Parallelle vektorer i trekant OAB R1 V26

Gitt trekanten $OAB$ nedenfor.

Trekant OAB med punkt P på AB og punkt R på OB

Punktet $P$ er plassert slik at linjestykket $OP$ er $\frac{2}{3}$ av linjestykket $OA$ , og punktet $R$ er plassert slik at linjestykket $OR$ er $\frac{2}{3}$ av linjestykket $OB$ .

Vektorene $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $\vec{a} = \vec{OA}$ og $\vec{b} = \vec{OB}$ .

Uttrykk $\vec{AB}$ og $\vec{PR}$ ved hjelp av $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vis at $\vec{AB} \parallel \vec{PR}$ .

Hvor langt er linjestykket $AB$ dersom $|\vec{PR}| = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$ ?

Fasit

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ , $\quad \vec{PR} = \dfrac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a})$

$\vec{PR} = \dfrac{2}{3} \vec{AB}$ , så $\vec{AB} \parallel \vec{PR}$

$|AB| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker at $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ :

\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}

Siden $OP = \frac{2}{3} \cdot OA$ , er $\vec{OP} = \frac{2}{3}\vec{a}$ .

Siden $OR = \frac{2}{3} \cdot OB$ , er $\vec{OR} = \frac{2}{3}\vec{b}$ .

Vi bruker at $\vec{PR} = \vec{OR} - \vec{OP}$ :

\vec{PR} = \frac{2}{3}\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a} = \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a})

$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ og $\vec{PR} = \dfrac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a})$

Fra deloppgave a) ser vi at:

\vec{PR} = \frac{2}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{AB}

Siden $\vec{PR}$ er et skalarmultiplum av $\vec{AB}$ , er de to vektorene parallelle.

$\vec{AB} \parallel \vec{PR}$

Fra b) har vi $\vec{PR} = \frac{2}{3}\vec{AB}$ , og dermed:

|\vec{PR}| = \frac{2}{3}|\vec{AB}|

Vi løser for $|AB|$ :

|AB| = \frac{3}{2} \cdot |\vec{PR}| = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}

$|AB| = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2026, del 1, oppgave 8
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: vektorer, argumentasjon
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet