Maksimalt rektangel under eksponentialgraf R1 V26

$Graf til f(x)=100\cdot 0{,}8^x med rektangel ABCD$

Figuren ovenfor viser grafen til en funksjon $f$ gitt ved $f(x) = 100\cdot 0{,}8^x$ og et rektangel $ABCD$ .

Punktet $A$ har koordinatene $A(a, f(a))$ der $a \in [0, 5\rangle$ . Punktene $B$ og $C$ har førstekoordinat $5$ , og punktene $C$ og $D$ har andrekoordinat $200$ .

Uttrykk lengden av linjestykkene $AB$ og $AD$ ved $a$ .

Bruk derivasjon til å bestemme det største arealet rektangelet $ABCD$ kan få.

Fasit

$|AB| = 5 - a$ , $\quad |AD| = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a$

$\underline{\underline{A_{\max} \approx 500{,}98}}$ (ved $a \approx 0{,}17$ )

LøsningsforslagKI-generert

Punkt $A$ har koordinatene $(a,\, f(a))$ , og $B$ har førstekoordinat $5$ og samme andrekoordinat som $A$ , så

|AB| = 5 - a

Punkt $D$ har andrekoordinat $200$ og samme førstekoordinat som $A$ , så

|AD| = 200 - f(a) = 200 - 100 \cdot 0{,}8^a

Vi setter opp arealfunksjonen

A(a) = |AB| \cdot |AD| = (5 - a)\bigl(200 - 100 \cdot 0{,}8^a\bigr), \quad a \in \langle 0,\, 5 \rangle

Vi bruker CAS til å finne det stasjonære punktet og sammenligner med endepunktene (se linje 4–8 i GeoGebra-utklippet).

GeoGebra CAS – arealfunksjon og maksimum

Fra linje 6 gir $A'(a) = 0$ løsningen $a \approx 0{,}1707$ .

Vi kontrollerer verdiene:

$a$	$A(a)$
$0{,}1707$	$\approx 500{,}98$
$0$	$500$
$5$	$0$

Det stasjonære punktet gir det største arealet.

Det største arealet rektangelet $ABCD$ kan få, er $\underline{\underline{A \approx 500{,}98}}$ , oppnådd når $a \approx 0{,}17$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 2, oppgave 3
Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: optimering, derivasjon, eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer