2P-Y Høst 2023

Siden $25 \cdot 4=100$ så må $25 \cdot 16 = 400$. Da må også $25\cdot 17 =425$.

Hvis Selma kjører 16 reiser så vil hun altså betale mindre ved å kjøpe enkeltbilletter til 25 kr stk.

Hvis Selma kjører 17 reiser så lønner det seg å kjøpe fleksikort med 20 reiser.

Prisen for 20 enkeltreiser er $25 \cdot 20=500$.

Hun sparer altså $500-415=85 \mathrm{~kr}$. Det tilsvarer

Hun sparer 17 % på å kjøpe fleksikort hvis hun bruker 20 reiser.

Vi legger inn $T(x)$ i GeoGebra for å få et overblikk over temperaturen og vi bruker ekstremalpunkt for å bestemme høyeste og laveste temperatur. Se punktene $A$ og $B$.

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur er 13,27 ºC.

Måneden mars tilsvarer omtrent dagene $x=59$ til $x=90$.

Vi regner ut temperaturen for disse dagene i GeoGebra:

I løpet av de 31 dagene i mars er altså gjennomsnittsstigningen:

Temperaturen stiger med 0,0767 ºC per dag i mars.

Datamaterialet sortert: $11, 11, 12, 12, 13, \mathbf{14}, 15, 15, 15, 16, 25$

• Typetall: $\underline{\underline{15}}$ (forekommer 3 ganger)
• Variasjonsbredde: $25 - 11 = \underline{\underline{14}}$
• Median: Det 6. tallet i sortert rekkefølge (11 tall) er $\underline{\underline{14}}$

Vi beregner i GeoGebra med listen $\{11, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 25\}$.

Standardavvik (beregnet med GeoGebra): $\underline{\underline{\sigma \approx 3{,}7}}$

I 2021 var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Vi kan se følgende:

• Gjennomsnittet er nesten likt i begge sesongene (≈ 14,5). De 11 beste spillerne scoret like mange mål totalt sett.
• Medianen er høyere i 2022 (14 mot 11). I 2022 scoret minst 6 av de 11 spillerne 14 mål eller mer, mens i 2021 scoret minst 6 spillere 11 mål eller mer. Den typiske topp-11-spilleren scoret altså mer i 2022.
• Standardavviket er lavere i 2022 (3,7 mot 6,7). Scoringene er mer jevnt fordelt i 2022 – ingen enkeltspiller dominerer like mye. I 2021 var det større forskjell mellom toppen og resten.

Utslippet i år er $u_0 = 40$ tonn. Det reduseres med 5 % hvert år, så vekstfaktoren er $k = 0{,}95$.

• I år (år 0): $40 \text{ tonn}$
• Neste år (år 1): $40 \cdot 0{,}95 = 38 \text{ tonn}$
• Året etter (år 2): $40 \cdot 0{,}95^2 = 40 \cdot 0{,}9025 = 36{,}1 \text{ tonn}$

Samlet utslipp over tre år:

Vi bruker en løkke som summerer utslippet over mange år (f.eks. 1000 år):

utslipp = 40
total = 0
for i in range(1000):
    total += utslipp
    utslipp = utslipp * 0.95

print(total)

Programmet gir: Samlet utslipp ≈ 800 tonn.

Dersom utslippet i år er $u$ (i stedet for 40) og reduksjonen fortsatt er 5 % per år:

Vi prøver noen verdier:

Det samlede utslippet er alltid $T = 20 \cdot u$ – altså 20 ganger utslippet i år.

Oles formel er $T = \dfrac{u}{p} \cdot 100$.

Med $u = 40$ og $p = 5$:

Dette stemmer med svaret i b) og c). La oss sjekke at formelen er generell: En uendelig geometrisk rekke med første ledd $u$ og kvotient $k = 1 - \frac{p}{100}$ har summen

Oles formel $T = \dfrac{u}{p} \cdot 100$ er riktig – den gir det samlede utslippet når utslippet reduseres med $p$ % hvert år.

Norske myndigheter ønsker at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % fra 1990-nivå innen 2030. Det betyr at målet for 2030 er:

Siden $x$ er antall år etter 2022, tilsvarer 2030 $x = 8$.

Anders – lineær modell:

Vi vet at modellen skal starte i $A(0) = 48{,}9$ og nå $A(8) = 23{,}085$. Den lineære modellen er:

Vi finner den faste reduksjonen $d$ per år:

Anders sin lineære modell er $\underline{\underline{A(x) = 48{,}9 - 3{,}23 \cdot x}}$.

Det betyr at utslippet må reduseres med omtrent 3,23 millioner tonn per år.

Arne – eksponentiell modell:

Vi vet at modellen skal starte i $F(0) = 48{,}9$ og nå $F(8) = 23{,}085$. Den eksponentielle modellen er:

Vi finner vekstfaktoren $k$:

Arne sin eksponentielle modell er $\underline{\underline{F(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9104^{x}}}$.

Det betyr at utslippet må reduseres med omtrent $1 - 0{,}9104 \approx 8{,}96 \,\%$ per år.

Vi bruker modellene til å beregne utslippet i 2050 ($x = 28$):

Målet for 2050 er 90–95 % reduksjon fra 1990, altså mellom 2,565 og 5,13 millioner tonn.

Vurdering av modellene:

Anders sin lineære modell gir et negativt utslipp i 2050 (ca. −41,5 millioner tonn). Det er ikke fysisk mulig – utslippet kan ikke bli negativt. Den lineære modellen er derfor ikke egnet for å vurdere 2050-målet.

Arne sin eksponentielle modell gir ca. 3,53 millioner tonn i 2050. Det tilsvarer en reduksjon på

fra 1990-nivå, som er innenfor målet på 90–95 %. Den eksponentielle modellen viser at det er mulig å nå lavutslippsmålet i 2050 dersom utslippet reduseres med ca. 9 % hvert år.