R1 Vår 2025

R1 Vår 2025 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler
1-1	Derivasjon av eksponential og potensfunksjon	KI
1-2	Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt	KI
1-3	Eksponential- og logaritmelikninger	KI
1-4	Grenseverdier med algebraisk forenkling	—
1-5	Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis	KI
1-6	Vektorer og basketball	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler
2-1	Logistisk vekstmodell batteriteknologi	KI
2-2	Omvendt funksjon og tangentlikninger	KI
2-3	Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk	KI
2-4	Fiskebåt og vektorbevegelse	KI
2-5	Tangent til ln og trekantareal	KI

Oppgave 1-1 : Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = e^{-2x} + \frac{1}{5}x^5 - 2\pi

Fasit

$\underline{\underline{f'(x) = -2e^{-2x} + x^4}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd.

Første ledd: $e^{-2x}$

Vi bruker kjerneregelen med $u = -2x$ og $e^u$ :

\left(e^{-2x}\right)' = e^{-2x} \cdot (-2x)' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}

Andre ledd: $\frac{1}{5}x^5$

Vi bruker potensregelen:

\left(\frac{1}{5}x^5\right)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 = x^4

Tredje ledd: $2\pi$

$2\pi$ er en konstant, og den deriverte av en konstant er 0.

Samlet:

f'(x) = \textcolor{seagreen}{-2e^{-2x}} + \textcolor{steelblue}{x^4}

Sensorveiledning

Kandidater som deriverer det første leddet riktig eller de to siste leddene riktig, får 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Poeng: 2
Temaer: derivasjon, eksponentialfunksjoner
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner

Oppgave 1-2 : Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

En funksjon $g$ er gitt ved $g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2$

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$ .

Vis at $g'(x) = \dfrac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3)$

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

$\underline{\underline{x = \dfrac{1}{2}}}$ (dobbelt nullpunkt)

Se løsningsforslag.

Toppunkt: $\underline{\underline{\left(-\dfrac{3}{2},\ 8e^{-3/2}\right)}}$ , bunnpunkt: $\underline{\underline{\left(\dfrac{1}{2},\ 0\right)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser etter $x$ slik at $g(x) = 0$ :

\frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 = 0

Et produkt er null når minst én faktor er null. Siden $e^x > 0$ for alle $x$ , og $\frac{1}{2} > 0$ , må

(2x-1)^2 = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}

$g$ har ett nullpunkt: $x = \dfrac{1}{2}$ (dobbelt nullpunkt).

Vi deriverer $g(x) = \dfrac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2$ med produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$ :

u = \frac{1}{2}e^x, \quad u' = \frac{1}{2}e^x

v = (2x-1)^2, \quad v' = 2(2x-1) \cdot 2 = 4(2x-1)

Dermed:

g'(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1)^2 + \frac{1}{2}e^x \cdot 4(2x-1)

Vi faktoriserer ut $\dfrac{1}{2}e^x(2x-1)$ :

g'(x) = \frac{1}{2}e^x(2x-1)\bigl[(2x-1) + 4\bigr] = \frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3)

Dette er det vi skulle vise. $\square$

Vi setter $g'(x) = 0$ :

\frac{1}{2}e^x(2x-1)(2x+3) = 0

Siden $\dfrac{1}{2}e^x > 0$ for alle $x$ , må

(2x-1)(2x+3) = 0 \implies x = \frac{1}{2} \quad \text{eller} \quad x = -\frac{3}{2}

Fortegnsskjema for $g'(x) = \frac{1}{2}e^x \cdot (2x-1) \cdot (2x+3)$ :

	$x < -\dfrac{3}{2}$	$x = -\dfrac{3}{2}$	$-\dfrac{3}{2} < x < \dfrac{1}{2}$	$x = \dfrac{1}{2}$	$x > \dfrac{1}{2}$
$(2x+3)$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$(2x-1)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$g'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g$	$\nearrow$	topp	$\searrow$	bunn	$\nearrow$

$g$ har toppunkt i $x = -\dfrac{3}{2}$ og bunnpunkt i $x = \dfrac{1}{2}$ .

Funksjonsverdi i toppunktet:

g\!\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}e^{-3/2} \cdot \left(2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) - 1\right)^2 = \frac{1}{2}e^{-3/2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2}e^{-3/2} \cdot 16 = 8e^{-3/2}

Funksjonsverdi i bunnpunktet:

g\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}e^{1/2} \cdot (2 \cdot \tfrac{1}{2} - 1)^2 = \frac{1}{2}e^{1/2} \cdot 0 = 0

Toppunkt: $\left(-\dfrac{3}{2},\ 8e^{-3/2}\right) \approx \left(-1{,}5;\ 1{,}78\right)$

Bunnpunkt: $\left(\dfrac{1}{2},\ 0\right)$

Sensorveiledning

1,7 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

1,7 poeng

Kandidater som viser god kompetanse innen derivasjon, men ikke kommer fram til riktig svar kan få 1 poeng. Kandidater som deriverer riktig, men som ikke viser faktorisering, får 2 poeng.

1,7 poeng

Kandidater som kun finner $x$ -verdiene til punktene, kan få 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidatene argumentere for om punktene er topp- eller bunnpunkter.

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: derivasjon, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 1-3 : Eksponential- og logaritmelikninger

Løs likningene

$3^{3x+2} - 5 = 76$

$3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9} = 2$

Fasit

$\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}$

$\underline{\underline{x = \dfrac{1}{10}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver 81 som en potens med grunntall 3:

81 = 3^4

Likningen blir da

3^{3x+2} - 5 = 76

3^{3x+2} = 81 = 3^4

Siden grunntalene er like, kan vi sette eksponentene like:

3x + 2 = 4

3x = 2

\underline{\underline{x = \dfrac{2}{3}}}

Vi bruker logaritmereglene for å forenkle venstresiden:

3\lg x + 2\lg x^2 + \lg\dfrac{1}{x^9}

Først bruker vi potensregelen $\lg a^n = n \lg a$ :

= 3\lg x + 2 \cdot 2\lg x + \lg x^{-9}

= 3\lg x + 4\lg x + (-9)\lg x

= (3 + 4 - 9)\lg x

= -2\lg x

Likningen er altså

-2\lg x = 2

\lg x = -1

\underline{\underline{x = 10^{-1} = \dfrac{1}{10}}}

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som viser kompetanse innen logaritmeregning, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som kommer fram til $\lg x = -1$ kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: eksponentialfunksjoner, logaritmer
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger

Oppgave 1-4 : Grenseverdier med algebraisk forenkling

Bestem grenseverdiene

$\lim_{x\to 3} \dfrac{3(x^2-3)}{x-3}$

$\lim_{x\to 4} \dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke (venstre- og høyregrense stemmer ikke overens).

Løsningsforslag

Vi ser at nevneren går mot null når $x\to 3$ , mens telleren går mot $3 \cdot (9-3)=3\cdot 6 = 18$ .

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss $3$ fra venstre side. Jeg velger $x=2{,}5$ for å få en følelse for tallene.

\frac{3(2{,}5^{2}-3)}{2{,}5-3}=\frac{3(6{,}25-3)}{-0{,}5}=\frac{3 \cdot 3{,}25}{-0{,}5} = -19{,}5

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere $3$ ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

\lim_{ x \to 3^{-} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= -\infty

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

\frac{3(3{,}5^{2}-3)}{3{,}5-3}=\frac{3(12{,}25-3)}{0{,}5}=\frac{3 \cdot 9{,}25}{0{,}5} \approx 55

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

\lim_{ x \to 3^{+} } \frac{3(x^{2}-3)}{x-3}= \infty

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidaten får full uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm\infty$ .

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng. For å få full uttelling ved bruk av L’Hôpitals regel må kandidaten vise til at kravet for å bruke regelen er oppfylt.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Poeng: 4
Temaer: grenseverdi
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier

Oppgave 1-5 : Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \begin{cases} x^2 + 2\text{,} \quad & x < 0 \\ 2e^x\text{,} & x \ge 0 \end{cases}

Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 0$ .

Fasit

$f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

$f$ er ikke deriverbar i $x = 0$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal avgjøre om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ . Vi undersøker venstregrensen, funksjonsverdien og høyregrensen.

Venstregrensen ( $x \to 0^-$ , dvs. $f(x) = x^2 + 2$ ):

\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2 + 2 = 2

Funksjonsverdien (siden $x = 0$ gir $f(x) = 2e^x$ ):

f(0) = 2e^0 = 2 \cdot 1 = 2

Høyregrensen ( $x \to 0^+$ , dvs. $f(x) = 2e^x$ ):

\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2e^0 = 2

Siden $\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$ , er $f$ $\underline{\underline{\text{kontinuerlig i } x = 0}}$ .

Vi skal avgjøre om $f$ er deriverbar i $x = 0$ . Det krever at den deriverte fra venstre og høyre er like.

Den deriverte fra venstre bruker $f(x) = x^2 + 2$ , som gir $f'(x) = 2x$ :

\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 2 \cdot 0 = 0

Den deriverte fra høyre bruker $f(x) = 2e^x$ , som gir $f'(x) = 2e^x$ :

\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 2e^0 = 2

Siden $0 \ne 2$ , er de ensidige deriverte ikke like, og $f$ er $\underline{\underline{\text{ikke deriverbar i } x = 0}}$ .

Sensorveiledning

1,5 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

1,5 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng. Kandidater som finner at $f$ ikke er kontinuerlig i a og argumenterer med dette i b, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 3
Temaer: kontinuitet, derivasjon
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner

Oppgave 1-6 : Vektorer og basketball

Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsystem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet $J(0,0)$ , Nils befinner seg i punktet $N(-1,2)$ , og Ahmad befinner seg i punktet $A(1,1)$ . Enheten langs aksene er meter.

Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.

En basketball ligger i punktet $(-1, a)$ , der $a \in \mathbb{R}$ . Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad.

Bestem $a$ .

Nils flytter seg til et nytt punkt $M$ . $M$ er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er $\sqrt{10}$ meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, $\angle MAJ$ , er 90 grader.

Bestem koordinatene til $M$ .

Fasit

$\underline{\underline{|NA| = \sqrt{5} \, \mathrm{m}}}$

$\underline{\underline{a = \dfrac{1}{2}}}$

$\underline{\underline{M = (-1,\, 3)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektoren $\overrightarrow{NA}$ fra $N(-1, 2)$ til $A(1, 1)$ :

\overrightarrow{NA} = A - N = (1-(-1),\ 1-2) = (2,\ -1)

Lengden er

|NA| = |\overrightarrow{NA}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \textbf{$\underline{\underline{\sqrt{5} \, \mathrm{m}}}$}

Vektoren fra Jelena $J(0, 0)$ til ballen $B(-1, a)$ er

\overrightarrow{JB} = (-1-0,\ a-0) = (-1,\ a)

To vektorer er parallelle når determinanten er null (eller den ene er en skalarmultippel av den andre).

\overrightarrow{JB} \parallel \overrightarrow{NA} \iff (-1)\cdot(-1) - 2\cdot a = 0

1 - 2a = 0 \implies \textbf{$\underline{\underline{a = \dfrac{1}{2}}}$}

Alternativt: $\overrightarrow{JB} = k \cdot \overrightarrow{NA}$ gir $-1 = 2k$ , altså $k = -\tfrac{1}{2}$ , og da $a = k \cdot (-1) = \tfrac{1}{2}$ .

Vi har to krav til punktet $M$ :

Avstand $JM = \sqrt{10}$ : $M$ ligger på sirkelen $x^2 + y^2 = 10$ .
Vinkel $\angle MAJ = 90°$ : $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{AJ}$ .

Vi finner $\overrightarrow{AJ}$ fra $A(1,1)$ til $J(0,0)$ :

\overrightarrow{AJ} = J - A = (-1,\ -1)

En vektor vinkelrett på $(-1, -1)$ har retning $(1, -1)$ (roter 90°). Vi skriver

\overrightarrow{AM} = k(1,\ -1), \quad k \in \mathbb{R}

Da er

M = A + \overrightarrow{AM} = (1+k,\ 1-k)

Krav 1 gir:

(1+k)^2 + (1-k)^2 = 10

1 + 2k + k^2 + 1 - 2k + k^2 = 10

2 + 2k^2 = 10 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2

Dette gir to kandidater:

$k = 2$ : $M_1 = (3,\ -1)$
$k = -2$ : $M_2 = (-1,\ 3)$

Nils befant seg opprinnelig i $N(-1, 2)$ . Vi velger det nærmeste punktet til $N$ :

|NM_1| = \sqrt{(3-(-1))^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16+9} = 5 \, \mathrm{m}

|NM_2| = \sqrt{(-1-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{0+1} = 1 \, \mathrm{m}

Det nærmeste punktet er $M_2$ :

\textbf{$\underline{\underline{M = (-1,\ 3)}}$}

Sensorveiledning

1,7 poeng

Kandidater som finner riktig vektor, men ikke lengden av den, kan få 1 poeng. Kandidater som har feil vektor, men regner lengde riktig, kan få 1 poeng.

1,7 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

1,7 poeng

Kandidater som setter opp likningssettet riktig kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 5
Temaer: vektorer, geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 2-1 : Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Teknologiselskapet PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. PowBat regner med at antallet husstander som har batteriet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $S$ gitt ved

S(t) = \frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}}

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har batteriet, ifølge modellen?

Bestem $S'(52)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten BA3 planlegger å lansere et batteri med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til PowBat.

Etter å ha hørt om planene til BA3 antar PowBat at

de totalt vil få solgt batteriet sitt til 1,5 millioner husstander
500 husstander har batteriet når det lanseres
flest nye husstander kjøper batteriet i uke 60

Bruk antakelsene ovenfor til å finne en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker.

Fasit

$\underline{\underline{t \approx 102{,}87 \text{ uker}}}$

$\underline{\underline{S'(52) \approx 4873}}$ husstander per uke. Omtrent ett år etter lansering øker antallet husstander med batteriet med ca. 4873 per uke.

$\underline{\underline{F(t) = \dfrac{1\ 500\ 000}{1 + 2999 \cdot e^{-0{,}1334t}}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS (numerisk modus) til å løse alle tre deloppgavene i én sesjon.

GeoGebra CAS – logistisk vekstmodell batteriteknologi

Halvparten av husstandene i byen er $\tfrac{3\ 000\ 000}{2} = 1\ 500\ 000$ . Vi skal finne $t$ slik at $S(t) = 1\ 500\ 000$ .

Vi definerer $S$ og løser likningen i CAS:

S(t) := \frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}}

\texttt{Løs}(S(t) = 1\ 500\ 000,\; t) \quad \Rightarrow \quad t \approx 102{,}87

Vi kan også løse for hånd for å bekrefte:

\frac{2\ 500\ 000}{1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t}} = 1\ 500\ 000

1 + 2500 \cdot e^{-0{,}08t} = \frac{5}{3}

e^{-0{,}08t} = \frac{2}{3 \cdot 2500} = \frac{1}{3750}

-0{,}08t = \ln\!\left(\frac{1}{3750}\right) = -\ln(3750)

t = \frac{\ln(3750)}{0{,}08} \approx \frac{8{,}230}{0{,}08} \approx 102{,}87

Det vil ta omtrent $\underline{\underline{102{,}87 \text{ uker}}}$ før halvparten av husstandene i byen har batteriet.

Vi beregner den deriverte i $t = 52$ i CAS:

S'(52) \approx 4872{,}76

Til kontroll: $S(52) \approx 62\ 470$ husstander.

$\underline{\underline{S'(52) \approx 4873}}$ husstander per uke.

Praktisk tolkning: Omtrent 52 uker (ett år) etter lansering øker antallet husstander som har batteriet, med ca. 4873 per uke.

Vi skal finne en logistisk modell $F(t) = \dfrac{B}{1 + A \cdot e^{-rt}}$ basert på tre antakelser:

Bæreevne: $B = 1\ 500\ 000$
$F(0) = 500$
Vendepunktet (flest nye husstander per uke) er ved $t = 60$

Bestem $A$ : Vendepunktet for en logistisk funksjon ligger når $F(t) = \tfrac{B}{2}$ , og ved vendepunktet er $t_v = \dfrac{\ln A}{r}$ . Fra $F(0) = 500$ :

\frac{1\ 500\ 000}{1 + A} = 500 \quad \Rightarrow \quad 1 + A = 3000 \quad \Rightarrow \quad A = 2999

Bestem $r$ : Vendepunktet er ved $t = 60$ :

t_v = \frac{\ln A}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{\ln 2999}{60} \approx \frac{8{,}006}{60} \approx 0{,}1334

Vi bekrefter i CAS at $F(0) = 500$ og at vendepunktet er $(60,\; 750\ 000)$ .

\boxed{F(t) = \frac{1\ 500\ 000}{1 + 2999 \cdot e^{-0{,}1334t}}}

Sensorveiledning

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for tolkning av verdien.

2 poeng

Kandidater som systematiserer og finner sammenhenger uten å komme fram til riktig modell kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: logistisk funksjon, modellering, derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 2-2 : Omvendt funksjon og tangentlikninger

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 1

og har definisjonsmengden $I = [a, b]$ der $a, b \in \mathbb{R}$ .

Bestem det største intervallet $I$ , slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$ .

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(-10, 3)$ .

Grafen til $g$ har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i punktet $(-10, 3)$ . Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

Fasit

$\underline{\underline{I = [0, 4]}}$

$\underline{\underline{-\dfrac{1}{3}}}$

$\underline{\underline{\left(-\dfrac{8}{3},\ 1\right)}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer $f$ og beregner $f'$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – omvendt funksjon og tangentlikninger

For at $f$ skal ha en omvendt funksjon $g$ på $I$ må $f$ være strengt monoton (én-til-én) på $I$ .

Vi deriverer $f$ :

f'(x) = x^2 - 4x = x(x-4)

Stasjonære punkter: $f'(x) = 0$ gir $x = 0$ og $x = 4$ (linje 3 i CAS).

$f$ er avtagende for $x \in (0, 4)$ siden $f'(x) < 0$ der, og $2 \in (0, 4)$ . Det største intervallet der $f$ er monoton og inneholder $x = 2$ er derfor

\underline{\underline{I = [0, 4]}}

(For kontroll: $f(0) = -1$ og $f(4) = -\dfrac{35}{3}$ , så $f$ er strengt avtagende på hele intervallet.)

Tangeringspunktet på grafen til $g$ er $(-10, 3)$ , altså $g(-10) = 3$ .

Siden $g$ er den omvendte funksjonen til $f$ , betyr dette at $f(3) = -10$ .

Kontroll (linje 6): $f(3) = -10$ ✓

Sammenhengen mellom stigningstallene til $f$ og $g$ i speilpunktene er:

g'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}

Her er $x_0 = 3$ og $y_0 = f(3) = -10$ :

g'(-10) = \frac{1}{f'(3)} = \frac{1}{-3} = \underline{\underline{-\frac{1}{3}}}

(Linje 7–8 i CAS bekrefter $f'(3) = -3$ og $\dfrac{1}{f'(3)} = -\dfrac{1}{3}$ .)

Vi søker et annet punkt på grafen til $g$ der tangenten har stigningstall $-\dfrac{1}{3}$ .

g'(y) = -\frac{1}{3} \implies \frac{1}{f'(x)} = -\frac{1}{3} \implies f'(x) = -3

Vi løser $f'(x) = -3$ (linje 9 i CAS):

x^2 - 4x = -3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0

x = 1 \quad \text{eller} \quad x = 3

$x = 3$ svarer til tangeringspunktet vi allerede fant i b). Den andre løsningen er $x = 1$ .

$f(1) = -\dfrac{8}{3}$ (linje 10 i CAS).

Punktet på grafen til $f$ er $\left(1,\ -\dfrac{8}{3}\right)$ , og siden $g$ er den omvendte funksjonen, er det tilsvarende punktet på grafen til $g$ :

\underline{\underline{\left(-\frac{8}{3},\ 1\right)}}

Sensorveiledning

2 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

En god strategi som ikke fører helt til svaret kan gi 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som prøver seg fram i Geogebra og finner en tilnærmet verdi kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 6
Temaer: funksjoner, derivasjon
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Oppgave 2-3 : Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ \blacksquare\blacksquare\blacksquare\blacksquare \text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} \quad & x \ge 1 \end{cases}

Hun husker at $f$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in \mathbb{R}$ . Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom.

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$ .

Fasit

\mathbf{f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27}\text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} & x \ge 1 \end{cases}}

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = -2$ og $x = 1$ , må det midterste uttrykket $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ oppfylle fire krav:

Kontinuitet i $x = -2$ : $g(-2) = f_1(-2)$
Deriverbarhet i $x = -2$ : $g'(-2) = f_1'(-2)$
Kontinuitet i $x = 1$ : $g(1) = f_3(1)$
Deriverbarhet i $x = 1$ : $g'(1) = f_3'(1)$

Beregn grenseverdiene fra de kjente uttrykkene:

$f_1(x) = -9x - 15 \implies f_1(-2) = 18 - 15 = 3$ og $f_1'(-2) = -9$

$f_3(x) = \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2} \implies f_3(1) = \dfrac{1}{2} - 1 - \dfrac{7}{2} = -4$ og $f_3'(x) = x - 1 \implies f_3'(1) = 0$

Sett opp likningssystemet med $g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ og $g'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ :

\begin{cases} g(-2) = -8a + 4b - 2c + d &= 3 \\ g'(-2) = 12a - 4b + c &= -9 \\ g(1) = a + b + c + d &= -4 \\ g'(1) = 3a + 2b + c &= 0 \end{cases}

Løs i GeoGebra CAS:

Løs({-8a1 + 4b1 - 2c1 + d1 = 3, 12a1 - 4b1 + c1 = -9,
     a1 + b1 + c1 + d1 = -4, 3a1 + 2b1 + c1 = 0}, {a1, b1, c1, d1})

GeoGebra CAS løser likningssystemet og gir a = −13/27, b = 7/9, c = −1/9, d = −113/27

GeoGebra gir:

a = -\frac{13}{27}, \quad b = \frac{7}{9}, \quad c = -\frac{1}{9}, \quad d = -\frac{113}{27}

Det midterste uttrykket er altså:

g(x) = -\frac{13}{27}x^3 + \frac{7}{9}x^2 - \frac{1}{9}x - \frac{113}{27}

Hele funksjonsuttrykket er:

\underline{\underline{f(x) = \begin{cases} -9x - 15\text{,} & x \le -2 \\ -\dfrac{13}{27}x^3 + \dfrac{7}{9}x^2 - \dfrac{1}{9}x - \dfrac{113}{27}\text{,} & -2 < x < 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x - \dfrac{7}{2}\text{,} & x \ge 1 \end{cases}}}

Sensorveiledning

En kandidat som setter opp likningssettet, men ikke klarer å finne funksjonen kan få 2 poeng. En kandidat som finner verdiene som skal brukes i likningene, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: kontinuitet, derivasjon, funksjoner, delt forskrift, likningssystem
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Oppgave 2-4 : Fiskebåt og vektorbevegelse

Posisjonen $\vec{r}$ til en fiskebåt $t$ timer etter at den drar fra land, er gitt ved

\vec{r}(t) = [1+5t,\ 4+8t]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Farten til en båt måles vanligvis i knop, der 1 knop er 1852 meter per time.

Bestem farten til fiskebåten i knop.

Et fyr står i posisjonen $(4, 7)$ .

Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret.

En fiskestim er i punktet $(1, -3)$ ved tiden $t = 0$ , og stimen svømmer med hastigheten $\vec{v}(t) = [4, 11]$ .

Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

En annen fiskebåt er i punktet $(-2, 0)$ ved tiden $t = 0$ og holder konstant fart i retning langs $\vec{u} = [6, 4]$ .

Bestem farten denne fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen.

Fasit

$\underline{\underline{\approx 5{,}1 \, \mathrm{knop}}}$

$\underline{\underline{\dfrac{9\sqrt{89}}{89} \approx 0{,}954 \, \mathrm{km}}}$

Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

$\underline{\underline{3\sqrt{13} \approx 10{,}8 \, \mathrm{km/t} \approx 5{,}8 \, \mathrm{knop}}}$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS ble brukt til å beregne fart, minimumsavstand og skjæringspunkter i én felles sesjon.

GeoGebra CAS – alle deloppgaver

Hastighetsvektoren til fiskebåten leses direkte av posisjonsuttrykket:

\vec{v} = [5,\ 8]

Farten (i km/t) er lengden av hastighetsvektoren:

|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{89} \approx 9{,}434 \, \mathrm{km/t}

Omregnet til knop (1 knop = 1,852 km/t):

\frac{\sqrt{89}}{1{,}852} \approx \mathbf{5{,}1 \, \mathrm{knop}}

Se FartKnop i CAS-utklippet (linje 4).

Fyret står i $F = (4, 7)$ . Avstandsfunksjonen fra båten til fyret er

\text{Avstand}(t) = |\vec{r}(t) - F| = \sqrt{(1+5t-4)^2 + (4+8t-7)^2} = \sqrt{89t^2 - 78t + 18}

CAS finner minimumspunktet (linje 7):

\text{MinAvstand} = \left(\frac{39}{89},\ \frac{9\sqrt{89}}{89}\right)

Det vil si at minimum nås ved $t = \dfrac{39}{89} \approx 0{,}438$ timer, og den minste avstanden er

\frac{9\sqrt{89}}{89} \approx \mathbf{0{,}954 \, \mathrm{km}}

Fiskestimmen har posisjon $\vec{s}(t) = [1+4t,\ {-3}+11t]$ .

For at fiskebåten skal treffe stimen, må begge koordinater være like til samme tid:

\begin{cases} 1 + 5t &= 1 + 4t \\ 4 + 8t &= -3 + 11t \end{cases}

Første likning gir $t = 0$ , andre likning gir $t = \dfrac{7}{3}$ . Siden de to verdiene er ulike, finnes det ingen $t$ der båt og stim er på samme sted.

Fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

(Se linje 9 i CAS-utklippet — likningssystemet har ingen løsning.)

Den andre fiskebåten starter i $(-2, 0)$ og beveger seg i retning $\vec{u} = [6, 4]$ med konstant fart. La $k > 0$ være en skalar slik at hastighetsvektoren er $k \cdot [6, 4]$ . Posisjonen er da

\vec{r}_2(t) = (-2 + 6kt,\ 4kt)

For at denne båten skal treffe fiskestimen $\vec{s}(t) = (1+4t,\ {-3}+11t)$ ved samme tidspunkt $t$ :

\begin{cases} -2 + 6kt &= 1 + 4t \\ 4kt &= -3 + 11t \end{cases}

CAS løser systemet (linje 10) og gir $k = \dfrac{3}{2}$ og $t = \dfrac{3}{5}$ .

Farten til den andre båten er lengden av hastighetsvektoren $\dfrac{3}{2} \cdot [6, 4]$ :

\left|\frac{3}{2}[6, 4]\right| = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{6^2 + 4^2} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{52} = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt{13} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}8 \, \mathrm{km/t}

Omregnet til knop:

\frac{3\sqrt{13}}{1{,}852} \approx \mathbf{5{,}8 \, \mathrm{knop}}

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som regner ut farten i km/t kan få 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som finner et uttrykk for avstanden, kan få 1 poeng. En god strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som finner den nye parameterfremstillingen og skjæringspunktet kan få 1 poeng.

2 poeng

En god strategi som ikke fører helt til svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 8
Temaer: vektorer, modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Oppgave 2-5 : Tangent til ln og trekantareal

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x) = \ln x$ .

Et punkt $B$ på grafen til $f$ er plassert slik at tangenten til grafen i punktet $B$ går gjennom $A(0,0)$ .

Punktet $C$ er plassert på linja $y = x$ slik at $\angle ACB = 90\degree$ .

Grafen til f(x) = ln x med punkt B, tangent og trekant ABC

Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet $B$ .

Bestem det eksakte arealet av trekant $ABC$ .

Fasit

$\underline{\underline{B = (e,\ 1)}}$

$\underline{\underline{T = \dfrac{e^2-1}{4} \approx 1{,}60}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS.

GeoGebra CAS – tangentbetingelse og trekantareal

Vi definerer $f(x) = \ln x$ og finner den deriverte.

f'(x) = \frac{1}{x}

Tangenten i punktet $B = (b,\ \ln b)$ har stigning $f'(b) = \tfrac{1}{b}$ og likning

y - \ln b = \frac{1}{b}(x - b)

For at tangenten skal gå gjennom $A(0,0)$ setter vi inn $x = 0,\ y = 0$ :

-\ln b = \frac{1}{b}(0 - b) = -1 \quad \Rightarrow \quad \ln b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = e

CAS bekrefter: Løs(ln(x) = 1, x) → $\{x = e\}$ .

$B = (e,\ 1)$ .

$C$ ligger på linja $y = x$ , så $C = (c,\ c)$ for et tall $c > 0$ .

Betingelsen $\angle ACB = 90°$ betyr at $\overrightarrow{CA} \perp \overrightarrow{CB}$ .

\overrightarrow{CA} = A - C = (-c,\ -c), \qquad \overrightarrow{CB} = B - C = (e - c,\ 1 - c)

Prikkprodukt lik null:

(-c)(e-c) + (-c)(1-c) = 0 \quad \Rightarrow \quad -c\bigl[(e-c)+(1-c)\bigr] = 0 \quad \Rightarrow \quad c(e + 1 - 2c) = 0

$c = 0$ gir punktet $A$ , så

c = \frac{e+1}{2}, \qquad C = \left(\frac{e+1}{2},\ \frac{e+1}{2}\right)

CAS bekrefter koordinatene til $C$ (se linje 5 i utklippet).

Siden $\angle ACB = 90°$ er arealet av trekanten

T = \frac{1}{2} \cdot |AC| \cdot |CB|

Vi beregner sidelengdene:

|AC| = \sqrt{c^2 + c^2} = c\sqrt{2} = \frac{(e+1)\sqrt{2}}{2}

e - c = e - \frac{e+1}{2} = \frac{e-1}{2}, \qquad 1 - c = 1 - \frac{e+1}{2} = \frac{1-e}{2} = -\frac{e-1}{2}

|CB| = \sqrt{\left(\frac{e-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{e-1}{2}\right)^2} = \frac{(e-1)\sqrt{2}}{2}

T = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e+1)\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(e-1)\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e+1)(e-1) \cdot 2}{4} = \frac{e^2-1}{4}

CAS bekrefter: Forenkle((e+1)/2 · (e-1)/2) → $\tfrac{1}{4}e^2 - \tfrac{1}{4}$ (se linje 6).

Arealet av trekant $ABC$ er $\dfrac{e^2-1}{4} \approx 1{,}60$ .

Sensorveiledning

2 poeng

Kandidater som finner tilnærmete verdier, kan få 1 poeng.

2 poeng

Kandidater som finner tilnærmete verdier, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: logaritmer, derivasjon, areal
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 1-1 : Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Oppgave 1-2 : Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Oppgave 1-3 : Eksponential- og logaritmelikninger

Oppgave 1-4 : Grenseverdier med algebraisk forenkling

Oppgave 1-5 : Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Oppgave 1-6 : Vektorer og basketball

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Oppgave 2-2 : Omvendt funksjon og tangentlikninger

Oppgave 2-3 : Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Oppgave 2-4 : Fiskebåt og vektorbevegelse

Oppgave 2-5 : Tangent til ln og trekantareal