \rangle}}

Vi kjenner igjen telleren som et fullstendig kvadrat:

x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

Fra oppgave b) har vi $P(x) = (x-1)^2(x-7)$ . Vi forkorter:

\frac{x^2 - 2x + 1}{x^3 - 9x^2 + 15x - 7} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2(x - 7)} = \underline{\underline{\frac{1}{x - 7}}}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2020, del 1, oppgave 4
Poeng: 5
Temaer: polynomdivisjon, faktorisering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon