Påstander om tredjegradsfunksjon

La $f$ være en tredjegradsfunksjon.

Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

Påstand 1: Grafen til $f$ har minst ett ekstremalpunkt.

Påstand 2: Alle linjer på formen $y = ax + b$ , der $a, b \in \mathbb{R}$ , vil skjære grafen til $f$ .

Påstand 3: Dersom grafen til $f$ har et vendepunkt for $x = 3$ , er $f'(1) = f'(5)$ .

Fasit

Usann

Løsningsforslag

Jeg vet at funksjonen $f(x)=x^{3}$ kun har et terrassepunkt og ingen ekstremalpunkter. Jeg bruker derfor denne funksjonen som et moteksempel til påstanden og konkluderer med at påstanden er feil.

Påstanden er usann. $f$ trenger ikke ha ekstremalpunkter.

$f$ har et $x^{3}$ -ledd som vil stige eller synke kubisk mye raskere enn $y=ax+b$ . Det blir dermed umulig for den rette linja å «ikke bli tatt igjen» av $f$ .

Vi kan også bevise at disse vil skjære hverandre matematisk hvis vi lar $f(x)=cx^{3}+dx^{2}+mx +n$ .

cx^{3}+dx^{2}+mx +n = ax + b

cx^{3}+dx^{2}+(m+a)x + (n+b)=0

Den siste likningen er en vanlig tredjegradslikning. Disse har alltid en løsning (tredjegradsfunksjoner må alltid krysse $x$ -aksen minst en gang). Derfor må $y=ax+b$ skjære $f$ minst ett sted.

Påstanden er sann. $y=ax+b$ vil alltid skjære $f$ minst ett sted.

Vi har vendepunkter når $f''(x)=0$ . Vi prøver å dobbeltderivere $f$ og sette inn for $f''(3)=0$ .

\begin{aligned} f(x)&=cx^{3}+dx^{2}+mx +n \\ f'(x)&=3cx^{2}+2dx+m\\ f''(x)&=6cx + 2d \\ f''(3)&=0 \\ 6c \cdot 3+2d &= 0 \\ 18c + 2d &=0\\ d &= -9c \end{aligned}

Vi sjekker hva $f'(1)$ og $f'(5)$ er og prøver innsettingsmetoden med $d=-9c$ .

\begin{aligned} f'(1)&=3c \cdot 1 ^{2} + 2 d \cdot 1 + m \\ f'(1)&=3c + 2(-9c) + m \\ f'(1)&=3c-18c+m \\ f'(1)&=-15c +m \end{aligned}

\begin{aligned} f'(5)&=3c \cdot 5^{2}+2d \cdot 5+ m \\ f'(5)&=3c \cdot 25+2(-9c) \cdot 5+ m\\ f'(5)&=75c +10 \cdot(-9c) + m\\ f'(5)&=75c -90c + m\\ f'(5)&=-15c + m \end{aligned}

Påstanden stemmer. Når $f$ har vendepunkt i $x=3$ så er $f'(1)=f'(5)$ .

Sensorveiledning

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2023, del 2, oppgave 6
Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: funksjonsdrøfting, derivasjon, argumentasjon
Kompetansemål: Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer