R2 Høst 2025

Områder som ligger over $x$-aksen vil ha identisk areal og integral. Områder som ligger under $x$-aksen vil ha motsatt fortegn på integralet og arealet.

Vi deler derfor opp integrasjonen vår i to deler, en for området over $x$-aksen (fra $x=-2$ til $x=0$), og en annen del for området under $x$-aksen (fra $x=0$ til $x=1$).

Området fra $x=-2$ til $x=0$ ligger over $x$-aksen, arealet og integralet er identiske. Området fra $x=0$ til $x=1$ ligger under $x$-aksen, så arealet og integralet vil ha motsatt fortegn. For å beregne det samlede arealet må vi derfor endre fortegnet til integralet fra $x=0$ til $x=1$, altså

Uttrykk 4 gir arealet markert på figuren.

Jeg finner først det ubestemte integralet

Arealet er gitt ved

Arealet er $\underline{\underline{\frac{37}{12}}}$.

Likningen til Kristian er sann når vi velger $a$ slik at vi får nøyaktig like store områder på oversiden og undersiden av $x$-aksen.

Fra figuren kan vi se at Kristians beregning ser riktig ut, området som er avgrenset av $x$-aksen og $f(x)$ fra $x=-0{,}6$ til $x=1$ ser ut til å ha omtrent like mye areal over og under $x$-aksen.

Hvis vi tar $\int_{-2}^{1} f(x) \, dx$ så må svaret bli positivt siden det er mer areal på oversiden av $x$-aksen.

Vi ser videre at $f(x)$ er negativ for $x<-2$, altså må det være mulig å velge en verdi for $a$ som er mindre enn $-2$ slik at $\int_{a}^{1} f(x) \, dx=0$.

• Hvis vi velger $a=-2{,}5$ så ser det ut til at vi har litt mer areal over $x$-aksen enn under.
• Hvis vi velger $a=-3$ så ser det ut til at vi har litt mer areal under $x$-aksen enn over.

Likningen til Kristian krever like mye areal på oversiden og undersiden av $x$-aksen. Unni har rett i at det finnes to løsninger på likningen, der den andre løsningen ligger i intervallet $\langle -3, -2{,}5\rangle$.

I intervallet $[0, 2\pi)$:

$\underline{\underline{x = \dfrac{\pi}{3}}}$ og $\underline{\underline{x = \dfrac{4\pi}{3}}}$

Likningen $\left(\sin x - \dfrac{1}{2}\right)\left(\sin x - a\right) = 0$ gir

$\sin x = \dfrac{1}{2}$ har to løsninger i $[0, 2\pi)$: $x = \dfrac{\pi}{6}$ og $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

$\sin x = a$ kan ha $0$, $1$ eller $2$ løsninger avhengig av $a$, og eventuelt de samme som $\sin x = \dfrac{1}{2}$.

To løsninger:

• $|a| > 1$: $\sin x = a$ har ingen løsninger. Totalt 2 løsninger fra $\sin x = \dfrac{1}{2}$.
• $a = \dfrac{1}{2}$: Begge faktorer gir samme to løsninger. Totalt 2 løsninger.

Tre løsninger:

• $a = 1$: $\sin x = 1$ gir $x = \dfrac{\pi}{2}$ (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.
• $a = -1$: $\sin x = -1$ gir $x = \dfrac{3\pi}{2}$ (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.

Fire løsninger:

• $-1 < a < 1$ og $a \neq \dfrac{1}{2}$: $\sin x = a$ gir to nye løsninger (ulike fra $\dfrac{\pi}{6}$ og $\dfrac{5\pi}{6}$). Totalt 4 løsninger.

Den aritmetiske rekken $-3 + 0 + 3 + \ldots + 69$ har $a_1 = -3$, $d = 3$ og siste ledd $a_n = 69$.

Summen av rekken er $\underline{\underline{825}}$.

Rekken $5 + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots$ er geometrisk med kvotient $k = \dfrac{1}{2} - x$.

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k| < 1$:

Konvergensområdet er $\underline{\underline{x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle}}$.

Ballen faller $2 \, \mathrm{m}$, spretter opp $2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}$, faller ned $2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}$, spretter opp $2 \cdot 0{,}75^2 \, \mathrm{m}$, osv.

Ballen beveger seg totalt $\underline{\underline{14 \, \mathrm{m}}}$.

Vi fullfører kvadratene i ligningen $x^2 + y^2 + z^2 - 4x + 2z = 4$:

Sentrum er $\underline{\underline{(2,\, 0,\, -1)}}$ og radius er $\underline{\underline{r = 3}}$.

Kule $K$ har sentrum $M(1, -1, 3)$ og radius $2$. Vi sjekker at $P(3,-1,3)$ ligger på kula:

Normalvektoren til tangentplanet er $\overrightarrow{MP} = (2, 0, 0)$.

Planet gjennom $P(3,-1,3)$ med normalvektor $(2,0,0)$:

En likning for plan $\alpha$ er $\underline{\underline{x = 3}}$.

Avstand fra sentrum $M(1,-1,3)$ til planet $\beta\colon 3x + y - 2z + 1 = 0$:

Siden $d \approx 0{,}80 < 2 = r$, vil planet $\beta$ skjære gjennom kuleflaten $K$.

Planet $\beta$ skjærer gjennom kuleflaten $\underline{\underline{K}}$.

Vi definerer posisjonsvektoren, deriverer og beregner farten ved $t = 2$ i GeoGebra CAS:

Farten til miniubåten etter 2 sekunder er $\underline{\underline{\approx 10{,}3 \, \mathrm{m/s}}}$.

Vi definerer $z$-koordinaten, løser $z'(t) = 0$ og evaluerer minimumsposisjonen i GeoGebra CAS:

CAS gir $t = 25$ og $\mathrm{dyp}(25) = -\frac{625}{2} = -312{,}5$.

Miniubåten er dypest $\underline{\underline{312{,}5 \, \mathrm{m}}}$ under havoverflaten.

Vi definerer begge posisjonsvektorene, beregner differansevektoren $\vec{d}(t) = \vec{r}(t) - \vec{s}(t)$ og avstandsfunksjonen $A(t) = |\vec{d}(t)|$. Så bruker vi Min(A, 0, 60) for å finne minimumsavstanden numerisk:

CAS gir minimumsavstand $\approx 39{,}83 \, \mathrm{m}$ ved $t \approx 8{,}39 \, \mathrm{s}$.

For at miniubåten skal kollidere med fiskestimen, må avstanden mellom sentrene være mindre enn fiskestimens radius ($15 \, \mathrm{m}$) pluss halvparten av miniubåtens største tverrsnitt ($\approx 4 \, \mathrm{m}$), altså under $19 \, \mathrm{m}$.

Siden minimumsavstanden $\approx 39{,}8 \, \mathrm{m} \gg 19 \, \mathrm{m}$, vil miniubåten ikke kollidere med fiskestimen.

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker RegSin til å finne en sinusmodell:

RegSin gir

Siden fasevinkelen ($-0{,}003$) og konstantleddet ($-0{,}91$) er svært nær null, og $314{,}81 \approx 100\pi$, forenkler vi til

Modellen $\underline{\underline{U(t) \approx 323\sin(100\pi t)}}$ beskriver spenningen godt.

Vi løser $U(t) = 230$:

Spenningen er $230 \, \mathrm{V}$ ved $\underline{\underline{t \approx 0{,}0025 \, \mathrm{s}}}$ og $\underline{\underline{t \approx 0{,}0075 \, \mathrm{s}}}$.

Vi bruker modellen $U(t) = 323\sin(100\pi t)$ med periode $T = 0{,}0200 \, \mathrm{s}$:

Siden $\displaystyle\int_0^T \sin^2(\omega t)\, \mathrm{d}t = \dfrac{T}{2}$ for en hel periode:

Effektivverdien er $\approx 229 \, \mathrm{V} \approx 230 \, \mathrm{V}$, som stemmer godt med at nettspenningen i Norge er 230 V. Målingene kan være riktige.

La $c_n$ være konsentrasjonen rett etter den $n$-te natten. Kroppen skiller ut 18 % per dag, så 82 % gjenstår. Hvert døgn tilføres 2 nye enheter:

Dette er en geometrisk rekke med første ledd $a_1 = 2$ og kvotient $k = 0{,}82$, som gir sumformelen

Vi definerer $c(n)$, løser $c(n) = 10$ og kontrollerer $c(11)$ og $c(12)$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $n \approx 11{,}6$, og vi ser at $c(11) \approx 9{,}86 < 10$ mens $c(12) \approx 10{,}08 > 10$.

Sofie kan sove $\underline{\underline{11 \text{ netter}}}$ på soverommet sitt før konsentrasjonen når et potensielt farlig nivå.

Grenseverdien til $c_n$ når $n \to \infty$ er $\dfrac{2}{1-k}$ der $k$ er andelen som gjenstår etter utskillelse. For at konsentrasjonen aldri skal overstige 10 enheter, må grenseverdien være $\leq 10$:

Vi løser for $k$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $k = \dfrac{4}{5}$, og utskillelsesprosenten er $1 - k = \dfrac{1}{5} = 20\,\%$.

Artikkelen antar at kroppen skiller ut $\underline{\underline{20 \,\%}}$ av $\text{CCl}_4$-mengden per dag.

Funksjonen $f(x) = 3^{2x} = 9^x$ er strengt stigende på $[0, 2]$.

For en stigende funksjon gjelder:

• areal_til_hoyre() bruker venstre endepunkt ($x = 0, \Delta x, 2\Delta x, \ldots$) i hvert delintervall. Venstre endepunkt gir den minste funksjonsverdien → summerer for lav verdi.
• areal_til_venstre() bruker høyre endepunkt ($x = \Delta x, 2\Delta x, \ldots, 2$). Høyre endepunkt gir den største funksjonsverdien → summerer for høy verdi.

Det faktiske arealet (nøyaktig) er $\displaystyle\int_0^2 9^x \, \mathrm{d}x = \frac{9^2-1}{\ln 9} \approx 36{,}4$.

En bedre metode er trapesmetoden: vi bruker gjennomsnittet av funksjonsverdiene i begge endepunktene av hvert delintervall.

start = 0
slutt = 2
n = 100

dx = (slutt-start)/n

def f(x):
    return 3**(2*x)

def bedre_metode():
    areal = 0
    for i in range(n):
        x = start + i*dx
        areal = areal + (f(x) + f(x + dx)) / 2 * dx
    return areal

print(bedre_metode())

Trapesmetoden gir $\approx 36{,}415$, som er svært nær den eksakte verdien $\approx 36{,}410$.