Har alle fjerdegradsfunksjoner ekstremalpunkt

Nedenfor ser du tre påstander. Avgjør i hvert tilfelle om påstanden er sann eller usann. Husk å vise tydelig hvordan du argumenterer og resonnerer.

Oppgave a finner du her: Logaritmepåstand

Alle fjerdegradsfunksjoner må ha minst ett ekstremalpunkt.

Fasit

Påstanden stemmer

Løsningsforslag

En fjerdegradsfunksjon $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ har minst ett stasjonært dersom $f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$ har minst ett nullpunkt.

Tredjegradsfunksjonen $f'$ vil alltid ha minst ett nullpunkt. $f'$ vil oppføre seg på en av to måter

$\lim_{ x \to \infty } f'(x) = \infty \wedge \lim_{ x \to -\infty } f'(x)=-\infty$ . $f'$ vil altså gå fra $-\infty$ mot $+\infty$ når $x$ vokser.
$\lim_{ x \to \infty } f'(x) = -\infty \wedge \lim_{ x \to -\infty } f'(x)=\infty$ . $f'$ vil altså bevege seg fra $+\infty$ mot $-\infty$ når $x$ vokser.

Siden $f'$ må krysse $x$ -aksen så må det stasjonære punktet være enten et toppunkt eller et bunnpunkt.

En fjerdegradsfunksjon har alltid minst ett toppunkt eller bunnpunkt.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Temaer: funksjoner, funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon