S1 Høst 2023

Vi teller antall utfall der alle tre terningene viser forskjellig antall øyne.

• Første terning: 6 muligheter
• Andre terning: må vise noe annet enn første – 5 muligheter
• Tredje terning: må vise noe annet enn de to første – 4 muligheter

Antall gunstige utfall:

Sannsynligheten blir

Sannsynligheten for at alle terningene viser forskjellig antall øyne er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{5}{9}}\approx \mathrm{0,556}}}$.

Vi teller antall utfall der nøyaktig to terninger viser samme antall øyne (ett par og én ulik).

Plassering av paret: Vi velger hvilke to av de tre terningene som skal utgjøre paret. Det er

Verdi for paret: Paret kan vise et hvilket som helst antall øyne – 6 muligheter.

Verdi for den ulike: Den tredje terningen må vise noe annet enn paret – 5 muligheter.

Antall gunstige utfall:

Sannsynligheten blir

Sannsynligheten for at nøyaktig to av terningene viser samme antall øyne er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{5}{12}}\approx \mathrm{0,417}}}$.

Vi beregner inntekten. Fabrikken selger alle sofaene til 28 000 kr per sofa, så inntekten per måned er

Vi beregner overskuddet $O=I-K$ for hver verdi i tabellen:

Vi plotter de empiriske overskuddspunktene (blå) og kurven $O(x)=-\mathrm{0,041}{x}^2+11x-103$ (grønn) i GeoGebra:

Kurven ligger nær alle de sju punktene, så modellen passer godt.

Overskuddet $O(x)=-\mathrm{0,041}{x}^2+11x-103$ er en andregradsfunksjon som åpner nedover, og har derfor et globalt toppunkt. Vi finner toppunktet ved å derivere og sette den deriverte lik null:

Siden $x$ må være et heltall, sammenlignes $x=134$ og $x=135$:

$O(134)>O(135)$, så $x=134$ gir størst overskudd.

Størst månedlig overskudd oppnås ved å produsere $\underline{\underline{134\text{ sofaer}}}$, og overskuddet er da $\underline{\underline{634800\mathrm{kr}}}$.

Vi finner kostnadsfunksjonen fra del a). Siden $O(x)=I(x)-K(x)$, er

Med ny salgspris $p$ kr per sofa blir inntekten $I_{\text{ny}}(x)={\displaystyle \frac{p}{1000}}\cdot x$ (i tusen kr), og det nye overskuddet er

Dette er igjen en andregradsfunksjon som åpner nedover. Toppverdien til en funksjon $f(x)=-a{x}^2+bx+c$ er ${\displaystyle \frac{b^2}{4a}}+c$. Her er $a=\mathrm{0,041}$, $b={\displaystyle \frac{p}{1000}}-17$ og $c=-103$:

Vi setter maksimum lik 1000 (= 1 million kr) og løser for $p$ i GeoGebra CAS:

CAS gir to løsninger: $p\approx 3550$ og $p\approx 30450$. Løsningen $p\approx 3550$ er lavere enn 28 000 kr og forkastes (den svarer til et maksimum ved negativ produksjonsmengde, noe som ikke er fysisk meningsfullt). Den laveste salgsprisen som gir et maksimalt månedlig overskudd på 1 million kr er derfor

$\underline{\underline{p\approx 30450\mathrm{kr}}}$ per sofa.

La $X$ = antall venstrehendte gutter på skolen. $X$ er binomisk fordelt med $n=280$ og $p=\mathrm{0,10}$.

Begrunnelse: Det er 280 gutter (uavhengige forsøk), to mulige utfall (venstrehendt / ikke venstrehendt), og fast sannsynlighet $p=\mathrm{0,10}$ for hvert forsøk.

Vi ønsker $P(X\ge 25)$:

I GeoGebra CAS:

$P(X\ge 25)\approx \underline{\underline{\mathrm{0,7528}}}$

La $Y$ = antall venstrehendte gutter i en klasse med $n$ gutter. $Y$ er binomisk fordelt med $p=\mathrm{0,10}$.

Vi søker minste $n$ slik at $P(Y\ge 3)>\mathrm{0,20}$:

Vi prøver ulike verdier av $n$ i GeoGebra CAS med 1 - FordelingBinomial(n, 0.10, 2):

For $n=15$ er sannsynligheten $\mathrm{0,1841}<\mathrm{0,20}$, mens for $n=16$ er den $\mathrm{0,2108}>\mathrm{0,20}$.

Det må være minst $\underline{\underline{16\text{ gutter}}}$ i klassen.

La $G$ = antall venstrehendte gutter i klassen, og $J$ = antall venstrehendte jenter i klassen.

• $G$ er binomisk fordelt med $n=13$ og $p=\mathrm{0,10}$
• $J$ er binomisk fordelt med $n=17$ og $p=\mathrm{0,08}$
• $G$ og $J$ er uavhengige

Vi vil finne $P(G+J=3)$. Vi summerer over alle mulige fordeling av de 3 venstrehendte på gutter og jenter:

I GeoGebra CAS:

$P(G+J=3)\approx \underline{\underline{\mathrm{0,2309}}}$

Per sin konto vokser med vekstfaktor $\mathrm{1,03}$ per år. Etter 8 år skal han ha 30 000 kr:

Vi regner ut i CAS, se linje 1 i utklippet.

Per må sette inn $\underline{\underline{\approx 23682\mathrm{kr}}}$.

Dobbelttiden finner vi ved å løse ${\mathrm{1,03}}^t=2$ og ${\mathrm{1,06}}^t=2$:

Se linje 2 og 3 i CAS-utklippet. Forholdet mellom dobbelttidene er (linje 4):

Forholdet er ikke nøyaktig 2. For at det skulle vært nøyaktig 2, måtte $\ln \mathrm{1,06}=2\cdot \ln \mathrm{1,03}=\ln {\mathrm{1,03}}^2=\ln \mathrm{1,0609}$, men $\ln \mathrm{1,06}\ne \ln \mathrm{1,0609}$.

Påstanden er altså ikke riktig — dobbelttiden til Per er ca. $\mathrm{1,97}$ ganger dobbelttiden til Kåre, ikke nøyaktig 2 ganger.

La $K_0$ være beløpet hver setter inn. Samlet beløp etter $t$ år:

Vi deler på $K_0$:

Vi tegner $h(t)={\mathrm{1,03}}^t+{\mathrm{1,06}}^t$ og linjen $y=4$ i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

Fra grafen leser vi av at $h(t)=4$ når $t\approx \mathrm{15,2}$.

Det vil gå omtrent $\underline{\underline{\mathrm{15,2}\text{år}}}$ før de til sammen har dobbelt så mye.

Det er lettere å beregne komplementet — sannsynligheten for at alle fem terningene viser forskjellig antall øyne — og trekke fra 1.

Siden en terning har 6 mulige utfall og vi kaster 5 terninger, er det totale antallet utfall

Antall utfall der alle fem terningene er forskjellige: første terning kan vise hva som helst (6 muligheter), andre terning må vise noe annet enn første (5 muligheter), tredje noe annet enn de to første (4 muligheter), og så videre:

Sannsynligheten for at alle er forskjellige:

Sannsynligheten for at minst to er like:

Vi bruker programmering til å telle alle mulige utfall av fem terningkast og finne andelen der summen er større enn 20.

from itertools import product

# Generer alle mulige utfall av fem terninger (6^5 = 7776 utfall)
utfall = list(product(range(1, 7), repeat=5))

# b) Tell antall utfall der summen er større enn 20
antall = sum(1 for u in utfall if sum(u) > 20)
print(antall / len(utfall))   # ≈ 0,2215

Programmet gir ${\displaystyle \frac{1722}{7776}}$, så

Vi søker den største verdien av $k$ slik at $P(X\ge k)>\mathrm{0,8}$.

from itertools import product

utfall = list(product(range(1, 7), repeat=5))

# c) Finn største k slik at P(X >= k) > 0,8
for k in range(30, 4, -1):
    p = sum(1 for u in utfall if sum(u) >= k) / len(utfall)
    if p > 0.8:
        print(k)   # 14
        break

Programmet gir $k=14$. Vi kan kontrollere verdiene rundt:

$P(X\ge 14)\approx \mathrm{0,8480}>\mathrm{0,8}$, men $P(X\ge 15)\approx \mathrm{0,7785}<\mathrm{0,8}$.

Den største verdien av $k$ er $\underline{\underline{k=14}}$.

Setter $x=5$ og bruker hele arealbudsjettet ($A=120$):

Volumet blir:

For å maksimere volumet bruker vi hele arealbudsjettet ($A=120$). Løser $A=120$ for $h$:

Setter inn i volumformelen:

Bruker GeoGebra CAS til å derivere og løse $V^{\prime }(x)=0$:

Fra CAS-utklippet (linje 1–6):

$V^{\prime }(x)$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=2\sqrt{10}$, så dette er et maksimum.

Nå er $V=80\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$. Løser for $h$:

Setter inn i arealformelen:

Bruker GeoGebra CAS til å minimere $A(x)$ (linje 7–12 i utklippet):

$A^{\prime }(x)$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x=2\sqrt[3]{20}$, så dette er et minimum.