Optimering av rektangelareal og program

En elev har fått følgende oppgave:

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = (x^2 - 9)^4, \quad x \in \langle 0, 3 \rangle

Et rektangel $R$ har hjørner i $(0, 0)$ , $(t, 0)$ , $(t, f(t))$ og $(0, f(t))$ .

Bestem den verdien av $t$ som gjør at $R$ har størst areal.

Figur

For å løse oppgaven har eleven laget følgende program:

def A(x):
    return x*(x**2-9)**4

t = 0
d = 0.01

while A(t) < A(t+d):
    t = t + d

print(t)

Forklar strategien eleven har brukt for å løse oppgaven.

Løs oppgaven eleven har fått.

Fasit

Algoritmen starter ved $t = 0$ og klatrer oppover ved å øke $t$ med $d = 0{,}01$ så lenge arealet vokser. Når arealet begynner å avta, stoppes løkken — og $t$ er (omtrentlig) ved maksimumspunktet.

$t = 1$ , største areal $= \mathbf{4096}$

LøsningsforslagKI-generert

Programmet bruker en numerisk søkealgoritme som leter etter maksimum ved å «klatre oppover bakken»:

Eleven starter ved $t = 0$ og øker $t$ med $d = 0{,}01$ i hvert steg.
Betingelsen A(t) < A(t+d) sjekker om arealet fortsatt vokser. Så lenge neste skritt gir større areal, fortsetter løkken.
Når A(t) >= A(t+d) er det neste skrittet enten like stort eller mindre — arealet har nådd toppen og begynner å avta. Løkken stopper.
Den siste $t$ -verdien er da en tilnærming til det $t$ som gir størst areal.

Strategien forutsetter at arealet har akkurat ett maksimum på intervallet $(0, 3)$ , og at startpunktet $t = 0$ er til venstre for maksimumspunktet.

Arealet til rektangelet er

A(t) = t \cdot f(t) = t(t^2 - 9)^4, \quad t \in \langle 0, 3 \rangle

Vi deriverer $A(t)$ med produktregelen og kjerneregelen:

\begin{aligned} A'(t) &= (t^2-9)^4 + t \cdot 4(t^2-9)^3 \cdot 2t \\ &= (t^2-9)^4 + 8t^2(t^2-9)^3 \\ &= (t^2-9)^3\left[(t^2-9) + 8t^2\right] \\ &= (t^2-9)^3(9t^2 - 9) \\ &= 9(t^2-9)^3(t^2-1) \end{aligned}

Vi setter $A'(t) = 0$ :

9(t^2-9)^3(t^2-1) = 0

t^2 - 9 = 0 \implies t = \pm 3 \quad \text{(ikke i det åpne intervallet } \langle 0,3\rangle \text{)}

t^2 - 1 = 0 \implies t = \pm 1 \implies \textcolor{seagreen}{t = 1} \quad \text{(i intervallet)}

Fortegnsanalyse av $A'(t)$ på $\langle 0, 3 \rangle$ :

For $t \in \langle 0, 1 \rangle$ : $\quad t^2 - 9 < 0$ , så $(t^2-9)^3 < 0$ . Og $t^2-1 < 0$ .

A'(t) = 9 \cdot \underbrace{(t^2-9)^3}_{<\,0} \cdot \underbrace{(t^2-1)}_{<\,0} > 0 \quad \Rightarrow \quad A \text{ er voksende.}

For $t \in \langle 1, 3 \rangle$ : $\quad t^2 - 9 < 0$ , så $(t^2-9)^3 < 0$ . Og $t^2-1 > 0$ .

A'(t) = 9 \cdot \underbrace{(t^2-9)^3}_{<\,0} \cdot \underbrace{(t^2-1)}_{>\,0} < 0 \quad \Rightarrow \quad A \text{ er avtagende.}

Siden $A'$ skifter fra positiv til negativ i $t = 1$ , er dette et maksimumspunkt.

Største areal:

A(1) = 1 \cdot (1^2 - 9)^4 = (-8)^4 = \mathbf{\underline{\underline{4096}}}

Den verdien av $t$ som gir størst areal er $\textcolor{seagreen}{t = 1}$ , og det største arealet er $\textcolor{seagreen}{4096}$ arealenheter.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2023, del 1, oppgave 4
Temaer: optimering, programmering, derivasjon
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner