Tolkning av integral og areal fra graf Tolkning av integral og areal fra graf

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x)=x^3+x^2-2 x$ .

Grafen til f

Hvilket av uttrykkene nedenfor gir arealet av det markerte området på figuren? Husk å begrunne svaret ditt.

::: {.grid cols=2}

\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{~d} x

\int_{-2}^1 f(x) \mathrm{~d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x

\int_{-2}^0 f(x) \mathrm{~d} x+\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x

\int_{-2}^0 f(x) \mathrm{~d} x-\int_0^1 f(x) \mathrm{~d} x

:::

Regn ut arealet av det markerte området på figuren.

Kristian ønsker å finne en verdi $a<0$ , som er slik at $\int_a^1 f(x) d x=0$ . Han bruker en kalkulator og finner at $a \approx -0{,}6$ .

Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.

Forklar hvorfor påstanden til Unni er riktig, og bruk figuren til å anslå omtrent hvilken verdi den andre løsningen kan ha.

Fasit

$\frac{37}{12}$

Mellom -3 og -2,5.

Løsningsforslag

Områder som ligger over $x$ -aksen vil ha identisk areal og integral. Områder som ligger under $x$ -aksen vil ha motsatt fortegn på integralet og arealet.

Vi deler derfor opp integrasjonen vår i to deler, en for området over $x$ -aksen (fra $x=-2$ til $x=0$ ), og en annen del for området under $x$ -aksen (fra $x=0$ til $x=1$ ).

Området fra $x=-2$ til $x=0$ ligger over $x$ -aksen, arealet og integralet er identiske. Området fra $x=0$ til $x=1$ ligger under $x$ -aksen, så arealet og integralet vil ha motsatt fortegn. For å beregne det samlede arealet må vi derfor endre fortegnet til integralet fra $x=0$ til $x=1$ , altså

\textcolor{seagreen}{\int_{-2}^{0} f(x) \, dx} - \textcolor{tomato}{\int_{0}^{1} f(x) \, dx}

Uttrykk 4 gir arealet markert på figuren.

Jeg finner først det ubestemte integralet

F(x)=\int \left( x^{3}+x^{2}-2x \right) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{4}x^{4}+ \frac{1}{3}x^{3}- \frac{2}{2}x^{2} +C

Arealet er gitt ved

\begin{aligned} A&=\textcolor{seagreen}{\int_{-2}^{0} f(x) \, dx} - \textcolor{tomato}{\int_{0}^{1} f(x) \, dx} \\ & = \textcolor{seagreen}{\left[ F(x) \right]_{-2}^0} - \textcolor{tomato}{\left[ F(x) \right]_{0}^1} \\ &= \textcolor{seagreen}{\left[ \frac{1}{4}x^{4}+ \frac{1}{3}x^{3}- x^{2} \right]_{-2}^0} -\textcolor{tomato}{\left[ \frac{1}{4}x^{4}+ \frac{1}{3}x^{3}- x^{2} \right]_{0}^1} \\ &= \textcolor{seagreen}{\left( \left( 0 \right) - \left( \frac{1}{4}(-2)^{4} +\frac{1}{3} (-2)^{3} - (-2)^{2}\right) \right)} - \textcolor{tomato}{\left( \left( \frac{1}{4}1^{4}+ \frac{1}{3}1^{3}- 1^{2} \right) - \left( 0 \right) \right)} \\ &= \textcolor{seagreen}{- \left( \frac{1}{4}\cdot 16 + \frac{1}{3}\cdot (-8) - 4 \right)} - \textcolor{tomato}{\left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} -1 \right)} \\ &= \textcolor{seagreen}{- \left( \cancel{ 4 }- \frac{8}{3} - \cancel{ 4 } \right)} - \textcolor{tomato}{\left( \frac{3}{12} + \frac{4}{12} - \frac{12}{12} \right)} \\ &= \textcolor{seagreen}{\frac{8}{3}} - \textcolor{tomato}{\left( -\frac{5}{12} \right)} \\ &= \textcolor{seagreen}{\frac{32}{12}} + \textcolor{tomato}{\frac{5}{12}}= \frac{37}{12} \end{aligned}

Arealet er $\underline{\underline{\frac{37}{12}}}$ .

Likningen til Kristian er sann når vi velger $a$ slik at vi får nøyaktig like store områder på oversiden og undersiden av $x$ -aksen.

Fra figuren kan vi se at Kristians beregning ser riktig ut, området som er avgrenset av $x$ -aksen og $f(x)$ fra $x=-0{,}6$ til $x=1$ ser ut til å ha omtrent like mye areal over og under $x$ -aksen.

Hvis vi tar $\int_{-2}^{1} f(x) \, dx$ så må svaret bli positivt siden det er mer areal på oversiden av $x$ -aksen.

Vi ser videre at $f(x)$ er negativ for $x<-2$ , altså må det være mulig å velge en verdi for $a$ som er mindre enn $-2$ slik at $\int_{a}^{1} f(x) \, dx=0$ .

Hvis vi velger $a=-2{,}5$ så ser det ut til at vi har litt mer areal over $x$ -aksen enn under.
Hvis vi velger $a=-3$ så ser det ut til at vi har litt mer areal under $x$ -aksen enn over.

Likningen til Kristian krever like mye areal på oversiden og undersiden av $x$ -aksen. Unni har rett i at det finnes to løsninger på likningen, der den andre løsningen ligger i intervallet $\langle -3, -2{,}5\rangle$ .

Sensorveiledning

1 poeng for å finne riktig uttrykk og 1 poeng for begrunnelse.

Riktig utregning, men feil areal fra oppgave a, gir full uttelling.

1 poeng for forklaring og 1 poeng for å finne en fornuftig verdi. Det må være slingringsmonn på verdi og legg vekt på begrunnelsen.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2025, del 1, oppgave 3
Delt med: S2, R2
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: tolke grafer, tolkning av integraler, integral, areal under graf
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner