R1 Høst 2023

Oppgave 1-1Deriver x ln(x)

Deriver funksjonen

f (x) = x^{2} \cdot \ln (x)

Fasit

$f^{'} (x) = x (2 \ln (x) + 1)$

Løsningsforslag

Vi bruker produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med

u = x^{2} \Rightarrow u^{'} = 2 x

v = \ln (x) \Rightarrow v^{'} = \frac{1}{x}

Da får vi

f^{'} (x) = 2 x \cdot \ln (x) + x^{2} \cdot \frac{1}{x}

= 2 x \ln (x) + x

= 𝐱 (𝟐 \ln (𝐱) + 𝟏)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

1 poeng for riktig derivasjon av faktorene og 1 poeng for riktig bruk av produktregelen.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Logaritmer
Kompetansemål: Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Sorter tallene i riktig rekkefølge

Skriv uttrykkene nedenfor i stigende rekkefølge.

2 \ln e^{3}, 3 \lg 70, e^{3 \ln 2}

Husk å begrunne svaret.

Fasit

$3 \lg 70 < 2 \ln e^{3} < e^{3 \ln 2}$ , det vil si $3 \lg 70 < 6 < 8$ .

Løsningsforslag

Vi forenkler hvert uttrykk algebraisk.

$2 \ln e^{3}$

Vi bruker logaritmeregelen $\ln e^{x} = x$ :

2 \ln e^{3} = 2 \cdot 3 = 6

$e^{3 \ln 2}$

Vi bruker at $a \ln b = \ln b^{a}$ , og deretter at $e^{\ln x} = x$ :

e^{3 \ln 2} = e^{\ln 2^{3}} = 2^{3} = 8

$3 \lg 70$

Vi argumenterer uten kalkulator. Siden $10 < 70 < 100$ , gjelder

\lg 10 < \lg 70 < \lg 100 ⟹ 1 < \lg 70 < 2

Derfor er $3 < 3 \lg 70 < 6$ .

Vi vet altså at $3 \lg 70$ er mellom 3 og 6, og dermed mindre enn 6.

Rekkefølge (stigende):

3 \lg 70 < 2 \ln e^{3} = 6 < e^{3 \ln 2} = 8

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Svar uten argumentasjon gir ingen uttelling. Riktig sammenligning av to uttrykk kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Logaritmer
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant

I trekanten $A B C$ er $A (3, 1)$ , $B (2, - 2)$ og $C (5, 2)$ .

Avgjør ved hjelp av vektorregning hvilken side av trekanten som er kortest.

Avgjør ved hjelp av vektorregning om noen av vinklene er $90 °$ .

Fasit

$A C$ er kortest ( $| A C | = \sqrt{5} \approx 2,24$ )

Nei, ingen av vinklene er $90 °$ .

Løsningsforslag

Vi finner lengden til alle tre sidene ved å beregne de tre sidevektorene.

\vec{A B} = B - A = (2 - 3, - 2 - 1) = (- 1, - 3)

| \vec{A B} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3,16

\vec{A C} = C - A = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1)

| \vec{A C} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2,24

\vec{B C} = C - B = (5 - 2, 2 - (- 2)) = (3, 4)

| \vec{B C} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Vi sammenligner: $\sqrt{5} < \sqrt{10} < 5$ , det vil si $| A C | < | A B | < | B C |$ .

$A C$ er den korteste siden med lengde $\sqrt{5} \approx 2,24$ .

En vinkel i trekanten er $90 °$ hvis og bare hvis de to sidevektorene ut fra det hjørnet er ortogonale, det vil si at prikkproduktet er null.

Vinkel i $A$ — vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ :

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = (- 1) \cdot 2 + (- 3) \cdot 1 = - 2 - 3 = - 5 \neq 0

Ikke $90 °$ i $A$ .

Vinkel i $B$ — vektorene $\vec{B A} = - \vec{A B} = (1, 3)$ og $\vec{B C} = (3, 4)$ :

\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 = 3 + 12 = 15 \neq 0

Ikke $90 °$ i $B$ .

Vinkel i $C$ — vektorene $\vec{C A} = - \vec{A C} = (- 2, - 1)$ og $\vec{C B} = - \vec{B C} = (- 3, - 4)$ :

\vec{C A} \cdot \vec{C B} = (- 2) \cdot (- 3) + (- 1) \cdot (- 4) = 6 + 4 = 10 \neq 0

Ikke $90 °$ i $C$ .

Siden intet prikkprodukt er null, er ingen av vinklene $90 °$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Svar uten bruk av vektorregning gir ingen uttelling. Riktig utregning av lengden til en av sidene, kan gi 1 poeng.

Svar uten bruk av vektorregning gir ingen uttelling. For å få full uttelling må kandidaten argumentere for at ingen av vinklene er 90 grader.

Oppgavedata

Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Vektorer
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 x^{2} - 9 x - 2

Egil ønsker å lage et program som regner ut koordinatene til bunnpunktet på grafen til $f$ . Han har skrevet koden nedenfor.

def f(x):
    return 2*x**2 - 9*x - 2

def df(x,h):
    return (f(x+h) - f(x))/h

h = 0.001
a = 0

while df(a,h) < 0:
    a = a + 1
    
print("Bunnpunktet er", (a, f(a)))

Programmet gir utskriften Bunnpunktet er (3, -11)

Forklar hvilken strategi Egil har brukt.

Svaret han får, er ikke riktig.

Foreslå en endring i koden som vil gi Egil et riktigere svar.

Fasit

Egil sjekker om grafen synker ved å beregne tilnærmet stigningstall. Løkken stopper ved $a = 3$ , og programmet printer $(3, - 11)$ .

Endre a = a + 1 til a = a + 0.01

Løsningsforslag

Funksjonen df(x, h) beregner et tilnærmet stigningstall (den deriverte) i punktet $x$ :

𝚍𝚏 (a, h) = \frac{f (a + h) - f (a)}{h}

Egils strategi er å starte i $a = 0$ og flytte seg til høyre i steg på 1. Så lenge df(a, h) < 0 synker grafen — man har altså ikke nådd bunnpunktet ennå. Når stigningstallet ikke lenger er negativt (grafen har sluttet å synke), betyr det at bunnpunktet er passert, og løkken stopper.

Det ekte bunnpunktet ligger i $x = 2,25$ . Siden $a$ øker fra 0 i heltallssteg, er verdiene som testes $a = 0, 1, 2, 3$ . Ved $a = 2$ er df(2, 0.001) $\approx 4 \cdot 2 - 9 = - 1 < 0$ , så løkken fortsetter. Ved $a = 3$ er df(3, 0.001) $\approx 4 \cdot 3 - 9 = 3 > 0$ , og betingelsen df(a, h) < 0 er usann — løkken stopper.

Programmet printer derfor $(3, f (3)) = (3, - 11)$ , selv om det ekte bunnpunktet er $(2,25, - 12,125)$ .

Problemet er at steglengden $1$ er for stor — programmet «hopper over» bunnpunktet. Ved å bruke et mindre steg vil $a$ komme mye nærmere $x = 2,25$ når løkken stopper.

Endre linje 8 fra

    a = a + 1

til

    a = a + 0.01

Da stopper løkken ved $a \approx 2,25$ og programmet printer et bunnpunkt som er langt nærmere det ekte svaret $(𝟐,𝟐𝟓, - 𝟏𝟐,𝟏𝟐𝟓)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Kandidaten trenger ikke å forklare hver linje for å få full uttelling. Kandidater som er upresise i forklaringen kan gi 1 poeng.

Forslag til endring i koden uten begrunnelse, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Derivasjon
Kompetansemål: Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 2-1Konsentrasjon i kjemisk reaksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser konsentrasjonen, i millimol per liter (mmol/L), av et stoff, $t$ sekunder etter at en kjemisk reaksjon startet. Når det har gått lang tid, vil konsentrasjonen av stoffet stabilisere seg på $2,5 m m o l / L$ .

Tid (s)	0	10	20	30	40	50	60
Konsentrasjon (mmol/L)	0	0,28	0,53	0,76	0,95	1,13	1,28
Konsentrasjon $- 2,5$ (mmol/L)	−2,5	−2,22	−1,97	−1,74	−1,55	−1,37	−1,22

Krever PC

Bruk blant annet regresjon til å vise at funksjonen $f$ gitt ved

f (t) = 2,5 - 2,5 \cdot {0,99}^{t}

er en god modell for konsentrasjonen av stoffet $t$ sekunder etter at reaksjonen startet.

Kalkulator

Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen er $2,0 m m o l / L$ ?

Kalkulator

Hvor lang tid vil det ta før konsentrasjonen øker med mindre enn $0,001 m m o l / L$ per sekund?

Fasit

Regresjon på de forskjøvede verdiene $(t, c (t) - 2,5)$ gir $a \approx - 2,5$ og $b \approx 0,99$ , som bekrefter modellen $f (t) = 2,5 - 2,5 \cdot {0,99}^{t}$ .

$t \approx 160 s e k u n d e r$

$t \approx 321 s e k u n d e r$

LøsningsforslagKI-generert

Tabellen i oppgaven inkluderer en rad med de forskjøvede verdiene $c (t) - 2,5$ . Siden $f (t) \to 2,5$ når $t \to \infty$ , forventer vi at $f (t) - 2,5$ følger en eksponentialfunksjon av typen $g (t) = a \cdot b^{t}$ .

Vi logger de forskjøvede verdiene:

\ln | c (t) - 2,5 | = \ln | a | + t \cdot \ln b

Dette er en lineær funksjon av $t$ . Vi utfører lineær regresjon (eller eksponentialregresjon) på punktene

(t, c (t) - 2,5) = (0, - 2,5), (10, - 2,22), (20, - 1,97), \dots, (60, - 1,22)

og får $a \approx - 2,5$ og $b \approx 0,99$ . Dermed er

f (t) = 2,5 + g (t) = 2,5 - 2,5 \cdot {0,99}^{t}

Grafen nedenfor viser at modellkurven ligger svært nært datapunktene:

Datapunkter og modellkurve for konsentrasjonen

Vi løser $f (t) = 2,0$ i GeoGebra CAS (se linje 2 i utklippet nedenfor):

2,5 - 2,5 \cdot {0,99}^{t} = 2,0

{0,99}^{t} = \frac{0,5}{2,5} = 0,2

t = \frac{\ln 0,2}{\ln 0,99} \approx 160 s e k u n d e r

Det tar omtrent 160 sekunder før konsentrasjonen er $2,0 m m o l / L$ .

Vi deriverer $f (t) = 2,5 - 2,5 \cdot {0,99}^{t}$ og bruker at ${0,99}^{t} = e^{t \ln 0,99}$ :

f^{'} (t) = - 2,5 \cdot \ln (0,99) \cdot {0,99}^{t}

Siden $\ln (0,99) < 0$ er $f^{'} (t) > 0$ , det vil si konsentrasjonen øker hele tiden (som forventet). Vi ønsker å finne når $f^{'} (t) < 0,001$ , det vil si vi løser $f^{'} (t) = 0,001$ (se linje 5 i CAS-utklippet):

- 2,5 \cdot \ln (0,99) \cdot {0,99}^{t} = 0,001

{0,99}^{t} = \frac{0,001}{- 2,5 \cdot \ln (0,99)} \approx 0,0398

t = \frac{\ln (0,0398)}{\ln (0,99)} \approx 321 s e k u n d e r

Etter omtrent 321 sekunder øker konsentrasjonen med mindre enn $0,001 m m o l / L$ per sekund.

GeoGebra CAS: definisjon av f, løsning av b) og c)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling må kandidaten argumentere for bruk av differansen. Riktig regresjon som er godt kommunisert, kan gi 1 poeng.

En riktig strategi, men med feil svar, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Modellering, Derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Anvende derivasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Stykkevis funksjon med parameter k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} + (2 + k) x, & x < k \\ x^{2} + (2 - k) x, & x \geq k \end{matrix}

der $k \in ℝ$ .

For hånd

Forklar at $f$ er en kontinuerlig funksjon for alle verdier av $k$ .

For hånd

Bestem $k$ slik at $f$ blir deriverbar i $x = k$ .

For hånd

For hvilke verdier av $k$ har $f$ en omvendt funksjon?

Fasit

$f$ er kontinuerlig for alle $k \in ℝ$ .

$k = 0$

$k \in [- 2, 2]$

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS-utregning for oppgave 2

Hvert av uttrykkene $- x^{2} + (2 + k) x$ og $x^{2} + (2 - k) x$ er polynomer, og polynomer er kontinuerlige overalt. Det eneste stedet vi må sjekke kontinuitet spesielt er i bruddpunktet $x = k$ .

$f$ er kontinuerlig i $x = k$ hvis og bare hvis

\lim_{x \to k^{-}} f (x) = \lim_{x \to k^{+}} f (x) = f (k)

Vi beregner grenseverdiene:

\lim_{x \to k^{-}} f (x) = - k^{2} + (2 + k) k = - k^{2} + 2 k + k^{2} = 2 k

\lim_{x \to k^{+}} f (x) = k^{2} + (2 - k) k = k^{2} + 2 k - k^{2} = 2 k

f (k) = k^{2} + (2 - k) k = 2 k

Alle tre er lik $2 k$ for alle verdier av $k$ . Dermed er $f$ kontinuerlig i $x = k$ for alle $k \in ℝ$ , og siden hvert deluttrykk er et polynom, er $f$ kontinuerlig for alle $k$ .

For at $f$ skal være deriverbar i $x = k$ må venstre- og høyrederiverte være like.

Vi deriverer hvert deluttrykk:

f_{1}^{'} (x) = - 2 x + (2 + k) \Rightarrow f_{1}^{'} (k) = - 2 k + 2 + k = 2 - k

f_{2}^{'} (x) = 2 x + (2 - k) \Rightarrow f_{2}^{'} (k) = 2 k + 2 - k = 2 + k

Vi setter venstre- og høyrederiverte like (se linje 10 i CAS-utklippet):

2 - k = 2 + k ⟹ - 2 k = 0 ⟹ 𝐤 = 𝟎

$f$ har en omvendt funksjon hvis og bare hvis $f$ er strengt monoton (enten strengt voksende eller strengt avtagende) på hele $ℝ$ .

Strengt avtagende er ikke mulig: $f_{1} (x) = - x^{2} + (2 + k) x$ er en nedovervendt parabel med toppunkt i $x = \frac{2 + k}{2}$ . For $x < k$ og $k < \frac{2 + k}{2}$ (dvs. $k < 2$ ) er $f_{1}$ voksende i deler av $(- \infty, k)$ , og for $k \geq 2$ er toppunktet utenfor $(- \infty, k)$ , men da er $f_{2}$ oppovervendt og voksende på $[k, \infty)$ . En strengt avtagende $f$ er dermed ikke mulig for noe $k$ .

Strengt voksende krever to ting:

$f_{1}$ må være voksende på hele $(- \infty, k)$ : $f_{1}$ er voksende til venstre for toppunktet $x = \frac{2 + k}{2}$ , så vi trenger

\frac{2 + k}{2} \geq k ⟹ 2 + k \geq 2 k ⟹ k \leq 2

$f_{2}$ må være voksende på hele $[k, \infty)$ : $f_{2}$ er en oppovervendt parabel med bunnpunkt i $x = \frac{k - 2}{2}$ , og er voksende til høyre for bunnpunktet, så vi trenger

\frac{k - 2}{2} \leq k ⟹ k - 2 \leq 2 k ⟹ k \geq - 2

Kontinuiteten i $x = k$ er allerede sikret (vist i a), så det er tilstrekkelig at begge delene er voksende.

$f$ har omvendt funksjon for $k \in [- 2, 2]$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full uttelling må kandidaten argumentere ut fra grenseverdier. Bruk av glider og grafisk argumentasjon, kan gi 1 poeng.

Bruk av glider og grafisk argumentasjon, kan gi 1 poeng.

Kandidater som argumenterer grafisk på en god måte, kan få full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon, Delt forskrift, Funksjoner, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Påstander om tredjegradsfunksjon

La $f$ være en tredjegradsfunksjon.

Avgjør for hver av påstandene nedenfor om den er sann eller usann. Begrunn svaret.

For hånd

Påstand 1: Grafen til $f$ har minst ett ekstremalpunkt.

For hånd

Påstand 2: Alle linjer på formen $y = a x + b$ , der $a, b \in ℝ$ , vil skjære grafen til $f$ .

For hånd

Påstand 3: Dersom grafen til $f$ har et vendepunkt for $x = 3$ , er $f^{'} (1) = f^{'} (5)$ .

Fasit

Usann

Sann

Løsningsforslag

Jeg vet at funksjonen $f (x) = x^{3}$ kun har et terrassepunkt og ingen ekstremalpunkter. Jeg bruker derfor denne funksjonen som et moteksempel til påstanden og konkluderer med at påstanden er feil.

Påstanden er usann. $f$ trenger ikke ha ekstremalpunkter.

$f$ har et $x^{3}$ -ledd som vil stige eller synke kubisk mye raskere enn $y = a x + b$ . Det blir dermed umulig for den rette linja å «ikke bli tatt igjen» av $f$ .

Vi kan også bevise at disse vil skjære hverandre matematisk hvis vi lar $f (x) = c x^{3} + d x^{2} + m x + n$ .

c x^{3} + d x^{2} + m x + n = a x + b

c x^{3} + d x^{2} + (m + a) x + (n + b) = 0

Den siste likningen er en vanlig tredjegradslikning. Disse har alltid en løsning (tredjegradsfunksjoner må alltid krysse $x$ -aksen minst en gang). Derfor må $y = a x + b$ skjære $f$ minst ett sted.

Påstanden er sann. $y = a x + b$ vil alltid skjære $f$ minst ett sted.

Vi har vendepunkter når $f^{''} (x) = 0$ . Vi prøver å dobbeltderivere $f$ og sette inn for $f^{''} (3) = 0$ .

\begin{matrix} f (x) & = c x^{3} + d x^{2} + m x + n \\ f^{'} (x) & = 3 c x^{2} + 2 d x + m \\ f^{''} (x) & = 6 c x + 2 d \\ f^{''} (3) & = 0 \\ 6 c \cdot 3 + 2 d & = 0 \\ 18 c + 2 d & = 0 \\ d & = - 9 c \end{matrix}

Vi sjekker hva $f^{'} (1)$ og $f^{'} (5)$ er og prøver innsettingsmetoden med $d = - 9 c$ .

\begin{matrix} f^{'} (1) & = 3 c \cdot 1^{2} + 2 d \cdot 1 + m \\ f^{'} (1) & = 3 c + 2 (- 9 c) + m \\ f^{'} (1) & = 3 c - 18 c + m \\ f^{'} (1) & = - 15 c + m \end{matrix}

\begin{matrix} f^{'} (5) & = 3 c \cdot 5^{2} + 2 d \cdot 5 + m \\ f^{'} (5) & = 3 c \cdot 25 + 2 (- 9 c) \cdot 5 + m \\ f^{'} (5) & = 75 c + 10 \cdot (- 9 c) + m \\ f^{'} (5) & = 75 c - 90 c + m \\ f^{'} (5) & = - 15 c + m \end{matrix}

Påstanden stemmer. Når $f$ har vendepunkt i $x = 3$ så er $f^{'} (1) = f^{'} (5)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidaten må argumentere dersom det skal gis full uttelling. Det kan gis 1 poeng dersom kandidaten viser relevant argumentasjon, men ikke kommer frem til riktig svar. Kun rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Argumentasjon
Kompetansemål: Uttrykke egne resonnementer ved hjelp av matematiske begreper og symbolspråk
Forstå begrepene gjennomsnittlig og momentan vekstfart, grenseverdi og derivasjon, og bruke disse for å løse praktiske problemer
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Kasse uten lokk

Du skal lage en kasse uten lokk. Den skal ha form som et rett prisme. Grunnflaten i kassen skal være kvadratisk. For at vekten ikke skal bli for stor, kan ikke det samlede arealet av platene som brukes til å lage kassen, være mer enn 120 $d m^{2}$ .

Kasse uten lokk

Kalkulator

Hva er det største volumet kassen kan få dersom sidene i bunnen skal være 5 dm?

Kalkulator

Hva er det maksimale volumet kassen kan få?

Du skal lage en slik kasse som rommer 80 $d m^{3}$ .

Kalkulator

Hva er det minste samlede arealet platene kan ha, dersom du skal lage en slik kasse?

Fasit

$V = 118,75 d m^{3}$

$V_{\max} = 40 \sqrt{10} \approx 126,5 d m^{3}$

$A_{\min} = 12 \sqrt[3]{20^{2}} \approx 88,4 d m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ være sidelengden i bunnen (dm) og $h$ være høyden (dm).

Samlet areal (bunn + 4 sider):

A = x^{2} + 4 x h

Volum:

V = x^{2} \cdot h

Setter $x = 5$ og bruker hele arealbudsjettet ( $A = 120$ ):

25 + 4 \cdot 5 \cdot h = 120 ⟹ 20 h = 95 ⟹ h = 4,75 dm

Volumet blir:

V = 5^{2} \cdot 4,75 = 𝟏𝟏𝟖,𝟕𝟓 d m^{3}

For å maksimere volumet bruker vi hele arealbudsjettet ( $A = 120$ ). Løser $A = 120$ for $h$ :

h = \frac{120 - x^{2}}{4 x}

Setter inn i volumformelen:

V (x) = x^{2} \cdot \frac{120 - x^{2}}{4 x} = \frac{x (120 - x^{2})}{4} = 30 x - \frac{x^{3}}{4}

Bruker GeoGebra CAS til å derivere og løse $V^{'} (x) = 0$ :

GeoGebra CAS – optimering av kasse uten lokk

Fra CAS-utklippet (linje 1–6):

V^{'} (x) = 30 - \frac{3}{4} x^{2} = 0 ⟹ x = 2 \sqrt{10} \approx 6,32 dm

h = \sqrt{10} \approx 3,16 dm

V_{\max} = 40 \sqrt{10} \approx 𝟏𝟐𝟔,𝟓 d m^{3}

$V^{'} (x)$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x = 2 \sqrt{10}$ , så dette er et maksimum.

Nå er $V = 80 d m^{3}$ . Løser for $h$ :

h = \frac{80}{x^{2}}

Setter inn i arealformelen:

A (x) = x^{2} + 4 x \cdot \frac{80}{x^{2}} = x^{2} + \frac{320}{x}

Bruker GeoGebra CAS til å minimere $A (x)$ (linje 7–12 i utklippet):

A^{'} (x) = 2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0 ⟹ 2 x^{3} = 320 ⟹ x = 2 \sqrt[3]{20} \approx 5,43 dm

h = \frac{80}{{(2 \sqrt[3]{20})}^{2}} = \frac{80}{4 \sqrt[3]{400}} = \frac{20}{\sqrt[3]{400}} = \sqrt[3]{\frac{20^{3}}{400}} = \sqrt[3]{20} \approx 2,71 dm

A_{\min} = 12 \sqrt[3]{20^{2}} \approx 𝟖𝟖,𝟒 d m^{2}

$A^{'} (x)$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x = 2 \sqrt[3]{20}$ , så dette er et minimum.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som finner et uttrykk for høyden, men ikke finne det største volumet, kan få 1 poeng.

En god strategi kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Derivasjon, Geometri
Kompetansemål: Anvende derivasjon til å analysere og forstå optimaliseringsproblemer
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Ishockeypuck med vektorfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En ishockeybane er $60 m$ lang og $30 m$ bred. Vi plasserer et koordinatsystem slik at origo er midt på banen. Se figuren nedenfor.

Ishockeybane

En hockeyspiller sendte av gårde en puck. Vektorfunksjonen $\vec{r}$ gitt ved

\vec{r} (t) = [8 (e^{- t} - t), 5 (e^{- t} - t)]

gir puckens posisjon $t$ sekunder etter at den ble sendt av gårde. Denne vektorfunksjonen gir puckens posisjon helt til den treffer vantet (veggen på banen).

Kalkulator

Hvilken fart hadde pucken idet den ble sendt av gårde?

Oppsett for hånd

Hvor lang tid gikk det før pucken traff vantet?

En annen hockeyspiller var i posisjonen $P (- 18, 11)$ da pucken ble sendt av gårde. Spilleren hadde konstant fart $\vec{v} = [3, - 7]$ .

Kalkulator

Begrunn at denne spilleren ikke ble truffet av pucken.

Fasit

$| {\vec{r}}^{'} (0) | = 2 \sqrt{89} \approx 18,87 m / s$

Pucken treffer lang-vanten etter ca. $3,05$ sekunder.

Spilleren ble ikke truffet av pucken — pucken beveger seg langs linjen $5 x = 8 y$ , og selv om spillerens bane krysser denne linjen, er spilleren og pucken ikke i samme punkt på samme tidspunkt.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS-utregning

Puckens posisjon er gitt ved $\vec{r} (t) = [8 (e^{- t} - t), 5 (e^{- t} - t)]$ . Farten er lengden av hastighetsvektoren ${\vec{r}}^{'} (t)$ .

Vi deriverer komponentvis:

{\vec{r}}^{'} (t) = [- 8 e^{- t} - 8, - 5 e^{- t} - 5] = - (e^{- t} + 1) \cdot [8, 5]

Ved $t = 0$ :

{\vec{r}}^{'} (0) = - (e^{0} + 1) \cdot [8, 5] = - 2 \cdot [8, 5] = [- 16, - 10]

Farten er:

| {\vec{r}}^{'} (0) | = \sqrt{{(- 16)}^{2} + {(- 10)}^{2}} = \sqrt{256 + 100} = \sqrt{356} = 2 \sqrt{89}

Pucken hadde fart $2 \sqrt{89} \approx 18,87 m / s$ idet den ble sendt av gårde.

Banen er $60 m$ lang og $30 m$ bred med origo i midten, så $- 30 \leq x \leq 30$ og $- 15 \leq y \leq 15$ .

Vi observerer at $\vec{r} (t) = (e^{- t} - t) \cdot [8, 5]$ . La $u (t) = e^{- t} - t$ . Da er $x (t) = 8 u (t)$ og $y (t) = 5 u (t)$ .

Siden $u^{'} (t) = - e^{- t} - 1 < 0$ for alle $t$ , avtar $u (t)$ strengt, og dermed avtar både $x$ og $y$ fra startverdiene $x (0) = 8$ og $y (0) = 5$ . Pucken beveger seg mot negative $x$ - og $y$ -verdier, så de aktuelle grensene er $x = - 30$ og $y = - 15$ .

Vi undersøker hvilken grense som nås først ved å løse to likninger:

$y = - 15$ : $5 (e^{- t} - t) = - 15 \Rightarrow e^{- t} - t = - 3$ . Numerisk løsning: $t \approx 3,05$ .
$x = - 30$ : $8 (e^{- t} - t) = - 30 \Rightarrow e^{- t} - t = - 3,75$ . Numerisk løsning: $t \approx 3,77$ .

Siden $u (t)$ er avtagende, nås $u = - 3$ (tilsvarer $y = - 15$ ) før $u = - 3,75$ (tilsvarer $x = - 30$ ).

Kontroll: ved $t \approx 3,05$ er $x = 8 \cdot (- 3) = - 24 m$ , som er innenfor banen ( $- 30 \leq - 24 \leq 30$ ✓).

Pucken treffer lang-vanten ( $y = - 15$ ) etter ca. $3,05 sekunder$ .

Puckens posisjon er alltid $\vec{r} (t) = u (t) \cdot [8, 5]$ der $u (t) = e^{- t} - t$ . Det betyr at pucken beveger seg langs den rette linjen gjennom origo i retning $[8, 5]$ , altså langs linjen $5 x = 8 y$ .

Spillerens posisjon ved tid $t$ er:

\vec{P} (t) = (- 18 + 3 t, 11 - 7 t)

For at spilleren skal treffes av pucken, må $\vec{P} (t) = \vec{r} (t)$ for et tidspunkt $t \geq 0$ . Dette gir likningssystemet:

{\begin{matrix} - 18 + 3 t = 8 (e^{- t} - t) \\ 11 - 7 t = 5 (e^{- t} - t) \end{matrix}

Fra begge likninger kan vi isolere $e^{- t} - t$ :

Ligning 1: $e^{- t} - t = \frac{3 t - 18}{8}$
Ligning 2: $e^{- t} - t = \frac{11 - 7 t}{5}$

Setter de to uttrykkene like hverandre:

\frac{3 t - 18}{8} = \frac{11 - 7 t}{5}

5 (3 t - 18) = 8 (11 - 7 t)

15 t - 90 = 88 - 56 t

71 t = 178 \Rightarrow t = \frac{178}{71} \approx 2,51

Dette er det eneste tidspunktet der spillerens bane og puckens bane er på samme rette linje. Vi sjekker om de er i samme punkt:

Spillerens posisjon: $(- 18 + 3 \cdot 2,51, 11 - 7 \cdot 2,51) \approx (- 10,47, - 6,55)$
Puckens posisjon: $(8 (e^{- 2,51} - 2,51), 5 (e^{- 2,51} - 2,51)) \approx (- 19,40, - 12,13)$

De to posisjonene er ulike — selv om banen til spilleren krysser linjen pucken beveger seg langs, er de ikke i samme punkt på samme tid.

Spilleren ble dermed ikke truffet av pucken.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Rett utregning av enten $\vec{v} (0)$ eller $| \vec{v} (0) |$ kan gi full uttelling. Kandidater som bare finner den generelle $\vec{v} (t)$ kan få 1 poeng.

En god strategi kan gi 1 poeng. For å få full uttelling må kandidaten kommunisere løsningen på en god måte.

En god strategi kan gi 1 poeng. Rett svar uten begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Derivasjon, Modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til linjer og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer
Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Cauchys middelverdisetning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 1823 viste matematikeren Augustin Louis Cauchy følgende setning:

La $f (x) = x^{2} + 3 x + 1$ .

For hånd

Bestem $c$ når $a = 1$ og $b = 3$ .

Oppsett for hånd

Lag et program som bestemmer $c$ , når du gir verdier til $a$ og $b$ .

Oppsett for hånd

Bruk programmet til å undersøke om det finnes en sammenheng mellom verdien av $c$ og verdiene av $a$ og $b$ .

Anne påstår at dersom $a = 2$ og $b = 8$ , så vil $c = 5$ for alle andregradsfunksjoner.

For hånd

Avgjør om Annes påstand er riktig.

Fasit

$c = 2$

Se program i løsningsforslaget.

$c$ er alltid midtpunktet $\frac{a + b}{2}$ .

Annes påstand er riktig for alle andregradsfunksjoner (med $p \neq 0$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne $c \in ⟨ 1, 3 ⟩$ slik at $f^{'} (c) = \frac{f (3) - f (1)}{3 - 1}$ .

Vi beregner først høyresiden:

\frac{f (3) - f (1)}{3 - 1} = \frac{(9 + 9 + 1) - (1 + 3 + 1)}{2} = \frac{19 - 5}{2} = 7

Siden $f^{'} (x) = 2 x + 3$ , løser vi likningen $f^{'} (c) = 7$ :

2 c + 3 = 7

I GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – løsning del a) og del d)

CAS gir $c = 2$ . Vi sjekker at $c = 2 \in ⟨ 1, 3 ⟩$ ✓.

$c = 2$

Programmet beregner den midlere stigningen $m = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ og leter så trinnvis fra $x = a$ til $f^{'} (x) \approx m$ :

def f(x):
    return x**2 + 3*x + 1

a = 1
b = 3
m = (f(b) - f(a)) / (b - a)     # midlere stigning

h = 0.0001
c = a
while (f(c + h) - f(c)) / h < m:   # finn c der f'(c) ≈ m
    c = c + h

print("c =", round(c, 4))

Programmet skriver ut c = 2.0.

Ved å kjøre programmet for ulike verdier av $a$ og $b$ (for eksempel $a = 0, b = 4$ gir $c = 2$ ; $a = - 2, b = 2$ gir $c = 0$ ; $a = 1, b = 5$ gir $c = 3$ ) ser vi at $c$ alltid er lik midtpunktet:

c = \frac{a + b}{2}

Vi viser dette analytisk for en generell andregradsfunksjon $h (x) = p x^{2} + q x + r$ med $p \neq 0$ .

Midlere stigning:

\frac{h (b) - h (a)}{b - a} = \frac{p (b^{2} - a^{2}) + q (b - a)}{b - a} = \frac{(b - a) (p (b + a) + q)}{b - a} = p (a + b) + q

(CAS bekrefter: se linje 4 i skjermbildet over — uttrykket forenkles til $a p + p b + q$ .)

Setter $h^{'} (c)$ lik midlere stigning:

h^{'} (c) = 2 p c + q = p (a + b) + q

2 p c = p (a + b) ⟹ c = \frac{a + b}{2}

(CAS bekrefter i linje 5: $c = \frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ .)

Siden $c = \frac{a + b}{2}$ gjelder for alle andregradsfunksjoner med $p \neq 0$ , og spesielt for $a = 2$ , $b = 8$ :

c = \frac{2 + 8}{2} = 5

Annes påstand er $riktig$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

En god strategi kan gi 1 poeng.

Dersom grunnidéen i koden er korrekt, men har noen små mangler, kan det gis 1 poeng. Det er selvsagt ikke nødvendig å bruke input-funksjonen for å få full uttelling.

Kandidater som finner en riktig sammenheng ved å bruke programmet, kan få full uttelling. Kandidater som undersøker sammenhenger ved hjelp av programmet, men som ikke klarer å finne en tydelig sammenheng, kan få 1 poeng. Kandidater som finner en riktig sammenheng uten å bruke programmet, kan få 2 poeng hvis de begrunner godt.

Argumentasjon ved å bruke flere eksempler, kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Derivasjon, Programmering, Bevis, Argumentasjon
Kompetansemål: Bestemme den deriverte i et punkt geometrisk, algebraisk og ved numeriske metoder, og gi eksempler på funksjoner som ikke er deriverbare i gitte punkter
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 4 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1Deriver x ln(x)

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Sorter tallene i riktig rekkefølge

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 38 poeng

Oppgave 2-1Konsentrasjon i kjemisk reaksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Stykkevis funksjon med parameter k

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Påstander om tredjegradsfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Kasse uten lokk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Ishockeypuck med vektorfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Cauchys middelverdisetning

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 1 time · 4 oppgaver · 12 poeng

Oppgave 1-1·Deriver x ln(x)

Oppgave 1-2·Sorter tallene i riktig rekkefølge

Oppgave 1-3·Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant

Oppgave 1-4·Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Del 2alle hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 38 poeng

Oppgave 2-1·Konsentrasjon i kjemisk reaksjon

Oppgave 2-2·Stykkevis funksjon med parameter k

Oppgave 2-3·Påstander om tredjegradsfunksjon

Oppgave 2-4·Kasse uten lokk

Oppgave 2-5·Ishockeypuck med vektorfunksjon

Oppgave 2-6·Cauchys middelverdisetning

Temaer

Oppgave 1-1Deriver x ln(x)

Oppgave 1-2Sorter tallene i riktig rekkefølge

Oppgave 1-3Vektorer til å bestemme sidekanter og vinkler i trekant

Oppgave 1-4Tolk og fiks program som finner bunnpunkt

Oppgave 2-1Konsentrasjon i kjemisk reaksjon

Oppgave 2-2Stykkevis funksjon med parameter k

Oppgave 2-3Påstander om tredjegradsfunksjon

Oppgave 2-4Kasse uten lokk

Oppgave 2-5Ishockeypuck med vektorfunksjon

Oppgave 2-6Cauchys middelverdisetning