Renter og dobbelttid

Per og Kåre setter inn like store beløp på hver sin konto. Per får en årlig rente på 3,00 prosent, mens Kåre får en årlig rente på 6,00 prosent.

Hvilket beløp må Per sette inn dersom han skal ha 30 000 kroner på kontoen etter 8 år?

Argumenter for at påstanden ikke er riktig.

Hvor lang tid vil det gå før Per og Kåre til sammen har dobbelt så mye penger som de satte inn på kontoene, dersom den årlige renten er henholdsvis 3,00 prosent og 6,00 prosent?

Fasit

$\approx 23\,682 \, \mathrm{kr}$

Forholdet er $\approx 1{,}97$ , ikke nøyaktig 2

$\approx 15{,}2 \, \mathrm{år}$

LøsningsforslagKI-generert

Per sin konto vokser med vekstfaktor $1{,}03$ per år. Etter 8 år skal han ha 30 000 kr:

K_0 \cdot 1{,}03^8 = 30\,000

K_0 = \frac{30\,000}{1{,}03^8}

Vi regner ut i CAS, se linje 1 i utklippet.

GeoGebra CAS: renter og dobbelttid

Per må sette inn $\underline{\underline{\approx 23\,682 \, \mathrm{kr}}}$ .

Dobbelttiden finner vi ved å løse $1{,}03^t = 2$ og $1{,}06^t = 2$ :

t_{\text{Per}} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}45 \, \text{år}

t_{\text{Kåre}} = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}06} \approx 11{,}90 \, \text{år}

Se linje 2 og 3 i CAS-utklippet. Forholdet mellom dobbelttidene er (linje 4):

\frac{t_{\text{Per}}}{t_{\text{Kåre}}} = \frac{\ln 1{,}06}{\ln 1{,}03} \approx 1{,}97

Forholdet er ikke nøyaktig 2. For at det skulle vært nøyaktig 2, måtte $\ln 1{,}06 = 2 \cdot \ln 1{,}03 = \ln 1{,}03^2 = \ln 1{,}0609$ , men $\ln 1{,}06 \neq \ln 1{,}0609$ .

Påstanden er altså ikke riktig — dobbelttiden til Per er ca. $1{,}97$ ganger dobbelttiden til Kåre, ikke nøyaktig 2 ganger.

La $K_0$ være beløpet hver setter inn. Samlet beløp etter $t$ år:

K_0 \cdot 1{,}03^t + K_0 \cdot 1{,}06^t = 2 \cdot 2K_0

Vi deler på $K_0$ :

1{,}03^t + 1{,}06^t = 4

Vi tegner $h(t) = 1{,}03^t + 1{,}06^t$ og linjen $y = 4$ i GeoGebra og finner skjæringspunktet:

Graf: h(t) = 1,03^t + 1,06^t og y = 4

Fra grafen leser vi av at $h(t) = 4$ når $t \approx 15{,}2$ .

Det vil gå omtrent $\underline{\underline{15{,}2 \, \text{år}}}$ før de til sammen har dobbelt så mye.

Sensorveiledning

2 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng.

2 poeng

En ufullstendig argumentasjon kan gi 1 poeng.

2 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng. Et konkret eksempel uten generalisering gir kun 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2023, del 2, oppgave 3
Poeng: 6
Temaer: geometrisk vekst, logaritmer, sparing
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk