R1 Vår 2026

R1 Vår 2026 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler
1-1	Derivasjon av polynom og brøk R1 V26	✔︎
1-2	Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26	KI
1-3	Sortere og forenkle logaritmeuttrykk R1 V26	KI
1-4	Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V26	KI
1-5	Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26	KI
1-6	Derivert av omvendt funksjon til ln R1 V26	KI
1-8	Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26	KI
1-9	Python-kode for stasjonære punkter R1 V26	KI
Del 2 2 timer med hjelpemidler
2-1	Logistisk modell for raketthastighet R1 V26	KI
2-2	Skøyteløper og hund med parameterfremstilling R1 V26	KI
2-3	Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26	KI
2-4	Stykkevis funksjon for strømstønad R1 V26	KI
2-5	Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom og brøk R1 V26

Deriver funksjonen $h$ gitt ved

h(x) = 3x^2 - 5 + \frac{3}{x-2}

Fasit

$\underline{\underline{h'(x) = 6x - \dfrac{3}{(x-2)^2}}}$

Løsningsforslag

h(x) = \textcolor{seagreen}{3x^2} -\textcolor{steelblue}{ 5} + \textcolor{tomato}{\frac{3}{x-2}}

De første to leddene er «enkle» å derivere, de blir $\textcolor{seagreen}{6x}$ og $\textcolor{steelblue}{0}$ . For å derivere det siste leddet må vi bruke kjerneregelen eller kvotientregelen. Jeg velger kvotientregelen.

\begin{aligned} \left( \frac{u}{v} \right)' &= \frac{u' v-uv'}{v^{2}} \\ \left( \frac{3}{x-2} \right)' &= \frac{3'\cdot(x-2) - 3 \cdot (x-2)'}{(x-2)^{2}} \\ &=\frac{0-3\cdot 1}{(x-2)^{2}}=\textcolor{tomato}{-\frac{3}{(x-2)^{2}}} \end{aligned}

Etter å ha samlet leddene får vi:

\underline{\underline{ h'(x) = 6x - \frac{3}{(x-2)^2} }}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: derivasjon
Kompetansemål: Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter

Oppgave 1-2 : Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = e^x(6 - e^x)

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $f$ .

Vis at $f'(x) = 2e^x(3 - e^x)$ .

Bestem koordinatene til eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til $f$ . Avgjør om eventuelle punkter er topp- eller bunnpunkter.

Fasit

$\underline{\underline{x = \ln 6}}$

Se løsningsforslag.

Toppunkt $\underline{\underline{(\ln 3,\ 9)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har nullpunkter når en av faktorene $e^{x}$ eller $(6-e^{x})$ er lik $0$ . $e^{x}$ kan aldri være $0$ , derfor trenger vi kun sjekke når $6-e^{x}=0$ .

6-e^{x}=0 \iff 6 = e^{x} \implies \ln 6 = x

$f$ har nullpunkt når $\underline{\underline{ x=\ln 6 }}$ .

Vi skriver om funksjonen som $f(x) = 6e^x - e^{2x}$ og deriverer ledd for ledd:

\begin{aligned} f'(x) &= 6e^x - 2e^{2x} \\ &= 2(3e^{x}-e^{x}\cdot e^{x}) \\ &= 2e^x(3 - e^x) \end{aligned}

Vi setter $f'(x) = 0$ :

2e^x(3 - e^x) = 0

Siden $e^x > 0$ for alle $x$ , må:

3 - e^x = 0 \implies e^x = 3 \implies x = \ln 3

Vi lager et fortegnsskjema for $f'(x) = 2e^x(3 - e^x)$ :

$x$	$(-\infty,\ \ln 3)$	$\ln 3$	$(\ln 3,\ \infty)$
$2e^x$	$+$	$+$	$+$
$3 - e^x$	$+$	$0$	$-$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$
$f$	$\nearrow$	topp	$\searrow$

Siden $f'$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x = \ln 3$ , er dette et toppunkt.

Funksjonsverdien i toppunktet:

f(\ln 3) = e^{\ln 3}\cdot(6 - e^{\ln 3}) = 3 \cdot (6 - 3) = 3 \cdot 3 = 9

Grafen har ett toppunkt: $\underline{\underline{ (\ln 3,\ 9) }}$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: derivasjon, eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Oppgave 1-3 : Sortere og forenkle logaritmeuttrykk R1 V26

Sorter uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge. Husk å begrunne svaret.

\log_2 8 \qquad e^{3\ln 1} \qquad \lg 7 \qquad \sqrt[4]{3^3}

Skriv så enkelt som mulig

\lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3)

Fasit

$\underline{\underline{\lg 7 < e^{3\ln 1} < \sqrt[4]{3^3} < \log_2 8}}$

$\underline{\underline{5\lg b + 2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner hvert uttrykk eksakt:

\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3

e^{3\ln 1} = e^{3 \cdot 0} = e^0 = 1

For $\lg 7$ bruker vi at $10^0 = 1 < 7 < 10^1 = 10$ , så $0 < \lg 7 < 1$ .

For $\sqrt[4]{3^3} = 3^{3/4}$ bruker vi at $3^{1/2} = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ og $3^1 = 3$ , og siden $\frac{1}{2} < \frac{3}{4} < 1$ er $\sqrt{3} < 3^{3/4} < 3$ . Mer presist: $3^{3/4} \approx 2{,}28$ .

Stigende rekkefølge:

\textcolor{seagreen}{\lg 7} \approx 0{,}85 \quad < \quad \textcolor{steelblue}{e^{3\ln 1}} = 1 \quad < \quad \textcolor{orange}{3^{3/4}} \approx 2{,}28 \quad < \quad \textcolor{tomato}{\log_2 8} = 3

Stigende rekkefølge: $\underline{\underline{\lg 7 < e^{3\ln 1} < \sqrt[4]{3^3} < \log_2 8}}$

Vi bruker logaritmereglene $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ og $\lg\frac{x}{y} = \lg x - \lg y$ :

\begin{aligned} &\lg(ab) - \lg\frac{a}{b} + \lg(100b^3) \\ &= (\lg a + \lg b) - (\lg a - \lg b) + (\lg 100 + 3\lg b) \\ &= \lg a + \lg b - \lg a + \lg b + 2 + 3\lg b \\ &= 5\lg b + 2 \end{aligned}

$\underline{\underline{5\lg b + 2}}$

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: logaritmer
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Utforske og gjøre rede for egenskapene ved potenser og logaritmer, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse egenskapene

Oppgave 1-4 : Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V26

Bestem grenseverdien dersom den eksisterer

\lim_{x\to\infty} \frac{2x+2}{3x^2+3}

Fasit

$\underline{\underline{0}}$

LøsningsforslagKI-generert

Telleren $2x + 2$ har grad 1, nevneren $3x^2 + 3$ har grad 2. Siden graden i nevneren er høyere enn graden i telleren, er grenseverdien 0.

Vi kan vise dette ved å dele teller og nevner på $x^2$ :

\lim_{x\to\infty} \frac{2x+2}{3x^2+3} = \lim_{x\to\infty} \frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}{3+\dfrac{3}{x^2}}

Når $x \to \infty$ går $\dfrac{2}{x} \to 0$ , $\dfrac{2}{x^2} \to 0$ og $\dfrac{3}{x^2} \to 0$ , slik at

\lim_{x\to\infty} \frac{\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}{3+\dfrac{3}{x^2}} = \frac{0 + 0}{3 + 0} = \frac{0}{3} = \mathbf{\underline{\underline{0}}}

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: grenseverdier, rasjonale funksjoner
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Oppgave 1-5 : Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26

Avgjør om hver påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{x-d} \qquad \text{der } a, b, c, d \in \mathbb{R}

Påstand: Alle funksjoner på denne formen har en vertikal asymptote $x = d$ .

En funksjon $g$ er gitt ved

g(x) = e^{x-3} \qquad \text{der } x \in \mathbb{R}

Påstand: Den omvendte funksjonen til $g$ er gitt ved $g^{-1}(x) = \ln(x)+3$ der $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ .

Fasit

USANN – telleren kan ha $x = d$ som nullpunkt slik at brøken forkortes.

SANN – $g^{-1}(x) = \ln(x) + 3$ med $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ .

LøsningsforslagKI-generert

Påstanden er $\underline{\underline{\text{usann}}}$ .

En vertikal asymptote ved $x = d$ oppstår bare hvis $x = d$ er et nullpunkt i nevneren som ikke kan forkortes med telleren. Hvis telleren $ax^2 + bx + c$ også har $x = d$ som nullpunkt, kan faktoren $(x - d)$ forkortes, og det oppstår ingen asymptote – kun et punkt der funksjonen er udefinert.

Moteksempel: La $a = 1$ , $b = -d$ , $c = 0$ (dvs. $b = -d$ og $c = 0$ ). Da er

f(x) = \frac{x^2 - dx}{x - d} = \frac{x(x-d)}{x-d} = x \qquad (x \neq d)

Denne funksjonen har ingen vertikal asymptote ved $x = d$ – bare en «hull»-punkt (fjernbar singularitet). Dermed gjelder ikke påstanden for alle funksjoner på den gitte formen.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{sann}}}$ .

Vi finner den omvendte funksjonen ved å løse $y = e^{x-3}$ for $x$ :

\begin{aligned} y &= e^{x-3} \\ \ln y &= x - 3 \\ x &= \ln y + 3 \end{aligned}

Bytter vi om $x$ og $y$ får vi

g^{-1}(x) = \ln(x) + 3

Definisjonsmengde: $D_{g^{-1}}$ er lik verdimengden til $g$ . Siden $g(x) = e^{x-3} > 0$ for alle $x \in \mathbb{R}$ , er verdimengden til $g$ alle positive reelle tall, det vil si $\langle 0, \to \rangle$ .

Dermed er $D_{g^{-1}} = \langle 0, \to \rangle$ , og påstanden er sann.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: rasjonale funksjoner, omvendt funksjon, argumentasjon
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Oppgave 1-6 : Derivert av omvendt funksjon til ln R1 V26

En funksjon $f$ gitt ved $f(x) = \ln(x+2)$ , har en omvendt funksjon $g$ . Bestem $g'(1)$ .

Fasit

$g'(1) = e$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen for den deriverte av en omvendt funksjon:

g'(y) = \frac{1}{f'(g(y))}

Steg 1: Finn $g(1)$

Vi løser $f(x) = 1$ :

\ln(x+2) = 1 \implies x+2 = e \implies x = e-2

Altså er $g(1) = e - 2$ .

Steg 2: Finn $f'(x)$

f'(x) = \frac{1}{x+2}

Steg 3: Beregn $g'(1)$

g'(1) = \frac{1}{f'(g(1))} = \frac{1}{f'(e-2)} = \frac{1}{\dfrac{1}{(e-2)+2}} = \frac{1}{\dfrac{1}{e}} = \mathbf{\underline{\underline{e}}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: omvendt funksjon, derivasjon
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Oppgave 1-8 : Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

Gitt trekanten $OAB$ nedenfor.

Trekant OAB med punkt P på AB og punkt R på OB

Punktet $P$ er plassert slik at linjestykket $OP$ er $\frac{2}{3}$ av linjestykket $OA$ , og punktet $R$ er plassert slik at linjestykket $OR$ er $\frac{2}{3}$ av linjestykket $OB$ .

Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $\vec{a} = \vec{OA}$ og $\vec{b} = \vec{OB}$ .

Uttrykk $\vec{AB}$ og $\vec{PR}$ ved hjelp av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vis at $\vec{AB} \parallel \vec{PR}$ .

Hvor langt er linjestykket $AB$ dersom $|\vec{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ?

Fasit

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ , $\quad \vec{PR} = \dfrac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{PR} = \dfrac{2}{3} \vec{AB}$ , så $\vec{AB} \parallel \vec{PR}$

$|AB| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ :

\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}

Siden $OP = \frac{2}{3} \cdot OA$ , er $\vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{a}$ .

Siden $OR = \frac{2}{3} \cdot OB$ , er $\vec{OR} = \frac{2}{3}\vec{b}$ .

Vi bruker at $\vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP}$ :

\vec{PR} = \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} = \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a})

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ og $\vec{PR} = \dfrac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a})$

Fra deloppgave a) ser vi at:

\vec{PR} = \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{AB}

Siden $\vec{PR}$ er et skalarmultiplum av $\vec{AB}$ , er de to vektorene parallelle.

$\vec{AB} \parallel \vec{PR}$

Fra b) har vi $\vec{PR} = \frac{2}{3}\vec{AB}$ , og dermed:

|\vec{PR}| = \frac{2}{3}|\vec{AB}|

Vi løser for $|AB|$ :

|AB| = \frac{3}{2} \cdot |\vec{PR}| = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$|AB| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: vektorer, argumentasjon
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 1-9 : Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

Programkoden nedenfor er ikke helt ferdig.

def f(x):
    return 1/3*x**3 + 5/3*x**2 + 25/9*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x))/h

x = -4
slutt = 4
dx = 0.002
maks_avvik = 0.000001

while (x < slutt):
    x = x + dx
    if abs(g(x)) < maks_avvik:                #sjekker om g(x) er nær 0

        if g(x - dx) * g(x + dx) > 0:
            print("f har et A for x =", x)

        elif g(x - dx) < g(x + dx):
            print("f har et B for x =", x)

        elif g(x - dx) > g(x + dx):
            print("f har et C for x =", x)

Forklar sammenhengen mellom $f(x)$ og $g(x)$ i koden.

Hvilke tre ulike begreper skal stå i stedet for A, B og C i linje 18, 21 og 24?

Når programmet kjøres, skrives det ut én setning.

I hvilken linje står denne setningen? Husk å begrunne svaret.

Fasit

$g(x)$ er en numerisk tilnærming til $f'(x)$ (den deriverte av $f$ ).

A = terrassepunkt, B = bunnpunkt, C = toppunkt

Linje 18: «f har et terrassepunkt for x = …»

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $g(x)$ beregner den deriverte til $f$ numerisk ved hjelp av Newton-kvotienten (forskjellsformelen):

g(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}, \quad h = 0{,}000001

$g(x)$ er en numerisk tilnærming til den deriverte $f'(x)$ .

Koden sjekker fortegnsskiftet til $g$ rundt et stasjonært punkt ved å sammenligne $g(x - dx)$ og $g(x + dx)$ :

Linje 18 (A): g(x - dx) * g(x + dx) > 0 — begge har samme fortegn, altså skifter ikke $g$ fortegn. Det er ikke et topp- eller bunnpunkt, men et terrassepunkt.
Linje 21 (B): g(x - dx) < g(x + dx) — $g$ går fra negativ til positiv, altså er $f$ synkende til venstre og stigende til høyre. Det er et bunnpunkt.
Linje 24 (C): g(x - dx) > g(x + dx) — $g$ går fra positiv til negativ. Det er et toppunkt.

A = terrassepunkt, B = bunnpunkt, C = toppunkt.

Vi finner de stasjonære punktene til $f$ ved å løse $f'(x) = 0$ .

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{3}x^2 + \frac{25}{9}x

f'(x) = x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9}

Vi gjenkjenner dette som et fullstendig kvadrat:

f'(x) = \left(x + \frac{5}{3}\right)^2

Dette har ett dobbelt nullpunkt: $x = -\dfrac{5}{3}$ .

Siden $f'(x) = \left(x + \frac{5}{3}\right)^2 \geq 0$ for alle $x$ , skifter aldri $f'$ fortegn. Det betyr at $g(x - dx)$ og $g(x + dx)$ begge er ikke-negative rundt $x = -\frac{5}{3}$ , slik at produktet $g(x-dx) \cdot g(x+dx) > 0$ .

Den første betingelsen (g(x - dx) * g(x + dx) > 0) slår til, og programmet skriver ut:

«f har et terrassepunkt for x = …»

Setningen som skrives ut, er fra linje 18.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: programmering, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter

Oppgave 2-1 : Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

Tabellen nedenfor viser farten til en rakett noen sekunder etter at raketten har forlatt utskytingsrampen.

Tid (sekunder)	$1$	$5$	$10$	$20$	$50$	$100$	$150$
Fart (meter per sekund)	$7{,}3$	$9{,}2$	$10{,}7$	$25{,}6$	$61{,}3$	$183{,}0$	$218{,}2$

Lag en modell $V$ på formen

V(t) = \frac{C}{1+a\cdot e^{-kt}}

for farten $V(t)$ meter per sekund, $t$ sekunder etter at raketten har forlatt utskytingsrampen.

Hvor lang tid tar det før raketten oppnår en fart på $100\mathrm{~m/s}$ ?

Når er fartsøkningen til raketten størst? Hvor stor er denne fartsøkningen?

Hvor lenge øker farten til raketten med mer enn $2\mathrm{~m/s^2}$ ?

Fasit

$V(t) = \dfrac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478t}}$

$t \approx \mathbf{64{,}8} \mathrm{~s}$

Størst fartsøkning ved $t \approx 69{,}2 \mathrm{~s}$ , der $V'(t) \approx \mathbf{2{,}67} \mathrm{~m/s^2}$

Farten øker med mer enn $2 \mathrm{~m/s^2}$ i ca. $\mathbf{46{,}1} \mathrm{~s}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker logistisk regresjon på de gitte datapunktene. Regresjon med scipy gir parameterne

C \approx 223{,}48, \quad a \approx 27{,}33, \quad k \approx 0{,}0478

Vi definerer modellen i GeoGebra CAS (linje 1):

V(t) = \frac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478 \cdot t}}

Se figuren nedenfor for CAS-sesjonen brukt i b)–d).

$V(t) = \dfrac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478 \cdot t}}$

Vi løser $V(t) = 100$ numerisk i GeoGebra CAS (linje 2):

\frac{223{,}48}{1 + 27{,}33 \cdot e^{-0{,}0478 \cdot t}} = 100

Se linje 2 i CAS-figuren: $t \approx 64{,}79$ .

Raketten oppnår $100 \mathrm{~m/s}$ etter ca. $\underline{\underline{64{,}8 \mathrm{~s}}}$ .

Fartsøkningen er $V'(t)$ . Vi deriverer $V(t)$ i GeoGebra CAS (linje 3) og setter $V''(t) = 0$ for å finne maksimum (linje 4):

V''(t) = 0 \implies t \approx 69{,}2 \mathrm{~s}

Se linje 4 i CAS-figuren. Vi beregner så $V'(69{,}2) \approx 2{,}67$ .

Fartsøkningen er størst ved $t \approx \underline{\underline{69{,}2 \mathrm{~s}}}$ , der $V'(t) \approx \underline{\underline{2{,}67 \mathrm{~m/s^2}}}$ .

Vi løser $V'(t) = 2$ i GeoGebra CAS (linje 5):

V'(t) = 2 \implies t \approx 46{,}16 \quad \text{og} \quad t \approx 92{,}25

Se linje 5 i CAS-figuren. Siden $V'(t) > 2$ mellom de to løsningene, er varigheten

92{,}25 - 46{,}16 \approx 46{,}09 \mathrm{~s}

Farten øker med mer enn $2 \mathrm{~m/s^2}$ i ca. $\underline{\underline{46{,}1 \mathrm{~s}}}$ (fra $t \approx 46{,}2 \mathrm{~s}$ til $t \approx 92{,}2 \mathrm{~s}$ ).

GeoGebra CAS – logistisk modell for raketthastighet

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: modellering, logistisk funksjon, derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

Oppgave 2-2 : Skøyteløper og hund med parameterfremstilling R1 V26

En skøyteløper beveger seg over et islagt vann.

I et koordinatsystem der enhetene langs aksene er meter, er posisjonen til skøyteløperen etter $t$ sekunder gitt ved

l: \begin{cases} x = 6t + 120 \\ y = \dfrac{5}{3}t + 50 \end{cases} \qquad t \in [0, 200]

Bestem banefarten og posisjonen til skøyteløperen etter et halvt minutt.

Samtidig med skøyteløperen kommer en hund springende over isen. I det samme koordinatsystemet er posisjonen til hunden etter $t$ sekunder gitt ved

m: \begin{cases} x = \dfrac{13}{2}t + 250 \\ y = -\dfrac{9}{5}t + 520 \end{cases} \qquad t \in [0, 200]

Vis at skøyteløperen ikke vil treffe hunden.

Hunden har vært savnet en stund, og skøyteløperen ønsker å fange den. Skøyteløperen oppdager hunden etter $1$ minutt, og øker da sin banefart uten å endre retning. Hunden endrer verken retning eller banefart.

Hvilken ny konstant banefart må skøyteløperen holde fra dette tidspunktet for å fange hunden?

Fasit

Banefart $\dfrac{\sqrt{349}}{3} \approx 6{,}23 \, \mathrm{m/s}$ , posisjon $(300, 100)$ etter $30 \, \mathrm{s}$

$x$ -likningene gir $t = -260$ og $y$ -likningene gir $t \approx 135{,}6$ — ingen felles $t$ gir samme posisjon

Ny banefart $\dfrac{181\sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \, \mathrm{m/s}$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS

Fartsvektoren til skøyteløperen leses av fra parameterfremstillingen som $\vec{v}_l = (6,\ \tfrac{5}{3})$ .

Banefarten er lengden av fartsvektoren:

|\vec{v}_l| = \sqrt{6^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{324 + 25}{9}} = \frac{\sqrt{349}}{3}

Se linje 1 i GeoGebra: $\mathbf{banefart_l \approx 6{,}2272 \, \mathrm{m/s}}$

Et halvt minutt er $t = 30 \, \mathrm{s}$ . Posisjonen er

x = 6 \cdot 30 + 120 = \mathbf{300}, \qquad y = \frac{5}{3} \cdot 30 + 50 = \mathbf{100}

Se linje 2 og 3 i GeoGebra.

Banefarten er $\dfrac{\sqrt{349}}{3} \approx 6{,}23 \, \mathrm{m/s}$ , og skøyteløperen er i punktet $(300,\ 100)$ etter $30 \, \mathrm{s}$ .

For at skøyteløperen og hunden skal treffe hverandre, må det finnes en $t \in [0, 200]$ slik at begge er i samme punkt samtidig. Vi løser $x$ - og $y$ -likningene separat og sjekker om de gir samme $t$ .

$x$ -likning:

6t + 120 = \frac{13}{2}t + 250 \implies -\frac{1}{2}t = 130 \implies t = -260

Se linje 4 i GeoGebra: $t_x = \{t = -260\}$ .

$y$ -likning:

\frac{5}{3}t + 50 = -\frac{9}{5}t + 520 \implies \left(\frac{5}{3} + \frac{9}{5}\right)t = 470 \implies \frac{52}{15}t = 470 \implies t = \frac{3525}{26} \approx 135{,}6

Se linje 5 i GeoGebra: $t_y \approx 135{,}6$ .

Siden $t_x = -260 \neq t_y \approx 135{,}6$ , finnes det ingen $t$ der begge er i samme posisjon. (Geometrisk betyr dette at banene $l$ og $m$ er to forskjellige rette linjer som skjærer hverandre i ett punkt, men skøyteløperen og hunden passerer det punktet på ulike tidspunkt.)

Skøyteløperen vil ikke treffe hunden.

Etter $t = 60 \, \mathrm{s}$ (1 minutt) er posisjonene:

\text{Skøyteløper: } (6 \cdot 60 + 120,\ \tfrac{5}{3} \cdot 60 + 50) = (480,\ 150)

\text{Hund: } (\tfrac{13}{2} \cdot 60 + 250,\ -\tfrac{9}{5} \cdot 60 + 520) = (640,\ 412)

Se linje 6 og 7 i GeoGebra.

Fra $t = 60$ øker skøyteløperen banefarten med en faktor $k > 0$ (beholder retningen $(6,\ \tfrac{5}{3})$ ). Den nye fartsvektoren er $k \cdot (6,\ \tfrac{5}{3})$ , og posisjonen for $t > 60$ er

\begin{cases} x_l(t) = 480 + 6k(t - 60) \\ y_l(t) = 150 + \dfrac{5}{3}k(t - 60) \end{cases}

Hunden fortsetter uendret:

\begin{cases} x_m(t) = \dfrac{13}{2}t + 250 \\ y_m(t) = -\dfrac{9}{5}t + 520 \end{cases}

Vi setter opp likningssystemet $x_l(t) = x_m(t)$ og $y_l(t) = y_m(t)$ og løser for $t$ og $k$ :

\begin{aligned} 480 + 6k(t-60) &= \frac{13}{2}t + 250 \\ 150 + \frac{5}{3}k(t-60) &= -\frac{9}{5}t + 520 \end{aligned}

Løsning (se Python-beregning): $t = \dfrac{7100}{59} \approx 120{,}3 \, \mathrm{s}$ og $k = \dfrac{543}{356} \approx 1{,}525$ .

Den nye banefarten er

v = k \cdot |\vec{v}_l| = \frac{543}{356} \cdot \frac{\sqrt{349}}{3} = \frac{181\sqrt{349}}{356}

Se linje 9 i GeoGebra: $\mathbf{ny\_banefart \approx 9{,}50 \, \mathrm{m/s}}$ .

Skøyteløperen må holde en banefart på $\dfrac{181\sqrt{349}}{356} \approx 9{,}50 \, \mathrm{m/s}$ for å fange hunden.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: vektorer, parameterfremstilling
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 2-3 : Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

$Graf til f(x)=100\cdot 0{,}8^x med rektangel ABCD$

Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon $f$ gitt ved $f(x) = 100\cdot 0{,}8^x$ og et rektangel $ABCD$ .

Punktet $A$ har koordinatene $A(a, f(a))$ der $a \in [0, 5\rangle$ . Punktene $B$ og $C$ har førstekoordinat $5$ , og punktene $C$ og $D$ har andrekoordinat $200$ .

Uttrykk lengden av linjestykkene $AB$ og $AD$ ved $a$ .

Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet $ABCD$ kan få.

Fasit

$|AB| = 5 - a$ , $\quad |AD| = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a$

$\underline{\underline{A_{\max} \approx 500{,}98}}$ (ved $a \approx 0{,}17$ )

LøsningsforslagKI-generert

Punkt $A$ har koordinatene $(a,\, f(a))$ , og $B$ har førstekoordinat $5$ og samme andrekoordinat som $A$ , så

|AB| = 5 - a

Punkt $D$ har andrekoordinat $200$ og samme førstekoordinat som $A$ , så

|AD| = 200 - f(a) = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a

Vi setter opp arealfunksjonen

A(a) = |AB| \cdot |AD| = (5 - a)\bigl(200 - 100 \cdot 0{,}8^a\bigr), \quad a \in \langle 0,\, 5 \rangle

Vi bruker CAS til å finne det stasjonære punktet og sammenligner med endepunktene (se linje 4–8 i GeoGebra-utklippet).

GeoGebra CAS – arealfunksjon og maksimum

Fra linje 6 gir $A'(a) = 0$ løsningen $a \approx 0{,}1707$ .

Vi kontrollerer verdiene:

$a$	$A(a)$
$0{,}1707$	$\approx 500{,}98$
$0$	$500$
$5$	$0$

Det stasjonære punktet gir det største arealet.

Det største arealet rektangelet $ABCD$ kan få, er $\underline{\underline{A \approx 500{,}98}}$ , oppnådd når $a \approx 0{,}17$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: optimering, derivasjon, eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer

Oppgave 2-4 : Stykkevis funksjon for strømstønad R1 V26

Utdraget nedenfor er hentet fra regjeringens nettsider om strømtiltak og støtte til husholdningene.

Info

Støtte til husholdningene

Husholdninger

Ansvar: Energidepartementet.

Regjeringen har de siste årene gjennomført en rekke tiltak for å skjerme husholdningene mot høye strømpriser og legge til rette for et mer forbrukervennlig strømmarked.

Strømstønad til husholdningene

Strømstønadsordningen har siden desember 2021 bidratt til å skjerme husholdninger mot ekstraordinært høye strømpriser. Ordningen gir forutsigbarhet og bidrar til å holde strømutgiftene til husholdningene nede. Når spotprisen i enkelttimer overstiger $75$ øre/kWh eksklusive merverdiavgift, vil strømstønaden dekke $90$ prosent av prisen over dette nivået. Husholdninger får stønad på strømforbruk på opptil $5\,000$ kWh per måned per målepunkt. Ordningen administreres gjennom husholdningenes lokale nettselskap og skjer gjennom et automatisk fratrekk på fakturaen for nettleie.

I denne oppgaven kan du se bort fra merverdiavgift og anta et strømforbruk under $5000$ kWh per måned per målepunkt.

La $f(x)$ beskrive strømprisen til husholdningen i øre/kWh, etter at strømstønaden er trukket fra, der $x$ er spotprisen i øre/kWh.

Forklar hvorfor funksjonen $f$ har delt forskrift, og begrunn hvorfor den må være kontinuerlig.

Sett opp et funksjonsuttrykk for $f(x)$ .

Fasit

$f$ har delt forskrift fordi stønadsregelen endrer seg ved $x = 75$ . Kontinuitet kreves fordi prisen ikke kan hoppe ved terskelen.

$\underline{\underline{f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \le x \le 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5 & \text{for } x > 75 \end{cases}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $f$ har delt forskrift fordi strømstønadsordningen fungerer ulikt avhengig av om spotprisen $x$ er under eller over terskelen på $75$ øre/kWh:

Når $x \le 75$ : Husholdningen mottar ingen stønad og betaler spotprisen direkte, altså $f(x) = x$ .
Når $x > 75$ : Strømstønaden dekker $90\,\%$ av prisen over $75$ øre/kWh. Husholdningen betaler da $75$ øre pluss de resterende $10\,\%$ av det overskytende beløpet.

De to reglene gjelder for hvert sitt intervall, noe som gir en stykkevis definert funksjon.

Funksjonen må være kontinuerlig fordi strømprisen er en fysisk størrelse som ikke kan hoppe plutselig. Dersom $f$ hadde et sprang ved $x = 75$ , ville en marginal økning i spotprisen over $75$ øre/kWh føre til at husholdningen plutselig betalte vesentlig mer eller mindre – det gir ikke mening for en prismodell. Vi kan verifisere kontinuitet ved å sjekke at begge regler gir samme verdi i $x = 75$ :

\lim_{x \to 75^-} f(x) = 75 \qquad \text{og} \qquad \lim_{x \to 75^+} f(x) = 0{,}1 \cdot 75 + 67{,}5 = 7{,}5 + 67{,}5 = 75 \checkmark

Når $x \le 75$ betaler husholdningen spotprisen direkte:

f(x) = x

Når $x > 75$ dekker stønaden $90\,\%$ av prisen over $75$ øre/kWh. Prisen husholdningen betaler blir da:

f(x) = x - 0{,}9 \cdot (x - 75) = x - 0{,}9x + 67{,}5 = 0{,}1x + 67{,}5

Samlet gir dette funksjonsuttrykket:

\underline{\underline{f(x) = \begin{cases} x & \text{for } 0 \le x \le 75 \\ 0{,}1x + 67{,}5 & \text{for } x > 75 \end{cases}}}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: funksjoner, modellering, argumentasjon
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner

Oppgave 2-5 : Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26

En funksjon $f$ er gitt ved $f(x) = e^{2x}$ der $x \in \mathbb{R}$ .

Grafen til $f$ har én tangent som går gjennom origo.

Bestem eksakte verdier for koordinatene til tangeringspunktet.

Fasit

Tangeringspunktet er $\left(\dfrac{1}{2},\, e\right)$ .

LøsningsforslagKI-generert

La $\left(a,\, f(a)\right) = \left(a,\, e^{2a}\right)$ være tangeringspunktet.

Tangenten i dette punktet har stigningstall $f'(a)$ . Siden $f'(x) = 2e^{2x}$ , er stigningstallet

f'(a) = 2e^{2a}

For at tangenten skal gå gjennom origo $(0, 0)$ , må stigningstallet også stemme med stigningstallet fra origo til tangeringspunktet:

\frac{f(a) - 0}{a - 0} = \frac{e^{2a}}{a}

Vi setter de to uttrykkene for stigningstallet like hverandre:

2e^{2a} = \frac{e^{2a}}{a}

Siden $e^{2a} > 0$ for alle $a$ , kan vi dele begge sider på $e^{2a}$ :

2 = \frac{1}{a} \implies \mathbf{a = \dfrac{1}{2}}

GeoGebra CAS bekrefter $a = 0{,}5$ (se linje 2 i figuren):

GeoGebra CAS – tangent fra origo

$y$ -koordinaten i tangeringspunktet er

f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = e^{2 \cdot \frac{1}{2}} = e^1 = e

Tangeringspunktet er $\mathbf{\left(\dfrac{1}{2},\, e\right)}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: derivasjon, tangent, eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 1-1 : Derivasjon av polynom og brøk R1 V26

Oppgave 1-2 : Topp- og bunnpunkt for eksponentialfunksjon R1 V26

Oppgave 1-3 : Sortere og forenkle logaritmeuttrykk R1 V26

Oppgave 1-4 : Grenseverdi av rasjonalt uttrykk R1 V26

Oppgave 1-5 : Påstander om asymptote og omvendt funksjon R1 V26

Oppgave 1-6 : Derivert av omvendt funksjon til ln R1 V26

Oppgave 1-8 : Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

Oppgave 1-9 : Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 2-1 : Logistisk modell for raketthastighet R1 V26

Oppgave 2-2 : Skøyteløper og hund med parameterfremstilling R1 V26

Oppgave 2-3 : Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

Oppgave 2-4 : Stykkevis funksjon for strømstønad R1 V26

Oppgave 2-5 : Tangent fra origo til eksponentialfunksjon R1 V26