Klimagassutslipp lineær og eksponensiel modell

I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.

Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.

Anders og Arne diskuterer hvordan det kan være mulig å nå dette målet.

Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.

La $x$ være antall år etter 2022 og hjelp Anders og Arne med å lage modellene.

Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.

Bruk modellene du fant i oppgave a), og vurder dem opp mot opplysningene om målet for klimagassutslipp i 2050.

Fasit

$A(x) = 48{,}9 - 3{,}23 \cdot x$ (lineær), $F(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9104^{x}$ (eksponentiell, ca. 9 % reduksjon/år)

Lineær modell gir negativt utslipp i 2050 (urealistisk). Eksponentiell modell gir ca. 3,53 mill. tonn i 2050 ≈ 93 % reduksjon fra 1990, som er innenfor 90–95 %-målet.

Løsningsforslag

Norske myndigheter ønsker at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % fra 1990-nivå innen 2030. Det betyr at målet for 2030 er:

51{,}3 \cdot (1 - 0{,}55) = 51{,}3 \cdot 0{,}45 = 23{,}085 \text{ millioner tonn}

Siden $x$ er antall år etter 2022, tilsvarer 2030 $x = 8$ .

Anders – lineær modell:

Vi vet at modellen skal starte i $A(0) = 48{,}9$ og nå $A(8) = 23{,}085$ . Den lineære modellen er:

A(x) = 48{,}9 - d \cdot x

Vi finner den faste reduksjonen $d$ per år:

\begin{aligned} A(8) &= 23{,}085 \\ 48{,}9 - 8d &= 23{,}085 \\ 8d &= 48{,}9 - 23{,}085 = 25{,}815 \\ d &= \frac{25{,}815}{8} \approx 3{,}23 \end{aligned}

Anders sin lineære modell er $\underline{\underline{A(x) = 48{,}9 - 3{,}23 \cdot x}}$ .

Det betyr at utslippet må reduseres med omtrent 3,23 millioner tonn per år.

Arne – eksponentiell modell:

Vi vet at modellen skal starte i $F(0) = 48{,}9$ og nå $F(8) = 23{,}085$ . Den eksponentielle modellen er:

F(x) = 48{,}9 \cdot k^{x}

Vi finner vekstfaktoren $k$ :

\begin{aligned} F(8) &= 23{,}085 \\ 48{,}9 \cdot k^{8} &= 23{,}085 \\ k^{8} &= \frac{23{,}085}{48{,}9} \approx 0{,}4721 \\ k &= 0{,}4721^{\frac{1}{8}} \approx 0{,}9104 \end{aligned}

Arne sin eksponentielle modell er $\underline{\underline{F(x) = 48{,}9 \cdot 0{,}9104^{x}}}$ .

Det betyr at utslippet må reduseres med omtrent $1 - 0{,}9104 \approx 8{,}96 \,\%$ per år.

Vi bruker modellene til å beregne utslippet i 2050 ( $x = 28$ ):

A(28) = 48{,}9 - 3{,}23 \cdot 28 \approx -41{,}5 \text{ millioner tonn}

F(28) = 48{,}9 \cdot 0{,}9104^{28} \approx 3{,}53 \text{ millioner tonn}

Målet for 2050 er 90–95 % reduksjon fra 1990, altså mellom 2,565 og 5,13 millioner tonn.

Lineær og eksponentiell modell for klimagassutslipp

Vurdering av modellene:

Anders sin lineære modell gir et negativt utslipp i 2050 (ca. −41,5 millioner tonn). Det er ikke fysisk mulig – utslippet kan ikke bli negativt. Den lineære modellen er derfor ikke egnet for å vurdere 2050-målet.

Arne sin eksponentielle modell gir ca. 3,53 millioner tonn i 2050. Det tilsvarer en reduksjon på

\frac{51{,}3 - 3{,}53}{51{,}3} \approx 93{,}1 \,\%

fra 1990-nivå, som er innenfor målet på 90–95 %. Den eksponentielle modellen viser at det er mulig å nå lavutslippsmålet i 2050 dersom utslippet reduseres med ca. 9 % hvert år.

Sensorveiledning

2 poeng for hver riktig modell. En kandidat som velger en riktig strategi, men ikke kommer fram til en riktig modell, kan få 1 av de 2 poengene.

For å få full uttelling, må kandidaten vurdere modellen opp mot en reduksjon på 90 % og opp mot en reduksjon på 95 %.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P-Y H2023, del 2, oppgave 8
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: modellering, lineær vekst, eksponentialfunksjoner, vekstfaktor, prosentvis endring
Kompetansemål: Forklare og bruke prosent, prosentpoeng og vekstfaktor til modellering av praktiske situasjonar med digitale verktøy
Bruke digitale verktøy i utforsking og problemløysing knytt til eigenskapar ved funksjonar, og diskutere løysingane