R2 Vår 2025

R2 Vår 2025 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler
1-1	Integraler S2 v25	✔︎
1-2	Bestem f ut fra den deriverte	✔︎
1-3	Tallfølge med programmering og induksjon	—
1-4	Trigonometrisk funksjon og likning	—
1-5	Bordplate som trekant i 3D	KI
1-6	Caspers kode	KI
1-7	Vinkel i sirkel og trigonometri	✔︎
Del 2 2 timer med hjelpemidler
2-1	Bil på spiralvei i parkeringshus	KI
2-2	Noras sparing og lån	✔︎
2-3	Harens fart og gjennomsnittsfart	KI
2-4	Vis at rekke blir ln 2	✔︎

Oppgave 1-1 : Integraler S2 v25

Regn ut integralene

a)

\int_{0}^{1} (2e^{x}+2x^{2}) \, \mathrm{d}x

b)

\int \frac{2x-1}{x^{2}-x-6} \, \mathrm{d}x

Fasit

$2e-\frac{4}{3}$

$\ln \left| x^{2}-x-6 \right|+C$

Løsningsforslag

\int_{0}^{1} \left( 2e^{x}+2x^{2} \right) \, \mathrm{d}x = \left[ 2e^{x}+\frac{2}{3}x^{3} \right]_{0}^{1}= \left( 2e^{1}+\frac{2}{3}1^{3} \right) -\left( 2e^{0} +\frac{2}{3}0^{3} \right) =2e+\frac{2}{3}-2=\underline{\underline{2e-\frac{4}{3}}}

Vi ser at den deriverte av uttrykket i nevneren er det samme som telleren, og det er derfor lurt å forsøke variabelskiftet $\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6}$ .

\textcolor{tomato}{u=x^{2}-x-6} \implies \frac{du}{dx}=\textcolor{seagreen}{2x-1} \iff \frac{du}{\textcolor{seagreen}{2x-1}}=dx

Vi substituerer inn i det opprinnelige uttrykket

\int \frac{\textcolor{seagreen}{2x-1}}{\textcolor{tomato}{x^{2}-x-6}} \, \mathrm{d}x=\int \frac{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }}{\textcolor{tomato}{u}} \, \frac{\mathrm{d}u}{\cancel{ \textcolor{seagreen}{2x-1} }} = \int \frac{1}{\textcolor{tomato}{u}} \, \mathrm{d}u=\ln \left| \textcolor{tomato}{u} \right| +C=\underline{\underline{\ln \left| x^{2} -x -6\right| + C}}

Sensorveiledning

1 poeng for å integrere riktig og 1 poeng for å finne riktig verdi.

Riktig strategi, men feil i utregningen kan gi 1 poeng. Kandidaten kan få full uttelling selv om $C$ utelates i svaret, men det kan tas med i helhetsvurderingen.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: integral, bestemt integral, substitusjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett

Oppgave 1-2 : Bestem f ut fra den deriverte

Bestem et uttrykk for funksjonen $f$ når du får vite at

$f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}$
Arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x=1$ og $x=2$ er $\frac{11}{14}$ . Dette arealet ligger over $x$ -aksen.

Fasit

$f(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{7}$

Løsningsforslag

Vi vet at $f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}$ vil ha uendelig mange antideriverte med ulike konstantledd

\int -\frac{2}{x^{3}} \, \mathrm{d}x =\int -2x^{-3} \, \mathrm{d}x = \frac{-2}{-2}x^{-2}+C=\frac{1}{x^{2}}+C

Her er $C$ et hvilket som helst tall. Siden vi har fått vite at arealet av området som avgrenses av grafen til $f$ , $x=1$ , $x=2$ og $x$ -aksen er lik $\frac{11}{14}$ , samt at hele arealet ligger over $x$ -aksen, kan vi bruke et bestemt integral for å finne verdien av $C$ .

\begin{aligned} \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{x^{2}} +C \right)\, \mathrm{d}x &=\frac{11}{14} \\ \int_{1}^{2} \left( x ^{ -2}+C \right)\, \mathrm{d}x &=\frac{11}{14} \\ \left[ -\frac{1}{x}+Cx \right]_{1}^{2} &=\frac{11}{14} \\ \textcolor{orange}{\left( -\frac{1}{2}+C \cdot 2 \right)}-\textcolor{seagreen}{\left( -\frac{1}{1}+C\cdot 1 \right)} &=\frac{11}{14} \\ \textcolor{orange}{-\frac{1}{2}+2C} + \textcolor{seagreen}{\frac{1}{1}-C} &=\frac{11}{14} \\ C&=\frac{11}{14}-\frac{1}{2}=\frac{2}{7} \end{aligned}

Vår antideriverte til $f'(x)$ har altså $C=\frac{2}{7}$ , derfor har vi for alle $x\neq 0$ :

\underline{\underline{f(x)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{7}}}

Sensorveiledning

1 poeng for riktig integrasjon av $f'(x)$ og 1 poeng for å finne konstanten.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: integral, tolkning av integraler, areal under graf, bestemt integral
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Oppgave 1-3 : Tallfølge med programmering og induksjon

En elev arbeider med en tallfølge og har skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
for i in range(1, n + 1):
    print(a)
    a = a + (i + 2)

Beskriv mønsteret i tallfølgen eleven arbeider med. Hva blir resultatet når koden kjøres?

Eleven har også skrevet denne koden:

a = 2
n = 5
S = 0
for i in range(1, n + 1):
    S = S + a
    a = a + (i + 2)
print(S)

Hva ønsker eleven nå å finne ut? Hva blir resultatet når koden kjøres?

Tallene fra oppgave a) er starten på en rekke.

Bruk induksjon til å vise at et ledd i rekken kan uttrykkes som

a_n = \frac{n(n+3)}{2}, \quad n \geq 1

Fasit

Koden skriver ut tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20. Differansen mellom leddene starter på 3 og øker med 1 for hvert ledd.

Eleven finner delsummen etter 5 ledd. Programmet skriver ut 50.

Se løsningsforslag (induksjonsbevis).

Løsningsforslag

Her setter vi opp en oversikt for å se hvordan variablene i programmet utvikler seg.

`i`	`a`	Beregning av neste `a`
1	2	$2+1+2=\underline{5}$
2	5	$5+2+2=\underline{9}$
3	9	$9+3+2=\underline{14}$
4	14	$14+4+2=\underline{20}$
5	20

Vi ser en tallfølge hvor differansene mellom leddene starter på 3, og deretter øker med 1 for hvert ledd. Matematisk kan dette uttrykkes med den rekursive sammenhengen

a_{n+1}=a_{n}+n+2

Koden skriver ut leddene i tallfølgen 2, 5, 9, 14, 20.

Eleven har lagt til en variabel S. S gir en løpende sum av verdiene til a, derfor vil S være delsummen til rekka etter n ledd.

Eleven ønsker å finne delsummen til rekka etter 5 ledd, altså $2+5+9+14+20=\underline{\underline{50}}$

Påstanden vår er at

a_n = \frac{n(n+3)}{2}, \quad n \geq 1

Vi viser at dette gjelder for $n=1$

a_{1} = \frac{1(1+3)}{2}=\frac{4}{2}=2 \quad \checkmark

Vi antar at formelen gjelder for $n=k$ slik at

a_{k}= \frac{k(k+3)}{2}

Vi finner $a_{k+1}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen fra b).

a_{k+1}=a_{k}+k+2=\frac{k(k+3)}{2}+\frac{2k}{2}+\frac{4}{2}=\frac{k^{2}+3k+2k+4}{2}=\frac{k^{2}+5k+4}{2}

Deretter finner vi $a_{k+1}$ ved å bruke formelen.

a_{k+1}=\frac{(k+1)\left( (k+1) +3 \right) }{2}= \frac{k^{2}+2k+1+3k+3}{2}=\frac{k^{2}+5k+4}{2} \quad \checkmark

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å beskrive mønsteret og 1 poeng for riktig resultat av kjøringen.

2 poeng

1 poeng for å beskrive hva eleven ønsker å finne ut og 1 poeng for riktig resultat av kjøringen.

2 poeng

Induksjonsbeviset må kommuniseres godt for å få full uttelling.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: programmering, rekker, bevis
Kompetansemål: Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter
Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis

Oppgave 1-4 : Trigonometrisk funksjon og likning

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) \quad , \quad D_f = \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle

Bestem amplituden, likevektslinja, perioden og faseforskyvningen.

Løs likningen $f(x) = \sqrt{3}$

En funksjon $g$ er gitt ved

g(x) = 3\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(2x) \quad , \quad D_g = \langle 0, 2\pi \rangle

Løs likningen $g(x) = \sqrt{3}$

Fasit

Amplitude $2\sqrt{ 3 }$ , likevektslinje $y=0$ , periode $\pi$ , faseforskyvning $\frac{\pi}{12}$ mot venstre.

Løsningsforslag

Vi sammenligner med det generelle uttrykket for sinusfunksjoner

\textcolor{seagreen}{A} \sin(\textcolor{steelblue}{k}x + \textcolor{tomato}{\phi})+\textcolor{maroon}{d}

Vi ser fra funksjonsuttrykket til $g$ at

\textcolor{seagreen}{A=2\sqrt{ 3 }}, \quad \textcolor{steelblue}{k=2}, \quad \textcolor{tomato}{\phi=\frac{\pi}{6}}, \quad \textcolor{maroon}{d=0}

Når $k=2$ så har sinusfunksjonen dobbelt så «tette» svingninger og perioden blir derfor $T=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{2}=\pi$ . Da blir også faseforskyvningen $\frac{\phi}{2}=\frac{\pi}{12}$ .

Amplituden er $2\sqrt{ 3 }$ , likevektslinja er $y=0$ , perioden er $\pi$ og faseforskyvningen er $\frac{\pi}{12}$ mot venstre.

\begin{aligned} 2\sqrt{3} \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=\sqrt{ 3 } \\ 2 \cdot \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=1 \\ \sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)&=\frac{1}{2} \end{aligned}

Sensorveiledning

2 poeng

Tre riktige svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som klarer å skrive om $g(x)$ til en riktig sinusfunksjon kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: trigonometri, funksjoner, likninger
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Oppgave 1-5 : Bordplate som trekant i 3D

Et bord har en bordplate med en form som en trekant $ABC$ . Dersom vi tenker oss bordet plassert i et tredimensjonalt koordinatsystem der enhetene langs aksene er desimeter, vil hjørnene ha koordinatene $A(0, 0, 0)$ , $B(2, 3, 0)$ og $C(1, 4, 1)$ .

Er noen av vinklene i trekanten større enn $90°$ ? Husk å begrunne svaret.

Bestem arealet av bordplaten.

En plante på veggen har en gren som vokser slik at den følger en rett linje gjennom punktene $D(3, 7, 3)$ og $E(2, 3, 2)$ .

Vis at grenen aldri vil treffe bordplaten.

Fasit

Ja, vinkelen ved $B$ er større enn $90°$ (ca. $99{,}2°$ )

$\underline{\underline{\text{Areal} = \dfrac{\sqrt{38}}{2} \approx 3{,}08 \, \mathrm{dm}^2}}$

Retningsvektoren til grenen er parallell med planet — linja og planet har ingen felles punkt.

LøsningsforslagKI-generert

Vi undersøker om noen av vinklene er større enn $90°$ ved å beregne skalarproduktet mellom sidene som møtes i hvert hjørne. En vinkel er stump dersom og bare dersom skalarproduktet er negativt.

Vi setter opp vektorene mellom hjørnene:

\overrightarrow{AB} = B - A = (2, 3, 0)

\overrightarrow{AC} = C - A = (1, 4, 1)

\overrightarrow{BA} = A - B = (-2, -3, 0)

\overrightarrow{BC} = C - B = (-1, 1, 1)

\overrightarrow{CA} = A - C = (-1, -4, -1)

\overrightarrow{CB} = B - C = (1, -1, -1)

Vinkel ved $A$ :

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 0 \cdot 1 = 2 + 12 + 0 = 14 > 0

Vinkelen ved $A$ er akutt.

Vinkel ved $B$ :

\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2)(-1) + (-3)(1) + 0 \cdot 1 = 2 - 3 + 0 = -1 < 0

Vinkelen ved $B$ er stump, altså større enn $90°$ .

Vinkel ved $C$ :

\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-1)(1) + (-4)(-1) + (-1)(-1) = -1 + 4 + 1 = 4 > 0

Vinkelen ved $C$ er akutt.

Vi kan beregne den eksakte vinkelen ved $B$ :

\cos B = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-1}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{\sqrt{39}} \approx -0{,}160

B \approx 99{,}2°

Konklusjon: Vinkelen ved $B$ er større enn $90°$ .

Arealet av trekant $ABC$ beregner vi med kryssprodukt-formelen:

\text{Areal} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|

Vi beregner kryssproduktet:

\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix}

= \mathbf{i}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 4) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot 4 - 3 \cdot 1)

= \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(5) = (3, -2, 5)

Lengden av kryssproduktet:

|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}

Arealet blir:

\text{Areal} = \frac{\sqrt{38}}{2} \approx 3{,}08 \, \mathrm{dm}^2

Vi skal vise at grenen (linja gjennom $D(3,7,3)$ og $E(2,3,2)$ ) aldri treffer bordplaten (planet gjennom $A$ , $B$ og $C$ ).

Steg 1: Finn planlikningen for bordplaten.

Fra deloppgave b) vet vi at $\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (3, -2, 5)$ er normalvektor til planet. Siden $A(0,0,0)$ ligger i planet, blir planlikningen:

3x - 2y + 5z = 0

Steg 2: Parametriser grenen.

Retningsvektoren til grenen er:

\overrightarrow{DE} = E - D = (2-3,\, 3-7,\, 2-3) = (-1, -4, -1)

Et punkt på grenen: $(x, y, z) = (3 - s,\, 7 - 4s,\, 3 - s)$ for $s \in \mathbb{R}$ .

Steg 3: Sett inn i planlikningen.

3(3 - s) - 2(7 - 4s) + 5(3 - s)

= 9 - 3s - 14 + 8s + 15 - 5s

= (9 - 14 + 15) + (-3 + 8 - 5)s

= 10 + 0 \cdot s = 10

Siden koeffisienten foran $s$ er $0$ , er uttrykket konstant lik $10$ for alle $s$ . Ligningen $10 = 0$ har ingen løsning.

Det betyr at $\overrightarrow{DE} \cdot \mathbf{n} = (-1)(3) + (-4)(-2) + (-1)(5) = -3 + 8 - 5 = 0$ , altså er retningsvektoren til grenen vinkelrett på normalvektoren til planet. Dermed er grenen parallell med bordplaten.

Siden $D$ ikke ligger i planet ( $3 \cdot 3 - 2 \cdot 7 + 5 \cdot 3 = 9 - 14 + 15 = 10 \neq 0$ ), ligger grenen i sin helhet utenfor planet.

Avstanden fra et vilkårlig punkt på grenen til bordplaten er konstant:

d = \frac{|10|}{\sqrt{38}} = \frac{10}{\sqrt{38}} \approx 1{,}62 \, \mathrm{dm}

Konklusjon: Grenen er parallell med bordplaten og aldri treffer den.

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som finner vektorene, kan få 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å regne ut riktig vektorprodukt og 1 poeng for å finne arealet. Kandidaten kan få full uttelling selv om enhet utelates i svaret, men det kan tas med i helhetsvurderingen.

2 poeng

Kandidater som har en god strategi, men ikke kommer fram til riktig svar kan få 1 poeng. Kandidater som viser at greina er parallell med bordplata, men ikke sjekker om den ligger i bordplata kan få full uttelling.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: vektorer, geometri, areal
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Oppgave 1-6 : Caspers kode

Casper har skrevet denne koden:

def f(x):
	return x**3

def g(x):
	return -2*x**2

dx = 0.0001

s = 0
x = 0
while x <= 2:
	s = s + f(x)*dx + g(x)*dx
	x = x + dx

print(s)

Bestem verdien som skrives ut når koden kjøres.

Fasit

$\underline{\underline{s \approx -\dfrac{4}{3} \approx -1{,}333}}$

LøsningsforslagKI-generert

Koden regner ut en venstre-Riemann-sum for summen $f(x) + g(x)$ over intervallet $[0, 2]$ .

Løkken starter med $x = 0$ og øker med $\mathrm{d}x = 0{,}0001$ for hvert steg. For hvert $x$ legger den til

\bigl(f(x) + g(x)\bigr) \cdot \mathrm{d}x = \bigl(x^3 - 2x^2\bigr) \cdot \mathrm{d}x

Når $\mathrm{d}x \to 0$ nærmer summen seg det bestemte integralet

s \to \int_0^2 \bigl(x^3 - 2x^2\bigr) \, \mathrm{d}x

Vi beregner integralet:

\int_0^2 \bigl(x^3 - 2x^2\bigr) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2

= \left(\frac{2^4}{4} - \frac{2 \cdot 2^3}{3}\right) - 0 = \frac{16}{4} - \frac{16}{3} = 4 - \frac{16}{3} = \frac{12}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{4}{3}

Med $\mathrm{d}x = 0{,}0001$ (ikke null) vil koden gi en liten numerisk avrundingsfeil, og verdien som skrives ut er omtrent $-1{,}33333$ .

Verdien som skrives ut er $\underline{\underline{s \approx -\dfrac{4}{3} \approx -1{,}333}}$ .

Sensorveiledning

Kandidater som oppgir eksakt verdi, kan få full uttelling. Kandidater som tolker dette til å være arealet og får positiv verdi kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: programmering
Kompetansemål: Utvikle algoritmer for å beregne integraler numerisk, og bruke programmering til å utføre algoritmene
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter

Oppgave 1-7 : Vinkel i sirkel og trigonometri

I en sirkel er radius lik 3.

Figuren nedenfor viser en vinkel $v$ der toppunktet er plassert i sentrum av sirkelen og buelengden er 4.

Vinkel v i sirkel

Hvor stor er vinkelen $v$ gitt i

radianer?
grader?

Om en annen vinkel $u$ får du vite at $u \in \left\langle 0, \frac{\pi}{2} \right\rangle$ og $\tan u = 2$ .

Bestem de eksakte verdiene til $\sin u$ og $\cos u$ .

Fasit

4/3 radianer og omtrent 75º

$\sin u = \frac{2}{\sqrt{ 3 }}$ og $\cos u =\frac{1}{\sqrt{ 3 }}$

Løsningsforslag

Radius $r=3$ og buelengden $b=4$ .

v=\frac{b}{r}=\frac{4}{3}

Det går $360\degree$ på $2\pi$ radianer.

v_{\text{grader}}=\frac{4}{3} \cdot \frac{360}{2\pi}=\frac{4}{2} \cdot \frac{360}{3\pi}=2 \cdot \frac{120}{\pi}=\frac{240}{\pi} \approx 75 \degree

Vinkelen er $\underline{\underline{ \frac{4}{3} }}$ radianer og omtrent $\underline{\underline{ 75 \degree }}$ .

Hvis $\tan u =2$ så er $\frac{mk}{hk}=2$ . Hvis vi gir hosliggende katet lengden 1, så blir motstående katet 2. Da blir hypotenusen

h=\sqrt{ 1^{2}+ 2^{2}}=\sqrt{ 5 }

Vi kan dermed sette opp eksakte verdier for $\sin u$ og $\cos u$ .

\sin u = \frac{mk}{h}=\underline{\underline{ \frac{2}{\sqrt{ 5 }} }} \quad \text{og} \quad \cos u = \frac{hk}{h}=\underline{\underline{ \frac{1}{\sqrt{ 5 }} = \frac{\sqrt{ 5 }}{5} }}

Sensorveiledning

1 poeng for å finne vinkelen i radianer og 1 poeng for å finne vinkelen i grader. Kandidater som setter $\pi \approx 3$ for å regne ut vinkelen i grader kan få full uttelling.

4 poeng

1 poeng for å finne sinusverdi og 1 poeng for å finne cosinusverdi. En god strategi som ikke fører helt fram kan også gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: trigonometri, enhetssirkel
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

Oppgave 2-1 : Bil på spiralvei i parkeringshus

En bil kjører opp en spiralformet vei inne i et parkeringshus.

Posisjonen til bilen etter $t$ sekunder er gitt ved

\vec{r}(t) = \left[ 4\cos\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ 4\sin\left(\frac{\pi}{5}t\right) + 2,\ 5 + \frac{1}{3}t \right], \qquad t \in [0, 20]

der bakkenivået er $xy$ -planet i et koordinatsystem med meter som enhet langs aksene.

Hvor høyt over bakkenivået er bilen etter 5 sekunder?

Bestem fartsvektoren $\vec{v}(t)$ og farten til bilen etter 10 sekunder.

Gjør nødvendige antakelser og bestem en mulig avstand mellom etasjene i parkeringshuset.

Fasit

$\underline{\underline{\frac{20}{3} \approx 6{,}67 \, \mathrm{m}}}$ over bakkenivået

$\vec{v}(t) = \left[ -\dfrac{4\pi}{5}\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}t\right),\ \dfrac{4\pi}{5}\cos\!\left(\dfrac{\pi}{5}t\right),\ \dfrac{1}{3} \right]$ , fart $\underline{\underline{\approx 2{,}54 \, \mathrm{m/s}}}$ (konstant)

Avstanden mellom etasjene er $\underline{\underline{\frac{10}{3} \approx 3{,}3 \, \mathrm{m}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har gitt posisjonsvektor

\vec{r}(t) = \left[ 4\cos\!\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ 4\sin\!\left(\frac{\pi}{5}t\right) + 2,\ 5 + \frac{1}{3}t \right], \qquad t \in [0, 20]

$z$ -koordinaten gir høyden over bakkenivået ( $xy$ -planet). Vi setter $t = 5$ :

z(5) = 5 + \frac{1}{3} \cdot 5 = 5 + \frac{5}{3} = \frac{15}{3} + \frac{5}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67

Bilen er $\underline{\underline{\frac{20}{3} \approx 6{,}67 \, \mathrm{m}}}$ over bakkenivået etter 5 sekunder.

Vi deriverer $\vec{r}(t)$ komponentvis for å finne fartsvektoren. I GeoGebra CAS definerer vi $r(t)$ og beregner $v(t) = \vec{r}\,'(t)$ , farten $|\vec{v}(t)|$ og evaluerer ved $t = 10$ :

GeoGebra CAS – r(t), v(t) og fart

CAS gir:

\vec{v}(t) = \left[ -\frac{4\pi}{5}\sin\!\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ \frac{4\pi}{5}\cos\!\left(\frac{\pi}{5}t\right),\ \frac{1}{3} \right]

Farten er lengden av fartsvektoren:

|\vec{v}(t)| = \sqrt{\left(\frac{4\pi}{5}\right)^2\!\sin^2\!\left(\frac{\pi}{5}t\right) + \left(\frac{4\pi}{5}\right)^2\!\cos^2\!\left(\frac{\pi}{5}t\right) + \left(\frac{1}{3}\right)^2}

Siden $\sin^2(\cdot) + \cos^2(\cdot) = 1$ forenkler CAS uttrykket til:

|\vec{v}(t)| = \frac{\sqrt{144\pi^2 + 25}}{15} \approx 2{,}535 \, \mathrm{m/s}

Farten er konstant – den er uavhengig av $t$ . Etter 10 sekunder er farten den samme:

|\vec{v}(10)| = \frac{\sqrt{144\pi^2 + 25}}{15} \approx \mathbf{2{,}54 \, \mathrm{m/s}}

Farten til bilen etter 10 sekunder er $\underline{\underline{\frac{\sqrt{144\pi^2+25}}{15} \approx 2{,}54 \, \mathrm{m/s}}}$ .

Vi antar at én etasje tilsvarer én full omdreining av spiralen. En full omdreining skjer når argumentet $\frac{\pi}{5}t$ øker med $2\pi$ , det vil si når $t$ øker med $10$ sekunder.

Høydeforskjellen i løpet av én omdreining ( $\Delta t = 10 \, \mathrm{s}$ ) er:

\Delta z = z(t + 10) - z(t) = \frac{1}{3}(t+10) - \frac{1}{3}t = \frac{10}{3} \approx 3{,}3 \, \mathrm{m}

Dette er en realistisk etasjehøyde for et parkeringshus (typisk $2{,}5$ – $3{,}5 \, \mathrm{m}$ ).

Avstanden mellom etasjene er $\underline{\underline{\frac{10}{3} \approx 3{,}3 \, \mathrm{m}}}$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som finner $\vec{r}(5)$ kan få 1 poeng

2 poeng

1 poeng for å finne fartsvektoren (både $\vec{v}(10)$ og $\vec{v}(t)$ gir poeng) og 1 poeng for å finne farten.

2 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng. For å få full uttelling må minst en antakelse være med.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: vektorer, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Oppgave 2-2 : Noras sparing og lån

Nora blir 37 år i 2026 og vil begynne å spare til egen pensjon.

Hun vil sette et fast beløp inn på en konto i banken 1. januar hvert år. Hun vil begynne sparingen 1. januar 2026 og holde på til og med januar 2055.

Målet hennes er å ha 3 750 000 kroner i banken etter at rentene for 2055 er lagt til. Nora venter at den årlige rentesatsen på kontoen vil være 2,5 %.

Hvor stort beløp må Nora sette i banken hvert år for å nå målet?

Nora har et huslån. Lånet har årlige terminer, og Nora betaler terminbeløpet i januar hvert år. I januar 2026 vil lånet være på 3 000 000 kroner.

Nora vil betale ned lånet før det året hun fyller 70. Hun har regnet seg fram til at hun da må betale 150 000 kroner hver termin fra og med januar 2026 til og med januar 2058.

Hvor høy har Nora regnet med at den årlige rentesatsen på lånet vil være?

Nora ønsker å hjelpe datteren med egenkapital til bolig. Nora oppretter derfor en ekstra sparekonto og setter opp en spareplan med ett årlig innskudd i 10 år. Det første innskuddet skal være 10000 kroner, deretter skal beløpene hun setter inn, øke med 6 % per år. Nora venter at rentesatsen vil være 2,5 % per år.

Målet er å ha 150 000 kroner på sparekontoen ett år etter at hun har satt inn det siste beløpet.

Vil Nora nå målet sitt?

Fasit

83 333 kr

3,528 %

Nei, 149 581 kr

Løsningsforslag

CAS-løsning av 2-4

Vi kaller det ukjente beløpet $B$ . Nora skal sette inn $B$ på konto 30 ganger. Det siste beløpet skal ha fått renter i 1 år, mens det første beløpet skal ha fått renter i 30 år.

For å ha 3 750 000 kr på konto etter 30 år så kan vi altså sette opp en likning med ei rekke. Likningen er løst i linje 1 i GeoGebra.

\underbrace{ \textcolor{tomato}{B\cdot 1{,}025^{1}} }_{ \text{År 2055} }+\underbrace{ \textcolor{seagreen}{B\cdot 1{,}025^{2}} }_{ \text{År 2054} }+\dots+ \underbrace{ \textcolor{maroon}{B\cdot 1{,}025^{30}} }_{ \text{År 2026} }=3\,750\,000

Nora må sette inn 83 333 kr hvert år for å nå målet.

Vi kaller den ukjente vekstfaktoren til renta $v$ . Nora skal betale inn lånet over 33 terminer med første termin 1. januar 2026. Nåverdien (NV) til terminbeløpene vil være:

\underbrace{ \textcolor{orange}{\frac{150\,000}{v^{0}}} }_{ \text{NV til 2026-beløpet} }+\underbrace{ \textcolor{seagreen}{\frac{150\,000}{v^{1}}} }_{ \text{NV til 2027-beløpet} }+\dots+\underbrace{ \textcolor{tomato}{\frac{150\,000}{v^{32}}} }_{ \text{NV til 2058-beløpet} }=3\,000\,000

Likningen er løst i linje 2 i GeoGebra.

Nora har regnet med at den årlige rentesatsen er 3,528 %.

Sparebeløpene til Nora kan sees på som en rekke der det første beløpet er 10000 kr og får renter i 10 år, mens det siste beløpet er $10000\cdot 1{,}06^{9}$ og får renter i ett år.

\underbrace{ \textcolor{tomato}{10000 \cdot 1{,}06^{0}\cdot 1{,}025^{10}} }_{ \text{Beløp år 0} } + \underbrace{ \textcolor{seagreen}{10000 \cdot 1{,}06^{1}\cdot 1{,}025^{9}} }_{ \text{Beløp år 1} } + \dots + \underbrace{ \textcolor{maroon}{10000 \cdot 1{,}06^{9}\cdot 1{,}025^{1}} }_{ \text{ Beløp år 9 } }

Beløpet er beregnet i linje 3 i GeoGebra.

Nora vil ikke nå målet på 150 000 kr. Hun vil ha 149 581 kr på kontoen etter 10 år.

Alternativ løsning med målsøking i Excel

I regnearket nedenfor har jeg satt opp de tre deloppgavene i Excel for å løse med målsøking.

Oppgave a er løst ved å beregne innskuddet på kontoen i starten og slutten av hvert år. Noras sparebeløp er satt i celle C5. Ved å bruke målsøking og sette at celle C37 skal bli 3 750 000 kr ved å endre på C5 fikk jeg svaret 83 333 kr.

Oppgave b er løst ved å skrive inn restlånet 1. januar 2026, og beregne restlånene etter innbetaling hvert år. Restlånet etter innbetaling beregnes ved å sette avdraget lik $\frac{T}{v^{32-i}}$ , der $v$ er vekstfaktoren til renta og $i$ er antall år siden 1. januar 2026. Renta ble funnet ved å gjøre målsøking der restlånet etter innbetaling skal være 0 kr i 2058.

Oppgave c. I denne oppgaven øker sparebeløpet med 6 % per år i kolonne O, samtidig som vi beregner renter i kolonner Q. I slutten av 2035 vil Nora ha 149 581 kr på konto.

Regneark for løsning av Noras sparing og lån

Formler for regneark med målsøking

Sensorveiledning

En god strategi kan gi 1 poeng.

Kandidater med en god strategi, men som får feil svar kan få 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten ha med økningen.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: lån, sparing, excel, cas, rekker, annuitetslån
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Oppgave 2-3 : Harens fart og gjennomsnittsfart

En hare løper vekk fra en rev som angriper den. Farten $v$ til haren er gitt ved

v(t) = 8{,}3 - 17{,}4 \cdot e^{-5t} + 9{,}1 \cdot e^{-0{,}08t}

Her er $v$ meter per sekund, og $t$ er antall sekunder etter at haren starter å løpe.

Hvor lang tid vil det gå før akselerasjonen til haren er null? Hva forteller dette svaret?

Hvor langt løper haren i løpet av de første 7 sekundene?

Gjennomsnittsfarten $v_g$ til haren de første $x$ sekundene er gitt ved

v_g(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} v(t) \, \mathrm{d}t

Bestem gjennomsnittsfarten til haren de første 200 meterne.

Fasit

Akselerasjonen er null etter $\underline{\underline{t \approx 0{,}97 \, \mathrm{s}}}$ . Dette er tidspunktet der haren har størst fart: $v(0{,}97) \approx \underline{\underline{16{,}6 \, \mathrm{m/s}}}$ .

$\underline{\underline{s \approx 103{,}4 \, \mathrm{m}}}$

$\underline{\underline{v_g \approx 13{,}4 \, \mathrm{m/s}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS med numerisk evaluering.

Definer $v(t)$ og finn akselerasjonen $a(t) = v'(t)$ , løs $a(t) = 0$ , beregn integralet over $[0, 7]$ , og løs $\int_0^x v(t)\,\mathrm{d}t = 200$ numerisk:

GeoGebra CAS – harens fart og gjennomsnittsfart

Vi definerer $v(t)$ og deriverer for å finne akselerasjonen:

a(t) = v'(t) = 87 \cdot e^{-5t} - 0{,}728 \cdot e^{-0{,}08t}

GeoGebra løser $a(t) = 0$ numerisk og gir $t \approx 0{,}972 \, \mathrm{s}$ .

Det tar omtrent $\underline{\underline{t \approx 0{,}97 \, \mathrm{s}}}$ før akselerasjonen er null.

Tolkning: For $t < 0{,}97$ er $a(t) > 0$ , haren øker farten. For $t > 0{,}97$ er $a(t) < 0$ , haren bremser ned. Tidspunktet $t \approx 0{,}97$ er altså når haren har sin høyeste fart: $v(0{,}972) \approx \underline{\underline{16{,}6 \, \mathrm{m/s}}}$ .

Strekningen haren løper i løpet av de første 7 sekundene er

s = \int_0^7 v(t) \, \mathrm{d}t

GeoGebra beregner integralet numerisk:

s \approx \underline{\underline{103{,}4 \, \mathrm{m}}}

Vi søker $x$ slik at gjennomsnittsfarten de første $x$ sekundene er lik $\frac{200}{x}$ , altså slik at haren har tilbakelagt nettopp 200 meter:

\int_0^x v(t) \, \mathrm{d}t = 200

Antideriverte til $v(t)$ er

V(t) = 8{,}3t + 3{,}48 \cdot e^{-5t} - 113{,}75 \cdot e^{-0{,}08t}

GeoGebra løser likningen $V(x) - V(0) = 200$ numerisk og gir (den positive løsningen) $x \approx 14{,}954 \, \mathrm{s}$ .

Gjennomsnittsfarten de første 200 meterne er dermed

v_g = \frac{200}{x} \approx \frac{200}{14{,}954} \approx \underline{\underline{13{,}4 \, \mathrm{m/s}}}

Sensorveiledning

2 poeng

1 poeng for å finne svaret og 1 poeng for å forklare svaret.

2 poeng

En god tilnærming kan gi 1 poeng.

2 poeng

En god strategi som ikke fører helt frem kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: integral, derivasjon, modellering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer
Anvende derivasjon og integrasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Oppgave 2-4 : Vis at rekke blir ln 2

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved $1+x+x^{2}+x^{3}+\dots$

Det kan vises at

\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots= \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x

Bruk denne sammenhengen til å vise at

\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2

I denne oppgaven kan du se bort fra integrasjonskonstantene.

Fasit

Oppgaven er et bevis. Se løsningsforslag.

Løsningsforslag

Vi har fått oppgitt at

\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots= \int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x

(1)

Vi gjennomfører resonnementet vårt i flere steg.

Integrasjon av høyre side

Vi ser først på høyre side av likning (1). Vi ser at vi kan integrere denne siden ved å gjøre variabelskiftet $u=1-x \implies \frac{du}{dx}=-1 \iff dx =-1 \cdot du$ .

Integralet blir (sett bort fra integrasjonskonstantene)

\int \frac{1}{1-x} \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{u} \cdot (-1)\, \mathrm{d}u = -\int \frac{1}{u}\, \mathrm{d}u = -\ln \left| 1-x \right|

Integrasjon av venstre side

Vi gjennomfører så integrasjonene på venstre side av likning (1) og får

\int 1 \, \mathrm{d}x + \int x \, \mathrm{d}x + \int x^{2} \, \mathrm{d}x + \int x^{3} \, \mathrm{d}x + \dots =\textcolor{orange}{x}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2}x^{2}}+\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3}x^{3}}+ \textcolor{tomato}{\frac{1}{4}x^{4}} + \dots

Ved å integrere begge sidene av likning (1) har vi altså foreløpig vist at:

x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{4} + \dots = -\ln \left| 1-x \right|

Vise at rekka er lik $\ln 2$

Vi skal vise at

\textcolor{orange}{\frac{1}{2^{1}}}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}} +\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}}} +\textcolor{tomato}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}}} + \dots = \ln 2

(2)

Vi sammenligner venstre side i likning (2) med svaret vi fikk da vi integrerte venstre side i likning (1).

\textcolor{orange}{x}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2}x^{2}}+\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3}x^{3}}+ \textcolor{tomato}{\frac{1}{4}x^{4}} + \dots=\textcolor{orange}{\frac{1}{2^{1}}}+\textcolor{seagreen}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}} +\textcolor{steelblue}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}}} +\textcolor{tomato}{\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}}} + \dots

(3)

Ved sammenligning av leddene ser vi at $x=\frac{1}{2}$ er en løsning av likning (3).

Siden $x=\frac{1}{2}$ , så sjekker vi hva $-\ln \left| 1-x \right|$ gir oss når $x=\frac{1}{2}$

-\ln \left| 1-x \right| = - \ln \left| 1-\frac{1}{2} \right| =-\ln \underbrace{ \left| \frac{1}{2} \right| }_{ \left| \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} } = \underbrace{ {- \ln \left( \frac{1}{2} \right) =-\left( \cancelto{ 0 }{ \ln 1 } - \ln 2 \right)}}_{\text{Regel:} \ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln a - \ln b} =\ln 2

Vi har altså vist at

x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}+ \frac{1}{4}x^{4} + \dots = -\ln \left| 1-x \right|

Og for $x=\frac{1}{2}$ gjelder derfor:

\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} +\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}} +\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{4}} + \dots = \ln 2 \qquad \blacksquare

Sensorveiledning

Kandidater som integrerer riktig, kan få 1 poeng. Kandidater som viser sammenhengen ved bruk av en annen metode, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S2, R2
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: bevis, utforskning, integral, uendelig rekke, rekker, substitusjon
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker
Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Integraler S2 v25

Oppgave 1-2 : Bestem f ut fra den deriverte

Oppgave 1-3 : Tallfølge med programmering og induksjon

Oppgave 1-4 : Trigonometrisk funksjon og likning

Oppgave 1-5 : Bordplate som trekant i 3D

Oppgave 1-6 : Caspers kode

Oppgave 1-7 : Vinkel i sirkel og trigonometri

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Bil på spiralvei i parkeringshus

Oppgave 2-2 : Noras sparing og lån

Oppgave 2-3 : Harens fart og gjennomsnittsfart

Oppgave 2-4 : Vis at rekke blir ln 2

Integrasjon av høyre side

Integrasjon av venstre side

Vise at rekka er lik $\ln 2$

R2 Vår 2025

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Integraler S2 v25

Oppgave 1-2 : Bestem f ut fra den deriverte

Oppgave 1-3 : Tallfølge med programmering og induksjon

Oppgave 1-4 : Trigonometrisk funksjon og likning

Oppgave 1-5 : Bordplate som trekant i 3D

Oppgave 1-6 : Caspers kode

Oppgave 1-7 : Vinkel i sirkel og trigonometri

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Bil på spiralvei i parkeringshus

Oppgave 2-2 : Noras sparing og lån

Oppgave 2-3 : Harens fart og gjennomsnittsfart

Oppgave 2-4 : Vis at rekke blir ln 2

Integrasjon av høyre side

Integrasjon av venstre side

Vise at rekka er lik ln⁡2\ln 2ln2

Vise at rekka er lik $\ln 2$