R1 Vår 2025

Oppgave 1-1Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = e^{- 2 x} + \frac{1}{5} x^{5} - 2 π

Fasit

$f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x} + x^{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd.

Første ledd: $e^{- 2 x}$

Vi bruker kjerneregelen med $u = - 2 x$ og $e^{u}$ :

{(e^{- 2 x})}^{'} = e^{- 2 x} \cdot {(- 2 x)}^{'} = e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - 2 e^{- 2 x}

Andre ledd: $\frac{1}{5} x^{5}$

Vi bruker potensregelen:

{(\frac{1}{5} x^{5})}^{'} = \frac{1}{5} \cdot 5 x^{4} = x^{4}

Tredje ledd: $2 π$

$2 π$ er en konstant, og den deriverte av en konstant er 0.

Samlet:

f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x} + x^{4}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Kandidater som deriverer det første leddet riktig eller de to siste leddene riktig, får 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon
Kompetansemål: Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $g$ er gitt ved $g (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2}$

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$ .

Vis at $g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3)$

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

$x = \frac{1}{2}$ (dobbelt nullpunkt)

Se løsningsforslag.

Toppunkt: $(- \frac{3}{2}, 8 e^{- 3 / 2})$ , bunnpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser etter $x$ slik at $g (x) = 0$ :

\frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2} = 0

Et produkt er null når minst én faktor er null. Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , og $\frac{1}{2} > 0$ , må

{(2 x - 1)}^{2} = 0 ⟹ 2 x - 1 = 0 ⟹ x = \frac{1}{2}

$g$ har ett nullpunkt: $x = \frac{1}{2}$ (dobbelt nullpunkt).

Vi deriverer $g (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2}$ med produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

u = \frac{1}{2} e^{x}, u^{'} = \frac{1}{2} e^{x}

v = {(2 x - 1)}^{2}, v^{'} = 2 (2 x - 1) \cdot 2 = 4 (2 x - 1)

Dermed:

g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot {(2 x - 1)}^{2} + \frac{1}{2} e^{x} \cdot 4 (2 x - 1)

Vi faktoriserer ut $\frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1)$ :

g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) [(2 x - 1) + 4] = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3)

Dette er det vi skulle vise. $■$

Vi setter $g^{'} (x) = 0$ :

\frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3) = 0

Siden $\frac{1}{2} e^{x} > 0$ for alle $x$ , må

(2 x - 1) (2 x + 3) = 0 ⟹ x = \frac{1}{2} eller x = - \frac{3}{2}

Fortegnsskjema for $g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (2 x - 1) \cdot (2 x + 3)$ :

Fortegnslinje for g'(x) med sjablongkurve for g(x)

$g$ har toppunkt i $x = - \frac{3}{2}$ og bunnpunkt i $x = \frac{1}{2}$ .

Funksjonsverdi i toppunktet:

g (- \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot {(2 \cdot (- \frac{3}{2}) - 1)}^{2} = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot {(- 4)}^{2} = \frac{1}{2} e^{- 3 / 2} \cdot 16 = 8 e^{- 3 / 2}

Funksjonsverdi i bunnpunktet:

g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} e^{1 / 2} \cdot {(2 \cdot \frac{1}{2} - 1)}^{2} = \frac{1}{2} e^{1 / 2} \cdot 0 = 0

Toppunkt: $(- \frac{3}{2}, 8 e^{- 3 / 2}) \approx (- 1,5; 1,78)$

Bunnpunkt: $(\frac{1}{2}, 0)$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Kandidater som viser god kompetanse innen derivasjon, men ikke kommer fram til riktig svar kan få 1 poeng. Kandidater som deriverer riktig, men som ikke viser faktorisering, får 2 poeng.

Kandidater som kun finner $x$ -verdiene til punktene, kan få 1 poeng. For å få 2 poeng må kandidatene argumentere for om punktene er topp- eller bunnpunkter.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Eksponential- og logaritmelikninger

Løs likningene

3^{3 x + 2} - 5 = 76

3 \lg x + 2 \lg x^{2} + \lg \frac{1}{x^{9}} = 2

Fasit

$x = \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{10}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver 81 som en potens med grunntall 3:

81 = 3^{4}

Likningen blir da

3^{3 x + 2} - 5 = 76

3^{3 x + 2} = 81 = 3^{4}

Siden grunntalene er like, kan vi sette eksponentene like:

3 x + 2 = 4

3 x = 2

x = \frac{2}{3}

Vi bruker logaritmereglene for å forenkle venstresiden:

3 \lg x + 2 \lg x^{2} + \lg \frac{1}{x^{9}}

Først bruker vi potensregelen $\lg a^{n} = n \lg a$ :

= 3 \lg x + 2 \cdot 2 \lg x + \lg x^{- 9}

= 3 \lg x + 4 \lg x + (- 9) \lg x

= (3 + 4 - 9) \lg x

= - 2 \lg x

Likningen er altså

- 2 \lg x = 2

\lg x = - 1

x = 10^{- 1} = \frac{1}{10}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som viser kompetanse innen logaritmeregning, men ikke kommer fram til svaret kan få 1 poeng.

Kandidater som kommer fram til $\lg x = - 1$ kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Eksponentialfunksjon, Logaritmer
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Grenseverdier med algebraisk forenkling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem grenseverdiene

\lim_{x \to 3} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3}

\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}

Fasit

Grenseverdien eksisterer ikke (venstre- og høyregrense stemmer ikke overens).

$\frac{1}{4}$

Løsningsforslag

Vi ser at nevneren går mot null når $x \to 3$ , mens telleren går mot $3 \cdot (9 - 3) = 3 \cdot 6 = 18$ .

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss $3$ fra venstre side. Jeg velger $x = 2,5$ for å få en følelse for tallene.

\frac{3 ({2,5}^{2} - 3)}{2,5 - 3} = \frac{3 (6,25 - 3)}{- 0,5} = \frac{3 \cdot 3,25}{- 0,5} = - 19,5

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere $3$ ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

\lim_{x \to 3^{-}} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3} = - \infty

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

\frac{3 ({3,5}^{2} - 3)}{3,5 - 3} = \frac{3 (12,25 - 3)}{0,5} = \frac{3 \cdot 9,25}{0,5} \approx 55

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

\lim_{x \to 3^{+}} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3} = \infty

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Vi ser at både teller og nevner går mot null når $x \to 4$ :

Teller: $\sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0$
Nevner: $4 - 4 = 0$

Siden vi har et ubestemt uttrykk på formen « $\frac{0}{0}$ », kan vi bruke L’Hôpitals regel. Vi deriverer teller og nevner hver for seg:

\begin{matrix} \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} & = \lim_{x \to 4} \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{'}}{{(x - 4)}^{'}} \\ = \lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4} \end{matrix}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten får full uttelling ved å vise at grenseverdien ikke eksisterer eller at grenseverdien er $\pm \infty$ .

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng. For å få full uttelling ved bruk av L’Hôpitals regel må kandidaten vise til at kravet for å bruke regelen er oppfylt.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Grenseverdi
Kompetansemål: Bruke ulike strategier for å utforske og bestemme grenseverdier til funksjoner, og utforske og argumentere for anvendelser av grenseverdier
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2, & x < 0 \\ 2 e^{x}, & x \geq 0 \end{matrix}

Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 0$ .

Fasit

$f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

$f$ er ikke deriverbar i $x = 0$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal avgjøre om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ . Vi undersøker venstregrensen, funksjonsverdien og høyregrensen.

Venstregrensen ( $x \to 0^{-}$ , dvs. $f (x) = x^{2} + 2$ ):

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 0^{2} + 2 = 2

Funksjonsverdien (siden $x = 0$ gir $f (x) = 2 e^{x}$ ):

f (0) = 2 e^{0} = 2 \cdot 1 = 2

Høyregrensen ( $x \to 0^{+}$ , dvs. $f (x) = 2 e^{x}$ ):

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 2 e^{0} = 2

Siden $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 2$ , er $f$ $kontinuerlig i x = 0$ .

Vi skal avgjøre om $f$ er deriverbar i $x = 0$ . Det krever at den deriverte fra venstre og høyre er like.

Den deriverte fra venstre bruker $f (x) = x^{2} + 2$ , som gir $f^{'} (x) = 2 x$ :

\lim_{x \to 0^{-}} f^{'} (x) = 2 \cdot 0 = 0

Den deriverte fra høyre bruker $f (x) = 2 e^{x}$ , som gir $f^{'} (x) = 2 e^{x}$ :

\lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = 2 e^{0} = 2

Siden $0 \neq 2$ , er de ensidige deriverte ikke like, og $f$ er $ikke deriverbar i x = 0$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng. Kandidater som finner at $f$ ikke er kontinuerlig i a og argumenterer med dette i b, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Vektorer og basketball

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsystem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet $J (0,0)$ , Nils befinner seg i punktet $N (- 1,2)$ , og Ahmad befinner seg i punktet $A (1,1)$ . Enheten langs aksene er meter.

Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.

En basketball ligger i punktet $(- 1, a)$ , der $a \in ℝ$ . Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad.

Bestem $a$ .

Nils flytter seg til et nytt punkt $M$ . $M$ er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er $\sqrt{10}$ meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, $∠ M A J$ , er 90 grader.

Bestem koordinatene til $M$ .

Fasit

$| N A | = \sqrt{5} m$

$a = \frac{1}{2}$

$M = (- 1, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektoren $\vec{N A}$ fra $N (- 1, 2)$ til $A (1, 1)$ :

\vec{N A} = A - N = (1 - (- 1), 1 - 2) = (2, - 1)

Lengden er

| N A | = | \vec{N A} | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{𝟓} 𝐦

Vektoren fra Jelena $J (0, 0)$ til ballen $B (- 1, a)$ er

\vec{J B} = (- 1 - 0, a - 0) = (- 1, a)

To vektorer er parallelle når determinanten er null (eller den ene er en skalarmultippel av den andre).

\vec{J B} ∥ \vec{N A} ⟺ (- 1) \cdot (- 1) - 2 \cdot a = 0

1 - 2 a = 0 ⟹ 𝐚 = \frac{𝟏}{𝟐}

Alternativt: $\vec{J B} = k \cdot \vec{N A}$ gir $- 1 = 2 k$ , altså $k = - \frac{1}{2}$ , og da $a = k \cdot (- 1) = \frac{1}{2}$ .

Vi har to krav til punktet $M$ :

Avstand $J M = \sqrt{10}$ : $M$ ligger på sirkelen $x^{2} + y^{2} = 10$ .
Vinkel $∠ M A J = 90 °$ : $\vec{A M} ⟂ \vec{A J}$ .

Vi finner $\vec{A J}$ fra $A (1,1)$ til $J (0,0)$ :

\vec{A J} = J - A = (- 1, - 1)

En vektor vinkelrett på $(- 1, - 1)$ har retning $(1, - 1)$ (roter 90°). Vi skriver

\vec{A M} = k (1, - 1), k \in ℝ

Da er

M = A + \vec{A M} = (1 + k, 1 - k)

Krav 1 gir:

{(1 + k)}^{2} + {(1 - k)}^{2} = 10

1 + 2 k + k^{2} + 1 - 2 k + k^{2} = 10

2 + 2 k^{2} = 10 ⟹ k^{2} = 4 ⟹ k = \pm 2

Dette gir to kandidater:

$k = 2$ : $M_{1} = (3, - 1)$
$k = - 2$ : $M_{2} = (- 1, 3)$

Nils befant seg opprinnelig i $N (- 1, 2)$ . Vi velger det nærmeste punktet til $N$ :

| N M_{1} | = \sqrt{{(3 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - 2)}^{2}} = \sqrt{16 + 9} = 5 m

| N M_{2} | = \sqrt{{(- 1 - (- 1))}^{2} + {(3 - 2)}^{2}} = \sqrt{0 + 1} = 1 m

Det nærmeste punktet er $M_{2}$ :

𝐌 = (- 𝟏, 𝟑)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Kandidater som finner riktig vektor, men ikke lengden av den, kan få 1 poeng. Kandidater som har feil vektor, men regner lengde riktig, kan få 1 poeng.

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Kandidater som setter opp likningssettet riktig kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Teknologiselskapet PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. PowBat regner med at antallet husstander som har batteriet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $S$ gitt ved

S (t) = \frac{2 500 000}{1 + 2500 \cdot e^{- 0,08 t}}

Kalkulator

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har batteriet, ifølge modellen?

Kalkulator

Bestem $S^{'} (52)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten BA3 planlegger å lansere et batteri med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til PowBat.

Etter å ha hørt om planene til BA3 antar PowBat at

de totalt vil få solgt batteriet sitt til 1,5 millioner husstander
500 husstander har batteriet når det lanseres
flest nye husstander kjøper batteriet i uke 60

Kalkulator

Bruk antakelsene ovenfor til å finne en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker.

Fasit

$t \approx 102,87 uker$

$S^{'} (52) \approx 4873$ husstander per uke. Omtrent ett år etter lansering øker antallet husstander med batteriet med ca. 4873 per uke.

$F (t) = \frac{1 500 000}{1 + 2999 \cdot e^{- 0,1334 t}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS (numerisk modus) til å løse alle tre deloppgavene i én sesjon.

GeoGebra CAS – logistisk vekstmodell batteriteknologi

Halvparten av husstandene i byen er $\frac{3 000 000}{2} = 1 500 000$ . Vi skal finne $t$ slik at $S (t) = 1 500 000$ .

Vi definerer $S$ og løser likningen i CAS:

S (t) : = \frac{2 500 000}{1 + 2500 \cdot e^{- 0,08 t}}

𝙻ø𝚜 (S (t) = 1 500 000, t) \Rightarrow t \approx 102,87

Vi kan også løse for hånd for å bekrefte:

\frac{2 500 000}{1 + 2500 \cdot e^{- 0,08 t}} = 1 500 000

1 + 2500 \cdot e^{- 0,08 t} = \frac{5}{3}

e^{- 0,08 t} = \frac{2}{3 \cdot 2500} = \frac{1}{3750}

- 0,08 t = \ln (\frac{1}{3750}) = - \ln (3750)

t = \frac{\ln (3750)}{0,08} \approx \frac{8,230}{0,08} \approx 102,87

Det vil ta omtrent $102,87 uker$ før halvparten av husstandene i byen har batteriet.

Vi beregner den deriverte i $t = 52$ i CAS:

S^{'} (52) \approx 4872,76

Til kontroll: $S (52) \approx 62 470$ husstander.

$S^{'} (52) \approx 4873$ husstander per uke.

Praktisk tolkning: Omtrent 52 uker (ett år) etter lansering øker antallet husstander som har batteriet, med ca. 4873 per uke.

Vi skal finne en logistisk modell $F (t) = \frac{B}{1 + A \cdot e^{- r t}}$ basert på tre antakelser:

Bæreevne: $B = 1 500 000$
$F (0) = 500$
Vendepunktet (flest nye husstander per uke) er ved $t = 60$

Bestem $A$ : Vendepunktet for en logistisk funksjon ligger når $F (t) = \frac{B}{2}$ , og ved vendepunktet er $t_{v} = \frac{\ln A}{r}$ . Fra $F (0) = 500$ :

\frac{1 500 000}{1 + A} = 500 \Rightarrow 1 + A = 3000 \Rightarrow A = 2999

Bestem $r$ : Vendepunktet er ved $t = 60$ :

t_{v} = \frac{\ln A}{r} \Rightarrow r = \frac{\ln 2999}{60} \approx \frac{8,006}{60} \approx 0,1334

Vi bekrefter i CAS at $F (0) = 500$ og at vendepunktet er $(60, 750 000)$ .

F (t) = \frac{1 500 000}{1 + 2999 \cdot e^{- 0,1334 t}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for tolkning av verdien.

Kandidater som systematiserer og finner sammenhenger uten å komme fram til riktig modell kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Logistisk funksjon, Modellering, Derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Omvendt funksjon og tangentlikninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - 1

og har definisjonsmengden $I = [a, b]$ der $a, b \in ℝ$ .

For hånd

Bestem det største intervallet $I$ , slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$ .

For hånd

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(- 10, 3)$ .

For hånd

Grafen til $g$ har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i punktet $(- 10, 3)$ . Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

Fasit

$I = [0, 4]$

$- \frac{1}{3}$

$(- \frac{8}{3}, 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer $f$ og beregner $f^{'}$ i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – omvendt funksjon og tangentlikninger

For at $f$ skal ha en omvendt funksjon $g$ på $I$ må $f$ være strengt monoton (én-til-én) på $I$ .

Vi deriverer $f$ :

f^{'} (x) = x^{2} - 4 x = x (x - 4)

Stasjonære punkter: $f^{'} (x) = 0$ gir $x = 0$ og $x = 4$ (linje 3 i CAS).

$f$ er avtagende for $x \in (0, 4)$ siden $f^{'} (x) < 0$ der, og $2 \in (0, 4)$ . Det største intervallet der $f$ er monoton og inneholder $x = 2$ er derfor

I = [0, 4]

(For kontroll: $f (0) = - 1$ og $f (4) = - \frac{35}{3}$ , så $f$ er strengt avtagende på hele intervallet.)

Tangeringspunktet på grafen til $g$ er $(- 10, 3)$ , altså $g (- 10) = 3$ .

Siden $g$ er den omvendte funksjonen til $f$ , betyr dette at $f (3) = - 10$ .

Kontroll (linje 6): $f (3) = - 10$ ✓

Sammenhengen mellom stigningstallene til $f$ og $g$ i speilpunktene er:

g^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f^{'} (x_{0})}

Her er $x_{0} = 3$ og $y_{0} = f (3) = - 10$ :

g^{'} (- 10) = \frac{1}{f^{'} (3)} = \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}

(Linje 7–8 i CAS bekrefter $f^{'} (3) = - 3$ og $\frac{1}{f^{'} (3)} = - \frac{1}{3}$ .)

Vi søker et annet punkt på grafen til $g$ der tangenten har stigningstall $- \frac{1}{3}$ .

g^{'} (y) = - \frac{1}{3} ⟹ \frac{1}{f^{'} (x)} = - \frac{1}{3} ⟹ f^{'} (x) = - 3

Vi løser $f^{'} (x) = - 3$ (linje 9 i CAS):

x^{2} - 4 x = - 3 ⟹ x^{2} - 4 x + 3 = 0 ⟹ (x - 1) (x - 3) = 0

x = 1 eller x = 3

$x = 3$ svarer til tangeringspunktet vi allerede fant i b). Den andre løsningen er $x = 1$ .

$f (1) = - \frac{8}{3}$ (linje 10 i CAS).

Punktet på grafen til $f$ er $(1, - \frac{8}{3})$ , og siden $g$ er den omvendte funksjonen, er det tilsvarende punktet på grafen til $g$ :

(- \frac{8}{3}, 1)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

En god strategi som ikke fører helt til svaret kan gi 1 poeng.

Kandidater som prøver seg fram i Geogebra og finner en tilnærmet verdi kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Derivasjon
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

f (x) = {\begin{matrix} - 9 x - 15, & x \leq - 2 \\ ■ ■ ■ ■, & - 2 < x < 1 \\ \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}, & x \geq 1 \end{matrix}

Hun husker at $f$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in ℝ$ . Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom.

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$ .

Fasit

𝐟 (𝐱) = {\begin{matrix} - 𝟗 𝐱 - 𝟏𝟓, & 𝐱 \leq - 𝟐 \\ - \frac{𝟏𝟑}{𝟐𝟕} 𝐱^{𝟑} + \frac{𝟕}{𝟗} 𝐱^{𝟐} - \frac{𝟏}{𝟗} 𝐱 - \frac{𝟏𝟏𝟑}{𝟐𝟕}, & - 𝟐 < 𝐱 < 𝟏 \\ \frac{𝐱^{𝟐}}{𝟐} - 𝐱 - \frac{𝟕}{𝟐}, & 𝐱 \geq 𝟏 \end{matrix}

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal være kontinuerlig og deriverbar i $x = - 2$ og $x = 1$ , må det midterste uttrykket $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ oppfylle fire krav:

Kontinuitet i $x = - 2$ : $g (- 2) = f_{1} (- 2)$
Deriverbarhet i $x = - 2$ : $g^{'} (- 2) = f_{1}^{'} (- 2)$
Kontinuitet i $x = 1$ : $g (1) = f_{3} (1)$
Deriverbarhet i $x = 1$ : $g^{'} (1) = f_{3}^{'} (1)$

Beregn grenseverdiene fra de kjente uttrykkene:

$f_{1} (x) = - 9 x - 15 ⟹ f_{1} (- 2) = 18 - 15 = 3$ og $f_{1}^{'} (- 2) = - 9$

$f_{3} (x) = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2} ⟹ f_{3} (1) = \frac{1}{2} - 1 - \frac{7}{2} = - 4$ og $f_{3}^{'} (x) = x - 1 ⟹ f_{3}^{'} (1) = 0$

Sett opp likningssystemet med $g (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ og $g^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ :

{\begin{matrix} g (- 2) = - 8 a + 4 b - 2 c + d & = 3 \\ g^{'} (- 2) = 12 a - 4 b + c & = - 9 \\ g (1) = a + b + c + d & = - 4 \\ g^{'} (1) = 3 a + 2 b + c & = 0 \end{matrix}

Løs i GeoGebra CAS:

Løs({-8a1 + 4b1 - 2c1 + d1 = 3, 12a1 - 4b1 + c1 = -9,
     a1 + b1 + c1 + d1 = -4, 3a1 + 2b1 + c1 = 0}, {a1, b1, c1, d1})

GeoGebra CAS løser likningssystemet og gir a = −13/27, b = 7/9, c = −1/9, d = −113/27

GeoGebra gir:

a = - \frac{13}{27}, b = \frac{7}{9}, c = - \frac{1}{9}, d = - \frac{113}{27}

Det midterste uttrykket er altså:

g (x) = - \frac{13}{27} x^{3} + \frac{7}{9} x^{2} - \frac{1}{9} x - \frac{113}{27}

Hele funksjonsuttrykket er:

f (x) = {\begin{matrix} - 9 x - 15, & x \leq - 2 \\ - \frac{13}{27} x^{3} + \frac{7}{9} x^{2} - \frac{1}{9} x - \frac{113}{27}, & - 2 < x < 1 \\ \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}, & x \geq 1 \end{matrix}

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Likningssystemet kan løses for hånd med innsettingsmetoden i stedet for CAS. Vi starter med likning 4 og løser den for $c$ :

3 a + 2 b + c = 0 \Rightarrow c = - 3 a - 2 b

Vi setter dette inn i likning 2:

12 a - 4 b + (- 3 a - 2 b) = - 9 \Rightarrow 9 a - 6 b = - 9 \Rightarrow 3 a - 2 b = - 3

Videre setter vi $c = - 3 a - 2 b$ inn i likning 1 og likning 3, og løser begge med hensyn på $d$ :

- 8 a + 4 b - 2 (- 3 a - 2 b) + d = 3 \Rightarrow - 2 a + 8 b + d = 3 \Rightarrow d = 3 + 2 a - 8 b

a + b + (- 3 a - 2 b) + d = - 4 \Rightarrow - 2 a - b + d = - 4 \Rightarrow d = - 4 + 2 a + b

Vi setter de to uttrykkene for $d$ like hverandre:

3 + 2 a - 8 b = - 4 + 2 a + b \Rightarrow - 4 + b = 3 - 8 b \Rightarrow 9 b = 7 \Rightarrow b = \frac{7}{9}

Vi setter $b = \frac{7}{9}$ inn i $3 a - 2 b = - 3$ :

3 a - \frac{14}{9} = - 3 \Rightarrow 3 a = - 3 + \frac{14}{9} = - \frac{13}{9} \Rightarrow a = - \frac{13}{27}

Deretter finner vi $c$ og $d$ ved innsetting:

c = - 3 a - 2 b = - 3 \cdot (- \frac{13}{27}) - 2 \cdot \frac{7}{9} = \frac{13}{9} - \frac{14}{9} = - \frac{1}{9}

d = - 4 + 2 a + b = - 4 + 2 \cdot (- \frac{13}{27}) + \frac{7}{9} = - 4 - \frac{26}{27} + \frac{21}{27} = - \frac{113}{27}

Vi får samme verdier som med CAS: $a = - \frac{13}{27}$ , $b = \frac{7}{9}$ , $c = - \frac{1}{9}$ , $d = - \frac{113}{27}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En kandidat som setter opp likningssettet, men ikke klarer å finne funksjonen kan få 2 poeng. En kandidat som finner verdiene som skal brukes i likningene, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon, Funksjoner, Delt forskrift, Likningssystem
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Fiskebåt og vektorbevegelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen $\vec{r}$ til en fiskebåt $t$ timer etter at den drar fra land, er gitt ved

\vec{r} (t) = [1 + 5 t, 4 + 8 t]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Farten til en båt måles vanligvis i knop, der 1 knop er 1852 meter per time.

Kalkulator

Bestem farten til fiskebåten i knop.

Et fyr står i posisjonen $(4, 7)$ .

For hånd

Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret.

En fiskestim er i punktet $(1, - 3)$ ved tiden $t = 0$ , og stimen svømmer med hastigheten $\vec{v} (t) = [4, 11]$ .

Kalkulator

Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

En annen fiskebåt er i punktet $(- 2, 0)$ ved tiden $t = 0$ og holder konstant fart i retning langs $\vec{u} = [6, 4]$ .

Kalkulator

Bestem farten denne fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen.

Fasit

$\approx 5,1 knop$

$\frac{9 \sqrt{89}}{89} \approx 0,954 km$

Nei, fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

$3 \sqrt{13} \approx 10,8 k m / t \approx 5,8 knop$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS ble brukt til å beregne fart, minimumsavstand og skjæringspunkter i én felles sesjon.

GeoGebra CAS – alle deloppgaver

Hastighetsvektoren til fiskebåten leses direkte av posisjonsuttrykket:

\vec{v} = [5, 8]

Farten (i km/t) er lengden av hastighetsvektoren:

| \vec{v} | = \sqrt{5^{2} + 8^{2}} = \sqrt{89} \approx 9,434 k m / t

Omregnet til knop (1 knop = 1,852 km/t):

\frac{\sqrt{89}}{1,852} \approx 𝟓,𝟏 knop

Se FartKnop i CAS-utklippet (linje 4).

Fyret står i $F = (4, 7)$ . Avstandsfunksjonen fra båten til fyret er

Avstand (t) = | \vec{r} (t) - F | = \sqrt{{(1 + 5 t - 4)}^{2} + {(4 + 8 t - 7)}^{2}} = \sqrt{89 t^{2} - 78 t + 18}

CAS finner minimumspunktet (linje 7):

MinAvstand = (\frac{39}{89}, \frac{9 \sqrt{89}}{89})

Det vil si at minimum nås ved $t = \frac{39}{89} \approx 0,438$ timer, og den minste avstanden er

\frac{9 \sqrt{89}}{89} \approx 𝟎,𝟗𝟓𝟒 km

Fiskestimmen har posisjon $\vec{s} (t) = [1 + 4 t, - 3 + 11 t]$ .

For at fiskebåten skal treffe stimen, må begge koordinater være like til samme tid:

{\begin{matrix} 1 + 5 t & = 1 + 4 t \\ 4 + 8 t & = - 3 + 11 t \end{matrix}

Første likning gir $t = 0$ , andre likning gir $t = \frac{7}{3}$ . Siden de to verdiene er ulike, finnes det ingen $t$ der båt og stim er på samme sted.

Fiskebåten treffer ikke fiskestimen.

(Se linje 9 i CAS-utklippet — likningssystemet har ingen løsning.)

Den andre fiskebåten starter i $(- 2, 0)$ og beveger seg i retning $\vec{u} = [6, 4]$ med konstant fart. La $k > 0$ være en skalar slik at hastighetsvektoren er $k \cdot [6, 4]$ . Posisjonen er da

{\vec{r}}_{2} (t) = (- 2 + 6 k t, 4 k t)

For at denne båten skal treffe fiskestimen $\vec{s} (t) = (1 + 4 t, - 3 + 11 t)$ ved samme tidspunkt $t$ :

{\begin{matrix} - 2 + 6 k t & = 1 + 4 t \\ 4 k t & = - 3 + 11 t \end{matrix}

CAS løser systemet (linje 10) og gir $k = \frac{3}{2}$ og $t = \frac{3}{5}$ .

Farten til den andre båten er lengden av hastighetsvektoren $\frac{3}{2} \cdot [6, 4]$ :

| \frac{3}{2} [6, 4] | = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{6^{2} + 4^{2}} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{52} = \frac{3}{2} \cdot 2 \sqrt{13} = 3 \sqrt{13} \approx 10,8 k m / t

Omregnet til knop:

\frac{3 \sqrt{13}}{1,852} \approx 𝟓,𝟖 knop

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Kandidater som regner ut farten i km/t kan få 1 poeng.

Kandidater som finner et uttrykk for avstanden, kan få 1 poeng. En god strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Kandidater som finner den nye parameterfremstillingen og skjæringspunktet kan få 1 poeng.

En god strategi som ikke fører helt til svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Tangent til ln og trekantareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = \ln x$ .

Et punkt $B$ på grafen til $f$ er plassert slik at tangenten til grafen i punktet $B$ går gjennom $A (0,0)$ .

Punktet $C$ er plassert på linja $y = x$ slik at $∠ A C B = 90 °$ .

Grafen til f(x) = ln x med punkt B, tangent og trekant ABC

For hånd

Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet $B$ .

For hånd

Bestem det eksakte arealet av trekant $A B C$ .

Fasit

$B = (e, 1)$

$T = \frac{e^{2} - 1}{4} \approx 1,60$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS.

GeoGebra CAS – tangentbetingelse og trekantareal

Vi definerer $f (x) = \ln x$ og finner den deriverte.

f^{'} (x) = \frac{1}{x}

Tangenten i punktet $B = (b, \ln b)$ har stigning $f^{'} (b) = \frac{1}{b}$ og likning

y - \ln b = \frac{1}{b} (x - b)

For at tangenten skal gå gjennom $A (0,0)$ setter vi inn $x = 0, y = 0$ :

- \ln b = \frac{1}{b} (0 - b) = - 1 \Rightarrow \ln b = 1 \Rightarrow b = e

CAS bekrefter: Løs(ln(x) = 1, x) → ${x = e}$ .

$B = (e, 1)$ .

$C$ ligger på linja $y = x$ , så $C = (c, c)$ for et tall $c > 0$ .

Betingelsen $∠ A C B = 90 °$ betyr at $\vec{C A} ⟂ \vec{C B}$ .

\vec{C A} = A - C = (- c, - c), \vec{C B} = B - C = (e - c, 1 - c)

Prikkprodukt lik null:

(- c) (e - c) + (- c) (1 - c) = 0 \Rightarrow - c [(e - c) + (1 - c)] = 0 \Rightarrow c (e + 1 - 2 c) = 0

$c = 0$ gir punktet $A$ , så

c = \frac{e + 1}{2}, C = (\frac{e + 1}{2}, \frac{e + 1}{2})

CAS bekrefter koordinatene til $C$ (se linje 5 i utklippet).

Siden $∠ A C B = 90 °$ er arealet av trekanten

T = \frac{1}{2} \cdot | A C | \cdot | C B |

Vi beregner sidelengdene:

| A C | = \sqrt{c^{2} + c^{2}} = c \sqrt{2} = \frac{(e + 1) \sqrt{2}}{2}

e - c = e - \frac{e + 1}{2} = \frac{e - 1}{2}, 1 - c = 1 - \frac{e + 1}{2} = \frac{1 - e}{2} = - \frac{e - 1}{2}

| C B | = \sqrt{{(\frac{e - 1}{2})}^{2} + {(\frac{e - 1}{2})}^{2}} = \frac{(e - 1) \sqrt{2}}{2}

T = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e + 1) \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{(e - 1) \sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1) \cdot 2}{4} = \frac{e^{2} - 1}{4}

CAS bekrefter: Forenkle((e+1)/2 · (e-1)/2) → $\frac{1}{4} e^{2} - \frac{1}{4}$ (se linje 6).

Arealet av trekant $A B C$ er $\frac{e^{2} - 1}{4} \approx 1,60$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidater som finner tilnærmete verdier, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Derivasjon, Areal og omkrets
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 23 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Eksponential- og logaritmelikninger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Grenseverdier med algebraisk forenkling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Vektorer og basketball

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 27 poeng

Oppgave 2-1Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Omvendt funksjon og tangentlikninger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Fiskebåt og vektorbevegelse

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Tangent til ln og trekantareal

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 23 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Oppgave 1-2·Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Oppgave 1-3·Eksponential- og logaritmelikninger

Oppgave 1-4·Grenseverdier med algebraisk forenkling

Oppgave 1-5·Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Oppgave 1-6·Vektorer og basketball

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 27 poeng

Oppgave 2-1·Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Oppgave 2-2·Omvendt funksjon og tangentlikninger

Oppgave 2-3·Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Oppgave 2-4·Fiskebåt og vektorbevegelse

Oppgave 2-5·Tangent til ln og trekantareal

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Oppgave 1-2Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

Oppgave 1-3Eksponential- og logaritmelikninger

Oppgave 1-4Grenseverdier med algebraisk forenkling

Oppgave 1-5Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Oppgave 1-6Vektorer og basketball

Oppgave 2-1Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Oppgave 2-2Omvendt funksjon og tangentlikninger

Oppgave 2-3Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Oppgave 2-4Fiskebåt og vektorbevegelse

Oppgave 2-5Tangent til ln og trekantareal