Python-kode for stasjonære punkter R1 V26

Programkoden nedenfor er ikke helt ferdig.

def f(x):
    return 1/3*x**3 + 5/3*x**2 + 25/9*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x))/h

x = -4
slutt = 4
dx = 0.002
maks_avvik = 0.000001

while (x < slutt):
    x = x + dx
    if abs(g(x)) < maks_avvik:                #sjekker om g(x) er nær 0

        if g(x - dx) * g(x + dx) > 0:
            print("f har et A for x =", x)

        elif g(x - dx) < g(x + dx):
            print("f har et B for x =", x)

        elif g(x - dx) > g(x + dx):
            print("f har et C for x =", x)

Forklar sammenhengen mellom $f(x)$ og $g(x)$ i koden.

Hvilke tre ulike begreper skal stå i stedet for A, B og C i linje 18, 21 og 24?

Når programmet kjøres, skrives det ut én setning.

I hvilken linje står denne setningen? Husk å begrunne svaret.

Fasit

$g(x)$ er en numerisk tilnærming til $f'(x)$ (den deriverte av $f$ ).

A = terrassepunkt, B = bunnpunkt, C = toppunkt

Linje 18: «f har et terrassepunkt for x = …»

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $g(x)$ beregner den deriverte til $f$ numerisk ved hjelp av Newton-kvotienten (forskjellsformelen):

g(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}, \quad h = 0{,}000001

$g(x)$ er en numerisk tilnærming til den deriverte $f'(x)$ .

Koden sjekker fortegnsskiftet til $g$ rundt et stasjonært punkt ved å sammenligne $g(x - dx)$ og $g(x + dx)$ :

Linje 18 (A): g(x - dx) * g(x + dx) > 0 — begge har samme fortegn, altså skifter ikke $g$ fortegn. Det er ikke et topp- eller bunnpunkt, men et terrassepunkt.
Linje 21 (B): g(x - dx) < g(x + dx) — $g$ går fra negativ til positiv, altså er $f$ synkende til venstre og stigende til høyre. Det er et bunnpunkt.
Linje 24 (C): g(x - dx) > g(x + dx) — $g$ går fra positiv til negativ. Det er et toppunkt.

A = terrassepunkt, B = bunnpunkt, C = toppunkt.

Vi finner de stasjonære punktene til $f$ ved å løse $f'(x) = 0$ .

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{3}x^2 + \frac{25}{9}x

f'(x) = x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{25}{9}

Vi gjenkjenner dette som et fullstendig kvadrat:

f'(x) = \left(x + \frac{5}{3}\right)^2

Dette har ett dobbelt nullpunkt: $x = -\dfrac{5}{3}$ .

Siden $f'(x) = \left(x + \frac{5}{3}\right)^2 \geq 0$ for alle $x$ , skifter aldri $f'$ fortegn. Det betyr at $g(x - dx)$ og $g(x + dx)$ begge er ikke-negative rundt $x = -\frac{5}{3}$ , slik at produktet $g(x-dx) \cdot g(x+dx) > 0$ .

Den første betingelsen (g(x - dx) * g(x + dx) > 0) slår til, og programmet skriver ut:

«f har et terrassepunkt for x = …»

Setningen som skrives ut, er fra linje 18.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 1, oppgave 9
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: programmering, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter