Aritmetisk og geometrisk rekke

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

-3 + 0 + 3 + \dots + 69

Bestem summen av rekken.

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

5 + 5\cdot\left(\frac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\frac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots

Bestem konvergensområdet til rekken.

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.

Hvor mange meter vil ballen bevege seg totalt?

Fasit

$825$

$x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle$

$14 \, \mathrm{m}$

Løsningsforslag

Den aritmetiske rekken $-3 + 0 + 3 + \ldots + 69$ har $a_1 = -3$ , $d = 3$ og siste ledd $a_n = 69$ .

a_n = a_1 + (n-1)d \implies 69 = -3 + (n-1)\cdot 3 \implies n = 25

s_{25} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{-3 + 69}{2} \cdot 25 = 33 \cdot 25 = 825

Summen av rekken er $\underline{\underline{825}}$ .

Rekken $5 + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right) + 5\cdot\left(\dfrac{1}{2}-x\right)^2 + \ldots$ er geometrisk med kvotient $k = \dfrac{1}{2} - x$ .

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k| < 1$ :

\left|\frac{1}{2} - x\right| < 1 \implies -1 < \frac{1}{2} - x < 1 \implies -\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}

Konvergensområdet er $\underline{\underline{x \in \left\langle -\dfrac{1}{2},\, \dfrac{3}{2} \right\rangle}}$ .

Ballen faller $2 \, \mathrm{m}$ , spretter opp $2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}$ , faller ned $2 \cdot 0{,}75 \, \mathrm{m}$ , spretter opp $2 \cdot 0{,}75^2 \, \mathrm{m}$ , osv.

\begin{aligned} d &= \underbrace{2}_{\text{første fall}} + 2 \cdot \underbrace{\left(2\cdot 0{,}75 + 2\cdot 0{,}75^2 + \ldots\right)}_{\text{opp og ned}} \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{2 \cdot 0{,}75}{1 - 0{,}75} \\ &= 2 + 2 \cdot \frac{1{,}5}{0{,}25} \\ &= 2 + 12 = 14 \end{aligned}

Ballen beveger seg totalt $\underline{\underline{14 \, \mathrm{m}}}$ .

Sensorveiledning

Kandidater som finner riktig antall ledd kan få 1 poeng.

3 poeng

Riktig oppsett, men feil i utregning kan gi 1 poeng.

3 poeng

En god strategi som ikke fører helt fram kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2025, del 1, oppgave 6
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: rekker, geometrisk vekst, aritmetisk rekke, konvergens, uendelig rekke
Kompetansemål: Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker