2P Høst 2025

2P Høst 2025 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler
1-1	Prosentvis prisøkning 2P-Y H25	✔︎
1-2	Prisindeks og sammenligning	KI
1-3	Modell av Eiffeltårnet	KI
1-4	Pariserhjul statistikk 2P-Y H25	✔︎
1-5	Trekant i sirkel	KI
1-6	Priser i tivoli-kiosk	KI
1-7	Kaja sitt serielån	KI
1-8	Johanns spareplan	KI
Del 2 3 timer med hjelpemidler
2-1	Eksponentiell vekst nettbutikk	✔︎
2-2	Befolkningsstatistikk tettsteder	✔︎
2-3	Internettbruk i aldersgrupper	✔︎
2-4	Investeringer og avkastning	✔︎
2-5	Gjennomsnittsalder i Åseral	✔︎
2-6	Grus på sti og kjeglehaug	KI

Oppgave 1-1 : Prosentvis prisøkning 2P-Y H25

Prisen for en vare settes opp fra 300 kroner til 315 kroner.

Hvor mange prosent settes prisen opp med?

Fasit

5 %

Løsningsforslag

Vi skal finne hvor mange prosent prisen øker med når den går fra 300 kr til 315 kr.

Først finner vi økningen i kroner:

\text{Økning} = 315 - 300 = 15 \text{ kr}

Deretter finner vi hvor mange prosent denne økningen utgjør av den opprinnelige prisen:

\text{Prosentvis økning} = \frac{\text{Økning}}{\text{Opprinnelig pris}} \cdot 100\,\% = \frac{15}{300} \cdot 100\,\% = \frac{1500}{300}\,\% = 5\,\%

Prisen settes opp med $\underline{\underline{5\,\%}}$ .

Sensorveiledning

For å få uttelling, må kandidaten bruke riktig grunnlag i beregningene.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: prosentvis endring, prosent
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 1-2 : Prisindeks og sammenligning

I 2024 var indeksen for en vare 120. Varen kostet da 400 kroner. I 2022 var indeksen for den samme varen 90.

Hvor mye kostet varen i 2022 dersom prisen har fulgt indeksen?

Fasit

$\underline{\underline{300 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Indeksen viser prisen i forhold til et basisår. Siden vi kjenner prisen i 2024, kan vi finne prisen i 2022 ved å bruke forholdet mellom indeksene:

\frac{\text{pris}_{2022}}{\text{pris}_{2024}} = \frac{\text{indeks}_{2022}}{\text{indeks}_{2024}}

Vi setter inn de kjente verdiene:

\text{pris}_{2022} = \text{pris}_{2024} \cdot \frac{\text{indeks}_{2022}}{\text{indeks}_{2024}} = 400 \cdot \frac{90}{120}

Vi forenkler brøken $\dfrac{90}{120} = \dfrac{3}{4}$ , og regner ut:

\text{pris}_{2022} = 400 \cdot \frac{3}{4} = \frac{400 \cdot 3}{4} = \frac{1200}{4} = 300

Varen kostet $\underline{\underline{300 \, \mathrm{kr}}}$ i 2022.

Sensorveiledning

En kandidat som bruker en riktig strategi, men ikke kommer helt i mål med beregningene, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 1
Temaer: prosent, prosentregning
Kompetansemål: Utforske og forklare samanhengar mellom prisindeks, kroneverdi, reallønn, nominell lønn og brutto- og nettoinntekt

Oppgave 1-3 : Modell av Eiffeltårnet

Eiffeltårnet i Paris er 330 meter høyt. Ellen har kjøpt en modell av Eiffeltårnet i målestokk $1 : 1100$ .

Hvor høy er modellen?

Fasit

Modellen er $\underline{\underline{30 \, \mathrm{cm}}}$ høy.

LøsningsforslagKI-generert

Målestokk $1 : 1100$ betyr at én centimeter på modellen svarer til $1100$ centimeter (altså $11$ meter) i virkeligheten.

Vi regner om tårnets høyde til centimeter:

330 \, \mathrm{m} = 33\,000 \, \mathrm{cm}

For å finne modellhøyden deler vi på målestokktallet:

\frac{33\,000}{1100} = 30 \, \mathrm{cm}

Modellen er $\underline{\underline{30 \, \mathrm{cm}}}$ høy.

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: proporsjonalitet, geometri
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid

Oppgave 1-4 : Pariserhjul statistikk 2P-Y H25

I et pariserhjul er det 20 vogner. Det er plass til 4 personer i hver vogn. Nedenfor ser du hvor mange personer det var i vognene på et tidspunkt.

Antall personer i vognen	Antall vogner
0
1	2
2	3
3	4
4	6

Stine påstår at fem vogner var tomme.

Vis at påstanden er riktig.

Bestem gjennomsnittet og medianen for antallet personer i hver vogn.

Bestem den kumulative frekvensen for to personer i hver vogn, og gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Gjennomsnitt: 2,2 personer. Median: 2,5 personer

Kumulativ frekvens: 10. Det var 10 vogner med 2 eller færre personer i.

Løsningsforslag

Vi vet at det er 20 vogner totalt. Fra tabellen kan vi finne hvor mange vogner som hadde personer i seg:

\begin{aligned} \text{Vogner med personer} &= 2 + 3 + 4 + 6 \\ &= 15 \text{ vogner} \end{aligned}

Antall tomme vogner blir da:

\text{Tomme vogner} = 20 - 15 = 5

Dette viser at Stines påstand er riktig - det var $\underline{\underline{5}}$ tomme vogner.

Vi skal finne gjennomsnittet og medianen for antallet personer i hver vogn.

Gjennomsnitt:

For å finne gjennomsnittet må vi summere alle personene og dele på antall vogner:

\begin{aligned} \text{Totalt antall personer} &= 0 \cdot 5 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 \\ &= 0 + 2 + 6 + 12 + 24 \\ &= 44 \text{ personer} \end{aligned}

\text{Gjennomsnitt} = \frac{44}{20} = 2{,}2

Median:

For å finne medianen må vi sortere alle vognene etter antall personer. Vi har:

5 vogner med 0 personer
2 vogner med 1 person
3 vogner med 2 personer
4 vogner med 3 personer
6 vogner med 4 personer

Sortert liste: $0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, \textcolor{steelblue}{2}, \textcolor{seagreen}{3}, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4$

Siden vi har 20 vogner (et partall), blir medianen gjennomsnittet av vogn nummer 10 og 11:

\text{Median} = \frac{\textcolor{steelblue}{2} + \textcolor{seagreen}{3}}{2} = 2{,}5

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{2{,}2}}$ personer per vogn, og medianen er $\underline{\underline{2{,}5}}$ personer per vogn.

Kumulativ frekvens forteller oss hvor mange vogner som har to personer eller færre.

Framgangsmåte:

Vi summerer antall vogner med 0, 1 og 2 personer:

\text{Kumulativ frekvens} = 5 + 2 + 3 = 10

Praktisk tolkning: Den kumulative frekvensen for to personer er $\underline{\underline{10}}$ . Dette betyr at 10 vogner hadde 2 personer eller færre i seg. Med andre ord: halvparten av vognene var enten tomme eller hadde maksimalt 2 personer.

Sensorveiledning

2,5 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig gjennomsnitt og 1 poeng for riktig median. Riktige svar som ikke er begrunnet, gir ingen uttelling. Følgefeil kan gi full uttelling, men en kandidat som ikke tar hensyn til de tomme vognene, får høyst 4 poeng til sammen i oppgave 4.

2,5 poeng

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig kumulativ frekvens og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning. Riktige svar som ikke er begrunnet, gir ingen uttelling. Følgefeil kan gi full uttelling, men en kandidat som ikke tar hensyn til de tomme vognene, får høyst 4 poeng til sammen i oppgave 4.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: statistikk, gjennomsnitt, median, kumulativ frekvens
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 1-5 : Trekant i sirkel

Regine har tegnet en rettvinklet trekant. Den ene kateten er 6 cm, og den andre kateten er 8 cm. Hun har plassert trekanten inne i en sirkel slik at hypotenusen er en diameter i sirkelen.

Gjør beregninger og avgjør om arealet av sirkelen er større enn eller mindre enn $75 \mathrm{~cm^2}$ .

Fasit

Arealet av sirkelen er $\underline{\underline{25\pi \approx 78{,}5 \, \mathrm{cm^2}}}$ , som er større enn $75 \, \mathrm{cm^2}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi starter med å finne hypotenusen i trekanten ved hjelp av Pythagoras’ setning.

De to katetene er $6 \, \mathrm{cm}$ og $8 \, \mathrm{cm}$ .

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

c = \sqrt{100} = 10 \, \mathrm{cm}

Hypotenusen er altså $10 \, \mathrm{cm}$ .

Siden hypotenusen er en diameter i sirkelen, er diameteren $10 \, \mathrm{cm}$ , og dermed er radiusen

r = \frac{10}{2} = 5 \, \mathrm{cm}

Arealet av en sirkel er $A = \pi r^2$ , så

A = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78{,}5 \, \mathrm{cm^2}

Siden $78{,}5 \, \mathrm{cm^2} > 75 \, \mathrm{cm^2}$ , er arealet av sirkelen større enn $75 \, \mathrm{cm^2}$ .

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: geometri
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid

Oppgave 1-6 : Priser i tivoli-kiosk

En kiosk i et tivoli selger sukkerspinn, popkorn og softis.

Eva kjøper et sukkerspinn og en bøtte med popkorn. Hun betaler 90 kroner.
Trine kjøper en bøtte med popkorn og en softis. Hun betaler 80 kroner.
Magnus kjøper et sukkerspinn og en softis. Han betaler 70 kroner.

Hvor mye koster et sukkerspinn, hvor mye koster en bøtte med popkorn, og hvor mye koster en softis?

Fasit

Sukkerspinn koster $\underline{\underline{40 \, \mathrm{kr}}}$ , popkorn koster $\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}$ , softis koster $\underline{\underline{30 \, \mathrm{kr}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

La $s$ være prisen på et sukkerspinn, $p$ prisen på en bøtte popkorn og $o$ prisen på en softis.

Vi setter opp tre likninger basert på informasjonen i oppgaven:

s + p = 90 \quad (1)

p + o = 80 \quad (2)

s + o = 70 \quad (3)

Vi legger sammen alle tre likningene:

s + p + p + o + s + o = 90 + 80 + 70

2s + 2p + 2o = 240

s + p + o = 120

Nå bruker vi dette til å finne hver pris. Fra likning (1) vet vi at $s + p = 90$ , så:

o = 120 - 90 = 30

Fra likning (2) vet vi at $p + o = 80$ , så:

s = 120 - 80 = 40

Fra likning (3) vet vi at $s + o = 70$ , så:

p = 120 - 70 = 50

Vi sjekker at svarene stemmer:

Eva: $40 + 50 = 90 \, \mathrm{kr}$ ✓
Trine: $50 + 30 = 80 \, \mathrm{kr}$ ✓
Magnus: $40 + 30 = 70 \, \mathrm{kr}$ ✓

Et sukkerspinn koster $\underline{\underline{40 \, \mathrm{kr}}}$ , en bøtte popkorn koster $\underline{\underline{50 \, \mathrm{kr}}}$ og en softis koster $\underline{\underline{30 \, \mathrm{kr}}}$ .

Sensorveiledning

En kandidat som velger en riktig strategi eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. Riktige svar som ikke er gjort rede for, gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: likningssystem
Kompetansemål: Utforske strategiar for å løyse likningar, likningssystem og ulikskapar og argumentere for tenkjemåtane sine

Oppgave 1-7 : Kaja sitt serielån

Kaja tar opp et serielån på 400 000 kroner.

Hun skal betale ned lånet over 8 år, med én termin per år.
Første innbetaling er om 1 år.
Renten er $5{,}0\ \%$ per år, og lånet er gebyrfritt.

Hvor store blir avdragene Kaja må betale?

Regn ut terminbeløpene for de to første terminene.

Hvor mange kroner måtte Kaja ha betalt i renter i tredje termin dersom lånets nedbetalingstid hadde vært 5 år, med én termin per år?

Fasit

Avdraget er $\underline{\underline{50\ 000 \, \mathrm{kr}}}$ per termin.

Terminbeløp 1: $\underline{\underline{70\ 000 \, \mathrm{kr}}}$ , terminbeløp 2: $\underline{\underline{67\ 500 \, \mathrm{kr}}}$

Rentene i 3. termin hadde vært $\underline{\underline{12\ 000 \, \mathrm{kr}}}$

LøsningsforslagKI-generert

I et serielån er avdraget det samme i alle terminer. Vi fordeler lånet likt på alle terminer:

\text{Avdrag} = \frac{400\ 000}{8} = \underline{\underline{50\ 000 \, \mathrm{kr}}}

Avdraget er 50 000 kr per termin.

Terminbeløpet er summen av avdrag og renter. Rentene regnes av restgjelden (det som gjenstår av lånet) ved starten av terminen.

Termin 1:

Restgjelden i starten er 400 000 kr.

\text{Renter}_1 = 400\ 000 \cdot 0{,}05 = 20\ 000 \, \mathrm{kr}

\text{Terminbeløp}_1 = 50\ 000 + 20\ 000 = \underline{\underline{70\ 000 \, \mathrm{kr}}}

Termin 2:

Etter første termin er restgjelden redusert med ett avdrag:

\text{Restgjeld} = 400\ 000 - 50\ 000 = 350\ 000 \, \mathrm{kr}

\text{Renter}_2 = 350\ 000 \cdot 0{,}05 = 17\ 500 \, \mathrm{kr}

\text{Terminbeløp}_2 = 50\ 000 + 17\ 500 = \underline{\underline{67\ 500 \, \mathrm{kr}}}

Dersom nedbetalingstiden hadde vært 5 år, ville avdraget blitt:

\text{Avdrag} = \frac{400\ 000}{5} = 80\ 000 \, \mathrm{kr}

Etter to terminer ville restgjelden vært:

\text{Restgjeld} = 400\ 000 - 2 \cdot 80\ 000 = 400\ 000 - 160\ 000 = 240\ 000 \, \mathrm{kr}

Rentene i tredje termin hadde da blitt:

\text{Renter}_3 = 240\ 000 \cdot 0{,}05 = \underline{\underline{12\ 000 \, \mathrm{kr}}}

Kaja hadde måttet betale 12 000 kr i renter i tredje termin.

Sensorveiledning

1,3 poeng

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: lån
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort

Oppgave 1-8 : Johanns spareplan

Johann har arvet penger. Han har en plan og har laget programmet nedenfor.

konto = 1500000
uttak = 120000
vf = 1.056
år = 0

while konto >= 120000:
	konto = konto * vf - uttak
	år = år + 1

print("Resultat:")
print(år)
print(konto)

Resultat:
22
11183.702579092205

Hva forteller programmet om planen til Johann?
Hva forteller verdiene som skrives ut når programmet kjøres?

Fasit

Programmet simulerer at Johann tar ut $120\,000 \, \mathrm{kr}$ per år fra kontoen, med $5{,}6\,\%$ rente. Etter $\mathbf{22}$ år har han tatt ut siste gang og da er det ca. $\mathbf{11\,184} \, \mathrm{kr}$ igjen på kontoen.

LøsningsforslagKI-generert

Programmet simulerer Johann sin spareplan steg for steg. Vi leser av variablene:

konto = 1500000 — Johann starter med $1\,500\,000 \, \mathrm{kr}$ på konto
uttak = 120000 — han tar ut $120\,000 \, \mathrm{kr}$ hvert år
vf = 1.056 — kontoen har $5{,}6\,\%$ rente per år (vekstfaktor $1{,}056$ )

Hver runde i løkken beregner ny kontosaldo etter ett år:

\text{konto} = \text{konto} \cdot 1{,}056 - 120\,000

Det vil si: kontoen vokser med rente, og deretter tas det ut $120\,000 \, \mathrm{kr}$ .

Løkken kjører så lenge konto >= 120000, altså så lenge det er nok penger til å ta ut $120\,000 \, \mathrm{kr}$ .

Hva forteller de to verdiene som skrives ut?

22 — Johann kan ta ut $120\,000 \, \mathrm{kr}$ i 22 år før pengene er nesten oppbrukt
11183.70... — Etter det 22. uttaket er det ca. $11\,184 \, \mathrm{kr}$ igjen på kontoen

Svarsetning: Programmet viser at Johann kan ta ut $120\,000 \, \mathrm{kr}$ per år i $\underline{\underline{22 \text{ år}}}$ . Etter det 22. uttaket har han ca. $\underline{\underline{11\,184 \, \mathrm{kr}}}$ igjen på kontoen.

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidaten gjør rede for at renten er 5,6 % per år, at han vil ta ut 120 000 kroner hvert år, at han kan ta ut dette beløpet i 22 år, og at det etter 22 uttak vil være igjen omtrent 11 184 kroner på kontoen. For å få 1 poeng, må kandidaten gjøre rede for to av de fire momentene nevnt ovenfor. Redegjørelsene må være presise.

Oppgavedata

Poeng: 2
Temaer: programmering, sparing
Kompetansemål: Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort

Oppgave 2-1 : Eksponentiell vekst nettbutikk

Alex lager hårspenner og annen hodepynt. I februar 2025 åpnet han en liten nettbutikk. Tabellen nedenfor viser omsetningen de første fem månedene etter at nettbutikken åpnet.

Måned	Februar	Mars	April	Mai	Juni
Omsetning (kroner)	1267	1431	1619	1788	2032

Lag en modell på formen $f(x)=a \cdot b^{x}$ for omsetningen $f(x)$ kroner $x$ måneder etter februar 2025.

Omtrent hvor mange prosent øker omsetningen med per måned, ifølge modellen?

Alex har som mål å omsette for 20 000 kroner per måned.

Når kommer Alex til å nå målet, ifølge modellen?

Hvor mange prosent må omsetningen øke med per måned etter juni 2025 dersom Alex skal nå målet i løpet av desember 2025?

Fasit

$f(x)=1267 \cdot 1{,}124^{x}$

12,4 %

I januar 2027 (ca. 23,5 måneder etter februar 2025)

46,4 %

Løsningsforslag

Regresjon for Alex sitt salg av hodepynt

Jeg la inn dataene i GeoGebra og brukte regresjon med en eksponentiell modell

Modellen $\underline{\underline{f(x) = 1271 \cdot 1{,}124^{x}}}$ der $x$ er antall måneder etter februar 2025 passer godt for Alex’ omsetning.

Vekstfaktoren $b = 1{,}124$ tilsvarer $112{,}4 \,\%$ . Siden utgangspunktet vårt er 100 %, så blir økningen 12,4 %.

Omsetningen øker med omtrent $\underline{\underline{12{,}4\,\%}}$ per måned ifølge modellen.

Figur 1: f skjærer y=20000 når omsetningen er 20 000 kr

Vi kan enten løse likningen $f(x)=20000$ i CAS i GeoGebra, eller så kan vi finne skjæringen med linjen $y=20000$ slik jeg har gjort i figur figur 1, se punkt $A$ .

Alex kommer til å nå målet etter omtrent $\underline{\underline{23{,}5}}$ måneder, det vil si i $\underline{\underline{\text{januar 2027}}}$ ifølge modellen.

Vi skal finne hvor mange prosent omsetningen må øke med per måned etter juni 2025 for å nå målet i desember 2025.

Framgangsmåte:

I juni (måned 4) er omsetningen: $2032$ kr
Fra juni til desember er det 6 måneder
Vi vil nå 20 000 kr i desember

Vi kaller vekstfaktoren til økningen $x$ og setter opp likningen

2032 \cdot x^{6}=20\,000

CAS-løsning av oppgave 2-1d

Denne vekstfaktoren tilsvarer 46,4 % økning.

Omsetningen må øke med omtrent $\underline{\underline{46{,}4\,\%}}$ per måned etter juni 2025 for at Alex skal nå målet i løpet av desember 2025.

Sensorveiledning

3 poeng

Modeller som ikke er eksponentielle, gir ingen uttelling. En modell på formen $f(x) = a \cdot e^{kx}$ , kan gi 1 poeng. En kandidat som kommer fram til en riktig modell, men ikke viser fremgangsmåten, får 1 poeng. En kandidat som setter $x=1$ i februar, kan få full uttelling.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. En kandidat som regner ut samlet prosentvis økning, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: regresjon, modellering, eksponentialfunksjoner, prosentvis endring, prosentvis endring i flere perioder
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy

Oppgave 2-2 : Befolkningsstatistikk tettsteder

Tabellen nedenfor viser innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge i 2024.

	Tettsted	Innbyggere
1	Oslo	1 098 061
2	Bergen	272 125
3	Stavanger/Sandnes	239 055
4	Trondheim	198 777
5	Drammen	124 540
6	Fredrikstad/Sarpsborg	121 679
7	Porsgrunn/Skien	96 695
8	Kristiansand	67 372
9	Tønsberg	55 939
10	Ålesund	55 684

Bestem medianen, gjennomsnittet, standardavviket og variasjonsbredden for innbyggertallet i de ti største tettstedene i Norge.

Kine og Håkon diskuterer hvilket sentralmål som er best å bruke for å beskrive datamaterialet.

Håkon mener det er best å bruke gjennomsnittet. Kine mener det er best å bruke medianen.

Hvem er du mest enig med? Husk å begrunne svaret ditt.

Gjennomsnittet, medianen og standardavviket for de ti største tettstedene i Danmark er gitt i tabellen nedenfor.

Gjennomsnitt	Median	Standardavvik
235 549	67 832	388 000

Hva kan du si om folketallet i de danske tettstedene sammenliknet med de norske ut fra tallene i tabellen og resultatene fra oppgave a)?

Fasit

Median: 123 110, Gjennomsnitt: 232 993, Standardavvik: 308 179, Variasjonsbredde: 1 042 377

Medianen er bedre fordi Oslo er en ekstremverdi som trekker gjennomsnittet kraftig opp.

Danmark har større spredning i innbyggertall (større standardavvik). Medianen er omtrent lik i Norge og Danmark.

Løsningsforslag

Beregning av sentralmål og spredningsmål i GeoGebra

Vi skal beregne median, gjennomsnitt, standardavvik og variasjonsbredde for innbyggertallet. Vi bruker regnearket i GeoGebra.

Variasjonsbredde:

\text{Variasjonsbredde} = \text{Maks} - \text{Min} = 1\,098\,061 - 55\,684 = 1\,042\,377

Resultater:

Median: $\underline{\underline{123\,110}}$
Gjennomsnitt: $\underline{\underline{232\,993}}$
Standardavvik: $\underline{\underline{297\,326}}$
Variasjonsbredde: $\underline{\underline{1\,042\,377}}$

Vi ser at gjennomsnittet er nesten dobbelt så stort som medianen. Dette skyldes at Oslo (1 098 061) er en ekstremverdi som trekker gjennomsnittet kraftig opp.

Når vi har ekstremverdier i datasettet, er medianen et bedre sentralmål fordi den ikke påvirkes like mye av ekstreme verdier. Medianen viser den «midterste» verdien og gir et mer representativt bilde av et typisk stort tettsted i Norge.

Jeg er mest enig med Kine. Medianen er best å bruke fordi Oslo er en ekstremverdi som gjør gjennomsnittet misvisende. Medianen på 123 110 gir et mer representativt bilde av størrelsen på de norske tettstedene.

Vi skal sammenligne folketallet i de danske og norske tettstedene.

Sammenligning:

Mål	Danmark	Norge
Gjennomsnitt	235 549	232 993
Median	67 832	123 110
Standardavvik	388 000	297 326

Observasjoner:

Gjennomsnittene er ganske like (Danmark litt høyere)
Medianen i Danmark er mye lavere enn i Norge (67 832 vs 123 110)
Standardavviket i Danmark er mye høyere (388 000 vs 297 326)

Tolkning:

Det høye standardavviket og den lave medianen i Danmark tyder på at København må være ekstremt mye større enn de andre danske tettstedene. I Norge er spredningen mindre - selv om Oslo er størst, er forskjellen til de andre byene ikke like dramatisk.

Danmark har en hovedstad (København) som dominerer mye mer enn Oslo gjør i Norge. De fleste danske tettstedene er relativt små (median 67 832), men København er så stor at den trekker gjennomsnittet opp og gir et svært høyt standardavvik. Norge har en jevnere fordeling av innbyggere mellom de største tettstedene.

Sensorveiledning

For å få 1 poeng, må kandidaten bestemme minst to av verdiene. En oversiktlig besvarelse i et regneark gir full uttelling selv om kandidaten ikke viser formlene som er brukt. En kandidat som bestemmer empirisk standardavvik, kan også få full uttelling.

For å få 1 poeng, må kandidaten i utgangspunktet argumentere for at medianen er best egnet fordi innbyggertallet i Oslo skiller seg ut. En kandidat som tydelig får fram at gjennomsnittet i stor grad blir påvirket av det høye innbyggertallet i Oslo, men at medianen ikke gjør det, kan få 1 poeng.

For å få full uttelling må kandidaten argumentere riktig ut fra alle tre målene. For å 1 poeng, må kandidaten argumentere riktig ut fra to av målene.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: statistikk, standardavvik, sentralmål
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media
Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 2-3 : Internettbruk i aldersgrupper

Tabellen nedenfor viser hvor mange minutter nordmenn i ulike aldersgrupper brukte på internett en gjennomsnittsdag i årene 2020 til 2024.

	2020	2021	2022	2023	2024
9–15 år	180	198	256	273	245
16–24 år	318	340	408	388	440
25–44 år	245	269	294	312	338
45–64 år	177	181	226	218	260
65–79 år	60	77	111	109	127

Tenk deg at du skal presentere funn fra dette datamaterialet for klassen din.

Gjør beregninger og sammenligninger, og lag ulike framstillinger som du kan bruke i en presentasjon. Presentasjonen skal inneholde både beregninger, diagrammer og forklarende kommentarer.

Lag en oppsummering der du trekker fram to interessante funn ut fra beregningene du har gjort, og diagrammene du har laget.

Fasit

Se løsningsforslaget for eksempler på beregninger og diagrammer.

Løsningsforslag

Jeg skal lage en presentasjon med beregninger, diagrammer og kommentarer om nordmenns internettbruk.

Beregninger og funn:

Funn 1: Ungdom bruker mest tid på internett, og det øker mest for 16-24 år

La meg beregne gjennomsnittlig tid per aldersgruppe og økningen fra 2020 til 2024:

Aldersgruppe	2020	2024	Økning (min)	Økning (%)
9-15 år	180	245	65	36%
16-24 år	318	440	122	38%
25-44 år	245	338	93	38%
45-64 år	177	260	83	47%
65-79 år	60	127	67	112%

Kommentar: Aldersgruppen 16-24 år bruker mest tid på internett daglig (440 minutter = 7 timer og 20 minutter i 2024). Den største prosentvise økningen ser vi hos de eldste (65-79 år) som mer enn doblet sin internettbruk, men de bruker fortsatt minst tid totalt.

Funn 2: Alle aldersgrupper øker bruken, men mest markant etter 2021

La meg se på den årlige utviklingen:

Gjennomsnittlig tid på nett per dag for alle aldersgrupper:

2020: 196 minutter (3 timer 16 min)
2021: 213 minutter (3 timer 33 min)
2022: 259 minutter (4 timer 19 min) - STORT HOPP
2023: 260 minutter (4 timer 20 min)
2024: 282 minutter (4 timer 42 min)

Kommentar: Det er et markant hopp i internettbruken fra 2021 til 2022 (46 minutters økning). Dette kan muligens henge sammen med endrede vaner etter pandemien. Fra 2022 fortsetter bruken å øke, men i et roligere tempo.

Oppsummering av to interessante funn:

Unge voksne (16-24 år) er mest aktive på nett: De bruker i snitt over 7 timer daglig på internett i 2024, nesten dobbelt så mye som aldersgruppen 45-64 år. Den absolutte økningen (122 minutter) er også størst for denne gruppen.
Eldre gjør et digitaliseringshopp: Selv om 65-79-åringer fortsatt bruker minst tid på nett totalt, har de hatt den største prosentvise veksten (112% fra 2020 til 2024). Dette viser at også eldre blir stadig mer digitale, selv om de startet på et lavere nivå.

Sensorveiledning

For å få full uttelling må kandidaten gjøre relevante sammenlikninger og beregninger og lage ulike diagrammer som illustrerer opplysningene på en god måte. Besvarelsen må også inneholde forklarende kommentarer og en oppsummering med to interessante funn. Det er viktig at sensor ser på helheten i besvarelsen, vurder om informasjonen som presenteres er riktig og relevant, og om diagrammene illustrerer hele eller deler av datamaterialet på ulike måter. Sensor skal også vurdere kandidatens digitale kompetanse, dvs. valg av egnede diagramtyper, og hvor tydelig informasjonen kommer fram i hvert diagram (bruk av overskrifter, aksetitler, dataetiketter osv.) Som et utgangspunkt kan de 4 poengene uttrykke høy måloppnåelse (4 poeng), middels måloppnåelse (2-3 poeng) og lav måloppnåelse (1 poeng).

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: statistikk, presentasjon av data, diagram, utforskning, prosentvis endring
Kompetansemål: Analysere og presentere funn i datasett frå lokalsamfunn og media

Oppgave 2-4 : Investeringer og avkastning

I januar 2020 hadde Fatima, Adrian og Vegard 100 000 kroner hver.

Fatima plasserte pengene sine i et aksjefond. I januar 2025 hadde verdien steget med 36 %.

Adrian satte pengene sine inn på en sparekonto med en årlig rente på 5,7 %.

Vegard investerte pengene sine i ulike aksjer hvert år.

I 2020 steg verdien av aksjene med 20 %
I 2021 falt verdien med 11 %
I 2022 falt verdien med 10 %
I 2023 steg verdien med 23 %
I 2024 steg verdien med 17 %

Gjør beregninger og lag en oversikt som viser hvor mye penger hver av de tre har ved starten av 2025.

Fasit

Fatima: 136 000 kr Adrian: 131 940 kr Vegard: 138 326 kr

Løsningsforslag

Vi skal beregne hvor mye penger Fatima, Adrian og Vegard har ved starten av 2025.

Beregninger:

Fatima - Aksjefond med 36% vekst over 5 år

\begin{aligned} \text{Verdi i 2025} &= 100\,000 \cdot 1{,}36 \\ &= 136\,000 \text{ kr} \end{aligned}

Adrian - Sparekonto med 5,7% årlig rente

\begin{aligned} \text{Verdi i 2025} &= 100\,000 \cdot 1{,}057^{5} \\ &= 100\,000 \cdot 1{,}3194 \\ &= 131\,940 \text{ kr} \end{aligned}

Vegard - Ulike aksjer med årlige endringer

Vi må regne år for år:

År	Vekstfaktor	Beregning	Verdi (kr)
Start (2020)	-	100 000	100 000
Etter 2020	1,20	$100\,000 \cdot 1{,}20$	120 000
Etter 2021	0,89	$120\,000 \cdot 0{,}89$	106 800
Etter 2022	0,90	$106\,800 \cdot 0{,}90$	96 120
Etter 2023	1,23	$96\,120 \cdot 1{,}23$	118 228
Etter 2024	1,17	$118\,228 \cdot 1{,}17$	138 326

Alternativ utregning i ett steg:

100\,000 \cdot 1{,}20 \cdot 0{,}89 \cdot 0{,}90 \cdot 1{,}23 \cdot 1{,}17 = 138\,326 \text{ kr}

Oversikt ved starten av 2025:

Person	Plassering	Verdi (kr)
Vegard	Ulike aksjer	138 326
Fatima	Aksjefond	136 000
Adrian	Sparekonto	131 940

Vegard har mest penger til tross for at han hadde to år med tap (2021 og 2022). De gode årene (2020, 2023 og 2024) veide opp for tapene. Adrian tjente minst fordi sparekontoen ga lavest avkastning over tid.

Sensorveiledning

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. For å få 2 poeng, må kandidaten regne ut riktig beløp for minst to av de tre personene.

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: prosent, prosentvis endring, vekstfaktor, sparing, økonomi
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Vurdere val knytte til personleg økonomi og reflektere over konsekvensar av å ta opp lån og å bruke kredittkort

Oppgave 2-5 : Gjennomsnittsalder i Åseral

Tabellen nedenfor viser aldersfordelingen i Åseral kommune i 2024.

Alder (år)	Antall personer
$[0, 18 \rangle$	188
$[18, 50\rangle$	347
$[50, 67\rangle$	237
$[67, 80\rangle$	103
$[80, 90\rangle$	33
$[90, 100\rangle$	15

Hvilke antagelser må du gjøre for å kunne bruke tabellen til å bestemme ulike sentralmål for innbyggerne i Åseral kommune i 2024?

Bestem gjennomsnittsalderen for innbyggerne i Åseral kommune i 2024.

Hvor mange prosent av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i kommunen i 2024?

Fasit

Vi må anta at alle i hver aldersgruppe har alderen som er midt i intervallet.

42,4 år

ca. 51 %

Løsningsforslag

Vi må anta jevn fordeling av aldre innenfor hvert intervall. Dermed blir midtpunktet en god tilnærmingsverdi for av gjennomsnittsalderen i gruppen.

Vi bruker midtpunktet i hvert intervall:

Aldersintervall	Midtpunkt	Antall personer	Bidrag til sum
$[0, 18\rangle$	9	188	$9 \cdot 188 = 1692$
$[18, 50\rangle$	34	347	$34 \cdot 347 = 11\,798$
$[50, 67\rangle$	58,5	237	$58{,}5 \cdot 237 = 13\,865$
$[67, 80\rangle$	73,5	103	$73{,}5 \cdot 103 = 7571$
$[80, 90\rangle$	85	33	$85 \cdot 33 = 2805$
$[90, 100\rangle$	95	15	$95 \cdot 15 = 1425$

\begin{aligned} \text{Sum alder} &= 1692 + 11\,798 + 13\,865 + 7571 + 2805 + 1425 = 39\,156 \\ \text{Antall personer} &= 188 + 347 + 237 + 103 + 33 + 15 = 923 \\ \text{Gjennomsnittsalder} &= \frac{39\,156}{923} = 42{,}4 \text{ år} \end{aligned}

Gjennomsnittsalderen i Åseral kommune var $\underline{\underline{42{,}4}}$ år i 2024.

Gjennomsnittsalderen er 42,4 år. Vi må finne hvor mange som var eldre enn dette.

Intervallene som er helt over 42,4 år:

$[50, 67\rangle$ : 237 personer
$[67, 80\rangle$ : 103 personer
$[80, 90\rangle$ : 33 personer
$[90, 100\rangle$ : 15 personer

Sum: $237 + 103 + 33 + 15 = 388$ personer

Men vi må også inkludere noen fra intervallet $[18, 50\rangle$ siden gjennomsnittsalderen (42,4 år) ligger i dette intervallet.

Hvis vi antar jevn fordeling i intervallet $[18, 50\rangle$ :

Intervallet går fra 18 til 50 år (32 år bredt)
Vi vil ha de fra 42,4 til 50 år (7,6 år)
Andelen: $\frac{7{,}6}{32} \approx 0{,}238$
Antall personer: $347 \cdot 0{,}238 \approx 83$ personer

Totalt antall over gjennomsnittet: $388 + 83 = 471$

Prosentandel:

\frac{471}{923} \cdot 100\,\% \approx 51{,}0\,\%

Omtrent $\underline{\underline{51\,\%}}$ av befolkningen i Åseral kommune var eldre enn gjennomsnittsalderen i 2024.

Sensorveiledning

For å få uttelling må kandidaten argumentere for jevn aldersfordeling i intervallene eller at klassemidtpunktet er gjennomsnittet i hver klasse.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng. For å få uttelling, må kandidaten ta med et rimelig antall personer fra klassen $[18, 50\rangle$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P-Y, 2P
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: grupperte data, sentralmål
Kompetansemål: Bruke og vurdere val av formålstenlege sentralmål og spreiingsmål for statistisk datamateriale

Oppgave 2-6 : Grus på sti og kjeglehaug

Eva og Per Ivar skal legge grus på en sti fra parkeringsplassen og opp til hytta.

Stien er 25 m lang og 60 cm bred. De vil legge et 75 mm tykt lag med grus på stien.

Hvor mange kubikkmeter grus må de bestille?

Når de kommer til hytta, ligger grusen de har bestilt, i en kjegleformet haug på parkeringsplassen. Kjeglen har en diameter på $2{,}5 \mathrm{~m}$ og er $1{,}0 \mathrm{~m}$ høy.

Kjegleformet grushaug

Gjør beregninger og avgjør om de har fått levert nok grus.

Fasit

$\underline{\underline{V_{\text{sti}} = 1{,}125 \, \mathrm{m}^3}}$

Kjeglen har volum $\approx 1{,}64 \, \mathrm{m}^3 > 1{,}125 \, \mathrm{m}^3$ , så de har fått levert nok grus.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen for volum av et rektangulært prisme (rettvinket firkantet søyle):

V = \text{lengde} \cdot \text{bredde} \cdot \text{høyde}

Stien er 25 m lang, 60 cm = $0{,}60 \, \mathrm{m}$ bred, og gruset skal være 75 mm = $0{,}075 \, \mathrm{m}$ tykt.

V_{\text{sti}} = 25 \, \mathrm{m} \cdot 0{,}60 \, \mathrm{m} \cdot 0{,}075 \, \mathrm{m} = \mathbf{\underline{\underline{1{,}125 \, \mathrm{m}^3}}}

De må bestille $\underline{\underline{1{,}125 \, \mathrm{m}^3}}$ grus.

Grusen er levert som en kjegleformet haug. Vi beregner volumet av kjeglen og sammenligner med behovet fra oppgave a.

Kjeglen har diameter $d = 2{,}5 \, \mathrm{m}$ , altså radius $r = 1{,}25 \, \mathrm{m}$ , og høyde $h = 1{,}0 \, \mathrm{m}$ .

Tverrsnitt av kjegleformet grushaug (r = 1,25 m, h = 1,0 m)

Formelen for volumet av en kjegle er:

V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h

Vi setter inn verdiene:

V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (1{,}25)^2 \cdot 1{,}0 \approx 1{,}64 \, \mathrm{m}^3

Vi sammenligner:

V_{\text{kjegle}} \approx 1{,}64 \, \mathrm{m}^3 > 1{,}125 \, \mathrm{m}^3 = V_{\text{sti}}

Kjeglen inneholder mer grus enn det som trengs til stien, så de har fått levert nok grus.

Sensorveiledning

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

2 poeng

En kandidat som velger en riktig strategi eller gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Poeng: 4
Temaer: geometri
Kompetansemål: Utforske og forklare korleis formlikskap, målestokk og eigenskapar ved geometriske figurar kan brukast i berekningar og i praktisk arbeid

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer

Oppgave 1-1 : Prosentvis prisøkning 2P-Y H25

Oppgave 1-2 : Prisindeks og sammenligning

Oppgave 1-3 : Modell av Eiffeltårnet

Oppgave 1-4 : Pariserhjul statistikk 2P-Y H25

Oppgave 1-5 : Trekant i sirkel

Oppgave 1-6 : Priser i tivoli-kiosk

Oppgave 1-7 : Kaja sitt serielån

Oppgave 1-8 : Johanns spareplan

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer

Oppgave 2-1 : Eksponentiell vekst nettbutikk

Oppgave 2-2 : Befolkningsstatistikk tettsteder

Oppgave 2-3 : Internettbruk i aldersgrupper

Funn 1: Ungdom bruker mest tid på internett, og det øker mest for 16-24 år

Funn 2: Alle aldersgrupper øker bruken, men mest markant etter 2021

Oppgave 2-4 : Investeringer og avkastning

Fatima - Aksjefond med 36% vekst over 5 år

Adrian - Sparekonto med 5,7% årlig rente

Vegard - Ulike aksjer med årlige endringer

Oversikt ved starten av 2025:

Oppgave 2-5 : Gjennomsnittsalder i Åseral

Oppgave 2-6 : Grus på sti og kjeglehaug