Vi beviser ved induksjon at

$$1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^n = \frac{4^{n+1}-1}{3} \quad \text{for } n \ge 0$$

Basissteg ($n = 0$):

VS $= 1$, HS $= \dfrac{4^1 - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1$. VS $=$ HS $\checkmark$

Induksjonssteg:

Anta at påstanden holder for $n = k$, dvs.

$$1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^k = \frac{4^{k+1}-1}{3}$$

Vi viser at den da også holder for $n = k+1$:

$$\begin{aligned} 1 + 4 + \ldots + 4^k + 4^{k+1} &= \frac{4^{k+1}-1}{3} + 4^{k+1} \\ &= \frac{4^{k+1}-1 + 3 \cdot 4^{k+1}}{3} \\ &= \frac{4 \cdot 4^{k+1}-1}{3} \\ &= \frac{4^{k+2}-1}{3} \end{aligned}$$

Dette er nettopp formelen for $n = k+1$. Påstanden er bevist ved induksjon. $\blacksquare$