S1 Vår 2022

Vi skriver om ved å bruke at $x^{-n}={\displaystyle \frac{1}{x^n}}$ og ${\left({\displaystyle \frac{p}{q}}\right)}^{-n}={\left({\displaystyle \frac{q}{p}}\right)}^n$:

Vi deriverer $E(x)=\mathrm{0,2}x+40+{\displaystyle \frac{20000}{x}}$ ledd for ledd:

Vi setter inn $x=100$:

$E^{\prime }(100)=\underline{\underline{-\mathrm{1,8}}}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{e}$

Tolkning: Grensekostnaden $E^{\prime }(100)=-\mathrm{1,8}$ betyr at dersom fabrikken øker produksjonen med én lue fra 100 til 101 luer, vil enhetskostnaden (kostnad per lue) synke med omtrent $\mathrm{1,80}\mathrm{kr}$. Den negative verdien forteller at det er lønnsomt å produsere litt mer enn 100 luer — stordriftsfordelene (fordeling av faste kostnader) veier tyngre enn den lille økningen i variable kostnader.

Vi setter inn $x=3$ i uttrykket og ser at vi får formen $\frac{0}{0}$:

Dette er en ubestemt form. Vi faktoriserer nevneren:

Nå kan vi forkorte den felles faktoren $(x-3)$ i teller og nevner (for $x\ne 3$):

Grenseverdien kan vi nå beregne direkte:

Vi setter $u=e^x$ (der $u>0$) og skriver om likningen:

Vi løser andregradslikningen:

Siden $u=e^x>0$ for alle $x$, forkaster vi $u_2=-1$.

Vi tilbakesubstituerer $u_1=2$:

Vi setter inn $x=7$ i likningen:

Vi bruker logaritmereglene til å slå sammen venstre side:

Siden $\lg$-funksjonen er injektiv, gir dette

a)

Programmet starter med å importere funksjonen randint(a, b), som gir et tilfeldig heltall fra og med $a$ til og med $b$.

Deretter settes to variabler:

• N = 1000000 — antall simuleringer (1 million kast)
• gunstige = 0 — en teller som starter på 0

Løkken for i in range(N) gjentar følgende 1 000 000 ganger:

1. a = randint(1, 6) — simulerer ett kast med en terning (tilfeldig heltall fra 1 til 6)
2. b = randint(1, 6) — simulerer ett kast til med en ny terning
3. if a + b == 9: — sjekker om summen av de to terningene er 9
4. gunstige = gunstige + 1 — hvis ja, økes telleren med 1

Til slutt skriver print(gunstige/N) ut andelen av kastene der summen ble 9.

Eleven ønsker å finne den relative frekvensen — altså en tilnærming til sannsynligheten for at summen av to terningkast er lik 9.

b)

Når to terninger kastes, er det totalt $6\cdot 6=36$ like sannsynlige utfall.

Vi finner alle kombinasjoner der summen er 9:

Terning 1	Terning 2	Sum
3	6	9
4	5	9
5	4	9
6	3	9

Det er 4 gunstige utfall.

$$P(\text{sum}=9)=\frac{4}{36}=\underline{\underline{{\displaystyle \frac{\mathrm{𝟏}}{\mathrm{𝟗}}}}}$$

Programmet vil etter mange simuleringer gi et resultat nær ${\displaystyle \frac{1}{9}}\approx \mathrm{0,111}$.

La $x$ være antall år etter 1969. Vi setter inn datapunktene fra tabellen:

$x$	0	20	30	40	51
$y$	154 977	99 382	68 539	47 688	38 633

a)

Vi prøver både lineær og eksponentiell regresjonsmodell i GeoGebra.

• Lineær modell: $r^2\approx \mathrm{0,892}$ — passer dårlig. Nedgangen er ikke jevn; den er størst tidlig og avtar over tid.
• Eksponentiell modell: $r^2\approx \mathrm{0,989}$ — passer godt. En eksponentiell modell forutsetter jevn prosentvis nedgang, noe som stemmer med at antall gårdsbruk halveres omtrent hvert 25. år gjennom hele perioden.

Vi velger den eksponentielle modellen:

$$g(x)=157256\cdot {\mathrm{0,97318}}^x$$

Vekstfaktoren $\mathrm{0,97318}$ tilsvarer en årlig nedgang på ca. $\mathrm{2,68}\%$.

b)

År 2060 svarer til $x=2060-1969=91$.

$$g(91)=157256\cdot {\mathrm{0,97318}}^{91}\approx 13249$$

Ifølge modellen vil det være ca. 13 249 gårdsbruk i Norge i 2060.

Vurdering: Fremskrivningen er 40 år inn i fremtiden, og modellen er basert på en trend fra 1969–2020. Antall gårdsbruk kan påvirkes av landbrukspolitikk, subsidier og strukturendringer som bryter med den historiske trenden. Svaret er derfor et grovt anslag med stor usikkerhet.

c)

Vi vil finne $t$ slik at nedgangen fra ett år til neste er 1000:

$$g(t)-g(t+1)=1000$$

Løser i CAS:

$$157256\cdot {\mathrm{0,97318}}^t-157256\cdot {\mathrm{0,97318}}^{t+1}=1000$$

CAS gir $t\approx \mathrm{52,94}$.

Dette tilsvarer år $1969+\mathrm{52,94}\approx 2022$.

I år 2022 vil antall gårdsbruk ifølge modellen avta med ca. 1000 fra ett år til neste.

a)

For at vi kan se på dette som et binomisk forsøk, må følgende forutsetninger gjelde:

• Det er et fast antall forsøk: $n=12$ elever.
• Hvert forsøk har to mulige utfall: bestått eller ikke bestått.
• Sannsynligheten for å bestå er den samme for alle elevene: $p=\mathrm{0,74}$.
• Forsøkene er uavhengige av hverandre – om én elev består, påvirker ikke sjansen for at en annen består.

b)

La $X$ være antallet elever som består. Vi antar $X\sim \text{Bin}(12,\mathrm{0,74})$.

Vi skal finne $P(X\ge 8)$:

$$P(X\ge 8)=\sum _{k=8}^{12}\left(\genfrac{}{}{0px}{}{12}{k}\right)\cdot {\mathrm{0,74}}^k\cdot {\mathrm{0,26}}^{12-k}$$

$$=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)+P(X=11)+P(X=12)$$

$$\approx \mathrm{0,2034}+\mathrm{0,2573}+\mathrm{0,2197}+\mathrm{0,1137}+\mathrm{0,0270}$$

$$\approx \mathrm{0,821}$$

Sannsynligheten for at minst 8 av de 12 elevene består er omtrent $\mathrm{0,821}$, altså ca. 82 %.

c)

Vi har to uavhengige grupper: 7 gutter og 5 jenter. La $G$ = antall gutter som består og $J$ = antall jenter som består.

$$G\sim \text{Bin}(7,\mathrm{0,74}),J\sim \text{Bin}(5,\mathrm{0,74})$$

Siden gruppene er uavhengige:

$$P(G=5\text{ og }J=4)=P(G=5)\cdot P(J=4)$$

$$P(G=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{7}{5}\right)\cdot {\mathrm{0,74}}^5\cdot {\mathrm{0,26}}^2\approx \mathrm{0,3150}$$

$$P(J=4)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{4}\right)\cdot {\mathrm{0,74}}^4\cdot {\mathrm{0,26}}^1\approx \mathrm{0,3898}$$

$$P(G=5\text{ og }J=4)\approx \mathrm{0,3150}\cdot \mathrm{0,3898}\approx \mathrm{0,1228}$$

Sannsynligheten er omtrent $\mathrm{0,1228}$, altså ca. 12 %.

a)

Månedlig vekstfaktor er $\mathrm{1,003}$. Etterkvartelighet over 12 måneder gir den årlige vekstfaktoren

$${\mathrm{1,003}}^{12}\approx \mathrm{1,0366}$$

Den årlige rentesatsen er dermed ca. 3,66 %.

b)

Vi setter $B(x)=80000$ og løser for $x$:

$$70000\cdot {\mathrm{1,003}}^x=80000$$

$${\mathrm{1,003}}^x=\frac{8}{7}$$

$$x=\frac{\ln \left(\frac{8}{7}\right)}{\ln (\mathrm{1,003})}\approx \mathrm{44,58}$$

Siden $x$ telles i hele måneder og $B(44)\approx 79862<80000$, må vi vente til $x=45$.

$$B(45)=70000\cdot {\mathrm{1,003}}^{45}\approx 80101\text{ kr}$$

Det tar 45 måneder før Knut har 80 000 kroner på kontoen.

c)

$T(x)$ er ikke kontinuerlig.

Bankkontoen $B(x)=70000\cdot {\mathrm{1,003}}^{24+x}$ er en eksponentialfunksjon og er kontinuerlig for alle $x$.

Aksjefondet $A(x)$ derimot er bare definert for hele måneder. Mellom to innskudd vokser eksisterende beløp med renter, men ved starten av hver ny måned settes det inn 2 000 kr og verdien hopper opp. Det betyr at $A(x)$ har et sprang (diskontinuitet) ved hvert heltall $x=1,2,3,\dots$

Siden $T(x)=B(x)+A(x)$ inneholder den diskontinuerlige $A(x)$, er $T$ ikke kontinuerlig.

d)

$x$ måneder etter at aksjefondet startet (det vil si $24+x$ måneder etter at kontoen ble opprettet) er bankkontoen verdt

$$B(x)=70000\cdot {\mathrm{1,003}}^{24+x}$$

Knut setter inn 2 000 kr ved starten av måned 1, 2, …, $x$. Det første innskuddet har stått i $x$ måneder, det andre i $x-1$ måneder, osv. Aksjefondet er verdt

$$A(x)=2000\cdot {\mathrm{1,007}}^x+2000\cdot {\mathrm{1,007}}^{x-1}+\cdots +2000\cdot {\mathrm{1,007}}^1$$

Dette er en geometrisk rekke med første ledd $2000\cdot \mathrm{1,007}$, kvotient $\mathrm{1,007}$ og $x$ ledd:

$$A(x)=2000\cdot \mathrm{1,007}\cdot \frac{{\mathrm{1,007}}^x-1}{\mathrm{1,007}-1}=\frac{2000\cdot \mathrm{1,007}\cdot ({\mathrm{1,007}}^x-1)}{\mathrm{0,007}}$$

Den totale verdien er

$$T(x)=70000\cdot {\mathrm{1,003}}^{24+x}+\frac{2000\cdot \mathrm{1,007}\cdot ({\mathrm{1,007}}^x-1)}{\mathrm{0,007}}$$

Vi finner (med CAS) at den kontinuerlige løsningen av $T(x)=200000$ gir $x\approx \mathrm{47,6}$. Vi sjekker de to nærmeste heltallene:

$x$	$B(x)$	$A(x)$	$T(x)$
47	86 589	111 629	198 218
48	86 849	114 425	201 274

$T(47)\approx 198218<200000$ og $T(48)\approx 201274>200000$.

Det tar 48 måneder (4 år) før den totale verdien overstiger 200 000 kroner.

Vi skriver et program som simulerer spillene og teller opp hvor mange ganger produktet av de tre terningene er større enn 100.

import random

antall_forsøk = 100000
antall_gevinst = 0

for _ in range(antall_forsøk):
    terning1 = random.randint(1, 6)
    terning2 = random.randint(1, 6)
    terning3 = random.randint(1, 6)
    produkt = terning1 * terning2 * terning3
    if produkt > 100:
        antall_gevinst += 1

sannsynlighet = antall_gevinst / antall_forsøk
print(f"Estimert sannsynlighet: {sannsynlighet:.4f}")

Med 100 000 forsøk vil programmet gi et estimat nær den eksakte sannsynligheten.

Teoretisk kontroll (uttømmende opptelling):

Det er $6^3=216$ like sannsynlige utfall når vi kaster tre terninger. Ved å gå gjennom alle kombinasjoner finner vi at nøyaktig 20 av dem gir produkt større enn 100:

Terning 1	Terning 2	Terning 3	Produkt
3	6	6	108
4	5	6	120
4	6	5	120
4	6	6	144
5	4	6	120
5	5	5	125
5	5	6	150
5	6	4	120
5	6	5	150
5	6	6	180
6	3	6	108
6	4	5	120
6	4	6	144
6	5	4	120
6	5	5	150
6	5	6	180
6	6	3	108
6	6	4	144
6	6	5	180
6	6	6	216

Simuleringen bør gi et resultat nær $\mathrm{9,3}\%$.

Høyre side av trekanten går fra $(2,0)$ til $(0,2)$. Stigningstallet er $\frac{2-0}{0-2}=-1$, så linjen har ligningen $y=-x+2$.

Punktet $P(a,b)$ ligger på denne linjen, det vil si $b=-a+2$.

Rektangelet er symmetrisk om $y$-aksen, så bredden er $2a$ og høyden er $b$.

Arealet til rektangelet er

der $a\in (0,2)$.

Vi finner maksimum ved å derivere og sette lik null:

Siden $T^{\prime \prime }(a)=-4<0$, er $a=1$ et maksimumspunkt.

Når $a=1$ er $b=-1+2=1$, og det største arealet er

Vi bruker Newtons avkjølingslov på formen

med $T_0=22$.

Bestem $r$:

Ved $t=0$ er $T=82$:

Bestem $k$:

Etter 2 minutter er $T=66$:

CAS gir $k\approx \mathrm{0,1551}$.

Finn tidspunktet for $T=40$:

Vi setter $T=40$ og løser for $t$:

CAS gir

Temperaturen i kaffen er altså lavere enn 40 °C etter litt over 7 minutter og 45 sekunder.

Steg 1: Koble A og D til f og f’

Vi vet at A enten er $f$ eller $f^{\prime }$. Graf A ligner en tredjegradsfunksjon med ett lokalt maksimum (rundt $x\approx -1$) og ett lokalt minimum (rundt $x\approx 2$).

Graf D er definert for alle $x$ og er svært liten numerisk — nær null for store $|x|$ — med ett negativt bunnpunkt mellom de to nullpunktene. Nullpunktene til D ser ut til å ligge rundt $x\approx -1$ og $x\approx 2$.

Dette passer perfekt med derivasjonsreglene:

• Der A har lokalt maksimum ($x\approx -1$), er $f^{\prime }=0$ — og D er null der. ✓
• Der A har lokalt minimum ($x\approx 2$), er $f^{\prime }=0$ — og D er null der. ✓
• Der A er stigende (til venstre for $x\approx -1$ og til høyre for $x\approx 2$), er $f^{\prime }>0$ — og D er positiv der. ✓
• Der A er synkende (mellom $x\approx -1$ og $x\approx 2$), er $f^{\prime }<0$ — og D er negativ der. ✓

Dersom vi hadde prøvd A = $f^{\prime }$: da måtte D = $f$ ha et toppunkt der D har nullpunkt. Graf D har et lokalt maksimum rundt $x\approx -2$, men A er ikke null der — A er nær sitt toppunkt. Dette stemmer ikke.

Konklusjon: Graf A er $f$, graf D er $f^{\prime }$.

Steg 2: Koble B og C til g og g’

Det gjenstår to grafer, B og C, som begge er definert for $x>0$ og har atypisk oppførsel nær $x=0$.

Graf C: nær $x=0^{+}$ går C mot $-\infty$ (svært bratt stigning oppover fra negativ side). C har et lokalt maksimum rundt $x\approx \mathrm{1,5}$ og avtar deretter.

Graf B: nær $x=0^{+}$ går B mot $+\infty$ (svært stor positiv verdi). B avtar raskt, og nullpunktet/minimumspunktet er rundt $x\approx \mathrm{1,5}$.

Sammenheng: Nær $x=0^{+}$ stiger C dramatisk (fra $-\infty$ oppover), altså er stigningen til C (det vil si C${}^{\prime }$) svært stor og positiv nær $x=0$. Det stemmer med B, som er svært stor og positiv nær $x=0$. ✓

Ved maksimumspunktet til C (rundt $x\approx \mathrm{1,5}$) er stigningen til C lik null, altså $g^{\prime }(\mathrm{1,5})=0$. Og B er null (eller nær null) rundt $x\approx \mathrm{1,5}$. ✓

For $x>\mathrm{1,5}$ avtar C, altså er C sin stigning negativ, som tilsvarer at $g^{\prime }<0$ — og B er (svakt) negativ etter minimumspunktet.

Konklusjon: Graf C er $g$, graf B er $g^{\prime }$.

Sammendrag:

Graf	Funksjon	Begrunnelse
A	$f$	Har lokale ekstrema der D er null
D	$f^{\prime }$	Nullpunkter sammenfaller med ekstrema til A; fortegn stemmer med stigningen til A
C	$g$	Går mot $-\infty$ ved $x=0^{+}$, har lokalt maksimum
B	$g^{\prime }$	Går mot $+\infty$ ved $x=0^{+}$ (C stiger bratt); null ved maksimum til C