2P-Y Vår 2023

2P-Y Vår 2023 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 24 poeng
1	Brødpris og prosentvis økning	KI
2	Galdhøpiggen-tur med grafisk framstilling	KI
3	Kuler i boks – sannsynlighet uten tilbakelegging	KI
4	Relativ og kumulativ frekvens for søsken	KI
5	Histogram for sykkelturer	KI
6	Lengde og vekt hos villaks	KI
7	Figurmønster med sirkler 2P-Y V23 LK06	KI
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 8 oppgaver · 36 poeng
1	Bedriftens ukentlige utgifter med polynomfunksjon	KI
2	Risforbruk i Kina og India på standardform	KI
3	Gjennomsnitt for kaffeforbruk med manglende verdi	KI
4	Vare A og B med motsatt prosentvis endring	KI
5	Sykkelhjelmbruk – presentasjon av data	KI
6	Årslønn i bedrift – gjennomsnitt og median	KI
7	Sunne valg – potensmodell for registrerte porsjoner	KI
8	Fotball og korps i en skoleklasse	KI

Oppgave 1-1 : Brødpris og prosentvis økning

Prisen for en bestemt type brød steg fra 40 kroner i 2022 til 42 kroner i 2023.

Vis at prisen for brødet steg med 5 %.

Anta at prisen vil fortsette å stige med 2 kroner hvert år framover.

Argumenter for hvilken av påstandene nedenfor som er riktig.

1. Prisen vil stige med 5 % hvert år.
2. Prisen vil stige med mindre enn 5 % hvert år.
3. Prisen vil stige med mer enn 5 % hvert år.

Fasit

Prisen steg med $5 \,\%$ .

Påstand 2 er riktig: prisen vil stige med mindre enn $5 \,\%$ hvert år.

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut den prosentvise endringen fra 40 til 42 kroner:

\text{Prosentvis endring} = \frac{\text{ny verdi} - \text{gammel verdi}}{\text{gammel verdi}} \cdot 100\,\%

= \frac{42 - 40}{40} \cdot 100\,\% = \frac{2}{40} \cdot 100\,\% = 5\,\%

Prisen steg altså med $\underline{\underline{5\,\%}}$ .

Anta at prisen stiger med 2 kroner hvert år. Prisen de neste årene blir da:

År	Pris (kr)	Stigning (kr)	Prosentvis stigning
2022	40	–	–
2023	42	2	$\frac{2}{40} \cdot 100 = 5\,\%$
2024	44	2	$\frac{2}{42} \cdot 100 \approx 4{,}8\,\%$
2025	46	2	$\frac{2}{44} \cdot 100 \approx 4{,}5\,\%$

Kroneøkningen er den samme hvert år (2 kroner), men den deles på en stadig større pris. Derfor blir den prosentvise stigningen mindre og mindre for hvert år.

Påstand 2 er riktig: prisen vil stige med $\underline{\underline{\text{mindre enn } 5\,\%}}$ hvert år.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor

Oppgave 1-2 : Galdhøpiggen-tur med grafisk framstilling

Emma og Markus har gått fra Spiterstulen til toppen av Galdhøpiggen og tilbake.

Nedenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av turen til Emma (rød graf) og turen til Markus (blå graf).

Avstand fra start som funksjon av tid for Emma (rød) og Markus (blå)

Hvor mange minutter hadde Markus pause i løpet av turen?

Bestem farten til Emma i starten av turen.

Hva kan du si om turen deres ned fra Galdhøpiggen ut fra grafene ovenfor?

Fasit

Markus hadde $\underline{\underline{60 \mathrm{~minutter}}}$ pause.

Emma gikk i $\underline{\underline{1 \, \mathrm{km/h}}}$ i starten.

Markus tok en pause på vei ned, Emma gjorde ikke. Markus gikk raskere i selve gangingen nedover.

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner de stedene på den blå grafen (Markus) der avstandskurven er helt flat – det betyr at han står stille (har pause).

Fra grafen kan vi lese av:

Markus hadde pause fra $t = 150$ til $t = 180$ minutter (pause på vei opp): 30 minutter
Markus hadde pause fra $t = 480$ til $t = 510$ minutter (pause på vei ned): 30 minutter

\text{Total pause} = 30 + 30 = 60 \mathrm{~minutter}

Markus hadde $\underline{\underline{60 \mathrm{~minutter}}}$ pause i løpet av turen.

Vi finner farten til Emma (rød graf) i starten av turen ved å lese av to punkter på den rette linjen i starten:

Ved $t = 0$ minutter er avstand = $0 \, \mathrm{km}$
Ved $t = 120$ minutter er avstand = $2 \, \mathrm{km}$

\text{Fart} = \frac{\text{distanse}}{\text{tid}} = \frac{2 \, \mathrm{km}}{120 \mathrm{~min}} = \frac{2 \, \mathrm{km}}{2 \mathrm{~timer}} = 1 \, \mathrm{km/h}

Emma gikk i $\underline{\underline{1 \, \mathrm{km/h}}}$ i starten av turen.

Vi leser av grafene for strekningen ned fra toppen:

Emma (rød): Når toppen ved $t = 300$ minutter og er tilbake ved start ved $t = 570$ minutter. Det tar henne $570 - 300 = 270$ minutter å gå ned. Hun tar ingen pause på veien ned.
Markus (blå): Når toppen ved $t = 360$ minutter og er tilbake ved start ved $t = 600$ minutter. Det tar $600 - 360 = 240$ minutter totalt, men han tar en pause på 30 minutter (fra $t = 480$ til $t = 510$ ). Den faktiske gangtiden ned er $240 - 30 = 210$ minutter.

Begge gikk ned samme distanse ( $5{,}65 \, \mathrm{km}$ ). Emma brukte 270 minutter og tok ingen pause, mens Markus brukte 210 minutter på selve gangingen og tok i tillegg en pause på 30 minutter.

Markus gikk raskere nedover enn Emma. Han tok en pause på vei ned, noe Emma ikke gjorde.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Graftolkning, Lineære funksjoner

Oppgave 1-3 : Kuler i boks – sannsynlighet uten tilbakelegging

I en boks ligger det ti kuler. Seks av kulene er grønne, og fire er hvite.

Du trekker tilfeldig tre kuler fra boksen.

Bestem sannsynligheten for at alle de tre kulene du trekker, er grønne.

Bestem sannsynligheten for at du trekker to grønne og én hvit kule.

Fasit

$\underline{\underline{P = \dfrac{1}{6}}}$

$\underline{\underline{P = \dfrac{1}{2}}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne sannsynligheten for at alle tre kulene er grønne.

Vi trekker uten tilbakelegging, og regner ut sannsynligheten steg for steg:

1. trekk: Det er 6 grønne av 10 kuler. Sannsynligheten er $\dfrac{6}{10}$ .
2. trekk: Det er nå 5 grønne av 9 kuler igjen. Sannsynligheten er $\dfrac{5}{9}$ .
3. trekk: Det er nå 4 grønne av 8 kuler igjen. Sannsynligheten er $\dfrac{4}{8}$ .

P(\text{alle tre grønne}) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}

Sannsynligheten for at alle tre kulene er grønne, er $\underline{\underline{\dfrac{1}{6}}}$ .

Vi skal finne sannsynligheten for at vi trekker nøyaktig to grønne og én hvit kule.

Dette kan skje på tre ulike måter (rekkefølge på trekkene):

Rekkefølge	Sannsynlighet
Grønn, grønn, hvit	$\dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{4}{8}$
Grønn, hvit, grønn	$\dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{5}{8}$
Hvit, grønn, grønn	$\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{6}{9} \cdot \dfrac{5}{8}$

Alle tre gir samme produkt:

\frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}

Vi legger dem sammen (tre like):

P(\text{to grønne og én hvit}) = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Sannsynligheten for å trekke to grønne og én hvit kule er $\underline{\underline{\dfrac{1}{2}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Oppgave 1-4 : Relativ og kumulativ frekvens for søsken

Truls og Thea har undersøkt hvor mange søsken hver av elevene i klassen har.

Svar Truls og Thea på spørsmålene de stiller.

Alle elevene i klassen til Truls og Thea har svart at de har søsken. To av elevene har svart at de har én bror og ingen søstre. To av elevene har svart at de har én søster og ingen brødre.

Hvor mange elever er det i klassen til Truls og Thea? Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

Se forklaring i løsningsforslaget.

Det er $\underline{\underline{30 \mathrm{~elever}}}$ i klassen.

LøsningsforslagKI-generert

Svar til Truls:

En relativ frekvens på $0{,}4$ for to søsken betyr at $40 \,\%$ av elevene i klassen har to søsken.

Svar til Thea:

En kumulativ frekvens på $16$ for to søsken betyr at $16$ elever i klassen har to søsken eller færre (det vil si 0, 1 eller 2 søsken).

Vi systematiserer opplysningene vi har:

Alle elevene har minst ett søsken, så ingen har 0 søsken.
2 elever har én bror og ingen søstre = 1 søsken
2 elever har én søster og ingen brødre = 1 søsken
Til sammen har $2 + 2 = 4$ elever nøyaktig 1 søsken.

Fra Theas utsagn: Den kumulative frekvensen for to søsken er 16. Det betyr at $16$ elever har to søsken eller færre. Siden ingen har 0 søsken, er det $16$ elever som har 1 eller 2 søsken.

Antall elever med nøyaktig 2 søsken:

16 - 4 = 12 \mathrm{~elever}

Fra Truls’ utsagn: Den relative frekvensen for to søsken er $0{,}4$ . Det betyr:

\frac{\text{antall elever med 2 søsken}}{\text{totalt antall elever}} = 0{,}4

\frac{12}{n} = 0{,}4

n = \frac{12}{0{,}4} = 30

Vi kan kontrollere: $\dfrac{12}{30} = 0{,}4$ ✓ og kumulativ frekvens $= 4 + 12 = 16$ ✓

Det er $\underline{\underline{30 \mathrm{~elever}}}$ i klassen til Truls og Thea.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Presentasjon av data

Oppgave 1-5 : Histogram for sykkelturer

Lucas og Leah har spurt noen personer om hvor lang den siste sykkelturen deres var. Se tabellen nedenfor.

Antall kilometer	Antall personer
$[0, 3\rangle$	33
$[3, 6\rangle$	18
$[6, 8\rangle$	40
$[8, 10\rangle$	30
$[10, 15\rangle$	25

Framstill datamaterialet i et histogram.

Fasit

Se histogram i løsningsforslaget. Søylehøydene (frekvenstetthet) er: $11$ , $6$ , $20$ , $15$ , $5$ .

LøsningsforslagKI-generert

Siden klassene har ulik bredde, kan vi ikke tegne søylene med høyde lik antall personer. Da ville brede klasser se ut som om de har mange observasjoner bare fordi de er brede. Vi bruker i stedet frekvenstetthet:

\text{frekvenstetthet} = \frac{\text{antall personer}}{\text{klassebredde}}

Vi regner ut for hver klasse:

Antall kilometer	Antall personer	Klassebredde	Frekvenstetthet
$[0, 3\rangle$	33	3	$33 \div 3 = 11$
$[3, 6\rangle$	18	3	$18 \div 3 = 6$
$[6, 8\rangle$	40	2	$40 \div 2 = 20$
$[8, 10\rangle$	30	2	$30 \div 2 = 15$
$[10, 15\rangle$	25	5	$25 \div 5 = 5$

I histogrammet tegner vi søylene slik at:

Bredden på søylen tilsvarer klassebredden.
Høyden på søylen er frekvenstettheten.

Histogrammet ser slik ut:

Frekvenstetthet
 20 |       ████
 15 |       ████ ████
 11 | ████  ████ ████
  6 | ████ ████  ████ ████
  5 | ████ ████  ████ ████ ████
  0 +-----|-----|-----|-----|------|-->
         3     6     8    10     15   km

Søylehøydene er $11$ , $6$ , $20$ , $15$ og $5$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Statistikk, Diagram, Tabeller og diagrammer

Oppgave 1-6 : Lengde og vekt hos villaks

Når vekten til en type villaks passerer $1{,}5 \mathrm{~kg}$ , er sammenhengen mellom vekt og lengde tilnærmet lineær i en periode. Nedenfor ser du en modell som illustrerer dette.

Lineær modell for sammenheng mellom vekt over 1,5 kg og lengde

Modellen kan uttrykkes på formen

L(x) = ax + b

Bestem $a$ og $b$ .
Gi en praktisk tolkning av $a$ og $b$ i denne modellen.

Frode var på elvefiske og fikk to lakser. Den ene veide $3{,}2 \mathrm{~kg}$ og var $70 \mathrm{~cm}$ lang. Den andre veide $5{,}8 \mathrm{~kg}$ og var $84 \mathrm{~cm}$ lang.

Vurder gyldighetsområdet til modellen i oppgave a).

Fasit

$\underline{\underline{L(x) = 10x + 54}}$ , der $a = 10$ og $b = 54$

Modellen passer for laks rundt $3{,}2 \, \mathrm{kg}$ , men ikke for laks på $5{,}8 \, \mathrm{kg}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Fra grafen kan vi lese av to punkter som ligger på linja:

P_1 = (0{,}4 \,,\, 58) \qquad P_2 = (0{,}8 \,,\, 62)

Vi finner stigningstallet $a$ ved å bruke formelen:

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{62 - 58}{0{,}8 - 0{,}4} = \frac{4}{0{,}4} = 10

Vi finner konstantleddet $b$ ved å sette inn et av punktene, for eksempel $P_1 = (0{,}4 \,,\, 58)$ :

58 = 10 \cdot 0{,}4 + b

58 = 4 + b

b = 54

Dermed er modellen:

\boxed{L(x) = 10x + 54}

Tolkning av $a = 10$ : Når laksen veier $1 \, \mathrm{kg}$ mer, øker lengden med omtrent $10 \, \mathrm{cm}$ .

Tolkning av $b = 54$ : Når laksen veier nøyaktig $1{,}5 \, \mathrm{kg}$ (det vil si $x = 0$ ), er den ifølge modellen $54 \, \mathrm{cm}$ lang.

Vi bruker modellen til å beregne forventet lengde for de to laksene Frode fikk. Husk at $x$ er antall kg over $1{,}5 \, \mathrm{kg}$ .

Laks 1: $3{,}2 \, \mathrm{kg}$ , det vil si $x = 3{,}2 - 1{,}5 = 1{,}7$

L(1{,}7) = 10 \cdot 1{,}7 + 54 = 17 + 54 = 71 \, \mathrm{cm}

Modellen gir $71 \, \mathrm{cm}$ , og fisken var $70 \, \mathrm{cm}$ . Dette stemmer godt.

Laks 2: $5{,}8 \, \mathrm{kg}$ , det vil si $x = 5{,}8 - 1{,}5 = 4{,}3$

L(4{,}3) = 10 \cdot 4{,}3 + 54 = 43 + 54 = 97 \, \mathrm{cm}

Modellen gir $97 \, \mathrm{cm}$ , men fisken var bare $84 \, \mathrm{cm}$ . Det er et avvik på $13 \, \mathrm{cm}$ , som er veldig mye.

Vurdering: Modellen passer godt for laksen på $3{,}2 \, \mathrm{kg}$ , men den er ikke gyldig for laksen på $5{,}8 \, \mathrm{kg}$ . Den lineære sammenhengen gjelder bare i en begrenset periode. For tyngre laks vil modellen gi for høye verdier for lengden. Gyldighetsområdet til modellen er begrenset til laks som ikke er for tunge, trolig opp til omtrent $3$ – $4 \, \mathrm{kg}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering

Oppgave 1-7 : Figurmønster med sirkler 2P-Y V23 LK06

Tre figurer satt sammen av små sirkler

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Beskriv mønsteret, og bestem hvor mange små sirkler det vil være i figur 4 og i figur 5.

Bestem et uttrykk for antallet små sirkler i figur $n$ .

Fasit

Figur 4: $\underline{\underline{17}}$ sirkler, figur 5: $\underline{\underline{21}}$ sirkler

$\underline{\underline{a_n = 4n + 1}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller antall sirkler i de tre første figurene:

Figurnummer	Antall sirkler
Figur 1	5
Figur 2	9
Figur 3	13

Vi ser etter mønsteret ved å finne differansen mellom hvert ledd:

5 \xrightarrow{+4} 9 \xrightarrow{+4} 13 \xrightarrow{+4} 17 \xrightarrow{+4} 21

Beskrivelse av mønsteret: Hver nye figur får $4$ nye sirkler. Mønsteret er lineært — økningen er konstant $+4$ fra figur til figur.

Figur 4 har $13 + 4 = \mathbf{17}$ sirkler.

Figur 5 har $17 + 4 = \mathbf{21}$ sirkler.

Figur 4 har $\underline{\underline{17}}$ sirkler, og figur 5 har $\underline{\underline{21}}$ sirkler.

Vi har tallrekken $5, 9, 13, 17, 21, \ldots$ der hvert ledd øker med $4$ .

Dette er en aritmetisk følge med:

første ledd $a_1 = 5$
konstantt tillegg (differanse) $d = 4$

Formelen for en aritmetisk følge er $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ :

a_n = 5 + (n-1) \cdot 4 = 5 + 4n - 4 = 4n + 1

Sjekk:

$a_1 = 4 \cdot 1 + 1 = 5$ ✓
$a_2 = 4 \cdot 2 + 1 = 9$ ✓
$a_3 = 4 \cdot 3 + 1 = 13$ ✓

Uttrykket for antall sirkler i figur $n$ er $\underline{\underline{a_n = 4n + 1}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger

Oppgave 2-1 : Bedriftens ukentlige utgifter med polynomfunksjon

Ledelsen ved en bedrift har satt opp budsjettet for neste år. De regner med at funksjonen $U$ gitt ved

U(x) = 0{,}00216x^5 - 5{,}71736x^3 + 330000 \quad , \quad 0 \leq x \leq 52

er en modell som tilnærmet vil vise utgiftene $U(x)$ kroner per uke, $x$ uker etter 1. januar.

Tegn grafen til $U$ .

I hvilke uker regner ledelsen med at utgiftene vil være mindre enn 200 000 kroner per uke?

I hvilken uke regner bedriften med at utgiftene vil være lavest?

Fasit

Se graf nedenfor.

I ukene $\underline{\underline{35 \text{–} 44}}$ er utgiftene under $200\,000 \, \mathrm{kr}$ per uke.

Utgiftene er lavest i uke $\underline{\underline{40}}$ , med ca. $\underline{\underline{185\,258 \, \mathrm{kr}}}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen og besvare alle deloppgavene.

Vi legger inn funksjonen

U(x) = 0{,}00216x^5 - 5{,}71736x^3 + 330000 \quad , \quad 0 \leq x \leq 52

samt den horisontale linjen $y = 200\,000$ for å finne hvilke uker utgiftene er under grenseverdien.

Grafen til U(x) med 200 000-grense markert

Grafen til $U$ er vist i figuren ovenfor (blå kurve). Den viser at utgiftene starter høyt (ca. $330\,000 \, \mathrm{kr}$ ) i begynnelsen av året, synker til et minimum rundt uke 40, og stiger igjen mot slutten av året.

Den røde horisontale linjen markerer $U(x) = 200\,000 \, \mathrm{kr}$ .

GeoGebra finner skjæringspunktene mellom $U$ og grenselinjen ved $x \approx 34{,}7$ og $x \approx 44{,}1$ .

Siden $x$ representerer hele uker, er utgiftene under $200\,000 \, \mathrm{kr}$ per uke i ukene 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43 og 44.

Bedriften regner med at utgiftene vil være under $200\,000 \, \mathrm{kr}$ per uke i $\underline{\underline{\text{ukene 35 til 44}}}$ .

GeoGebra finner minimumet til $U$ på intervallet $[0, 52]$ ved $x \approx 39{,}9$ , med funksjonsverdi $U(39{,}9) \approx 185\,258 \, \mathrm{kr}$ .

Det nærmeste hele uketallet er uke 40, og $U(40) \approx 185\,422 \, \mathrm{kr}$ .

Bedriften regner med at utgiftene er lavest i $\underline{\underline{\text{uke 40}}}$ , med utgifter på ca. $\underline{\underline{185\,000 \, \mathrm{kr}}}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Funksjoner, Graf, Økonomi, Nullpunkter

Oppgave 2-2 : Risforbruk i Kina og India på standardform

I Kina og India bor det til sammen ca. $2{,}86$ milliarder mennesker. Gjennomsnittsforbruket av ris i disse landene er $91 \mathrm{~kg}$ per person per år.

Hvor mye ris blir dette totalt i løpet av 10 år?
Skriv svaret på standardform.

LøsningsforslagKI-generert

Antall mennesker skrives på standardform:

2{,}86 \text{ milliarder} = 2{,}86 \times 10^9

Vi regner ut totalt forbruk per år:

2{,}86 \times 10^9 \cdot 91 = 260{,}26 \times 10^9 \, \mathrm{kg}

Over 10 år blir det:

260{,}26 \times 10^9 \cdot 10 = 2602{,}6 \times 10^9 \, \mathrm{kg}

Vi skriver svaret på standardform (ett siffer foran komma):

2602{,}6 \times 10^9 = 2{,}6026 \times 10^{12} \, \mathrm{kg}

Det blir totalt $\underline{\underline{2{,}6026 \times 10^{12} \, \mathrm{kg}}}$ ris i løpet av 10 år. Det vil si omtrent 2 600 milliarder kg ris.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Tallregning

Oppgave 2-3 : Gjennomsnitt for kaffeforbruk med manglende verdi

En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.

4 \quad 5 \quad 0 \quad 4 \quad 2 \quad 6 \quad \blacksquare \quad 5 \quad 7 \quad 5 \quad 5 \quad 3

Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.

Fasit

Antakelsen er riktig dersom den manglende verdien er 3 eller mer.

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar den ukjente verdien (bak sølet) være $x$ .

Summen av de 11 kjente verdiene er:

4 + 5 + 0 + 4 + 2 + 6 + 5 + 7 + 5 + 5 + 3 = 46

Gjennomsnittet av alle 12 verdiene er da:

\bar{x} = \frac{46 + x}{12}

Tore antar at gjennomsnittet er mer enn fire, det vil si:

\frac{46 + x}{12} > 4

Vi løser ulikheten:

46 + x > 48

x > 2

Siden antall kopper kaffe er et heltall, betyr dette at $x \geq 3$ .

Vi kan kommentere antakelsen til Tore slik:

Dersom den skjulte verdien er $3$ kopper eller mer, er gjennomsnittet mer enn fire. Dersom den skjulte verdien er $0$ , $1$ eller $2$ kopper, er gjennomsnittet fire eller lavere og antakelsen stemmer ikke.

Vi vet ikke hva den manglende verdien er, men det er fullt mulig at Tore har rett — forutsatt at kollegaen drakk minst $3$ kopper kaffe.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Gjennomsnitt, Statistikk

Oppgave 2-4 : Vare A og B med motsatt prosentvis endring

Malin og Gunnvor arbeider med en oppgave. De har fått opplysningene nedenfor.

I mai kostet to varer, A og B, like mye.
Prisen for vare A har økt med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å øke med 7 % hver måned framover.
Prisen for vare B har gått ned med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å gå ned med 7 % hver måned framover.

Malin påstår at dette betyr at vare A vil koste det samme om tre måneder som vare B kostet for tre måneder siden. Gunnvor er ikke enig.

Gjør beregninger og undersøk om Malins påstand er riktig.

Fasit

Malins påstand er feil. Vare A vil koste ca. $\underline{\underline{122{,}50 \, \mathrm{kr}}}$ om tre måneder, mens vare B kostet ca. $\underline{\underline{124{,}32 \, \mathrm{kr}}}$ for tre måneder siden (med utgangspunkt i 100 kr i mai).

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar prisen i mai for begge varer være $P = 100 \, \mathrm{kr}$ .

Vare A om tre måneder (prisen øker med 7 % per måned):

P_A = 100 \cdot 1{,}07^3 = 100 \cdot 1{,}2250 \approx 122{,}50 \, \mathrm{kr}

Vare B for tre måneder siden (prisen gikk ned med 7 % per måned, altså var den høyere da):

P_B = \frac{100}{0{,}93^3} = \frac{100}{0{,}8042} \approx 124{,}32 \, \mathrm{kr}

Vi ser at $122{,}50 \neq 124{,}32$ , så Malins påstand er ikke riktig.

Hvorfor stemmer det ikke?

Malin tenker kanskje at «opp med 7 % og ned med 7 %» opphever hverandre. Men vekstfaktorene $1{,}07$ og $0{,}93$ er ikke hverandres inverse:

1{,}07 \cdot 0{,}93 = 0{,}9951 \neq 1

Hadde vi økt med 7 % og deretter gått ned like mye, måtte nedgangen ha vært ca. $6{,}54 \,\%$ (siden $1{,}07 \cdot \frac{1}{1{,}07} = 1$ ). Fordi $0{,}93 < \frac{1}{1{,}07} \approx 0{,}9346$ , faller vare B litt raskere enn den vokser, og derfor er vare B for tre måneder siden høyere enn vare A om tre måneder.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Vekstfaktor, Prosentregning, Økonomi

Oppgave 2-5 : Sykkelhjelmbruk – presentasjon av data

Hver morgen venter Madelen noen minutter på skolebussen. En uke undersøkte hun hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Ukedag	Syklister	Syklister med hjelm
Mandag	10	7
Tirsdag	15	9
Onsdag	11	6
Torsdag	12	7
Fredag	15	12

Madelen skal fortelle klassen sin om resultatene fra undersøkelsen.

Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Fasit

Totalt brukte $\underline{\underline{65{,}1 \,\%}}$ av syklistene hjelm i løpet av uka. Fredag hadde høyest andel ( $80 \,\%$ ), Onsdag lavest ( $54{,}5 \,\%$ ).

LøsningsforslagKI-generert

Vi regner ut andelen syklister med hjelm for hver ukedag, og presenterer resultatene i en tabell og et stolpediagram.

Beregning av andel med hjelm per ukedag:

\text{Andel} = \frac{\text{antall med hjelm}}{\text{antall syklister}} \cdot 100 \,\%

Ukedag	Syklister	Med hjelm	Andel med hjelm
Mandag	10	7	$\dfrac{7}{10} \cdot 100 \,\% = 70{,}0 \,\%$
Tirsdag	15	9	$\dfrac{9}{15} \cdot 100 \,\% = 60{,}0 \,\%$
Onsdag	11	6	$\dfrac{6}{11} \cdot 100 \,\% \approx 54{,}5 \,\%$
Torsdag	12	7	$\dfrac{7}{12} \cdot 100 \,\% \approx 58{,}3 \,\%$
Fredag	15	12	$\dfrac{12}{15} \cdot 100 \,\% = 80{,}0 \,\%$
Totalt	63	41	$\dfrac{41}{63} \cdot 100 \,\% \approx 65{,}1 \,\%$

Totalt i løpet av uka observerte Madelen $10 + 15 + 11 + 12 + 15 = 63$ syklister, og $7 + 9 + 6 + 7 + 12 = 41$ av disse brukte hjelm.

Det gir en samlet andel på:

\frac{41}{63} \cdot 100 \,\% \approx \mathbf{65{,}1 \,\%}

Stolpediagram – andel med hjelm per ukedag:

Stolpediagram som viser andelen syklister med hjelm for hver ukedag

Tolkning: Fredag hadde høyest andel med hjelm ( $80 \,\%$ ), mens Onsdag hadde lavest andel ( $54{,}5 \,\%$ ). Totalt gjennom uka brukte omtrent $\mathbf{65 \,\%}$ av syklistene hjelm. Det betyr at om lag to av tre syklister brukte hjelm i perioden Madelen observerte.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Presentasjon av data, Diagram

Oppgave 2-6 : Årslønn i bedrift – gjennomsnitt og median

En bedrift vil gi ut en brosjyre som blant annet skal vise lønnsnivået til de ansatte. Nedenfor ser du en oversikt som viser årslønnen til de ansatte i bedriften.

Årslønn (i tusen kroner)	Frekvens
$[250 - 350\rangle$	8
$[350 - 450\rangle$	42
$[450 - 500\rangle$	40
$[500 - 550\rangle$	20
$[550 - 600\rangle$	15
$[600 - 650\rangle$	3
$[650 - 750\rangle$	2
$[750 - 1000\rangle$	1
$[1000 - 2000\rangle$	15

Ledelsen diskuterer hvilket sentralmål som er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Gjør nødvendige forutsetninger og bestem gjennomsnittet og medianen for datamaterialet.

Argumenter for hvilket sentralmål du mener er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Fasit

Gjennomsnitt $\approx \underline{\underline{575 \text{~tusen kr}}}$ , median $\approx \underline{\underline{479 \text{~tusen kr}}}$

Medianen er best egnet, fordi noen svært høye lønner trekker gjennomsnittet kraftig opp.

LøsningsforslagKI-generert

Vi gjør forutsetningen at alle i et intervall har lønn lik midtpunktet i intervallet.

Årslønn (intervall)	Midtpunkt $x_i$	Frekvens $f_i$	$x_i \cdot f_i$
$\langle 250, 350 \rangle$	$300$	$8$	$2400$
$\langle 350, 450 \rangle$	$400$	$42$	$16800$
$\langle 450, 500 \rangle$	$475$	$40$	$19000$
$\langle 500, 550 \rangle$	$525$	$20$	$10500$
$\langle 550, 600 \rangle$	$575$	$15$	$8625$
$\langle 600, 650 \rangle$	$625$	$3$	$1875$
$\langle 650, 750 \rangle$	$700$	$2$	$1400$
$\langle 750, 1000 \rangle$	$875$	$1$	$875$
$\langle 1000, 2000 \rangle$	$1500$	$15$	$22500$
Sum		146	83975

Gjennomsnitt:

\bar{x} = \frac{\sum x_i \cdot f_i}{\sum f_i} = \frac{83975}{146} \approx 575{,}2 \text{~tusen kr}

$\underline{\underline{\bar{x} \approx 575 \text{~tusen kr}}}$

Median:

Det er $146$ ansatte, og medianen er gjennomsnittet av den $73.$ og $74.$ verdien når dataene er sortert.

Vi finner kumulativ frekvens:

Intervall	Frekvens	Kumulativ frekvens
$\langle 250, 350 \rangle$	$8$	$8$
$\langle 350, 450 \rangle$	$42$	$50$
$\langle 450, 500 \rangle$	$40$	$90$
$\langle 500, 550 \rangle$	$20$	$110$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

Etter de to første intervallene har vi $50$ verdier. Etter det tredje intervallet $\langle 450, 500 \rangle$ har vi $90$ verdier. Dermed er både den $73.$ og $74.$ verdien i intervallet $\langle 450, 500 \rangle$ .

Vi bruker lineær interpolasjon for å finne medianen:

\text{Median} = 450 + \frac{73 - 50}{40} \cdot 50 = 450 + \frac{23}{40} \cdot 50 = 450 + 28{,}75 \approx 479 \text{~tusen kr}

$\underline{\underline{\text{Median} \approx 479 \text{~tusen kr}}}$

Medianen er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Gjennomsnittet er på ca. $575 \text{~tusen kr}$ , mens medianen er på ca. $479 \text{~tusen kr}$ . Differansen skyldes at de $15$ ansatte i det øverste lønnsintervallet ( $\langle 1000, 2000 \rangle$ ) trekker gjennomsnittet kraftig opp.

Medianen påvirkes ikke av slike ekstremverdier. Siden halvparten av de ansatte tjener mindre enn ca. $479 \text{~tusen kr}$ , gir medianen et mer representativt bilde av lønnsnivået for en typisk ansatt i bedriften.

Medianen er best egnet fordi ekstreme lønner blant noen få ansatte ikke påvirker den.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Statistikk, Gjennomsnitt, Tabeller og diagrammer

Oppgave 2-7 : Sunne valg – potensmodell for registrerte porsjoner

Frisk videregående skole har satt i gang prosjektet «Sunne valg».

Hver uke registrerer elevene hvor mange porsjoner grønnsaker, frukt eller bær de har spist.

Nedenfor ser du noen resultater fra perioden januar–mai.

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Registrerte porsjoner	2060	5770	7795	8992	$10\,105$	$11\,656$	$13\,099$	$14\, 000$

Bestem en modell på formen

P(x) = a \cdot x^b

som kan brukes for å beskrive sammenhengen mellom ukenummer og antall registrerte porsjoner.

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(1, P(1))$ og $(20, P(20))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $P$ i punktet $(6, P(6))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

$P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}$

Stigningstall sekant $\approx 629$ porsjoner/uke

Stigningstall tangent i uke 6 $\approx 692$ porsjoner/uke

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker potensregresjon på dataene:

Uke	1	5	8	10	12	15	18	20
Porsjoner	2060	5770	7795	8992	10 105	11 656	13 099	14 000

Regresjonsanalysen gir modellen

P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}

Modellen passer svært godt til dataene ( $R^2 \approx 1{,}00$ ):

Regresjonsmodell og datapunkter for oppgave 2-7a

En modell for sammenhengen er $\underline{\underline{P(x) = 2060 \cdot x^{0{,}64}}}$ .

Stigningstallet til sekanten gjennom $(1, P(1))$ og $(20, P(20))$ :

P(1) = 2060 \cdot 1^{0{,}64} = 2060

P(20) = 2060 \cdot 20^{0{,}64} \approx 14\,009

a = \frac{P(20) - P(1)}{20 - 1} = \frac{14\,009 - 2060}{19} \approx 629

Stigningstallet er omtrent $\underline{\underline{629 \text{ porsjoner per uke}}}$ .

Det betyr at antall registrerte porsjoner økte i gjennomsnitt med ca. 629 per uke i perioden fra uke 1 til uke 20.

Vi skal finne stigningstallet til tangenten til $P$ i punktet $(6, P(6))$ . Dette er den momentane vekstfarten til $P$ i uke 6.

GeoGebra tegner tangenten i punktet $(6, P(6))$ og beregner stigningstallet:

P'(6) \approx 691

$\underline{\underline{P'(6) \approx 691 \text{~porsjoner per uke}}}$

Det betyr at i uke 6 økte antall registrerte porsjoner med ca. $691$ porsjoner per uke.

Potensmodell med sekant og tangent

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Regresjon, Derivasjon, Funksjoner

Oppgave 2-8 : Fotball og korps i en skoleklasse

Du får følgende informasjon om en skoleklasse

Et antall elever spiller fotball, og dobbelt så mange spiller ikke fotball
$\dfrac{1}{4}$ av elevene spiller i korps
Det er tre elever som både spiller fotball og spiller i korps
Det er mellom 20 og 30 elever i klassen

Gjør beregninger og vis at det er 24 elever i klassen.

Sett opp en krysstabellen som illustrerer situasjonen.

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen spiller fotball, men ikke spiller i korps.

Bestem sannsynligheten for at en elev som spiller fotball, ikke spiller i korps.

Fasit

Se løsningsforslag

Se krysstabellen i løsningsforslaget

$\underline{\underline{P = \dfrac{5}{24}}}$

$\underline{\underline{P = \dfrac{5}{8}}}$

LøsningsforslagKI-generert

La antall elever som spiller fotball være $x$ .

Da er antall elever som ikke spiller fotball $2x$ (dobbelt så mange).

Totalt antall elever i klassen:

x + 2x = 3x

Antall elever som spiller i korps er $\dfrac{1}{4}$ av klassen:

\frac{1}{4} \cdot 3x = \frac{3x}{4}

For at dette skal være et helt tall, må $x$ være delelig med $4$ .

Vi prøver alle mulige verdier der totalt elevtall er mellom 20 og 30:

$x$	Totalt: $3x$	Korps: $\frac{3x}{4}$	Gyldig?
7	21	$5{,}25$	Nei — ikke helt tall
8	24	$6$	Ja
9	27	$6{,}75$	Nei — ikke helt tall

Eneste gyldige løsning er $x = 8$ , som gir 24 elever i klassen.

Med 24 elever totalt:

Spiller fotball: $8$
Spiller ikke fotball: $16$
Spiller i korps: $6$
Spiller både fotball og korps: $3$ (gitt i oppgaven)

Vi fyller inn krysstabellen:

	Spiller korps	Spiller ikke korps	Totalt
Spiller fotball	$3$	$5$	$8$
Spiller ikke fotball	$3$	$13$	$16$
Totalt	$6$	$18$	$24$

Forklaring: Av 8 fotballspillere spiller 3 også i korps, så $8 - 3 = 5$ spiller fotball men ikke korps. Av 6 korpsmedlemmer spiller 3 fotball, så $6 - 3 = 3$ spiller bare korps. Resten, $24 - 3 - 5 - 3 = 13$ , spiller verken fotball eller korps.

Vi skal finne sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev spiller fotball, men ikke korps.

Av tabellen ser vi at 5 elever spiller fotball men ikke korps.

P(\text{fotball og ikke korps}) = \frac{5}{24}

Sannsynligheten er $\underline{\underline{\dfrac{5}{24}}}$ , det vil si omtrent $21 \,\%$ .

Vi skal finne sannsynligheten for at en elev som spiller fotball, ikke spiller i korps. Dette er en betinget sannsynlighet — vi ser bare på de 8 elevene som spiller fotball.

Av de 8 fotballspillerne er det 5 som ikke spiller i korps.

P(\text{ikke korps} \mid \text{fotball}) = \frac{5}{8}

Sannsynligheten er $\underline{\underline{\dfrac{5}{8}}}$ , det vil si $62{,}5 \,\%$ .

Dette betyr at dersom vi vet at en elev spiller fotball, er det over halvparten sjanse for at eleven ikke spiller i korps.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk, Diagram

Sync på tvers av enheter

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Brødpris og prosentvis økning

Oppgave 1-2 : Galdhøpiggen-tur med grafisk framstilling

Oppgave 1-3 : Kuler i boks – sannsynlighet uten tilbakelegging

Oppgave 1-4 : Relativ og kumulativ frekvens for søsken

Oppgave 1-5 : Histogram for sykkelturer

Oppgave 1-6 : Lengde og vekt hos villaks

Oppgave 1-7 : Figurmønster med sirkler 2P-Y V23 LK06

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Bedriftens ukentlige utgifter med polynomfunksjon

Oppgave 2-2 : Risforbruk i Kina og India på standardform

Oppgave 2-3 : Gjennomsnitt for kaffeforbruk med manglende verdi

Oppgave 2-4 : Vare A og B med motsatt prosentvis endring

Oppgave 2-5 : Sykkelhjelmbruk – presentasjon av data

Oppgave 2-6 : Årslønn i bedrift – gjennomsnitt og median

Oppgave 2-7 : Sunne valg – potensmodell for registrerte porsjoner

Oppgave 2-8 : Fotball og korps i en skoleklasse

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave